Theorie ebener Kurven - technik

III Theorie ebener Kurven
Kurven ≅ krumme oder gerade Linien z.B. Bahn bewegter Körper, Konturen ebener
Körper, Kanten räumlicher Gebilde oder Idealisierung für die dünnen Stangen, Seile.
Wege, Kurven, Bogenlänge
Betrachten wir zuerst Kurven in der Ebene.
Beispiel III.1:
Ein Kreis von Radius r > 0 um den Ursprung O kann durch
x = r cos t
(0 ≤ t ≤ 2π ) ⊗
y = r sin t
t
r
beschrieben werden. Man bezeichnet ⊗ als Parameterdarstellung
des Urkreises und t als zugehörigen Parameter.
Die Gleichungen ⊗ werden zuerst in einer Vektorgleichung
 γ 1 (t ) 
 x
 (a ≤ t ≤ b)
x = γ (t ) mit x =   und γ (t ) = 
−
−
(
)
γ
t
y
 2 
 
geschrieben. Die durch bestimmte Mengen von Punkten x heißt
ebene Kurve γ [a, b] → R nennt man einen Weg.
−
2
Bemerkung III.2:
Beispiel III.3:
Bemerkung:
 coct 2 
 coct  *


Sein γ (t ) = r ⋅ 
, γ (t ) = r ⋅  sin t 2  . Dann bezeichnen die
t
sin




Parametrisierungen
x = y (t ) (0 ≤ t ≤ 2π ), x = y (t ) (0 ≤ t ≤ 4π ), x = y * (t ) (0 ≤ t ≤ 2π )
die gleiche Kurve aber parametrisieren verschiedene Wege.
Archimedische Spirale
 cos t 
 0 ≤ t ≤ 3 ⋅ 2π (a > 0) ( t willkürlich beschränkt)
γ (t ) = at 
 sin t 
v
u−v =
u
+
cos
t
cos(
t
2
π
)




3πa
 − a (t + 2π )

= at 
2
π
a
6πa
 sin t 
 sin(t + 2π ) 
= a 2π
Man erkennt, daß es unmöglich
ist die Spirale durch einen Funktionengraph zu beschreiben. Es
gibt also Kurven, die nicht als Funktionengraph aufgefaßt werden
können. Umgekehrt kann ein Funktionengraph recht leicht
parametrisiert werden,
x=t
t ∈ [a, b]
y = f (t )
Definition III.4:
i)
ii)
iii)
Eine stetige Abbildung γ : [a, b] → R n heißt Weg im R n .
Der Wertebereich γ ([a, b]) des Weges γ wird eine Kurve
genannt. Die Kurve ist also der Menge der Punkte
x = γ (t ), t ∈ [a, b] . Diese Gleichung ist eine
Parameterdarstellung mit den zugehörigen Parameter t .
Eine Kurve wird häufig als Bogen bezeichnet.
Schraubenlinie im R 3
 r cos t 


y (t ) =  r sin t  t ∈ [a, b] c > 0
 rtc 


Beispiel:
r Radius
h = 2πc (Ganghöhe der
Schraubenlinie)
y (a)
y (b)
Doppelpunkt
eines Weges
y (a ) = y (b)
geschlossener Weg
y (a ) = y (b)
geschlossene
Jordankurve
y (a)
y (b)
Jordankurve
Zusammengesetzte Wege und Kurven
Es sei [a, b] in m Teilintervalle [t 0 ,t1 ] , [t1 ,t 2 ] ,..., [t n −1 , t n ] (t1 = a, t n = b) zerlegt. Darauf seien
im Wege γ i [t i −1 , t i ] → R n (i = 1,..., m) erklärt welche die Stetigkeitsbedingung
γ i (t i ) = γ i +1 (t i ) für alle i = 1,..., m − 1
erfüllt. Durch
γ i (t i ) := γ i (t ) für t ∈ [t i −1 , t i ] (i = 1,..., m)
ist damit der Weg auf ganz [a, b] definiert, den man die Summe der Teilfolgen nennt
und durch
γ = γ 1 ⊕ γ 2 ⊕ ... ⊕ γ m
symbolisiert.
γ (t1 ) γ (t 3 ) γ (t 5 )
k 2 k3 k 4
γ (t 2 ) γ (t 4 )
Bemerkung III.8:
x1
x1
x1
k1
x1
x1
x1
Oft treten zusammenhängende Kurven in der Form von
Streckenzüge auf, welche in der Ebene als Polynomzüge
bezeichnet.
Glatte und stückweise glatte Kurven
Definition III.9:
Ein Weg γ : [a, b] → R n heißt stetig diffbar, wenn die
i)
•
Ableitungsfunktion γ auf [a, b] existiert und da stetig ist.
•
ii)
•
γ (a) = γ (b) so wird zusätzlich γ (a) = γ (b) verlangt.
Ein Weg heißt glatt wenn er stetig diffbar. ist und seine
•
Ableitung γ (t ) in keinem Punkt f ∈ [a, b] verschwindet. Die
von γ erzeugte Kurve wird ebenfalls als glatt bezeichnet.
Bogenlänge
Es sei γ : [a, b] → R n ein bel. Weg und Z = {t 0 ,..., t m } eine Zerlegung von [a, b] . Durch die
Bildpunkte γ (t1 ), γ (t 2 ),..., γ (t m ) denken wir und einen Streckenzug.
Die Summe
m
Lγ ( Z ) = ∑ γ (t1−t ) − γ (t1 )
i =0
nennen wir die Länge des Streckenzuges
Definition III.12:
Die Bogenlänge eines Weges γ : [a, b] → R n ist def. Durch
Lγ = sup LZ (γ )
i)
Z
ii)
iii)
Ein Weg heißt rekifizierbar oder auch streckbar, wenn
L(γ ) < ∞ gilt.
Man bezeichnet L(γ ) auch die Bogenlänge der Kurve.
Bsp.: a) Adventsstern
S 0 ∆ S1
S2
Aus jeder Strecke S i wird in S i +1 die folgende Strecke
2
 2
t 2 +   = 32
 3
t=
27 3
=
3
4
2
V (s0 )  1 
9
= 1 + V ( s 0 )
3 ,V ( s1 ) = V ( s 0 ) + 3
4
9
 3
1
 1 4
V ( s 2 ) = V ( s1 ) + 3 ⋅ 4 ⋅ 2 V ( s 0 ) = 1 + + 3 V ( s 0 )
9
 3 3 
V ( s0 ) =
 1 4 42 
1
4  4
V ( s3 ) = 1 + + 3 + 5 V ( s0 ) =  3 + 1 + 2 +  2 
3 
3 
3 3 
 3 3
1 1 4  4
4
V ( s n +1 ) = 1 + + +   + ... +  

3 3 9  9
9
2
n
2

V ( s0 )


n →∞

V ( S 0 ) → 1 + 9 = 14 ≤ 3

5 5

2
4
4
4
U ( S 0 ) = 3 ⋅ 3 = 9,U ( S1 ) = U ( S 0 ) = 12,U ( S 2 ) = U ( S1 ) =   U ( S 0 )
3
3
3
n
n →∞
4
 4
U (S n ) =   U (S 0 ) →
3
 3
γ 
Weg: γ =  1  mit x = γ 1 (t ) = t
γ 2 
b)
π

, t ∈ [0,1]
t cos
γ = γ 2 (t ) := 
2
,t = 0
0
Der Weg ist nicht rekifizierbar
Für die Zerlegung mit den Punkten
1
(k = 1,2,..., m) , t m = 0
tk =
k
gilt
1
(−1) k
γ 2 (t k ) = cos kπ =
(k = 1,..., m − 1)
k
k
Da γ 2 (t1 ), γ 2 (t 2 ), ,... abwechselnde Vorzeichen haben, ist die Bogenlänge zu den
1
Teilstücken γ (t ) mit t ∈ [t k +1 , z k ] sicherlich größer als γ 2 (t k ) = . Also folgt
k
m −1
1
LZ (γ ) ≥ ∑ → ∞, d.h. γ ist nicht rektivizierbar.
k =1 k
Definition III.10:
•
γ (t ) heißt der Tangenten (bzgl. γ )in t . Aus ihm wird der
Tangenteneinheitsvektor gebildet
•
Tγ (t ) =
γ (t )
•
γ (t )
Bem.: Wenn Verwechslungen ausgeschlossen sind, schreibt man auch T (t ) .
Satz: (Additivität der Bogenlänge)
Es sei
γ = γ 1 ⊕ γ 2 ⊕ ... ⊕ γ m
γ ist genau dann rektifizierbar, wenn alle Teillängen γ 1 ,..., γ m rektifizierbar sind.
Für die Bogenlänge gilt dann
L(γ ) = L(γ 1 ) + L(γ 2 ) + ... + L(γ m )
Bew.: Es genügt den Fall γ = γ 1 ⊕ γ 2 zu beweisen. Der Rest folgt durch vollständige
Induktion. Es sei γ : [a, b] → R n zerlegt in γ 1 , γ 2 mit γ 1 : [a, c ] → R n und
γ 2 : [c, b] → R n . Eine Zerlegung Z von [a, b] erzeugt durch Hinzunahme eines
Punktes c Zerlegungen Z 1 , Z 2 von [a, c ] und [c, b].
Damit folgt
LZ (γ ) ≤ LZ1 (γ 1 ) + LZ 2 (γ 2 ) ≤ L(γ 1 ) + L(γ 2 )
⇒ L(γ ) ≤ L(γ 1 ) + L(γ 2 )
⊗
Umgekehrt liefern Zerlegungen Z 1 , Z 2 von [a, c ] und [c, b] auch eine Zerlegung Z
von [a, b] .Daraus folgt:
LZ1 (γ 1 ) + LZ 2 (γ 2 ) ≤ LZ (γ ) ⇒ L(γ 1 ) + L(γ 2 ) ≤ L(γ )
(⊗ ⊗)
⇒ L(γ 1 ) + L(γ 2 ) ≤ L(γ )
Aus ⊗ und (⊗ ⊗) folgt die Behauptung.
Satz: Jede stückweise stetig diffb. Weg γ : [a, b] → R n ist rektivizierbar und es gilt
b •
L(γ ) = ∫ γ (t ) dt
a
Bsp.: Ist durch y = f (x) eine stetig diffb. reelle Funktion auf [a, b] , so erhält man über
die Parameterdarstellung x = t , y = f (t ) die Länge des Graphen mittels
b
L = ∫ 12 + ( f ´(t )) 2 dt
a
Bew.: (Beweis der Rektifizierung siehe Literatur)
Es sei Z = {x0 ,..., x m }eine Zerlegung von [a, b] mit x0 = a, x m = b . Ferner
sei γ = (γ 1 ,..., γ n ) T . Mit I k := [x k −1 , xi ] folgt mit dem Mittelwertsatz der
Differentialrechnung
m
LZ (γ ) = ∑
i =1
m
=∑
i =1
n
∑ (γ k ( xi ) − γ k ( xi −1 ) )
2
k =1
n
2
 • (k ) 
 γ k (ξ i )  ⋅ I k
∑

k =1 
(1)
(n)
mit ξ i = ξ ,...,ξ  ∈ I i
i 
 i
LZ (γ ) läßt sich als Riemann-Summe auffassen. Für jede Folge ( Z i ) mit Z i → 0 ,
wobei Z i die Feinheit der Zerlegung Z i ist, liefert dies
b •
lim LZ (γ ) = ∫ γ (t ) dt
Z i →0
a
Nun gilt
L(γ ) = sup LZ (γ )
Z
Es sei nun Z 0 eine Zerlegung mit L(γ ) − LZ 0 (γ ) ≤ ε , dann wählen wir eine
Verfeinerung Z1 von Z 0 mit Z n ≤ δ .
Man beachte
I − L(γ ) ≤ I − LZ (γ ) + LZ (ε ) − LZ1 (γ ) + LZ1 (γ ) − L(γ ) ≤ 3ε
≤ε
ε
≤ε
Aus der Beliebigkeit von ε > 0 folgt die Konvergenz und somit die Behauptung.
•
•
 γ 1 (t ) 
 t ∈ [a, b] und x := γ 1 (t ) und
Für eine ebene stückweise diffb. Kurve mit γ (t ) = 
 γ 2 (t ) 
•
•
y := γ 2 (t ) schreibt man das Bogenlängenintegral auch
b
•2
• 2
L(γ ) = ∫ x + y dt
a
b
•2
• 2
•2
(in 3D L(γ ) = ∫ x + y + z dt )
a
Bsp.: Die Schraubenlinie dargestellt
x = r cos t
hat für die t ∈ [0, S ] Länge
y = r sin t
z = ct
1
2
S
S
1
2
L(γ ) = ∫ (r 2 sin 2 t + r 2 cos 2 t + c 2 ) dt = ∫ (r 2 + c 2 ) dt = S r 2 + c 2
0
0
Bogenlänge eines Funktionengraphen
f : [a, b] → R n , f sei stetig diffb.
Parameterdarstellung
x=t
y = f (t )
t ∈ [a, b]
Die Länge des Graphens ergibt sich mittels
b
L = ∫ a + f ´(t ) 2 dt
⊗
a
Bsp.: (Kettenlinie)
Durchhängende Seile werden durch eine cosh − Funktion dargestellt und zwar
x − x0


− 1
c>0
f ( x) = h0 + c cosh
c


Ihre Länge des Graphen zwischen x = a und x = b ist nach ⊗
b
L=∫
a
b
2
x − x0 

1 +  sinh
 dx
c 

= ∫ cosh
a
b − x0
a − x0 
x − x0

− sinh
dx = c sinh

c
c 
c

Flächeninhalte von Flächen mit gegebenen Randkurven
f ( x)
A
x
x0
x1
Bekanntlich gilt
x1
A=
∫ f ( x)dx
x0
Stellen wir uns vor, daß der Funktionsgraph von f durch eine stückweise glatte
Parametrisierung y = γ 1 ( x) x = γ 2 (t ) gegeben ist. Dann gilt nach Substitution
γ 12 ( x1 )
A=
∫
γ
1 ( x0 )
•
t1
•
f (γ 2 (t ) )γ (t )dt = ∫ y (t ) x(t )dt mit γ 2 (t 0 ) = x0 ; γ 2 (t1 ) = x1
t0
Daraus wird klar:
Ist die Kurve eine geschlossene Jordankurve, die ihr Inneres im
Uhrzeigersinn durchläuft so ergibt das Integral
t1
•
A = ∫ y (t ) x(t )dt des Flächeninhaltes des eingeschlossenen
t0
Gebiets.
Man sieht sofort, daß
t1
t1
•
•
A = ∫ y (t ) x(t )dt = ∫ x(t ) y (t )dt
t0
t0
gilt.
Bsp.: (Kiesfläche) Parametrisierung x = r ⋅ cos t , y = r ⋅ sin t , t ∈ [0,2π ]
Somit ergibt sich
2π
A = − ∫ r sin 2 t dt = r 2 cos t sin t = r 2 cos t sin t
2π
0
0
2π
⇒ − ∫ r 2 sin 2 dt =
0
Bsp.: (Ellipse) x = a cos t ,
2π
2π
0
0
(
2π
−r 2 ∫ cos
t cos
t dt
0
1− sin t
)
1 2
r (0) − r 2 2π = −r 2π
2
y = −b sin t , t ∈ [0,2π ]
A = ∫ ab sin t = ab ∫ sin 2 tdt = abπ
Definition III.11:
Es sei γ ein stückweise glatter Weg mit γ : [a, b] → R n und
ϕ : [c, d ] → [a, b] eine stkw. glatte Parametrisierungsformat. Damit
ist auch
δ = γ ϕ , also δ (τ ) = γ (ϕ (τ ) )
ein stkw. glatter Weg. Wir nennen in diesem Fall γ und ϕ
äquvivalent.
ϕ
b
a
c
d
γ (b) = δ (c)
γ ( a ) = δ (c )
Satz III.12:
Zwei äquvivalente Wege γ und ϕ erzeugen die gleiche Kurve,
haben die selben Anfangs- und Endpunkte und haben die selbe
Bogenlänge. ist γ geschlossen oder doppelpunktfrei so gilt das
auch jeweils für ϕ . Des weiteren stimmer auch die TangentenEinheitsvektoren in den entsprechenden Punkten überein, d.h.
es gilt mit δ = γ ϕ
Tδ (τ ) = Tγ (t ) , wobei t = ϕ (τ ) ist.
Nochmals Flächeninhalte zu vorgegebenen Randkurven
Es sei r = f (ϕ ) gegeben, wobei f stetig auf [ϕ 0ϕ1 ] ist.
Dann ist der Flächeninhalt eines Winkelsektors OBC
(wie skizziert) gleich
ϕ
1 1
⊗ A = ∫ r (ϕ ) 2 dϕ
2 ϕ0
C
ϕ1
P
rM ϕ M
B
für den schraffierten Flächeninhalt ∆A gilt
2
ϕ0
rm
1 2
∆ϕ
rm ∆ϕ ≤ ∆A ≤
2
2
2
2
r
∆A rM
O
und somit gilt m ≤
≤
2
2
∆ϕ
Mit der Flächeninhaltsfunktion An = F (ϕ ) , die den Inhalt des Sektors OBP beschreibt
folgt aus den Ungleichungen ∆ϕ → 0
dA
1
= F´(ϕ ) = r 2
dϕ
2
Der Hauptsatz der Diff.-und Integralrechnung liefert gerade die Behauptung ⊗ .
Achtung bei der Ellipse!
Bei der Darstellung ⊗ sind wir ausgegangen von einer Parametrisierung
x = r (ϕ ) cos ϕ
ϕ ∈ [ϕ 0 , ϕ 1 ]
y = r (ϕ ) sin ϕ
Diese Darstellung ist jedoch nicht äqvivalent zu
x = a cos ϕ
y = b sin ϕ
bei der Ellipse.
Kurvenintegrale
Betrachten wir den anschaulichen Fall n = 3 . Die Kurve
Besitzt in γ (t ) den skalaren Funktionswert f (γ (t ) ) . Zur
Berechnung des Integrals ∫ fdt wird die Kurve durch die Zerγ
legung des Parameterintervalls z = {x0 = a, x1 ,..., x m −1 , x m = b}
in Bögen über I i := [xi −1 , xi ] (1 ≤ i < m)
xi
der Länge ∆S i =
∫
•
•
(ξ i ∈ I i ) zerlegt.
γ (t )dt = γ (ξ i ) I i
xi −1
ξi
xi −1
Mit
xi
•
f (γ (ξ 1 ) )∆ S i = f (γ (ξ i ) ) γ (ξ i ) I i
wird das Integral über dem i − ten Teilintervall approximiert, d.h. das Intervall durch
m
•
S ( Z , f ) = ∑ f (γ (ξ i ) ) γ (ξ i ) I i .
i =1
Diese Riemann-Summe konvergiert mit m → ∞ und
b
•
I i → 0 gegen ∫ f (γ (t ) ) γ (t ) dt
a
Damit haben wir folgende Definition motiviert.
D ⊂ R n offen, γ : [a, b] → D und f : D → R stetig
Definition III.13:
b
•
Dann heißt ∫ γ fds = ∫ f (γ (t ) ) γ (t ) dt das Kurvenintegral
a
von f längs γ .
Kochrezept
Zur Berechnung von I = ∫ γ fds in R n
1)
Parametrisiere die Kurve mit
γ (t ) = (γ 1 (t ), γ 2 (t ),..., γ n (t ) ) , a ≤ t ≤ b
2)
Bogenelement bestimmen mittels Differentation
2
2
2
 •   • 
 • 
ds = γ (t ) dt =  γ 1 (t )  +  γ 2 (t )  + ... +  γ n (t )  dt
 




•
3)
γ (t ) in den Integranten f (γ (t ) )
Einsetzen:
•
ds = γ (t ) dt , Integrationsgrenzen.
4)
Ausrechnen des bestimmten Integrals
b
•
I = ∫ f (γ (t ) ) γ (t ) dt
a
Bsp.: Es ist die Masse M = ∫ ρds einer Feder mit Massendichte ρ ( x, y, z ) = x 2 + y 2 zu
berechnen.
1)
 2 cos t 


Dabei ist die Kurve gegeben durch γ (t ) =  2 int  0 ≤ t ≤ 6π
 3t 


dito
2)
ds = 4 sin 2 t + 4 cos 2 t + 9 2 dt = (4 + 9 ) 2 dt = 13dt
(
I = ∫ (4 cos
6π
3)
0
)
2
1
1
6π
)
t + 4 sin 2 t ⋅ 13dt = 4 13 ∫ dt = 24 13π
0
Satz: Es sei γ ein zusammengesetzter Weg, d.h.
γ = γ 1 ⊕ γ 2 ⊕ ... ⊕ γ m
Ferner gelten die Voraussetzungen des letzten Satzes.
Dann gilt:
∫ γ fds = ∫ γ 1 fds + ∫ γ 2 fds + ... + ∫ γ m fds
Integration eines Vektorfeldes entlang einer Kurve
Ist Z = {x0 = a, x1 , x 2 ,..., x m = b} des Parameterintervalls,
so gibt es auf Verbindungsstrecke γ ( x k −1 ) und γ ( x k )
einen Punkt η k mit
ϕ (γ ( x k ) ) − ϕ (γ ( x k −1 ) ) = ϕ´(η k )(γ ( x k ) − γ ( x k −1 ) )
γ (b)
γ (a)
γ ( x k −1 )
γ ( xk )
und da
n
∑ [ϕ (γ ( x )) − ϕ (γ ( x ) )] = ϕ ( x
k
k =1
k −1
n
) − ϕ ( x0 )
n
⇒ ϕ (γ ( x n ) ) − ϕ (γ ( x0 ) ) = ∑ ϕ´(η k )(γ ( x k ) − γ ( x k −1 ) )
k =1
Sei nun τ = (τ 1 ,...,τ n ) irgend ein zu Z gehörender Zwischenvektor und ξ k = γ (τ k ) .
Dann wird
n
n
k =1
k =1
∑ ϕ´(ξ k )(γ ( xk ) − γ ( xk −1 ) ) ≈ ∑ ϕ´(η k )(γ ( x k ) − γ ( x k −1 ) )
sein, wenn ϕ´ und γ “vernünftig“ sind und Z fein genug.
Man erkennt, dass sich ϕ (γ ( x n ) ) aus ϕ (γ ( x0 ) ) und ϕ´ mittels eines wohldefinierten
Grenzprozesses erkennen lässt.
n
Sei γ : [a, b] → D ⊂ R n und f : D → R n und S ( Z , f ) = ∑ f (γ (ξ k ) )(γ ( x k ) − γ ( x k −1 ) )
k =1
Der Grenzwert von S ( Z , f ) mit Z → 0 wird mit
∫γ
f ⋅ dx bezeichnit und das Wegintegral
von f längs γ genannt.
Dieses Integral läßt sich als Summe von Riemann-Stieltjeschen-Integralen
berechnen und zwar ist
∫γ
n
b
f ⋅ dx = ∑ ∫ f j (γ (t ) ) ⋅ d jγ (t )
j =1 a
Für stetig diffb. γ gilt
∫γ
n
b
•
b
•
f ⋅ dx = ∑ ∫ f j (γ (t ) ) ⋅ γ j (t )dt = ∫ f (γ (t ) ) ⋅ γ (t )dt
j =1 a
a
Bemerkung:
•
i)
Mit T (t ) =
γ (t )
•
γ (t )
ii)
iii)
b
•
erhalten wir ∫ γ vdx = ∫ (v(γ (t ) ) ⋅ T (t ) ) γ (t ) dt = ∫ γ (vT )ds
a
→R
Analog zu i) kann man im R auch nur die Normalenkomponente betrachten.
 0 1
 T (t )
Man definiert N (t ) := 
t 
 − 1 0
T =  1 
 t2 
Man definiert den Fluß von v durch γ
∫ γ vdn = ∫ γ (v ⋅ N )ds
Für geschlossene Kurven schreibt man häufig
∫ γ fds bzw. ∫ γ f ⋅ dx
 t1 

N = −t 
 2


Das Potential eines Gradientenfeldes
Analog zum eindimensionalen Fall liefert das Kurvenintegral das geeignete Mittel zu
einer Ableitung ∆f einer Funktion f in mehreren Veränderlichen eine Stammfunktion
zu konstruieren. Das Analogon zu zusammenhängenden Intervallen in R ist im R n das
Gebiet.
Definition:
G ⊂ R n heißt Gebiet, falls G offen und zusammenhängend ist. (Man
beachte, G heißt offen, falls es zu jedem x ≤ G eine ε − Umgebung
U ε ( x) < G gibt.)
G wird als zusammenhängend bezeichnet, wenn es zu je zwei Punkten
x1 und x 2 aus G einen stkw. glatten Weg γ : [a, b] → G mit γ (a) = x1 und
γ (b) = x 2 .
Satz: Sei G ⊂ R n -Gebiet und V : G → R n ein stetiges Gradientenfeld mit Stammfunktion (v = ∆f ) .
Dann gilt für jeden stkw. glatten Weg γ mit Bild in G und Anfangspunkt γ (a ) und
Endpunkt γ (b)
∫ γ v ⋅ dx = f (γ (b)) − f (γ (a) )
b
Beweis:
b
•
b
d

(
)
(
)
v
dx
f
dx
f
(
t
)
(t )dt = ∫  f (γ (t ) ) dt = f (γ (t ) ) t =a
⋅
=
∇
=
∇
γ
γ
∫γ
∫γ
∫a
dt

a
Bei mehreren aneinander hängenden Kurvenstücken ist dies für jedes
Teilstück anzuwenden. Es gilt:
∫ γ v ⋅ dx = f (γ (b) ) − f (γ ( x k −1 ) ) + f (γ ( xk −1 ) ) − f (γ ( xk )) + ...
+ f (γ ( x1 ) ) − f (γ ( x a ) ) = f (γ (b) ) − f (γ (a) )
Beispiel:
 2 xy + z 3 


Das Feld E : R 3 → R 3 mit E ( x, y, z ) =  x 2 + 3 z  besitzt das Potential
 3z 2 x + 3 y 


2
3
U ( x, y, z ) = − x y + xz + 3zy . Es gelte v = ∇f , dann bezeichnet man
U = − f als Potential von V .
Es gilt für glatten Weg γ zw. x0 = (1,1,1) und x1 = (3,4,3)
(
)
∫ γ Edx = −∫ γ ∇Udx = −(U ( x ) − U ( x ) ) = −(− 471 − (−5)) = 466
1
0
Das Integral ist Weg unabhängig.
Welche Eigenschaften besitzen denn nun Kurvenintegrale, wenn der Integrand v ein
Potential besitzt?
(
)
Satz: Sei G ⊆ R n ein Gebiet und v ∈ C G, R n
Dann ist äquivalent:
i)
v ist ein Potentialfeld
ii)
Für alle glatten Wege in G hängt ∫ vdx nur von Anfangs- und
γ
iii)
Endpunkt ab. (Man bezeichnet das Integral als wegunabhängig)
Für alle geschlossenen und glatten Wege γ in G gilt
∫γ vdx = 0
Beweis:
Bis auf (iii ) → (i ) sind alle Folgerungen einfach zu zeigen
Zu x, x 0 ≤ G definieren wir f : G → R durch
x
f ( x) = ∫ vdx := ∫ vdx
γ
x0
mit beliebigen x, x0 verbinden regulären Kurven in G .
Zu zeigen ist nun ∇f = v .
f ( x + he1 ) − f ( x) =
x + he1
∫
x
h
vdx = ∫ v1 ( x + te1 )dt = v1 ( x + ξe1 ) ⋅ t1
0
(Mittelwertsatz der
integralrecnung)
Damit folgt
Ebenso
∂f
( x) = v1
∂x1
∂f
= vi
∂xi
i = 2,..., n
Wann existiert nun zu einem stetig diffbaren Vektorfeld v : G → R 3 ein Potential?
In der Umgebung eines Punktes erkennt man dies an der Symmetrie der JakobiMatrix.
 ∇v 
  1
 ∂vi
J v ( x) = 
( x )  =  ∇v 2 

 ∂x
j
  ∇v 

 3
Definition:
Ein Gebiet G ⊆ R n heißt einfach zusammenhängend, wenn jede
geschlossene, doppelpktfreie Kurve in G stetig auf einen Punkt in G
zusammengezogen werden kann, ohne dass G verlassen wird.
Beispiel:
i)
ii)
iii)
iv)
Jedes Gebiet G ⊆ R 2 “ohne Loch“ ist einfach zusammenhängend
R 2 \ {0} ist nicht einfach zusammenhängend
R 3 \ {0} ist einfach zusammenhängend
R 3 ohne endlich viele Punkte ist einfach zusammenhängend
Nicht einfach zusammenhängend
einfachzusammenhängend
Satz: 2. Hauptsatz der Kurvenintegrale
Es sei G ⊆ R n ein einfach zusammenhängendes Gebiet.
Ein Vektorfeld v ∈ C 1 G, R n ist genau dann ein Potentialfeld wenn
∂vi ∂v j
=
(i, j = 1,..., n ) erfüllt ist, d.h. J v ( x) = J v T ( x)
∂x j ∂xi
Diese Bedingung wird auch als Integrabilitätsbedingung bezeichnet.
(
Beweis:
)
Mit dem Satz von Schwarz folgt aus v = ∇f die Symmetrie der JacobiMatrix.
Gegeben sei nun von J v ( x) = J v ( x) T ∀x ∈ G .
Zu x ≤ G und zu jeder ε − Umgebung U ε ( x) < G können wir mit
1
f ( x) = ∫ v( x0 + t ( x − x0 ) )( x − x 0 )dt
G
0
explizit ein Potential zu v angegeben.
Uε
Hier für
1
1


T
∇f = ∫ ∇ v( x0 + t ( x − x0 ) )( x − x 0 )dt = ∫ t ⋅ J v (γ (t ) ) ⋅ ( x − x0 ) + v(γ (t ) ) dt


0
0
γ (t )


[
]
1
d
[t ⋅ v(γ (t ) )]dt = [t ⋅ v(γ (t ))]10 = v( x) − 0 = v( x)
dt
0
Für beliebiges x ∈ G wählt man als Integrationsweg γ einen Streckenzug.
Es bleibt zu zeigen, dass f (x) nicht vom gewählten Streckenzug
abhängt, was wir jedoch nicht beweisen werden.
=∫
Beispiel:
Die auf G = R 2 \ {0} definierte Funktion v( x, y ) =
1
x + y2
2
− y

 erfüllt auf
 x 
∂v1 ∂v 2
, es existiert jedoch kein Potential. Nach
=
∂x
∂x
obigem Satz müßte ∫ T vdx = 0 sein. Auf dem Kreis γ (t ) = (cos t , sin t )
ganz G die Bedingung
(0 ≤ t ≤ 2π ) ,
•
γ (t ) = (− sin t , cos t )
2π
2π
x  − sin t 
 −y
∫ T vdx = ∫0  − sin t , cos t  cos t  dt = ∫0 dt = 2π ≠ 0
•
γ (t )
Bemerkung: Im R 3 ist J v ( x) = J T ( x) gleichbedeutend mit
 ∂ 
 
 ∂x   v1 
 
∂
rotv = ∇ × v =   ×  v 2  = 0
∂y
 ∂   v3 
 
 ∂z 
Wie bestimmt man im praktischen Fall (n = 3) ein Potential zu einem gegebenen
Vektorfeld?
A) Methode mit Kurvenintegral
(
)
1.Schritt: Besitzt v ∈ G, R 3 ein Potential?
rotv ≠ 0 für ein x ∈ G ⇒ kein Potentialfeld ⇒ fertig!
2.Schritt: G einfach zusammenhängend und rotv = 0
Man wählt x0 ∈ G fest und zu jedem x ∈ G eine geeignete Kurve γ in G ,
die x0 mit x verbindet.
f : G → R , f ( x) := ∫ vdx eine Stammfunktion
γ
Bem.: Einfache Wege sind der Streckenzug von x0 nach x oder stkw. parallel zu den
Koordinatenachsen verlaufende Streckenzüge.
B) Ansatzmethode
Man löst die drei partiellen Dgl. ∇f = v , d.h.
∂f
∂f
∂f
= v1 ,
= v2 ,
= v3
∂x1
∂x 2
∂x3
1.Schritt: Ist G einfach zusammenhängend?
Wenn ja, kann mit rotv = 0 entscheiden werden, ob v ein Potential
≠
besitzt.
2.Schritt: (In der folgenden Vorgehensweise kann die Integrationsreihenfolge
nach x, y, z beliebig vertauscht werden)
f ( x, y, z ) = J v1 ( x, y, z )dz + c( y, z ) ⊗
wobei die Integrationskonstante von y und z abhängen darf
3.Schritt:
f y ( x, y , z ) =
!
∂
∂
v1 ( x, y, z )dx + c( y, z ) = v 2
∫
∂y
∂y
4.Schritt: Unbestimmte Integration nach y liefert mit
∂v
c g ( y, z ) = g ( y, z ) = v 2 − ∫ 1 dx
∂y
c( y, z ) = ∫ g ( y, z )dy + d ( z )
daher hängt die Integrationskonstante d von z ab.
Einsetzen in ⊗ liefert
f ( x, y, z ) = ∫ v1 ( x, y, z )dx + ∫ g ( y, z )dy + d ( z )
5.Schritt: Differentation nach z liefert
!
∂
∂
∂
f z ( x, y, z ) = ∫ v1 ( x, y, z )dx + ∫ g ( y, z )dy + d ( z ) = v3
∂z
∂z
∂z
∂
∂
d ´(z ) = v3 − ∫ v1 ( x, y, z )dx − ∫ g ( y, z )dy
∂z
∂z
6.Schritt: Unbestimmte Integration nach z liefert
h( z ) := d ´(z ) und d ( z ) = ∫ h( z )dz
und somit
f ( x, y, z ) = ∫ v1 ( x, y, z )dx + ∫ g ( y, z )dy + ∫ h( z )dz
g ( y, z ) = v 2 −
∂
∂
v1 dx , h( z ) = v3 −
∫
∂z
∂y
(∫ v dx + ∫ gdy )
1
Einfache Form des Kochrezepts zu Methode B)
Gesucht:
 v1 
 
f mit ∇f =  v 2 
v 
 3
(
)
1)
Prüfe J v ( x) = J v ( x) T
x ∈ G ⊂ R3
Wenn ja, fahre fort mit 2, ansonsten fertig!
2)
Bestimme a ( x, y, z ) = ∫ v1dx
3)
4)
5)
6)
∂a ( x, y, z )
∂y
Falls b y von x abhängt → Rechenfehler!
Bestimme b y ( x, y, z ) := v 2 ( x, y, z ) −
Bestimme b( y, z ) = ∫ b y dy
∂a ( x, y, z ) ∂b( y, z )
−
∂z
∂z
Falls c z von x oder y abhängt → Rechenfehler!
Bestimme c z ( z ) := v3 ( x, y, z ) −
Bestimme c( z ) = ∫ c z dz
f ( x, y , z ) = a ( x , y , z ) + b ( y , z ) + c ( z )
 y 2 cos x 


Bsp.: G = R 3 , v( x, y, z ) =  2 y sin x + e 2 z 


2 ye 2 z


1.Schritt:
 − y 2 sin x 2 y cos x
0 


J v ( x) =  2 y cos x
2 sin x
2e 2 z  (Diagonalelemnte

0
2e 2 z
4 ye 2 z 

2.Schritt:
müssen nicht berechnet werden)
a ( x, y, z ) = ∫ y 2 cos xdx = y 2 sin x
3.Schritt:
b y ( y, z ) = 2 y sin x + e 2 z − 2 y sin x = e 2 z
4.Schritt:
b( y, z ) = ∫ e 2 z dy = ye 2 z
5.Schritt:
c z ( z ) = 2 ye 2 z − 0 − 2 ye 2 z = 0
6.Schritt:
c( z ) = ∫ c z dz = c
f ( x, y, z ) = y 2 sin x + ye 2 z + c ,
 y 2 cos x 


∇f ( x, y, z ) =  2 y sin x + e 2 z 


2 ye 2 z


 3x 


Bsp.: y =  3 y sin x 
 0 


0 0
 3

J v ( x) = 
 3 yc0sx .... ...
Hier testen wir nicht die Symmetrie von J v ( x) !
3
a ( x, y, z ) = ∫ 3 xdx = x 2
2)
2
3)
b y ( y, z ) = 3 y sin x − 0
b y ( y, z ) hängt von x ab!
Fertig! Es existiert
Kein Potential zu v !
Integration in ebenen Bereichen
Welche Bereiche kann man einen Flächeninhalt zuordnen?
M ⊂ R 2 beliebige beschränkte
Punktmenge
2 −k
k∈N
Sei k ∈ N . Durch das Gitter achsenparalleler Koordinatenlinien x = n ⋅ 2 − k wird die
( x. y ) − Ebene in Quadranten mit dem Flächeninhalt 2 −2k zerlegt.
s k ( M ) := Flächeninhalte aller Quadrate, die ganz (einschließlich des Randes)in M
liegen
S k ( M ) := Flächeninhalt aller Quadrat, die mindestens einen Punkt in M haben
Folglich gilt: s k ( M ) ≤ S k ( M ) , s k ( M ) ≤ s k +1 ( M ) , S k +1 ( M ) ≤ S k ( M )
S1 ≤ c :
s1 ( M ) ≤ S1 ( M ) , s k ( M ) ≤ s k +1 ( M ) ⇒ monoton wachsend
s k ( M ) ≤ S k ( M ) ≤ S 0 ( M ) ⇒ (S k )k∈N beschränkt
Folglich existieren die Grenzwerte
Fi ( M ) = lim s k ( M )
k →∞
Fa ( M ) = lim S k ( M )
k →∞
Definition:
Ein beschränkter Bereich heißt Riemann-messbar, falls Fi ( M ) = Fa ( M ) .
In diesem Fall ist F ( M ) = Fi ( M )(= Fa ( M ) ) der Flächeninhalt von M .
{
Bemerkung: M = ( x, y ) ( x, y ) ∈ [0,1] , x, x ∈ Q
2
}
Es gilt Fa ( M ) = 1 , Fi ( M ) = 0
⇒ nicht Riemann-messbar
∧
Ein beschränktes Gebiet (Gebiet = offen, zusammenhängend) G ⊆ R 2 mit
stückweise glattem Rand besitzt einen Flächeninhalt
F = lim s k (G ) = lim S k (G )
Satz:
k →0
k →0
Ein Bereich aus R 2 heißt regulär, wenn
i)
der Rand ∂B stkw. glatt ist
ii)
das Innere B ∂B ein nicht leeres, beschränktes Gebiet in R 2 ist
B abgeschlossen ist.
iii)
Definition:
(x , y )∈ B
i
i
i
Netz regulärer Bögen zerlegt B in n Teilbereiche Bi
δ ( Bi ) = inf {Bi ⊂ U r ( x), x ∈ Bi }
r∈R
δ ( Bi ) Durchmesser von Bi , Flächeninhalt von Bi ist ∆Fli
Wir definieren die Riemann-Summe
n
(
)
S n = ∑ f xi , y i ∆Fi
i =1
2
(( x , y ) ∈ B ,1 ≤ i ≤ n)
i
i
i
Es sei B ⊂ R regulärer Bereich und f : B → R beschränkt. Dann konvergieren bei
ständiger Verfeinerung unabhängig von den einzelnen Zerlegungsfolgen und den
gewählten ( xi , yi ) ∈ Bi die Riemann-Summe gegen einen festen Grenzwert. Die
Verfeinerung erfülle
δ max := max{δ ( Bi );1 ≤ i ≤ n} → 0
(n → ∞ )
Der gemeinsame Grenzwert wird mit ∫
B
fdF bezeichnet und heißt (Gebiets-) Integral
von f über B und dF das Flächenelement.
∫
B
fdF = lim
n (δ max )
δ max → 0
∑ f (x , y )∆F
i
i
i
i =1
Satz: Für das Gebietsintegral gelten( f .g : B → R beschränkt)
∫ (αf + βg )dF = α ∫
B
ii)
f ( x, y ) ≤ g ( x, y )
iii)
∫
B2
i)
B
B
fdF = ∫
B1
(α , β ∈ R )
fd F + β ∫ B gdF
(( x, y) ∈ B ) ⇒ ∫ B fdF ≤ ∫ B gdF
fdF + ∫
fdF , falls B durch eine glatte Kurve in zwei
Teilbereiche B1 und B2 zerlegt wird.
Sei B zusammenhängend und abgeschlossen. Dann gibt es zu
jeder stetigen Funktion f : B → R einen Punkt x, y ∈ B mit
Mittelwertsatz:
∫
B
( )∫
fdF = f x, y
( )
B
dF
Berechnung des Flächenintegrals
Unter einem Normalbereich bzgl. der x − Achse versteht man eine Menge B ⊂ R 2 der
Form B = {( x, y ); a ≤ x ≤ b, ϕ1 ( x) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x)} , wobei ϕ 1 , ϕ 2 stetig Funktionen auf [a, b] sind
mit ϕ 1 ( x) ≤ ϕ 2 ( x) ( x ∈ [a, b])
y
y
d
⊗⊗
ϕ2
ψ1
⊗
ψ2
c
B
x
a
C
x
b
Normalbereich bzgl. x − Achse
Normalbereich bzgl. y − Achse
Satz: Ist f stetig auf dem Normalbereich B ⊂ R 2 bzgl. der x − Achse in ⊗ , so haben
wir
b  ϕ2 ( x)

 f ( x, y )dx 
f
(
x
,
y
)
dF
=
B
∫
∫a  ϕ ∫( x )

 1

Analog gilt für ⊗ ⊗
 ϕ2 ( x)

f ( x, y )dF = ∫  ∫ f ( x, y )dx 


a  ϕ1 ( x )

b
∫
B
Beweis:
∆x
∆y
a
b
Mit B1, k ,..., Bnk ,k berechnen wir die Rechtecke in der k − ten Spalte mit Breite ∆x . Mit
(x
∗
k
∗
)
, k i k ∈ B ik
bilden wir


 m

∗
∗

⊗ ∑ f x k , k i k ∆y ∆x
 k =1

 


(
)
ϕ 2 ( xk∗ )
die von
∆y →0
∫ f (x , y )dy
∗
k
ϕ1 ( xk∗ )
n
(
)
S M := ∑ f xi∗ , y i∗ ∆Fi (siehe oben)
i =1
nur die Anteile in den Randstreifen unterscheidet. Für (∆x) 2 + (∆y ) 2 → 0 strebt dieser
Unterschied gegen 0 .
Die innere Summe strebt für ∆y → 0 gegen
ϕ 2 ( xk∗ )
∫ f (x , y )dy
∗
k
ϕ1 ( xk∗ )
Beim Grenzübergang (∆x) 2 + (∆y ) 2 → 0 strebt als Doppelsumme gegen
 ϕ2 (x)
∫a  ϕ ∫( x )f ( x , y ) dy
 1
b

 dx


B
a
b
Bemerkung: Der Normalbereich B sei durch mehrere achsenparallele Linien in
mehrere Normalbereiche B1 ,..., Bn zerlegt. Dann gilt mit der Additivität
des Integrals und obigem Satz
∫ B fdF = ∫ B1 fdF + ... + ∫ B2 fdF
x1 ϕ 2 ( x )
=
xn ϕ 2 ( x )
∫ ∫ f ( x, y )dydx + ... + ∫ ϕ ∫ f ( x, y )dydx
x0 ϕ1 ( x )
xn −1
1( x)
Bemerkung: Zerlegung von B in Normalbereiche ist nicht eindeutig
Ist B sowohl ein Normalbereich bzgl. der x − Achse als auch der
y − Achse,
{
B = ( x, y ) ∈ R 2 : a ≤ x ≤ b, ϕ 1 ( x ) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x )
= {( x, y ) ∈ R 2 : c ≤ y ≤ d , ϕ1 ( y ) ≤ x ≤ ϕ 2 ( y )}
Bsp.:
d  ϕ2 ( x)
 ϕ2 ( x)




Dann gilt ∫ B f ( x, y )dF = ∫ ∫ f ( x, y )dy dx = ∫  ∫ f ( x, y )dx dy




a  ϕ1 ( x )
c  ϕ1 ( x )


Für Rechtecke
R := ( x, y ) ∈ R 2 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d
gilt nun
b
{
∫
R
}
b d
d b
a c
c a
fdF = ∫ ∫ f ( x, y )dydx = ∫ ∫ f ( x, y )dxdy
Satz von Fubini :
Ist f auf R integrierbar und existiert
b
g ( y ) = ∫ f ( x, y )dx
( y ∈ [a, b])
a
So ist g auf [c, d ] integrierbar, und es gilt
∫
R
d b


f ( x, y )dF = ∫  ∫ f ( x, y )dx dy
ca

}
Satz über die Vertauschung der Integrationsreihenfolge
b
Ist die Funktion f auf R = [a, b] × [c, d ] integrierbar und existieren ∫ f ( x, y )dx
a
d
( x ∈ [a, b]) so gilt
und ∫ f ( x, y )dy
c
∫
R
b d
d b
a c
c a
fdF = ∫ ∫ f ( x, y )dydx = ∫ ∫ f ( x, y )dxdy
Bemerkung: Die Voraussetzung des Satz sind erfüllt, falls f stetig ist.
Bsp.:
B
1
ϕ 1 ( x) = 0
ϕ 2 ( x) = 0
1 
 = ∫
2 
↓ y = x Gerade
1 x
B
1
x2
fdF = ∫ ∫ 1dy dx = ∫ xdx =
2
0 ,
0
0
1
=
0
1
2
x
∫
∫
 xy 2
yxdF
=
xydydx
=
B
∫0 ∫0
∫0  2

1 y
1
1 1
B 1dF = ∫ ∫ 1dxdy
0 y
,
1

1
x3
dx = ∫ dx =
2
8
0
o

ψ 1 ( y) = y ψ 2 ( y) = 1
x
ψ 1 ( y) = 0
ψ 2 ( y) = 1 − y
1− y
∫
B1
B2
B3
B
fdF = ∫
B1
fdF = ∫
B2
fdF = ∫
B3
fdF
( y ∈ [c, d ])
Satz von Green
(Gaußscher Integralsatz in der Ebene)
Sei B ⊆ R 2 ein regulärer Bereich, dessen Rand ∂B aus endlich vielen,
geschlossenen, stückweise glatten Bogen γ 1 ,..., γ n . Die Bögen seien so
parametrisiert, daß B stets links zur Durchlaufrichtung lliegt.
∫ vd x = γ∫ vd x + ... + γ∫ vd x
∂B
1
n
Satz von Green
(1793-1841)
Es sei D ⊂ R 2 offen, B ⊂ D und ∂B wie oben beschrieben.
Dann gilt für jedes v ∈ C 1 D, R 2
∂v 2 ∂v1
∫ B ∂x − ∂y dF = ∂∫Bvd x
(
)
Bew.: Betrachten wir zuerst den Spezialfall v 2 ( x, y ) = 0 und B ist ein Normalbereich
bzgl. der x − Achse.
Der Rand besteht aus
 t 

a≤t ≤b
γ 1 (t ) = 
γ3
ϕ 2 (t )
 ϕ1 (t ) 
γ4
b
γ 2 (t) =  
ϕ 1 (b) ≤ t ≤ ϕ 2 (b)
t
γ2
 t 
γ1

a≤t ≤b
γ 3 (t ) = 
 ϕ 2 (t ) 
 a
γ (t) =  
ϕ 1 (a ) ≤ t ≤ ϕ 2 ( a )
a
ϕ 1 (t )
b
t
wobei γ 3 , γ 4 entgegengesetzt durchlaufen werden
Mit v 2 = 0 gilt
∫ vd x = γ∫ v d x + γ∫ v d x − γ∫ v d x − γ∫ v d x
1
∂B
1
1
1
2
3
b
1
4
b
= ∫ v1 (t , ϕ1 (t ) )dt + 0 − ∫ v1 (t , ϕ 2 (t ) )dt − 0
a
a
b
b
a
a
= ∫ v1 (t , ϕ1 (t ) )dt − ∫ v1 (t , ϕ 2 (t ) )dt
b  ϕ2 ( x)
∂v1 
∂v
= −∫  ∫
dy dx = ∫ 1 dF

∂y 
∂y
a  ϕ1 ( x )
B
Eine analoge Betrachtung liefert für einen Normalbereich bzgl. der y − Achse
mit v0
∂v 2
dF
x
∂
B
Man beachte nun, daß sich jeder Normalbereich bzgl. der x − Achse in
Normalbereiche bzgl. der y − Achse zerlegen läßt und umgekehrt
∫
∂B
vd x = ∫
Da die Kurvenintegrale über die Hilfslinien umgekehrtes Vorzeichen haben,
heben sich diese auf.
Durch Addition der beiden Spezialfälle ergibt sich die Behauptung des Satzes.
Bemerkung: Mit v1 = 0, v 2 = x bzw. v1 = − y, v 2 = 0 ergibt sich der Spezialfall
1
∫B dF = ∂∫B xdy = ∂∫B − ydx = 2 ∂∫B xdy − ydx
Satz von Green:
Es sei u ∈ C 2 ( D, R)
Dann gilt ∫ ∆udF =
B
∂u
∫ ∂n ds
∂B
∂u
= ∇u ⋅ n
∂n
n
n =1
Beweis:
Wir setzen v1 = −
∂u
∂u
und v 2 =
. Dies liefert
∂x
∂y
∂v 2 ∂v1 ∂ 2 u ∂ 2 u
−
=
+
=: ∆u
∂x ∂y ∂x 2 ∂y 2
Mit dem Green´schen Satz erhalten wir nun
 ∂u  •
 

∂u
∂u
 ∂x  y•( s )  ds =
∆
=
−
+
=
udF
dx
dy
∫B
∫ ∂y
∫  ∂u 

∂x
∂B
∂B
− x( s) 
 ∂y 


gradu
=n
stets nach außen
weisende Normalvektor
= ∫ ∇u ⋅ n ⋅ ds =
∂B
∂u
∫ ∂n ds
∂B
Bemerkung: Sei u ∈ C 2 ( D, R) .
Gilt ∆u ( x, y ) = 0 ∀ ( x, y ) ∈ D ,
∂u
dann folgt ∫ ds = 0
∂n
∂B
Beispiel:
Bestimme ∫ ∂ ln( x 2 + y 2 ) / ∂n ds
x
∂B
B
 2x
2y 
=
,
Es gilt ∆ ln( x 2 + y 2 ) = div 2
2
2
2 
x
y
x
y
+
+




 (x 2 + y 2 ) − 2x 2 (x 2 + y 2 ) − 2 y 2 
 = 0 für ( x, y ) ≠ 0
= 2
+
(x2 + y 2 )2
(x2 + y 2 )2 
 

2. Abl .
2. Abl .


Liegt x ∈ D . Dann gilt
∂ ln( x 2 + y 2 )
ds = 0
∫∂B ∂n
Sei x ∈ D
∂ ln( x 2 + y 2 )
∂ ln( x 2 + y 2 )
∂ ln( x 2 + y 2 )
ds
ds
ds
+
=
−
∫∂B ∂n
∫γ
∫
n
∂n
∂
∂B ∪γ
=0
 cos(t ) 
 t ∈ [0,2π ]
γ (t ) = ε 
 − sin(t ) 
∂ ln( x 2 + y 2 ) 2
für ( x, y ) = γ (t ) gilt
=
∂n
ε
Damit folgt
2π
∂ ln( x 2 + y 2 )
2
ds
=
∫∂B ∂n
∫0 ∈dt = −4π

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