Übungsblatt 01 - Helmut-Schmidt

Quantitatives Risikomanagement • Übungsblatt 1
Helmut-Schmidt-Universität
Universität der Bundeswehr Hamburg
Lehrstuhl für Angewandte Stochastik und
Risikomanagement
Wintertrimester 2016
Aufgaben zur Vorlesung
Quantitatives Risikomanagement
— Übungsblatt 1 —
Aufgabe 1: Eine Investition zeichnet sich durch eine Renditeverteilung aus, bei
welcher den Renditen in Höhe von 0.40, 0.30, 0.15, -0.05 und -0.15 jeweils die
Wahrscheinlichkeiten 0.10, 0.20, 0.35, 0.25 und 0.10 zugeordnet sind. Wie hoch ist
die erwartete Rendite und die Standardabweichung der Rendite dieser Investition?
Aufgabe 2: Angenommen es gibt eine zweite Investition, deren Rendite die gleiche
Wahrscheinlichkeitsverteilung wie in Aufgabe 1 hat. Der Korrelationskoeffizient
beider Renditen betrage 0.15. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der Rendite eines Portfolios, bei dem das eingesetzte Kapital
gleichmäßig auf beide Investitionen verteilt wird.
Aufgabe 3: Gegeben seien die folgenden Tagesrenditen von Allianz und BASF:
Tag
Allianz (A)
BASF (B)
1
2
3
4
5
6
7
8
0.030
0.025
0.020
0.005
-0.010
-0.015
0.015
0.000
-0.020
-0.010
-0.005
0.010
0.015
0.010
0.015
0.020
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Quantitatives Risikomanagement • Übungsblatt 1
(a) Schätzen Sie die Erwartungswerte (µ A , µ B ), die Standardabweichungen
(σA , σB ) und den Korrelationskoeffizienten (ρ AB ) der Renditen. Verwenden
Sie zu diesem Zweck die folgenden Schätzer:
1 n
µ̂ X = ∑ Xi ,
n i =1
σ̂X2
2
1 n
= ∑ Xi − µ̂ X ,
n i =1
σ̂XY
1 n
= ∑ Xi − µ̂ X Yi − µ̂Y .
n i =1
(b) Schätzen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der Rendite
eines Portfolios, welches zu 40 % aus Allianz-Aktien und zu 60 % aus BASFAktien besteht.
(c) Sie haben nun die Möglichkeit, ein weiteres Wertpapier C (Chevron) mit
einer erwarteten Rendite von µC = 0.003 und einer Standardabweichung
von σC = 0.018 dem Portfolio beizumischen. Die Korrelationskoeffizienten
betragen ρ AC = −0.9 bzw. ρ BC = 0.9.
(i) Berechnen Sie für ein Portfolio mit den Portfoliogewichten
w A = 0.5 ,
w B = 0.3
und
wC = 0.2
den Erwartungswert und die Standardabweichung der Portfoliorendite.
(ii) Weshalb macht es Sinn, Wertpapier C in das Portfolio aufzunehmen,
obwohl es von A und B hinsichtlich der erwarteten Rendite und der
Standardabweichung dominiert wird.
(d) Zeichnen Sie alle Wertpapiere und Portfolios in ein µ-σ-Koordinatensystem
ein.
Aufgabe 4: Definieren Sie die Begriffe systematisches und unsystematisches Risiko.
Welches Risiko ist für einen Investor einzig relevant?
Aufgabe 5: Weshalb sollten alle Investoren das gleiche Aktienportfolio wählen?
Auf welchen Annahmen basiert Ihre Argumentation?
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Quantitatives Risikomanagement • Übungsblatt 1
Aufgabe 6: Der risikolose Zinssatz betrage r = 0.05. Gegeben seien drei Portfolios
P1 , P2 und P3 mit den folgenden Parametern:
1. µ1 = 0.06, σ1 = 0.10,
2. µ2 = 0.07, σ2 = 0.12,
3. µ3 = 0.09, σ3 = 0.20.
Bei einem Portfolio handelt es sich um das Marktportfolio. Von welchem Portfolio
ist hier die Rede?
Aufgabe 7: Die erwartete Rendite des Marktportfolios betrage µ M = 0.12 und der
risikolose Zinssatz sei r = 0.06. Welche erwartete Rendite besitzt eine Investition
mit einem Beta von (a) β A = 0.2, (b) β B = 0.5 und (c) β C = 1.4?
Aufgabe 8: Gegeben sei ein CAPM-Gleichgewicht mit einem risikolosen Zinssatz
von r = 0.06. Die erwartete Rendite des Marktportfolios betrage µ M = 0.08 und
2 = 0.04. Ein Wertpapier habe eine erwartete Rendite von 0.10.
die Varianz sei σM
(a) Welches Beta hat dieses Wertpapier?
(b) Welche Kovarianz mit dem Marktportfolio hat dieses Wertpapier?
Aufgabe 9: „Die Arbitrage Pricing Theory ist eine Erweiterung des Capital Asset
Pricing Model.“ Erläutern Sie diese Aussage.
Aufgabe 10: Gegeben sei ein Kapitalmarkt mit einem risikolosen Zinssatz von
r = 0.04. Sie betrachten zwei Risikofaktoren F1 und F2 mit den Marktpreisen
λ1 = 0.12 bzw. λ2 = 0.14. Auf dem Kapitalmarkt herrsche Arbitragefreiheit.
(a) Wie lautet die APT-Gleichung in diesem Kapitalmarkt?
(b) Berechnen Sie die erwarteten Renditen der Aktien A und B mit den Betas β A1 = 1.5 und β A2 = 0.8 bzw. β B1 = 0.6 und β B2 = 1.1.
(c) Gegeben sei eine Aktie C mit der Rendite RC . Sie wenden eine multiple
lineare Regression an und erhalten die Gleichung
RC = 0.1 + 1.2 F1 − 0.3 F2 + ε C .
Berechnen Sie die erwartete Rendite der Aktie C.
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Quantitatives Risikomanagement • Übungsblatt 1
Aufgabe 11: Der risikolose Zinssatz betrage r = 0.07 und gegeben seien die
folgenden drei Risikofaktoren mitsamt ihren Marktpreisen:
Risikofaktor
Marktpreis
BIP
Energiepreise
langfristiger Zinssatz
λ1 = 0.05
λ2 = −0.01
λ3 = 0.02
(a) Berechnen Sie die erwartete Rendite einer Aktie, deren Rendite mit allen drei
Risikofaktoren unkorreliert ist.
(b) Berechnen Sie die erwartete Rendite einer Aktie aus dem Energiesektor mit
β 2 = 2 . Nehmen Sie dabei an, dass die Rendite der betreffenden Aktie
unabhängig vom BIP und vom langfristigen Zinssatz ist.
(c) Berechnen Sie die erwartete Rendite einer Aktie mit einem Beta von 1 in
Bezug auf alle drei Risikofaktoren.
Aufgabe 12: Das operationelle Risiko einer Bank bezieht sich auf die Gefahr
von Verlusten durch betrügerische Mitarbeiter, Naturkatastrophen, Rechtsstreitigkeiten, etc. Wird das operationelle Risiko Ihrer Meinung nach besser durch
Risikoaggregation oder durch Risikoseparation bewältigt?
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