potenzen und wurzeln

1
Potenzen und Wurzeln
POTENZEN UND WURZELN
1. Wurzeln als Potenzen mit rationalen Zahlen als
Exponenten
Definition:
2
Gegeben ist die Zahl 3. Das Quadrat von 3 ist 9: 3 = 9. Ist nun umgekehrt
die Zahl 9 gegeben und es ist jene nichtnegative Zahl zu ermitteln, deren
Quadrat 9 ist, so schreibt man: 9 = 3 (gesprochen: Quadratwurzel aus 9
ist gleich 3).
Unter der n-ten Wurzel aus einer
nichtnegativen Zahl a (n ∈N*)
versteht man jene nichtnegative
Zahl b, deren n-te Potenz a ist.
Analog gilt: 23 = 8, wobei 2 die dritte Wurzel (Kubikwurzel) aus 8 ist:
3 8 = 2 (gesprochen: Dritte Wurzel aus 8 ist gleich 2).
Man schreibt: n a = b (gesprochen:
n-te Wurzel aus a ist gleich b).
Weitere Beispiele:
a heißt Radikand.
16 = 4, weil 4 2 = 16
4 256
Bezeichnungen:
3 27
= 3, weil 3 3 = 27
5 32
= 2, weil 2 5 = 32
= 4, weil 4 4 = 256
Wurzelexponent
→
n m ← Potenzexponent
a
n heißt Wurzelexponent.
b heißt Wurzel (Wurzelwert).
Die Rechenoperation wird Wurzelziehen oder Radizieren genannt.
Das Wurzelziehen kann als eine Umkehrung des Potenzierens aufgefasst
werden. Besteht ein Zusammenhang
zwischen Potenz- und Wurzelexponent?
Wir berechnen mit dem Taschenrechner:
4
5 4
2,40822 = 3 0,8 = 3 5
5 4
4
3 = 35
∨
∨
3 = 5 81 = 2,40822
1
5 5
2 = 5 32 = 2
5
5 5
5
2 = 25
∨
∨
2 = 2 = 25
∨
5 = 3 15625 = 25
3 6
6
5 = 53
25 = 5 2 = 5 3
Definition:
∨
6
3 6
Für alle a ∈R+, m ∈Z, n ∈N* gilt:
n
3
2
7
12
1
2
Potenzen mit rationalen Exponenten (z. B.: a , b , 4 usw.) haben nun
durch die nebenstehende Definition erst einen Sinn bekommen:
3
a2 = a 3 ,
7
Sonderfall:
m
am = a n
n
1
a = an
1
b12 = 12 b 7 , 4 2 = 2 usw.
Um umständliche Schreibweisen zu vermeiden, wollen wir verabreden,
dass
(1) allfällige Nenner als von 0 verschieden,
(2) alle auftretenden Radikanden als nicht negativ,
(3) die Zähler der Exponenten als Elemente aus Z,
(4) die Nenner der Exponenten als Elemente aus N*
zu betrachten sind.
Wurzelexponent
Radikand = Wurzel
2
Potenzen und Wurzeln
m
n
Die von uns gewählte Definition a m = a n ist deshalb sinnvoll, weil die
Rechengesetze für Potenzen mit ganzen Zahlen als Exponenten auch für
Potenzen mit rationalen Zahlen als Exponenten gültig sind.
Es kann sogar gezeigt werden, dass diese Rechengesetze für beliebige
reelle Zahlen als Exponenten gelten.
Aus diesem Grund sind für das Rechnen mit Wurzeln (Jede Wurzel lässt
sich ja als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben.) keine neuen
Rechengesetze notwendig. Es gilt:
Rechnen mit Wurzeln
1 Beim Addieren und Subtra-
1
hieren lassen sich nur
gleichartige1) Wurzeln
zusammen fassen.
m
2
von Wurzeln mit gleichen Radikanden und verschiedenen
Wurzelexponenten lässt sich
durch geeignetes Erweitern als
eine einzige Wurzel anschreiben.
m
3−2 3+5 3 = 4 3
z. B.:
2 Das Produkt bzw. der Quotient
m
p n a m + q n a m = (p + q) n a m , weil pa n + qa n = (p + q) a n
n
a
a =
nm
3
5
m
z. B.:
1
a⋅ a=
15
a
m
a
=
nm
a
m−n
m+n
nm
a8
1
n
1
a m + n , weil a n a m = a
, weil
an
1
am
1
= an
−
1
m
=a
m−n
nm
5
z. B.: 9 a = 45 a 4
a
3 Man zieht die Wurzel aus
einem Produkt, indem man sie
aus den einzelnen Faktoren
zieht.
3
n ab
1
1
z. B.: 80 = 16 5 = 4 5 , 3 12 = 36 = 6
4 Man zieht die Wurzel aus
einem Quotienten, indem man
sie getrennt aus Zähler und
Nenner zieht.
1
= n a n b , weil (ab) n = a n b n
4
()
n
a
= n a , weil b
n a
b
b
z. B.:
9
16
9
16
=
1
n
1
n
= a1
bn
3
= 43 , 3 81 = 3 81
= 3 27 = 3
3
3
5 Man zieht die Wurzel aus einer
Wurzel, indem man die
Wurzelexponenten multipliziert
und das Produkt als neuen
Wurzelexponenten benutzt.
5
n m
a =
m n
a =
z. B.: 3 8 =
mn
38
1 1
1 1
1
a , weil (a m) n = (a n ) m = a mn
= 2 , 7 5 a 2 = 35 a2
6 Wurzel- und Potenzexponent
dürfen mit der gleichen Zahl
multipliziert bzw. durch die
gleiche Zahl (≠ 0) dividiert
werden.
6
mr nr
a
=
m n
a
nr
n
, weil amr = am
z. B.: 201024 = 20 210 = 2 , 15 a3 = 5 a
1
) Wurzeln mit gleichen Radikanden und gleichen Wurzelexponenten heißen
gleichartige Wurzeln.
3
Potenzen und Wurzeln
Beispiel:
Es ist zu vereinfachen:
a) n − 3
1
( 5x + 3y ) 3 − n
24 + 216 − 54
b)
c)
a 2 − b2
a+b
d) 3 x 3 − 3x 2 + 3x − 1
e)
1 3
500
5
f)
g) 3 5 x
26 3 7 5
x
3
h)
x
x
3
( x −2 − y −2 ) 2 ⎛ x −2 + y −2 ⎞
⎝
⎠
2
3
⎛ xy ⎞
⎜4 4 4⎟
⎝ y −x ⎠
8
Lösung:
a) n − 3
1
( 5x + 3y ) 3 − n
=
n−3
n−3
( 5x + 3y )n − 3 = (5x + 3y) n − 3 = 5x + 3y
Teilweises Wurzelziehen
n n
a b = an b
24 + 216 − 54 = 4 ⋅ 6 + 36 ⋅ 6 − 9 ⋅ 6 =
b)
= 2 6 +6 6 −3 6 = 5 6
Die Umformung 24 = 4 ⋅ 6 = 2 6 wird als „teilweises“ Wurzelziehen bezeichnet.
a 2 − b2
a+b
c)
d)
x − 3x 2 + 3x − 1 = 3 ( x − 1) 3 = x − 1
1 3
500
5
26 3 7 5
x
x
3 500
125
=
=x
3
=3 4 = 2
1
(3 + 75) 26
=x
26
7
⋅
1
26
1
= x7 = 7x
n
g)
h)
= a , weil a1 = a
3 3
e)
f)
1 a1
2
2
= aa +− bb = (a +(ab)+(ab)− b) = a − b
3 x
5
x
3
=x
( 21 − 51 ) 31
=x
3
10
⋅
1
3
=x
1
10
=
10
2
2
⎛
⎞
= 3 ⎛⎝ 12 − 12 ⎞⎠ ⎛⎝ 12 + 12 ⎞⎠ ⎜ xy ⎟
x
y
x
y
⎝ 4 y4 − x4 ⎠
8
=
8
=
2
2
3 ⎛ 1
x 8y 8
x 8y 8
1⎞
= 3 ⎡⎛⎝ 12 − 12 ⎞⎠ ⎛⎝ 12 + 12 ⎞⎠ ⎤
8 =
⎝ x 4 − y 4 ⎠ (y 4 − x 4 )2 =
y
x
y ⎦⎥ ⎛ 4 4
⎣⎢ x
4⎞
y −x
⎝
2
x 8y 8
( y 4 − x 4 )2
=3
(n ∈N*), weil 0 n = 0
x
2
3
⎛
⎞
( x −2 − y −2 )2 ⎛ x −2 + y −2 ⎞ 3 ⎜ 4 xy ⎟
⎝
⎠
⎝ y 4 −x 4 ⎠
4
4
= 3 ⎛⎝ y 4− x4 ⎞⎠
x y
0 =0
( y 4 − x 4 )2
x 8y 8
⎠
⋅
x 8y 8
( y 4 − x 4 )2
= 31 = 1
n
n
1 = 1 , weil 1 = 1
4
Potenzen und Wurzeln
Beispiel:
Die Nenner der folgenden Brüche sind wurzelfrei zu machen:
b) 4x
a) 1
2
c)
x
1
a− b
Lösung:
Wurzelfreimachen des Nenners
a) 1 =
2
2
2 2
1
a− b
c)
=
(
4 3
4 3
4
b) 4x = 4 x 4x = x xx = x 3
x x3
x
= 22
a+ b
a − b) ( a + b
)
=
a+ b
a−b
Wenn der Nenner ein Binom ist, wird unter Beachtung der Formel
(a + b) (a − b) = a2 − b2 erweitert.
Bemerkung: Alle auftretenden Variablen sind der Zahlenmenge Q+ zu entnehmen.
2. Potenz- und Wurzelfunktionen
2.1 Potenzfunktionen
Beispiele für Potenzfunktionen: x a x3, x a 3x2, x a x−7usw.
Definition:
Potenzfunktionen sind Funktionen,
die durch eine Funktionsgleichung
y = a x n (a ∈R \ {0}, n ∈Z \ {0}) dargestellt werden können.
Für n > 0 gilt: x ∈R
Für n < 0 gilt: x ∈R \ {0}
Gerade, natürliche Exponenten
Die nebenstehenden Kurven nennt
man Parabeln. Der höchste bzw.
tiefste Punkt einer Parabel heißt
Scheitelpunkt. Im Beispiel haben
alle Parabeln den Scheitel im Punkt
P(0, 0).
Der Graph der Funktion f: x a ax
(a ∈R \ {0}, x ∈R, n ∈Ng \ {0}) liegt
symmetrisch zur y-Achse.
Es gilt: f (x) = f (−x)
Definition:
Eine Funktion f: x a f (x), x ∈D,
D ⊆ R heißt gerade, wenn für alle
x ∈D mit − x ∈D gilt: f (x) = f (−x)
n
Beispiel:
Die Graphen der Funktionen (1) f1: x a x2 (2) f2: x a 2x2
(3) f3 : x a 21 x 2 (4) f4: x a − x2 sind in einem gemeinsamen Koordinatensystem zu zeichnen!
Lösung:
Wertetabelle:
x
f1(x)
f2(x)
f3(x)
0
0
0
0
f4(x)
0
± 0,5
0,25
0,5
0,13
− 0,25
±1
1
2
0,5
−1
±1,5
2,3
4,5
1,1
− 2,3
±2
4
8
2
−4
±3
9
18
4,5
−9
Welche Eigenschaften haben die Funktionen f1, f2 und f3 des obigen Beispiels?
5
Potenzen und Wurzeln
Zunächst einmal gehen alle Funktionsgraphen durch den Punkt P (0, 0).
Die Wertemenge ist in jedem Fall R+
0. Außerdem liegen die Graphen spiegelbildlich zur y-Achse. Es handelt sich um gerade Funktionen (vgl. Definition auf der vorigen Seite). Letzteres gilt auch für die Funktion f4: x a − x2.
Den Graphen von f4: x a − x2 erhält man durch Spiegelung des Graphen
von f1: x a x2 an der x-Achse.
Ungerade, natürliche Exponenten
Beispiel:
3
5
3
Die Graphen der Funktionen (1) f1: x a x (2) f2: x a x (3) f3: x a 2x
(4) f4: x a − x3 sind in einem gemeinsamen Koordinatensystem zu
zeichnen!
Lösung:
Wertetabelle:
Die nebenstehenden Kurven heißen
gleichfalls Parabeln.
Der Graph der Funktion f: x a axn
(a ∈R \ {0}, x ∈R, n ∈Nu \ {1})1) liegt
symmetrisch zum Ursprung
(Punktsymmetrie).
Es gilt: f (x) = −f(−x)
x
f1(x)
f2(x)
0
0
0
0,75
0,42
0,24
− 0,75 − 0,42 − 0,24
1
1
1
−1
−1
−1
1,25
2
3,1
– 1,25 – 2
– 3,1
f3(x)
f4(x)
0
0
0,84 − 0,42
− 0,84
0,42
2
−1
−2
1
3,9 − 2
– 3,9
2
Definition:
Eine Funktion f: x a f (x), x ∈D,
D ⊆ R heißt ungerade, wenn für alle
x ∈D mit − x ∈D gilt: f (x) = −f(−x)
Wir ermitteln einige Eigenschaften der Funktionen f1, f2, f3 und f4 des
obigen Beispiels:
Alle Funktionsgraphen gehen durch den Punkt (0, 0). Die Wertemenge ist
in jedem Fall R. Weiters liegen die Graphen spiegelbildlich zum Ursprung.
Es handelt sich um ungerade Funktionen (vgl. Definition in der Außenspalte).
y = ax 2n
(n ∈N*)
3
Den Graphen von f4: x a − x erhält man durch Spiegelung des Graphen von
f1: x a x3 an der x-Achse bzw. y-Achse.
Zusammenfassung:
● Die grafische Veranschaulichung jeder Funktion x a axn (a ∈R \ {0},
x ∈R , n ∈N\ {0,1}) liefert eine Parabel.
● Für n ∈N g \ {0} liegt die Parabel symmetrisch zur y-Achse. Es han-
delt sich um eine gerade Funktion.
● Für n ∈Nu\ {1} liegt der Graph von x a ax n symmetrisch zum Ursprung
(Punktsymmetrie). Es handelt sich um eine ungerade Funktion.
● Für ) a ) > 1 wird die Parabel in der y-Richtung gestreckt. Sie wird in
der y-Richtung gestaucht, wenn ) a ) zwischen den Werten 0 und 1
liegt (0 < ) a ) < 1).
● Wenn a < 0 ist, tritt noch eine Spiegelung an der x-Achse hinzu.
) Für n = 1 erhalten wir eine Funktion f: x a ax, deren Graph eine Gerade ist.
1
a =1
a >1
1 >a>0
y = ax 2n + 1
6
Potenzen und Wurzeln
Gerade, negative Exponenten
Beispiel:
Die nebenstehenden Kurven nennt
man Hyperbeln. Hyperbeln
bestehen aus zwei Ästen, die sich
zwei Geraden (Hier sind es die
Koordinatenachsen.) nähern, ohne
sie zu berühren. Man nennt diese
Geraden die Asymptoten der
Hyperbel.
Die Graphen der Funktionen mit der Gleichung (1) y1 = 12 (2) y2 = 14
x
x
(3) y3 = 26 (4) y4 = − 12 sind in einem gemeinsamen Koordinatenx
x
system zu zeichnen!
Lösung:
Da die Division durch 0 unzulässig ist,
gilt in allen Fällen: D = R \ {0}
Wertetabelle:
x
y1
y2
y3
y4
±1
1
1
2
±2
0,25
0,06
0,03 – 0,25
± 0,75 1,8
3,2
± 1,5
0,2
0,44
–1
11,2
– 1,8
0,18 – 0,44
Man begründe, warum es sich im obigen Beispiel um gerade Funktionen
handelt!
Die Graphen von y = − 12 erhält man durch Spiegelung des Graphen von
x
y = 12 an der x-Achse.
x
Beispiel:
Die Graphen der Funktion x a ax −1 = ax sind für (1) a = 1 (2) a = 2
(3) a = 0,5 (4) a = −1 in einem gemeinsamen Koordinatensystem zu
zeichnen!
Ungerade, negative Exponenten
Lösung:
Wir haben also die Graphen der Funktionen mit den Gleichungen
Die nebenstehenden Kurven heißen
gleichfalls Hyperbeln.
(1) y1 = x1 (2) y2 = 2x (3) y3 = 21x und (4) y4 = − x1 zeichnerisch darzustellen. Definitionsmenge: D = R \ {0}
Wertetabelle:
x
y1
y2
y3
y4
0,5
2
4
1
–2
– 0,5
–2
–4
–1
2
1
1
2
0,5
–1
–1
–1
–2
– 0,5
1
1,25
0,8
– 1,25
– 0,8
0,4
– 0,8
– 1,6 – 0,4
1,6
0,8
2
0,5
1
–2
– 0,5
–1
0,25 – 0,5
– 0,25
0,5
7
Potenzen und Wurzeln
Man versuche, die folgenden Fragen zu beantworten:
– Handelt es sich im vorigen Beispiel um ungerade Funktionen?
– Welchen Einfluss hat der Faktor a auf den Verlauf der Hyperbel?
y = a2n
– Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Graphen der Funktionen
mit den Gleichungen y = x1 und y = − x1 ?
x
(n ∈N∗)
y=
a
x 2n − 1
Zusammenfassung:
−n
=
● Die grafische Veranschaulichung jeder Funktion x a ax
(a ∈R \ {0}, x ∈R \ {0}, n ∈N * ) liefert eine Hyperbel.
a
xn
● Für n ∈N g \ {0} liegt die Hyperbel symmetrisch zur y-Achse. Es han-
delt sich um eine gerade Funktion.
a
symmetrisch zum Ursprung
xn
(Punktsymmetrie). Es handelt sich um eine ungerade Funktion.
● Für n ∈N u liegt der Graph von x a
● Für a > 1 verläuft die Hyperbel flacher. Sie wird stärker gekrümmt,
a=1
a>1
● Wenn a < 0 ist, tritt noch eine Spiegelung an der x-Achse hinzu.
1>a>0
wenn a zwischen den Werten 0 und 1 liegt (0 < a < 1).
Wir wollen nun noch die Eigenschaften Monotonie, Beschränktheit und
Stetigkeit von Funktionen besprechen.
Der in der Außenspalte dargestellte Graph von y = x2 hat die Eigenschaft, dass für wachsende Argumentwerte x
für x ≥ 0
für x ≤ 0
auch die zugehörigen
Funktionswerte y
größer
kleiner
werden.
Z. B. x1 = 2 ⇒ y1 = 4
x2 = 3 ⇒ y2 = 9
Z. B. x1 = − 5 ⇒ y1 = 25
x 2 = − 4 ⇒ y 2 = 16
Allgemein:
Allgemein:
x1 < x 2 ⇒ f (x1) < f (x 2 )
x1 < x 2 ⇒ f (x1) > f (x 2 )
Man sagt:
Die Funktion x a x2 ist für
x ∈ R0+ streng monoton wachsend (steigend).
Die Funktion x a x2 ist für
x ∈R0− streng monoton
fallend.
Für Potenzfunktionen mit geraden, natürlichen Exponenten y = a x 2n
(n ∈N∗) gilt für a > 0: Die Funktion ist für x ∈R0+ streng monoton wachsend
und für x ∈R0− streng monoton fallend. Wenn a < 0 ist, dann ist die Funktion
für x ∈R0+ streng monoton fallend und für x ∈R0− streng monoton wachsend.
Man überlege, welches Monotonieverhalten Potenzfunktionen mit ungeraden, natürlichen Exponenten bzw. mit negativen Exponenten für a > 0 bzw.
a < 0 haben.
y=x2
8
Potenzen und Wurzeln
Man überlege, ob Potenzfunktionen
mit ungeraden, natürlichen
Exponenten bzw. mit negativen
Exponenten ebenfalls beschränkt
sind.
Betrachten Sie nochmals den auf der vorigen Seite in der Außenspalte dargestellten Graphen von y = x2: Alle Zahlen b ∈ R0− erfüllen für alle x ∈ R
die Ungleichung f(x) ≥ b. Die Funktion y = x2 ist nach unten beschränkt.
Allgemein kann man feststellen, dass Potenzfunktionen mit geraden, natürlichen Exponenten y = ax2n (n ∈ N*) für a > 0 nach unten und für a < 0
nach oben beschränkt sind.
Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten können übrigens „in einem“
durchgezeichnet werden, ohne dass man mit dem Zeichenstift absetzen
muss. Derartige Funktionen werden als stetig bezeichnet.
Beim Zeichnen von Potenzfunktionen mit negativen Exponenten müssen
Sie an der Stelle x = 0 mit dem Zeichenstift absetzen, da diese Funktionen
an dieser Stelle unstetig sind.
2.2 Wurzelfunktionen
Beispiele für Wurzelfunktionen: x a x, x a 5 x, x a − 4 6 x usw.
Beispiel:
Definition:
Die Graphen der Funktionen (1) f1: x a x (2) f2 : x a 3 x
(3) f3 : x a − x (4) f4 : x a − 3 x sind in einem gemeinsamen Koordinatensystem zu zeichnen:
Wurzelfunktionen sind Funktionen,
die durch eine Funktionsgleichung
y = a n x m (a ∈ R \ {0}, m ∈ Z \ {0},
D = R +0
Lösung:
n ∈ N \ {0, 1}, x ∈ R+0 ) dargestellt
werden können.
Wertetabelle:
x
0
f1(x) f2(x)
0
f3(x)
f4(x)
0
0
0
0,5 0,71 0,79 – 0,71 – 0,79
1
y = x2
y=x
–
y = √x
1
1
–1
–1
2
1,41 1,26 – 1,41 – 1,26
3
1,73 1,44 – 1,73 – 1,44
4
Funktionen, von denen die eine aus
der anderen dadurch entsteht, dass
man die Variablen x und y miteinander vertauscht, heißen Umkehrfunktionen. Die Graphen der
Funktionen gehen durch Spiegelung an der Geraden mit der
Gleichung y = x ineinander über.
1
2
1,59
–2
– 1,59
D = R +0
Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Potenzfunktion x a x2
und der Wurzelfunktion x a x ? Die Potenzfunktion mit der Gleichung
−1
der Wurzely = x2 ist im Definitionsbereich R +
0 die Umkehrfunktion f
1)
funktion x a x :
y = x2⇒ Umkehrung: x = y 2 ⇒ y = x Auflösung nach y
Zur Erinnerung: Bei der Umkehrung einer Funktion tauschen Definitionsmenge und Wertemenge ihre Rollen. Formal bedeutet das: Die Variablen
x und y sind zu tauschen. Die neue Gleichung ist (sofern das möglich ist)
nach y aufzulösen.
In der Außenspalte werden die Graphen von x a x2 und x a x im Definin
tionsbereich R +
0 dargestellt. Allgemein sind die Potenzfunktion x a x
+
n
und die Wurzelfunktion x a x im Definitionsbereich R 0 Umkehrfunktionen voneinander.
Die Umkehrfunktion der Potenzfunktion x a xn ist die Wurzelfunktion x a n x .
Die Umkehrfunktion der Wurzelfunktion x a n x ist die Potenzfunktion x a xn.
1
1
) f −1(x) darf nicht mit
1
f (x)
verwechselt werden!
9
Potenzen und Wurzeln
Definition:
3. Wurzelgleichungen
Beispiele für Wurzelgleichungen: 2x − 4 = 2, 3 5x + 1 + 3 x − 3 = 5 4 usw.
Beispiel:
Man löse die Gleichung 3 − x + 6 = 0 in R!
Lösung:
Wenn man die gegebene Gleichung quadriert, ergibt sich:
(3 − x + 6) 2 = 0
9−6 x+6 +x+6= 0
Wir erkennen, dass die Wurzel, die beseitigt werden sollte, auch
noch nach dem Quadrieren auftritt. Aus diesem Grund soll womöglich jede Wurzelgleichung vor dem Quadrieren so umgeformt
werden, dass die Wurzel allein auf einer Seite der Gleichung bleibt,
d. h. dass sie isoliert wird: x + 6 = 3. Wenn man nun die Gleichung
quadriert, erhält man: x + 6 = 9
x=3
Probe:
TL (3) = 3 − 9 = 3 − 3 = 0
TR = 0
TL = TR (w)
Es gilt somit: L = {3}
Bei dem obigen Beispiel haben wir folgendes Verfahren angewandt:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Die Wurzel wurde auf eine Seite der Gleichung gebracht.
Beide Seiten der Gleichung wurden quadriert.
Berechnung von x.
Ausführung der Probe
Angabe der Lösungsmenge.
Beispiel:
x + 9 + 5 = 0 ist in Q zu lösen!
Eine Gleichung, in der die Variable
mindestens einmal im Radikanden
einer Wurzel auftritt, heißt Wurzelgleichung.
Gemäß obiger Definition müssen
Gleichungen, in denen Wurzeln
auftreten, keine Wurzelgleichungen
sein. So ist z. B. die Gleichung
3x 2 + 5 = 2 7 keine Wurzelgleichung, sondern eine lineare
Gleichung mit Wurzelkoeffizienten.
Angenommen, die Wurzelgleichung
x = 5 ist über der Grundmenge Q
zu lösen. Q ist also die Menge der
Zahlen, die als mögliche Lösungen
der Gleichungen vorgesehen ist.
Allerdings gibt es etliche Elemente
der Grundmenge, für die der
Gleichungsterm in keinen sinnvollen
Zahlenwert übergeht: – 5, – 33,
– 200 usw.
Wenn man nun die Grundmenge
einer Wurzelgleichung dahin
gehend einschränkt, dass die
Radikanden der auftretenden
Wurzeln nur nichtnegative Werte
annehmen, erhält man die Definitionsmenge D der Gleichung.
Anders formuliert: Die Definitionsmenge einer Wurzelgleichung
enthält alle jene Elemente der
Grundmenge, für die — beim
Belegen der Variablen — alle
Radikanden dieser Gleichung
größer oder gleich Null sind. Auf
unseren Fall x = 5 bezogen ergibt
sich also D = Q +
0
Lösung:
x+9 +5= 0
x + 9 = −5
Wurzel isolieren!
Quadrieren!
x + 9 = 25
x = 16
Probe:
TL (16) = 25 + 5 = 10
TR = 0
TL ≠ TR
Die gefundene Lösung x = 16 erfüllt die Gleichung nicht: L = { }
Mit ein bisschen Überlegung hätte man sogleich erkennen können, dass
die Wurzelgleichung x + 9 + 5 = 0 ⇔ x + 9 = − 5 keine Lösung hat: Da es
keine negativen Wurzeln gibt (Im Beispiel müsste der Wurzelwert – 5 sein.),
muss die Lösungsmenge die leere Menge sein!
Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Daher können
„Scheinlösungen“ auftreten. Man
muss deshalb mittels Probe jene
Werte aussondern, die zu
falschen oder nicht definierten
Aussagen führen, obgleich sie in
der Definitionsmenge enthalten
sind.
10
Potenzen und Wurzeln
Sofern mehrere Wurzeln auftreten,
ist die Definitionsmenge D der
Wurzelgleichung die Durchschnittsmenge der Definitionsmengen jener
Terme, die die Gleichung bilden.
Beispiel:
Man löse die Gleichung 4x + 9 = x + x + 5 in Q!
Lösung:
Für das nebenstehende Beispiel
gilt:
4x + 9 ≥ 0 ⇔ x ≥ − 94
{
D1 = x x ∈Q ∧ x ≥ − 94
}
x≥0
4x + 9 = x + x + 5
Quadrieren
4x + 9 = x + 2 x (x + 5) + x + 5
Wurzel isolieren
2 x + 4 = 2 x 2 + 5x
:2
x + 2 = x 2 + 5x
D 2 = {x x ∈Q ∧ x ≥ 0}
Quadrieren
x2 + 4x + 4 = x2 + 5x
x+5≥0⇔x ≥−5
x=4
D 3 = { x x ∈Q ∧ x ≥ − 5}
Probe:
D = D1 ∩ D 2 ∩ D 3 = {x x ∈Q ∧ x ≥ 0}
T L (4) = 25 = 5
TR (4) = 4 + 9 = 2 + 3 = 5
TL = TR (w)
Somit gilt: L = {4}
AUFGABEN
1. Die wahren Aussagen sind anzukreuzen:
s a) Potenzen mit Bruchzahlen als Exponenten sind Wurzeln.
s b) Nicht jede Wurzel lässt sich als Potenz mit einem gebrochenen Exponenten schreiben.
s c) Für alle a, b ∈ R, a > b gilt: a 2 + b2 = a + b
s d) Es ist gleichgültig, ob man eine nichtnegative Zahl a zuerst potenziert und dann radiziert oder ob
man in der umgekehrten Reihenfolge vorgeht: n (a m) = (n a) m
s e) Beim Radizieren einer Wurzel darf die Reihenfolge, in der radiziert werden soll, vertauscht werden.
Beispiel: .....
1
−
Es gilt: a n = n 1
s f)
a
s g) 3 3 38 = 3 3 38
5
5
s h) 3 5 124
= 5 3 124
Man schreibe als Potenzen mit rationalen Exponenten:
2. a)
7
b) 3 2
c) 5 3 4
3. a)
a
b) x by
c)
4. a)
1
5
b)
1
4
x3
c)
5
d) 4 9 5
a+b
d) 4 (x − y) 3
1
a+b
d) 5 3 5x 5 y 3 z 6
Mit dem Wurzelzeichen ist zu schreiben:
1
2
5. a) 2 2
b) 3 3
c) 7 0,5
d) 110,8
2
y
3
3
6. a) a 7
b) x x
c) 5x 8
d) (5x) 8
b) 5 −1,25a
c)
7. a) 3 − 4
1
( 51 )
− 2a
d) (x + y)
− 35
11
Potenzen und Wurzeln
Der Radikand ist durch teilweises (partielles) Wurzelziehen zu vereinfachen:
8.
a)
b)
32
Anleitung:
9.
32 = 16 ⋅ 2 = 16 ⋅ 2 = 4 2 ;
108
a)
b)
54
c)
48
d)
88
d)
375
48 = 16 ⋅ 3 = K
128
250
c)
10. a) 3 32
b) 3 48
c) 3 54
d) 3 88
11. a) 3 108
b) 3 128
c) 3 250
d) 3 375
a5
b) 4 x 7y
c)
5
4x 6 y 5
d)
24x 3 y
b) 4 32 x 5 y
c)
5
32 x 5 y 7
d)
12. a)
13. a)
3
(a + b) 3
5
96a10b11c
Der vor der Wurzel stehende Faktor ist unter die Wurzel zu bringen:
1
8
2
d) 2 3 1
4
14. a) 2 2
b) 4 3
c) 3
15. a) 3 31
b) 4 0,25
c) 4 0,125
d) 5 0,04
16. a) x x
b) xy z
c) (x + y) z
3
d) xy z
17. a) x x1
b) ba
2
c) x 3 16
3 2
7
d) a b2 3 c8 5
b
a
2
x
c
5
a b
18. a) (a − b) 4 a + b 3
b) (u + v) 3 1 − 3uv
2
2
c) (x − y) 3 x2 + xy + y 2
19. a) ( 2 − 1)
b) ( 5 − 2) 2 + 5
c) 21 ( 2 + 3) 3 8 3 − 8 2
(a − b)
2 +1
(u + v) 2
x − 2xy + y
Bei den Aufgaben 20. bis 54. ist soweit wie möglich zu vereinfachen:
20. a)
b) 3 2 + 3 16 + 3 432
3 + 12 + 75
Anleitung:
3 + 4 ⋅ 3 + 25 ⋅ 3 = 3 + 2 3 + 5 3 = ...
21. a) 2 2 + 3 8 + 4 50
b) 4 3 3 + 5 3 24 − 2 3 81
22. a) 3 5 + 2 45 + 4 20
b) 2 3 5 + 3 3 40 + 2 3 135
23. a) 8 1008 + 3 1183 − 5 847
b) 2 3 1372 + 5 3 256 − 3 3 500
24. a) ( 27 + 12) 3
b) ( 50 + 2) 2
c) ( 28 + 2 7) 7
25. a) ( 3 72 + 3 9) 3 3
b) ( 3 4 − 3 500) 3 2
c) ( 3 392 − 3 3 49) 3 7
26. a) (5 3 + 7 27 − 48) 2
b) (2 0,9 − 4,9 + 12,1) 10
27. a) ( 3 4 − 3 3 2 − 3 32) 3 2
b) ( 3 100 − 3 0,8 − 3 72,9) 3 10
28. a) ( 5 + 3) ( 5 − 3)
b) (1 + 2) ( 2 − 1)
29. a) (2 − 2) ( 2 + 2)
b) (1− 2 3) (2 3 + 1)
12
Potenzen und Wurzeln
30. a) (3 2 + 5 3) (3 2 − 5 3)
b) (5 5 + 3 3) (5 5 − 3 3)
31. a) (5 2 + 3 5) ( 5 + 1)
b) (2 2 + 3 3) (5 5 − 7 7)
32. a) ( 2 + 3 − 8) ( 2 + 3)
b) ( 3 − 5 + 12) (3 3 + 5)
33. a) ( 18 + 50) : 2
b) ( 108 − 48) : 3
c) ( 2401 + 49) : 7
34. a) (3 16 + 3 54) : 3 2
b) (3 81 − 3 192) : 3 3
c) (3 343 − 3 7) : 3 7
35. a)
2 42
b)
3 43
c) 5 2 4 2
d) 3 9 5 9
36. a)
2 44
b)
5 36
6
5
3
c) 5 16
d) 7 7 3 3
37. a)
x 5x
b) 4 x 3 x
c)
3
3 x +1
x6 − 1
2
3
33
3 2 5 3
x
1
21
750141
3
d) 7 x 3 x 7
x
3
c) 4 4 − 2 3 1 + 3
d)
b) 5 5 : 5
c) 7 7 : 9 7
d) 1111 : 1011
40. a) 4 4 : 6 8
b) 6 27 : 4 9
c) 6 125 : 8 25
d) 1010 : 4 2
41. a) 5 x : x
b) 7 x : 3 x
c) x 4 x : x
d)
38. a) 9 xy 8 xy
b)
39. a) 3 3 : 6 3
x3 −1
(x 2 −1) 6
b) 30
5
42. a) 7 x : 5 x1
43. a)
6
44. a)
3
3
6
3
b)
x5
3
12
11
x
x4
45. a) ( 2)2
b)
5
10
3
10
6
c) 32 6288
3
12 7 13
6
12
2
x
x
4
3
x3
11 13
c)
x
6
8 2
x2
5
x 3x 2
x 15 x 4 x
c) (3 3)2
b) ( 5)3
x :3x
c) 3 xx −+ 11 8 (x + 1) 3
(x − 1)
(x −1)
243
ab (ab)2
d) (3 7)4
46. a) ( 2 + 1)2
b) ( 3 − 5)2
c) (2 7 + 5 3)2
47. a) (1− 2)3
b) ( 7 − 5)3
c) ( 3 − 7)3
48. a)
93
b)
49. a)
3 2
b)
50. a)
3
b)
51. a)
8
33 9
x
52. a) 3 31 243
53. a)
x x
54. a) 5 62
2
b)
b)
3
16 3
c)
27 5
c)
39
c) 6 64
43 4
x
c)
d)
64 2
d) (3 125)2
x 5x
b) 2 0,5 0,5 0,5
813
d) 3 46656
56 7
x
d)
c) 52 21 8
13
2744
7
b)
3
64 5
n n n2
x
d) 5 32 ⋅ 1
25
c)
3
x x2 x3
c) 4 0,25 0,25 0,25
1
6
(ab) 5
13
Potenzen und Wurzeln
Bei den folgenden Aufgaben ist der Nenner wurzelfrei zu machen:
55. a)
8
b) 49
c)
a
b) 3b (a ∈R + )
c) 5a (a ∈ R + )
7
5
b) 33
c)
15
5 3
d)
1
3+ 2
d)
2
7
56. a) b (a ∈R + )
57. a)
58. a)
59. a)
60. a)
a
3
1
1+ 2
4 3
7− 3
23
5− 2
5
2 2
d) 20
7 2
a
d)
a
7
a4
5
8a 4
2a
(a ∈ R + )
(a ∈ R + )
b)
4
3− 5
c)
b)
7 3
2 3+ 5
c) 5 7 + 7 5
d) 7 3 − 3 7
b)
24
7−4 3
c) 3 10 + 10 3
d) 2 ( 2 − 3 5)
7+ 5
3 + 10
4
3+ 7
7− 3
2 5 −3 2
61. Die wahren Aussagen sind anzukreuzen:
s a) Aus der „Grundparabel“ y = x2 erhält man Punkte des Graphen y = −x2 durch Spiegelung an der xAchse.
x10 ist eine gerade Funktion.
s b) Die Funktion x a − 25
27
s c) Die Graphen der Funktionen x a 4x8 und x a 41 x 8 liegen symmetrisch zueinander.
s d) Die zeichnerische Darstellung jeder Funktion x a
a
(a,
xn
x ∈R \ {0}, n ∈N*) liefert eine Hyperbel.
s e) Folgende Punkte liegen auf der Kurve der Funktion f: x a x2: P1 (−1, 1); P2 (0, 0) und P3 (1, 1).
s f) Über der Definitionsmenge D = R \ {0} haben die Funktionen x a x−4 und x a x−5 die gleiche
Wertemenge.
s g) Die Koordinaten des Punktes P(1, 1) erfüllen alle Funktionsgleichungen der Form y = x−n (n ∈ N*).
s h) Die Funktion x a x − n (n ∈Ng \ {0}) hat die x-Achse als Asymptote.
62. Der fehlende Text ist einzusetzen:
a) Punkte des Graphen y = 2x2 ergeben sich, wenn man die Ordinaten aller Punkte der „Grundparabel“
y = x2 ..... (verdoppelt/halbiert).
b) Punkte des Graphen y = 21 x 2 ergeben sich, wenn man die Ordinaten aller Punkte der „Grundparabel“
y = x2 ..... (verdoppelt/halbiert).
c) Die grafische Veranschaulichung jeder Funktion x a axn (a ∈ R \ {0}, x ∈ R, n ∈ N \ {0, 1}) liefert eine .....
(Parabel/Hyperbel).
d) Die Funktion y = −x11 ist eine ..... (gerade/ungerade) Funktion.
e) Die Funktion y = 56 ist eine ..... (gerade/ungerade) Funktion.
x
f) Die Punkte mit den Koordinaten ..... (P1 (−1, 1) / P2 (−1, −1) / P3 (0, 0) / P4 (1, 1)) liegen auf der Kurve mit
der Gleichung y = xn (n ∈ Nu \ {1}).
g) Die Funktion x a x−n (n ∈ N*) hat folgende Geradengleichungen als Asymptoten: ..... (y = 0 / x = 0 / y =
= x / y = −x).
h) Die Parabel y = x3 hat einen Scheitelpunkt: ..... (Ja/Nein).
14
Potenzen und Wurzeln
63. Gegeben sind die 4 Funktionsgraphen g1, g2, g3 und g4:
y
1
0
y
y
1
1
x
1
0
y
x
1
0
1
1
x
0
x
1
In welcher Zeile sind die zugehörigen Funktionsgleichungen in der richtigen Reihenfolge angegeben?
(Mehrere Lösungen sind möglich!)
s a) y = − 3 x − 2; y = − x 4 − 1; y = − x 5; y = − 13
x
s b) y = −
1
;
x3
y = − x − 1; y = − x ; y = − 3 x − 2
4
5
s c) y = − 13 ; y = x 5; y = x 4 − 1; y = − 3 x 2
x
s d) y = − x −3; y = − x 4 − 1; y = − x 5; y = − 32
x
s e) Keine der obigen Zeilen ist zutreffend.
64. Man zeichne den Graphen und den „Grenzgraphen“ y = xn und y = x−n für n → ` folgender Potenzfunktionen jeweils in einem gemeinsamen Koordinatensystem:
a) y = x 2; y = x 4; y = x n, n → ` , n ∈Ng \ {0}
b) y = x 3 ; y = x 5 ; y = x n , n → ` , n ∈ N u
c) y = x − 1 ; y = x − 3 ; y = x − n , n → ` , n ∈ N u
d) y = x − 2; y = x − 4; y = x − n, n → ` , n ∈Ng \ {0}
65. Gegeben ist die Funktion x a x0. Der Graph dieser Funktion ist in
nebenstehender Figur dargestellt.
a) Wie lautet die (maximale) Definitionsmenge, wie die zugehörige
Wertemenge?
f(x)
1
b) Handelt es sich um eine ungerade Funktion?
c) Stimmt die Funktion x a x0 mit der Funktion x a 1 überein?
Bemerkung: Man sagt, x a x0 hat an der Stelle 0 eine Lücke.
0
1
x
66. Welche Punkte haben f1: x a x5 und f2: x a x2 (x ∈ R) gemeinsam?
s a) die Punkte (−1, 1), (0, 0) und (1, 1).
s b) genau die Punkte (−1, −1), (0, 0) und (1, 1).
s c) genau die Punkte (0, 0) und (1, 1).
s d) nur den Nullpunkt (0, 0).
67. Welche Punkte haben f1: x a x−5 und f2: x a x−2 (x ∈ R \ {0}) gemeinsam?
s a) keinen Punkt.
s b) genau den Punkt (1, 1).
s c) die Punkte (−1, 1) und (1, 1).
s d) genau die Punkte (−1, −1) und (1, 1).
15
Potenzen und Wurzeln
Bei den Angaben 68. bis 70. sind die Funktionsgraphen über einer selbstgewählten Definitionsmenge zu
zeichnen:
2
68. a) f : x a 3x5
3
b) f : x a x9
c) f : x a 42
d) f : x a 2x
69. a) f : x a 2x2 − 3
b) f: x a 3x3 + 2
c) f : x a 42 − 4
d) f : x a 13 + 5
70. a) f: x a 2x2 − 4x + 4
x
x
x
c) f : x a 24 + x 2 − 4
b) f: x a 6x6 + 6x − 12
x
71. Die nachstehende Tabelle ist zu vervollständigen:
Name
Parabeln n-ter Ordnung
Hyperbeln n-ter Ordnung
(1)
(2)
(3)
(4)
Funktionsgleichung
y=
y=
y=
y=
(maximale)
Definitionsmenge
D=
D=
D=
D=
(zugehörige)
Wertemenge
W=
W=
W=
W=
Graph
gerade oder ungerade
symmetrisch bezüglich
72. Die wahren Aussagen sind anzukreuzen:
s a) Die maximale Definitionsmenge der Wurzelfunktion x a x ist R +.
n
s b) Die Wertemenge der Funktion f : x a x über ihrer maximalen Definitionsmenge ist R −.
n
n
s c) (0, 0) und (1, −1) gehören zum Graphen der Funktion f : x a − x .
s d) Den Graphen von x a −xn erhält man durch Spiegelung des Graphen x a xn (n ∈ Q) an der
x-Achse.
s e) Die Wertemenge der Funktion f : x a − x über ihrer maximalen Definitionsmenge ist R −.
n
n
s f) (0, 0) und (1, 1) gehören zur Funktion f : x a x .
s g) Die Graphen der Funktion f und ihrer Umkehrfunktion f −1 liegen bezüglich der Geraden g: x a x
symmetrisch zueinander.
s h) Die Umkehrfunktion einer Wurzelfunktion ist immer eine Potenzfunktion.
16
Potenzen und Wurzeln
Bei den Aufgaben 73. und 74. ist jeweils der Term der Umkehrfunktion der gegebenen Funktion zu ermitteln.
Weiters sind die Graphen der Funktion und ihrer Umkehrfunktion in einem Koordinatensystem über einer selbstgewählten Definitionsmenge darzustellen:
73. a) y = 5x
b) y = 3 x
2
74. a) y = x2
b) y = x
− 32
3
+1
3
c) y = x
d) y = 2x
c) y = (x − 2)3 − 2
d) y = (x + 1) 5
1
1
75. Welche Mengen können nicht Definitionsmenge von x a x 4 sein?
s a) R
s b) N
s d) R+
s c) Z
s e) R−
76. Welche der angegebenen Zahlenpaare werden — über der maximalen Definitionsmenge Dw — von der
Funktion w erzeugt: w : x a
s a) (0, 1)
−3
x, x ∈D w ?
s b) (1, 1)
s c) (8, 0,5)
s d) (2,
3
2)
Bei folgenden Aufgaben ist die Lösungsmenge in Q zu ermitteln!
77. a)
2x = 8
b)
6x − 5 = 1
78. a)
x−2 =1
b) 20 = 15 − x
c) 4 3x − 11 = 1
c) 4 x + 3 − 15 = 5
79. a) 5 3x + 1 = 3 5x + 25
b) 4 4x + 1 = 3 7x + 2
80. a) 5 x − 1 = 7 x − 5
b) 7 x + 9 = 6 (3 x − 4)
81. a)
x+3 − x =1
b)
x + 14 + x + 7 = 7
82. a)
x+9 − x−4 =1
b)
x − 5 + x + 16 = 7
83. a)
5x − 9 − 5x + 11 = −2
b)
5x + 11 − 5x + 4 = 1
84. a)
3x + 4 = 17 − 3x + 123
b)
4x − 15 = 2 x − 8 + 1
85. a)
x + 4 + x + 11 = 4x + 29
b)
x + 1 + 4x + 4 = 9x + 9
86. a)
4x + 1 − x + 3 = x − 2
b)
x + 3 + x + 8 = 4x + 21
87. a)
x + 15 + x + 3 = 2 x + 8
b)
x + 21 + x + 5 = 2 x + 12
88. a) 3 x + 3 + x + 6 = 4x + 33
b) 2 x + 3 + 3 x + 8 = 25x + 144
89. a)
x + 12 − x − 3 = x + 32 − x + 5
b)
x + 12 + x − 3 = x + 32 − 5 + x
90. a)
x + 1 + x + 6 = x − 2 + x + 13
b)
x + 6 − x − 1 = x + 26 − x+ 15
91. a)
2x − 4 − 2x + 29 = 2x − 16 − 2x + 5
b)
3x + 7 − 3x − 5 = 3x + 27 − 3x + 7

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