Prof. Dr. Martin Zirnbauer Charles Guggenheim Dr. Sebastian Schmittner Institut für theoretische Physik Universität zu Köln Klassische Theoretische Physik 2 – Übungsblatt 3 Abgabe bis 10.11.2015 Website: http://www.thp.uni-koeln.de/~cg/ktp2 Aufgabe 3.1. Elektromagnetostatik Es soll die magnetische Erregung einer langen, dünnen Spule untersucht werden. Dazu beschreiben wir die Schwerpunktslinie der Spule durch eine 1-Kette mit äußerer Orientierung (siehe Abb.). Die Orientierung entspricht dabei dem Strom und die Stromdichte j ist gegeben durch j = m ∂ ?γ. γ a. Was ist die Dimension von m? b. Machen Sie, analog zur elektrischen Dipolschicht, einen zweiteiligen Ansatz für H = H0 + H1 mit H0 = m ? γ. Zeigen Sie, dass der sogenannte nicht-singuläre Teil H1 nur vom Rand von γ abhängt. Unter welchen Umständen ist H = m ? γ? Hinweis: Stellen Sie die zwei Gleichungen auf, welche H1 bestimmen. Ersetzen Sie jetzt die äußere Orientierung von γ durch eine innere. An den Enden von γ seien die Ladungen ρ = Q ∂ γ angeheftet. c. Zeigen Sie, dass die Gleichungen für E formal identisch sind mit denen für den nicht-singulären Teil von H. Durch was muss man Q ersetzen, damit die Probleme auch quantitativ identisch sind? Aufgabe 3.2. Magnetostatik in 2 und 3 Dimensionen Gegeben sei die statische und quellenfreie Stromdichte j = f (x) [dx ∧ dy; R] im E3 bzw. j = f (x) [dx; U ] (U= im Uhrzeigersinn ) im E2 ,für eine differenzierbare Funktion f . Um R die Akkumulation von Ladungen im Unendlichen zu vermeiden, fordern wir R f (x)dx = 0 x→±∞ und f (x) −−−−→ 0. a. Bestimmen Sie die magnetische Erregung und Feldstärke im E2 . b. Bestimmen Sie die magnetische Erregung und Feldstärke im E3 . Aufgabe 3.3. Sphärische Symmetrie Wenn das physikalische Problem eine sphärische Symmetrie aufweist, ist es nützlich, Koordinaten zu verwenden, die diese Symmetrie respektieren. Die kartesischen Koordinaten 1 lassen sich folgendermaßen durch sphärische Koordinaten ausdrücken: x =r sin θ cos φ y =r sin θ sin φ z =r cos θ a. Zeigen Sie, dass sich die Volumenform Ω = [dx ∧ dy ∧ dz; R] in sphärischen Koordinaten schreiben lässt als Ω = r2 sin θdr ∧ dθ ∧ dφ; R . b. Benutzen Sie die allgemeine Definition des Sternoperators und bestimmen Sie die Raumwinkel 2-Form τ = ? r−2 dr in sphärischen Koordinaten. c. Was ist der Raumwinkel einer 2-Sphäre? Parametrisieren Sie dazu die 2-Sphäre S 2 (welchen Typ von Orientierung muss das Integrationsgebiet von τ haben?) und integrieren R sie S 2 τ . Aufgabe 3.4. Relative Dimensionen In der Vorlesung hatten Sie die relativen Dimensionen für die vier elektromagnetischen Größen E, D, B und H kennengelernt. Angenommen, die Raumdimension d sei ungleich 3. Wie sind die relativen Dimensionen der vier Größen zu ändern ? Hinweis: Überlegen Sie, welchen Grad die jeweils dazugehörenden Differentialformen haben müssen. 2
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