Aufgaben zum Tutorium 4 im PDF

06. Mai 2015
Fachgruppe Angewandte Analysis und Numerik
Dr. Martin Gutting
Analysis I – Tutorium
Sommersemester 2015
Aufgabenblatt 4
Aufgabe 4.1:
Beweisen Sie, dass die Potenzmenge P(M ) von einer Menge M , die aus n Elementen (n ∈ N0 )
besteht, 2n Elemente besitzt.
Aufgabe 4.2:
Grundaufgabe der klassischen Statistik: Auf n Zellen sollen k nicht unterscheidbare Teilchen so verP
teilt werden, dass in der Zelle i genau ki Teilchen liegen, also ni=1 ki = k. Eine Anordnung innerhalb
jeder Zelle werde nicht berücksichtigt.
k!
Zeigen Sie, dass es genau Qn
i=1
ki !
verschiedene Verteilungen gibt.
Aufgabe 4.3:
In einem Märchenwald leben Zwerge. Ein Teil von ihnen hat blaue Mützen, der Rest rote. Genau
einmal am Tag treffen sich alle Zwerge auf einer Lichtung. Unter den Zwergen ist es verpönt, über die
Farbe der Mützen zu sprechen, zu schreiben oder sonstwie zu kommunizieren. Keiner weiß, welche
Farbe die eigene Mütze hat und kann es auch nicht von den anderen erfahren. Es gibt auch keine
Spiegel oder sonstige reflektierende Objekte.
Eines Tages, nach einem Treffen der Zwerge, fordert der König alle Zwerge mit blauen Mützen auf,
den Wald zu verlassen. Da die Zwerge königstreu sind, kann davon ausgegangen werden, dass sie gehen, sobald sie herausfinden, dass sie eine blaue Mütze haben. Alle Zwerge sind sehr intelligent und
logisch begabt. Ferner wissen sie, dass mindestens ein Zwerg eine blaue Mütze hat und mindestens
einer eine rote.
Nach wievielen Tagen verlassen die Zwerge mit blauen Mützen den Wald?
Hinweis: Versuchen Sie im Induktionsschritt den Gedankengang eines Zwerges mit blauer Mütze
nachzuvollziehen.
Bitte wenden!
Aufgabe 4.4:
Wo ist der Fehler in der folgenden vollständigen Induktion?
Behauptung: Für alle n ∈ N gilt: Wenn von n Tieren eines ein Elefant ist, dann sind alle Elefanten.
Beweis: Beweis durch vollständige Induktion über n.
• Induktionsbeginn: Für n = 1 ist die Behauptung war, da es nur ein Tier gibt, von dem wir
wissen, dass es ein Elefant ist.
• Induktionsvoraussetzung: Es gelte für n: Wenn von n Tieren eines ein Elefant ist, dann sind
alle Elefanten.
• Induktionsschluß: n → n + 1
Wir stellen die Tiere nacheinander auf und betrachten zunächst die ersten n. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit (O.B.d.A.) sei der Elefant, von dem wir wissen, dass es ihn unter den
n + 1 Tieren gibt unter den ersten n Tieren. Nach Induktionsannahme sind dann die ersten n
Tiere Elefanten.
Betrachten wir nun die zweiten n Tiere, d.h., wenn wir uns die Tiere nummeriert denken, die
Tiere 2 bis n + 1. Da die ersten n Tiere alle Elefanten sind, ist unter den zweiten n Tieren
mindestens ein Elefant. Nach Induktionsannahme sind dann alle der Tiere 2 bis n+1 Elefanten.
Fassen wir die beiden Teilmengen wieder zusammen, so sind alle n + 1 Tiere Elefanten, wie
behauptet.

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