Blatt 12

Lineare Algebra: Übungsblatt 12
Prof. P. Bürgisser, WS 2007/08
Aufgabe 1 (10 Punkte)
Gegeben sei das lineare Gleichungssystem
(Lβ )
a11 x1 + α12 x2 + · · · + α1n xn = β1
a21 x1 + α22 x2 + · · · + α2n xn = β2
..
..
.
.
aq1 x1 + αq2 x2 + · · · + αqn xn = βq
mit q Gleichungen und n Unbekannten über dem Körper K. Die Koeffizienten αij , βj sind
also Elemente von K. Es bezeichne Sol(Lβ ) ⊆ K n die Menge der Lösungen von (Lβ ), d.h.
die Menge der n-Tupel ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ K n , sodass bei Ersetzen von xi durch ξi alle
Gleichungen erfüllt sind. Das zugehörige homogene System (H) erhält man, indem man
alle βi durch Null ersetzt.
Beweisen Sie:
(1) Die Lösungsmenge Sol(H) von (H) ist eine Untergruppe der additiven Gruppe
von K n .
(2) Die Menge
B := {β ∈ K q : (Lβ ) ist lösbar}
ist eine Untergruppe der additiven Gruppe von K q .
(3) Die Abbildung
n
n
X
X
n
q
ϕ : K → K , (ξ1 , . . . , ξn ) 7→ (
α1j ξj , . . . ,
αqj ξj )
j=1
j=1
ist ein Gruppenmorphismus.
(4) Wie heissen die Mengen Sol(H) und B, ausgedrückt durch ϕ? Hilft einem diese
Einsicht beim Beantworten der Teilaufgaben (1)–(2)?
(5) Sei ξ ∈ Sol(Lβ ). Dann gilt
Sol(Lβ ) = {ξ + η : η ∈ Sol(H)}.
Man “kennt” also die Lösungsmenge des inhomogenen Systems (Lβ ), wenn man
die Lösungsmenge des zugehörigen homogenen Systems (H) kennt und eine einzige Lösung ξ des inhomogenen Systems. Dieses Prinzip ist z.B. bei Differentialgleichungen von grosser Bedeutung!
Aufgabe 2 (5 Punkte)
Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 4 Unbekannten
über dem Körper K = Z3 = {0, 1, 2} mittels Gausselimination. Prüfen Sie Ihr Ergebnis!
x1 +x2
+2x4
2x1
+x3 +2x4
−x2 +2x3
x1 +x2 +x3
=
=
=
=
1
0
0
1
2
Aufgabe 3 (5 Punkte)
Bestimmen die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems mit 3 Gleichungen und 5 Unbekannten über dem Körper K = Z3 = {0, 1, 2} mittels Gausselimination.
x1 +x2
+2x4 +x5 = 1
2x1
+x3 +2x4
= 0
x1 +x2 +x3
= 1
Die Beschreibung soll mittels zwei “freier Variablen” erfolgen. Verifizieren Sie Ihr Ergebnis!
Wieviele Lösungen gibt es?
Abgabe: Bis Donnerstag 24. Januar 09:15 in den grünen Kästen auf der Ebene D1 der
entsprechenden Übungsgruppe. Die Übungszettel bitte heften und oben auf der ersten
Seite mit Namen, Matrikelnummer, Übungsgruppennummer und Name des Übungsgruppenleiters versehen.

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