Blatt 7 - Universität Münster

Universität Münster
Institut für
Mathematische Statistik
Finanzmathematik WS15/16
Blatt 07
Dereich/Maiwald
Übungen zur Finanzmathematik1
Abgabetermin: Freitag, 4. Dezember 2015, 12 Uhr. Briefkasten: 140, 148 bzw. 150
Bitte geben Sie auf jedem Lösungsblatt Ihren Namen und Ihre Übungsgruppe an.
Aufgabe 1
(5 Punkte)
Betrachten Sie einen arbitragefreien Finanzmarkt, ein amerikanisches Derivat (Ct )t∈{0,...,T } und ein
Bewertungsmaß Q ∈ M. Es bezeichne (UtQ )t∈{0,...,T } den (Ft )-adaptierten Prozess gegeben durch
UTQ = CT
h
Q
Ft
UtQ = Ct ∨ EQ Ut+1
i
für t = 0, . . . , T − 1.
Zeigen Sie, dass für jedes t = 0, . . . , T
n
τ (t) = inf s ≥ t : UsQ = Cs
o
eine Stoppzeit ist, und dass für t ∈ {0, . . . , T }
h
i
UtQ = EQ Cτ (t) Ft = ess supτ ∈T (t) EQ [Cτ | F t ].
Hierbei bezeichne T (t) die Menge der Stoppzeiten τ : Ω → {t, . . . , T }.
Endliche Finanzmarktmodelle und Bäume. Wir betrachten ein endliches Finanzmarktmodell
und assoziieren entspechend Aufgabe 3 von Blatt 5 und Aufgabe 4 von Blatt 6:
• die Filtration (Ft )t∈{0,...,T } mit einem Baum (T, E),
• (Ft )-adaptierte Rd -wertige Prozesse (Zt )t∈{0,...,T } mit Abbildungen Z : T −→ Rd und
• äquivalente Wahrscheinlichkeitsmaße Q mit Abbildungen K : E −→ (0, 1] mit
X
K(hv, wi) = 1.
w
w ist Kind von v
Es bezeichne
• X den diskontierten Preisprozess X der risikobehafteten Anlagen in Baumdarstellung und
• K(v) die Menge der Kinder eines Knotens v ∈ T0 .
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Die Übungsaufgaben sowie weitere Informationen zur Vorlesung finden sie auf der Internetseite:
http://wwwmath.uni-muenster.de/statistik/lehre/WS1516/FiMa
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Wir nehmen an, dass der Finanzmarkt arbitragefrei ist, d.h. es existiert ein K wie oben mit mit
X
K(hv, wi) (X(w) − X(v)) = 0
w:
w ist Kind von v
für alle v ∈ T0 . Es bezeichne Q das durch K induzierte äquivalente Wahrscheinlichkeitsmaß.
Aufgabe 2 (Europäische Derivate im endlichen Finanzmarkt)
(8 Punkte)
Sei C ein europäisches Derivat und K ein äquivalentes Martingalmaß Q in Baumdarstellung.
(a) Zeigen Sie, dass der adaptierten Prozesses (EQ [C| F t ])t∈{0,...,T } in Baumdarstellung Y : T →
[0, ∞] die eindeutige Lösung des Gleichungssystems
Y(v) =

C(ω),
P
K(hv, wi) Y(w),
w∈K(v)
wenn v das Blatt (T, {w}) ist,
wenn v ∈ T0
ist.
(b) Es bezeichne nun U : T → [0, ∞] den adaptierten Prozess (Ut ) mit
Ut = sup EQ [C| F t ]
Q∈M
in Baumdarstellung. Nun kann U als die eindeutige Lösung der Form
U(v) =

C(ω),
sup
Kv ∈Av
P
w∈K(v)
Kv (w) U(w),
wenn v das Blatt (T, {w}) ist,
wenn v ∈ T0 ,
dargestellt werden, wobei für jedes v ∈ T0 , Av eine geeignete Menge von Abildungen von K(v)
nach R bezeichne. Geben Sie Av explizit an und beweisen Sie die Aussage.
Die Berechnung des Supremums in Teil (b) der vorhergehenden Aufgabe ist ein konvexes Optimierungsproblem und wir betrachten in der folgenden Aufgabe ein allgemeines Problem der konvexen
Optimierung.
Für eine konvexe Teilmenge K ⊂ V eines reellen Vektorraumes V bezeichne ext(K) die Menge der
Extremalpunkte von K. Dies sind alle alle Punkte in K, die sich nicht als Konvexkombination zweier
verschiedener Punkte aus K schreiben lassen, d.h.
n
o
ext(K) := x ∈ K | 6 ∃λ ∈ (0, 1), a, b ∈ K\{x} mit x = λa + (1 − λ)b .
Für einen abgeschlossenen konvexen Polyeder P ⊂ Rn ist ext(P ) gerade die Menge der Eckpunkte
von P .
Aufgabe 3 (Konvexe Optimierung, Teil 1)
(7 Punkte)
Sei (X, k·k) ein normierter Raum mit einer strikt konvexen Normabbildung k·k : X −→ [0, ∞).
Ferner sei K ⊂ X eine nichtleere konvexe und kompakte Teilmenge.
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(a) Sei ϕ : X −→ R oberhalbstetig, d.h für alle Folgen (xk )k∈N mit x := limk→∞ xk ∈ X gilt
lim sup ϕ(xk ) ≤ ϕ(x).
k→∞
Zeigen Sie, dass ein xmax ∈ K existiert mit
ϕ(xmax ) = sup ϕ(x).
x∈K
(b) Sei ϕ : X −→ R oberhalbstetig und konvex. Zeigen Sie, dass
max ϕ(x) = max ϕ(x).
x∈K
x∈ext(K)
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