Prof. Dr. Reinhard Höpfner Frederik Klement Grundlagen der Stochastik Blatt 5 (überarbeitete Version) Aufgabe 1:( 4 Punkte) den Raum der Man werfe k Kugeln in N Zellen, Mehrfachbelegung erlaubt. Bezeichne ΩN,k 4 entstehenden Besetzungsmustern. ΩN,k := {F : {1, 2, ...N } → N0 : 4 N X F (i) = k} i=1 Zeigen Sie |ΩN,k 4 |= (N + k − 1)! . (N − 1)!k! Aufgabe 2:( 3 + 3 + 3 Punkte) Für die Verteilung von k Partikeln auf N unterscheidbare Zellen ( Zustände ) wurden in der Physik verschiedene Modelle aufgestellt, welche das Wesen der Partikel widerspiegeln sollen. • Maxwell-Boltzmann: Partikel sind unterscheidbar, • Bose-Einstein: Partikel sind nicht unterscheidbar, Mehrfachbelegung von Zellen erlaubt, • Fermi-Dirac: Partikel sind nicht unterscheidbar, jede Zelle fasst genau ein Partikel. Ordnen Sie diese physikalischen Modelle den aus der Vorlesung bekannten Grundräumen zu und berechnen Sie die Mächtigkeit der folgenden Teilmengen. PN a) In der i-ten Zelle befinden sich ki Partikel wobei i=1 ki = k. b) In den m fest gewählten Zellen Z1 , Z2 , ..., Zm befindet sich jeweils ein Partikel. Aufgabe 3:( 1 + 2 Punkte) Eine Großmutter hat sechs Enkel. Diese Enkel sind sehr lieb, denn alle Sechs schreiben der Großmutter einmal pro Woche einen Brief, welcher dann unabhängig von den Briefen der anderen Enkel mit gleicher Wahrscheinlichkeit an einem der Tage von Montag bis Samstag bei den Großmutter eintrifft. Dennoch kann sich die Großmutter über die Briefe ihrer Enkel nur dann wirklich freuen, wenn sie an jedem Tag der Woche, den Sonntag ausgenommen, einen Brief bekommt. So eine Woche nennt sie eine gute Woche“. ” a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Woche eine gute Woche“ ? ” b) Aus wie vielen Wochen muss ein Zeitraum bestehen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von über 90% eine gute Woche“ dabei ist? (Die Briefe von verschiedenen Wochen sind ” unabhängig voneinander.) 1 Prof. Dr. Reinhard Höpfner Frederik Klement Aufgabe 4:( 4 Punkte) Wir wollen den Poisson-Approximationssatz beweisen. Sei dazu Pn,p := Bin(n, q) die Binomialverteilung mit n Versuchen und Erfolgswahrscheinlichkeit q, i.e. n k Pn,p [{k}] = p (1 − p)n−k für k ∈ {0, 1, 2, ..., n}. k Sei Folge (pn )n∈N ⊂ (0, 1) von Erfolgswahrscheinlichkeiten mit der Eigenschaften mit limn→∞ npn = λ ∈ (0, ∞) gegeben. Zeigen Sie, dass lim Pn,pn [{k}] = e−λ λk /k! für alle k ∈ N. n→∞ Abgabe: Freitag, 27.11.15, 10 Uhr 2