Elektromagnetische Wellen 141372 Formelsammlung Ruhr-Universität Bochum Dr. Thomas Mussenbrock Taylor-Entwicklung Entwicklung der Funktion f (x) um die Stelle x = x0 f (x) = ∞ X 1 (n) f (x0 )(x − x0 )n n! n=0 Entwicklung der Funktion f (x = a + x0 ) um die Stelle a ∞ X 1 n (n) f (a + x0 ) = x f (a) n! 0 n=0 Entwicklung des skalaren Feldes φ(~r + ~r0 ) um den Ort ~r φ(~r + ~r0 ) = ∞ X 1 (~r0 · ∇)n φ(~r) n! n=0 Delta-Funktion Ausblendeigenschaft Z b f (x0 ) f (x)δ(x − x0 )dx = 0 a Äquivalenzrelation X δ [f (x)] ≡ i 1 |f 0 (x i )| δ(x − xi ) für alle x0 ∈ (a, b) sonst 0 mit f 0 (xi ) 6= 0 und xi einfache Nullstelle von f (x) Vektoralgebra und Vektoranalysis (~u × ~v ) · w ~ = (~v × w) ~ · ~u = (w ~ × ~u) · ~v ~u × (~v × w) ~ = (~u · w)~ ~ v − (~u · ~v ) w ~ (~u × ~v ) · (w ~ × ~x) = (~u · w) ~ (~v · ~x) − (~u · ~x) (~v · w) ~ (~u × ~v ) × (w ~ × ~x) = [(~u × ~v ) · ~x] w ~ − [(~u × ~v ) · w] ~ ~x ∇ × ∇φ = 0 ∇ · ∇ × ~u = 0 ∇ × ∇ × ~u = ∇∇ · ~u − ∇2 ~u ∇ · φ~u = ~u · ∇φ + φ∇ · ~u ∇ × φ~u = ∇φ × ~u + φ∇ × ~u ∇(~u · ~v ) = (~u · ∇) ~v + (~v · ∇) ~u + ~u × ∇ × ~v + ~v × ∇ × ~u ∇ · (~u × ~v ) = ~v · (∇ × ~u) − ~u · (∇ × ~v ) ∇ × (~u × ~v ) = ~u∇ · ~v − ~v ∇ · ~u + (~v · ∇) ~u − (~u · ∇) ~v 1 Integralsätze Z ∇φ · d~s = φ(P ) − φ(Q) S Z ∇ × ~u · df~ = ZF I ~u · d~s I ~n × ∇φdf = φd~s ∂F F Z ZV ZV 3 ZV I ∇ · ~ud r = I 3 ∇φd r = ~u · df~ Integralsatz von Gauß ∂V φdf~ ∂VI ∇ × ~ud3 r = df~ × ~u ∂V V Z Integralsatz von Stokes ∂F I (φ∇ ψ + ∇φ · ∇ψ)d r = φ∇ψ · df~ 1. Green-Theorem ∂V I (φ∇2 ψ − ψ∇2 φ)d3 r = (φ∇ψ − ψ∇φ) · df~ 2. Green-Theorem 2 V 3 ∂V Kartesische Koordinate Kartesische Koordinaten x, y, z mit den orthonormierten Einheitsvektoren ~ex , ~ey , ~ez mit Definitionsbereich x ∈ R, y ∈ R, z ∈ R Zusammenhang zwischen kartesischen Koordinaten, Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten x R cos ϕ r sin ϑ cos ϕ y = R sin ϕ = r sin ϑ sin ϕ z z r cos ϑ Zusammenhang zwischen den Komponenten eines Vektorfeldes ~u in kartesischen Koordinaten, Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten ux cos ϕ − sin ϕ 0 uR sin ϑ cos ϕ cos ϑ cos ϕ − sin ϕ ur uy = sin ϕ cos ϕ 0 uϕ = sin ϑ sin ϕ cos ϑ sin ϕ cos ϕ uϑ uz 0 0 1 uz cos ϑ − sin ϑ 0 uϕ Differentielles Linien-, Flächen- und Volumenelement in kartesischen Koordinaten d~s = ~ex dx + ~ey dy + ~ez dz df~ = ~ex dydz + ~ey dxdz + ~ez dxdy d3 r = dxdydz 2 Vektoranalytische Ausdrücke in kartesischen Koordinaten ∂φ ∂φ ∂φ + ~ey + ~ez ∂x ∂y ∂z ∂ux ∂uy ∂uz ∇ · ~u = + + ∂x ∂y ∂z ∂uy ∂uy ∂uz ∂ux ∂uz ∂ux ∇ × ~u = ~ex + ~ey + ~ez − − − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y 2 2 2 ∂ φ ∂ φ ∂ φ + 2 + 2 ∇2 φ = ∆φ = ∂x2 ∂y ∂z ∇φ = ~ex Zylinderkoordinaten Zylinderkoordinaten R, ϕ, z mit den orthonormierten Einheitsvektoren ~eR , ~eϕ , ~ez mit Definitionsbereich R ∈ [0, ∞), ϕ ∈ [0, 2π), z ∈ R Zusammenhang zwischen Zylinderkoordinaten, Kugelkoodinaten und kartesischen Koordinaten y x > 0, y > 0 , arctan p x R r sin ϑ x2 + y 2 y ϕ = ϕ = arc(x, y) mit arc(x, y) = arctan + π, x<0 x z r cos ϑ z arctan y + 2π, x > 0, y < 0 x Zusammenhang zwischen den Komponenten eines Vektorfeldes Kugelkoordinaten und kartesischen Koordinaten uR sin ϑ cos ϑ 0 ur cos ϕ sin ϕ uϕ = 0 0 1 uϑ = − sin ϕ cos ϕ uz cos ϑ − sin ϑ 0 uϕ 0 0 ~u in Zylinderkoordinaten, 0 ux 0 uy 1 uz Differentielles Linien-, Flächen- und Volumenelement in Zylinderkoordinaten d~s = ~eR dR + ~eϕ Rdϕ + ~ez dz df~ = ~eR Rdϕdz + ~eϕ dRdz + ~ez RdRdϕ d3 r = RdRdϕdz Vektoranalytische Ausdrücke in Zylinderkoordinaten ∂φ 1 ∂φ ∂φ + ~eϕ + ~ez ∂R R ∂ϕ ∂z 1 ∂ 1 ∂uϕ ∂uz ∇ · ~u = (RuR ) + + R ∂R R ∂ϕ ∂z ∂uϕ 1 ∂uz ∂uR ∂uz 1 ∂ 1 ∂uR ∇ × ~u = ~eR − + ~eϕ − + ~ez (Ruϕ ) − R ∂ϕ ∂z ∂z ∂R R ∂R R ∂ϕ 2 2 1 ∂ ∂φ 1 ∂ φ ∂ φ ∇2 φ = ∆φ = R + 2 + 2 R ∂R ∂R R ∂ϕ2 ∂z ∇φ = ~eR 3 Kugelkoordinaten Kugelkoordinaten r, ϑ, ϕ mit den orthonormierten Einheitsvektoren ~er , ~eϑ , ~eϕ mit Definitionsbereich r ∈ [0, ∞), ϑ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0, 2π) Zusammenhang zwischen Kugelkoordinaten, kartesischen Koordianten und Zylinderkoordinaten p √ x2 + y 2 + z 2 2 + z2 R ! p r x2 + y 2 ϑ = arctan = arctan R , (arc siehe Zylinderkoord.) z z ϕ y ϕ arc x Zusammenhang zwischen den Komponenten eines Vektorfeldes ~u in kartesischen Koordinaten und Zylinderkoordinaten sin ϑ ur sin ϑ cos ϕ sin ϑ sin ϕ cos ϑ ux uϑ = cos ϑ cos ϕ cos ϑ sin ϕ − sin ϑ uy = cos ϑ 0 − sin ϕ cos ϕ 0 uz uϕ Kugelkoordinaten, 0 cos ϑ uR 0 − sin ϑ uϕ 1 0 uz Differentielles Linien-, Flächen- und Volumenelement in Kugelkoordinaten d~s = ~er dr + ~eϑ rdϑ + ~eϕ r sin ϑdϕ df~ = ~er r2 sin ϑdϑdϕ + ~eϑ r sin ϑdrdϕ + ~eϕ rdrdϑ d3 r = r2 sin ϑdrdϑdϕ Vektoranalytische Ausdrücke in Kugelkoordinaten ∂φ 1 ∂φ 1 ∂φ + ~eϑ + ~eϕ ∂r r ∂ϑ r sin ϑ ∂ϕ 1 ∂ 1 ∂ 1 ∂uϕ ∇ · ~u = 2 r2 ur + (uϑ sin ϑ) + r ∂r r sin ϑ ∂ϑ r sin ϑ ∂ϕ 1 ∂ ∂uϑ ∇ × ~u = ~er (uϕ sin ϑ) − + ... r sin ϑ ∂ϑ ∂ϕ 1 1 ∂ur ∂ 1 ∂ ∂ur · · · + ~eϑ − (ruϕ ) + ~eϕ (ruϑ ) − r sin ϑ ∂ϕ ∂r r ∂r ∂ϑ 2 ∂ 1 ∂ ∂φ 1 ∂φ 1 ∂ φ ∇2 φ = ∆φ = 2 r2 + 2 sin ϑ + 2 2 r ∂r ∂r r sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ r sin ϑ ∂ϕ2 ∇φ = ~er 4
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