Wissenschaftliches Rechnen, Uni Kiel

Wissenschaftliches Rechnen
WS 2015/16
Steffen Börm, Daniel Hans, Christina Börst
Für eine (m + 1)-mal stetig differenzierbare Funktion f : [a, b] → R lässt sich zeigen, dass für
das in der Vorlesung definierte Interpolationspolynom p und x ∈ [a, b]
f (x) − p(x) = (x − ξ0 ) . . . (x − ξm )
f (m+1) (ν)
(m + 1)!
mit einem ν ∈ [a, b] gilt.
Aufgabe 7
Es seien s := [a, b] ⊂ R ein Intervall,
f (x, y) :=
1
(x − y)2
für alle x, y ∈ R mit x 6= y,
y ∈ R>b und fy : [a, b] → R, x 7→ f (x, y). Außerdem sei η ∈ R≥0 so gewählt, dass
diam(s) ≤ η dist(s, y)
gelte. Zeigen sie mit Hilfe von (1), dass für das Interpolationspolynom p von fy
|fy (x) − p(x)| ≤
m+2
· η m+1
dist(s, y)2
für alle x ∈ s
gilt. (m ∈ N0 bezeichnet hier den Grad des Interpolationspolynoms.)
Aufgabe 8
a) Zeigen Sie, dass
Z1
p(x) dx = 2p(0)
−1
für alle linearen Polynome p gilt.
b) Zeigen Sie, dass für eine auf [−1, 1] zweimal stetig differenzierbare Funktion f
1
Z
f (x) dx − 2f (0) ≤ max{|f 00 (x)| : x ∈ [−1, 1]}
−1
gilt. (Hinweis: Mittelwertsatz für Integrale und Taylor-Entwicklung.)
(1)
Programmieraufgabe 4
Schreiben Sie eine Funktion, die mit Hilfe des Leapfrog-Verfahrens das Verhalten der zweidimensionalen Wellengleichung simuliert.
Abgabe: Donnerstag, den 26.11.2015 bis 10:15 Uhr.
(Die Aufgaben sind zu Beginn der Vorlesung abzugeben, Programmieraufgaben per Mail
an den jeweiligen Übungsgruppenleiter [email protected] bzw. Übungsgruppenleiterin [email protected].)

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