Prof. Dr. Marcel Griesemer Roman Bauer, Dr. Jochen Schmid FB Mathematik, Universität Stuttgart Seite 1 von 2 Datum: 15. April 2016 Analysis 2 (SS 2016) — Vortragsübung 2 2.1. Für eine Funktion f : [a, b] → C sei die Funktion F : R → C definiert durch Z b f (x) sin(kx) dx. F (k) = a Zeigen Sie: i) Ist f eine Treppenfunktion, dann ist |F (k)|−→ 0 für |k| → ∞. ii) Schließen Sie, dass diese Eigenschaft auch für Regelfunktionen gültig ist. 2.2. Sei fm : R → R für m ∈ N gegeben durch 1 (1 + x2 )m R : R → R gegeben durch Im = fm (x) dx. fm (x) = und sei die Funktion Im i) Zeigen Sie, dass I1 = arctan(x) + C. ii) Beweisen Sie für m ≥ 1 die Rekursionsformel 1 x Im+1 = + (2m − 1)Im . 2m (1 + x2 )m Hinweis: Verwenden Sie partielle Integration. 2.3. i) Zeigen Sie die folgenden Formeln: Z c2n π/2 = sin2n (x) dx = 2n − 1 3 1 π · ... · · · , 2n 4 2 2 (1) sin2n+1 (x) dx = 4 2 2n · ... · · . 2n + 1 5 3 (2) 0 Z c2n+1 = π/2 0 ii) Zeigen Sie, dass limn→∞ c2n+1 c2n = 1. iii) Schließen Sie auf die Wallische Produktdarstellung ∞ Y π 4n2 = . 2 (2n − 1)(2n + 1) n=1 Prof. Dr. Marcel Griesemer Roman Bauer, Dr. Jochen Schmid FB Mathematik, Universität Stuttgart Seite 2 von 2 Datum: 15. April 2016 2.4. Sei n ∈ N0 und c ∈ C\{0} und Inc = Z xn ecx dx. i) Beweisen Sie für n ≥ 1 die Rekursionsformel 1 n c Inc = xn ecx − In−1 . c c ii) Zeigen Sie, dass der Grenzwert Z ∞ tn e−t dt = lim Z R→∞ 0 0 R tn e−t dt für jedes n ∈ N0 existiert. iii) Zeigen Sie, dass Z ∞ tn e−t dt = n! 0 gilt. 2.5. i) Sei ϕ : I = [0, α] → R eine differenzierbare Funktion, b ∈ R und es gelte für alle x ∈ I die Ungleichung ϕ0 (x) ≤ b · ϕ(x). Zeigen Sie, dass dann gilt, dass ∀x ∈ I : ϕ(x) ≤ ϕ(0) · ebx . ii) Gronwallsche Ungleichung: Sei f : I → R eine stetige Funktion und es gelte Z x ∀x ∈ I : f (x) ≤ a + b · f (y) dy. 0 Zeigen Sie, dass dann für alle x ∈ I die Abschätzung f (x) ≤ aebx gilt. 2.6. i) Sei f : [0, 1] → R eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Zeigen Sie, dass Z 1 1 f (x) dx = (f (0) + f (1)) + R, 2 0 wobei für das Restglied R gilt 1 R= 2 1 Z x(1 − x)f 00 (x) dx = 0 1 00 f (ξ) 12 für ein geeignetes ξ ∈ [0, 1]. ii) Seien f : [a, b] → R eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, n ≥ 1, h = K := sup{|f 00 (x)| : x ∈ [a, b]}. Zeigen Sie, dass dann gilt, dass Z b f (x) dx = a mit |R| ≤ K 12 (b − a)h2 . n−1 X 1 (f (a) + f (b)) + f (a + kh) 2 k=1 ! +R b−a n und