53 9 Innere Balkenbelastung Zur Dimensionierung von Maschinenelementen werden die inneren Belastungen benötigt. Dies ist besonders für schlanke Bauteile wie Achsen, Wellen, Streben und Stützen wichtig, die nur geringe innere Momente aufnehmen können. Für die Berechnung führt man einen virtuellen Schnitt durch das Bauteil und interpretiert den Zusammenhalt der beiden Hälften als starre Bindung, die bei räumlicher Betrachtung sechs, bei ebener Betrachtung drei Reaktionen übertragen kann. Bei bestimmt gelagerten Maschinenelementen können diese dann mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen gefunden werden. Gerade, schlanke Maschinenelemente werden als Balken modelliert, die Normalkräfte in Balkenlängsrichtung, Querkräfte in Balkenquerrichtung und Biegemomente aufnehmen können. Diese Größen hängen i. Allg. vom Ort des virtuellen Schnitts ab, so dass sich Verläufe in Abhängigkeit der Balkenlängskoordinate ergeben. Zwischen den Verläufen besteht ein differentieller Zusammenhang, der für die Berechnung genutzt werden kann. Bei unstetigen Verläufen bietet sich eine Notation nach Föppl an. ³ F1 ³ F2 ³ F4 ³ F3 ³ M1 ³ F1 ³ F2 ³ F ³ MP P ³ F4 ³ ³ ³ M1 F3 * MP ³ *F 54 9 Innere Balkenbelastung 9.1 Innere Kräfte und Momente Vorgehen zur Analyse statisch bestimmter Maschinenkomponenten 1) Freischneiden der Maschinenkomponente F1 F 1z p(x) p(x) F 1x M1 M1 2) Bestimmung der äußeren Reaktionen mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen für die Gesamtkomponente: Standard ȍ Fx + 0 ȍ Fz + 0 ȍ MPy + 0, Alternative ȍ Fx + 0 ȍ MPy + 0 ȍ MQy + 0 P beliebig P, Q beliebig mit x P 0 x Q 3) Gedanklicher Schnitt durch die Komponente und Bestimmung des inneren Kraftwinders aus den Gleichgewichtsbedingungen für den linken oder rechten Teil: Vorzeichenregelung für innere Belastungen Querkraft Q(x) Biegemoment M(x) P N(x) M(x) Normalkraft z Querkraft Q(x) aus Biegemoment M(x) aus Q(x) positives negatives Schnittufer Gleichgewichtsbedingungen Normalkraft N(x) aus x N(x) ȍ Fx + 0 ȍ Fz + 0 ȍ MPy + 0 M1 9 Innere Balkenbelastung 55 9.2 Querkraft− und Biegemomentenverlauf Graphische Darstellung von Q(x) und M(x) Fi p(x) O x Mi ci dQ + * p(x) dx z * Q(c ) i ) + Q(c i ) * F i Q(x) ci x dM + Q(x) dx M(x) * M(c ) i ) + M(c i ) * M i ci Beweis: dF + pdx x ȍ Fz + * Q(x) ) pdx ) ǒQ(x) ) dQǓ + 0 å dQ + * pdx M(x) P Q(x) M(x) ) dM Q(x) ) dQ å dQ +*p dx ȍ MPy + * M(x) * Q(x)dx ) pdx dx2 ) ǒ M(x) ) dM Ǔ + 0 å dM + Q(x)dx * p dx 2 å dM + Q(x) * p dx 2 dx Fi Q(c * i ) Q(c ) i ) 2 ȍ Fz + * Q(c*i ) ) Fi ) Q(c)i ) + 0 * å Q(c ) i ) + Q(c i ) * F i 56 9 Innere Balkenbelastung Beziehungen zwischen den Diagrammen dQ + * p(x) , dx dM + Q(x) dx p(x) <0 0 >0 Q(x) steigend konstant fallend <0 M(x) 0 >0 <0 0 Linkskurve fallend >0 <0 0 Gerade waagesteigend rechte Tangente fallend waagerecht >0 Rechtskurve steigend fallend waagesteigend rechte Tangente Typische Belastungen Einzelkräfte p Einzelmomente konstante Streckenlast p p kein Einfluss kein Einfluss x Q p konstant x Q Gelenk kein Einfluss x Q x Q linear kein Einfluss F Gelenk Sprung x M x M x M M quadratisch Sprung Knick x x Nullstelle x x x 9 Innere Balkenbelastung 57 9.3 Föppl−Symbol für unstetige Belastung Die mühselige bereichsweise Integration von p(x) und Q(x) zur Ermittlung von Q(x) und M(x) kann durch folgende Notation für unstetige Funktionen vermieden werden: ǂx * a ǃ n NJ 0 für n (x * a) für + ǂx * a ǃ xta xwa 0 ǂx * a ǃ 1 1 ǂx * a ǃ 1 2 1 a a x a x x Regeln der Differentiation und Integration ǂ d x*a dx ǃ n ǂ + n x * a ǃ n*1 , ŕ ǂc * a ǃ dc + n )1 1 ǂx * a ǃ x n n)1 . 0 Ermittlung von Querkraft− und Biegemomentenverlauf durch direkte Integration p(x) Fi Streckenlast p(x) Einzelkraft F i an Stelle c i O Mi x Einzelmoment M i an Stelle c i ci z Querkräfte Q(x) x Q(x) + * ci ŕ p(c)dc * ȍ F ǂx * c ǃ i 0 x i i M(x) Biegemomente x ci x M(x) + ŕ Q(c)dc * ȍ M ǂx * c ǃ i 0 i i 0 0 58 9 Innere Balkenbelastung
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