Kapitel 3.1 Platten

Platten
Vertiefung und Ergänzungen zu Stahlbeton II
18.11.2015
ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III
1
Platten - Grundlagen
Tragwerksanalyse / Berechnungsmethoden - Übersicht
Plastische Plattentheorie
Elastische Plattentheorie
Statische Methode
der Plastizitätstheorie
Lösung der Plattendifferentialgleichung
Approximative Lösungen
mit Energieverfahren
Methode der
Finiten Elemente
Momentenansätze
Kinematische Methode
der Plastizitätstheorie
Fliessgelenklinienmethode
Methode der stellvertretenden Rahmen
einfach
Streifenmethode
erweitert
18.11.2015
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2
Platten - Grundlagen
Ebene Elemente - Spannungsresultierende
nx
ny
V x dz
V y dz
W xy dz
³
³
my
h /2
vx
nx
³
W zx dz ,
vy
³
h /2
h /2
h /2
h /2
18.11.2015
m yx
³
W xy z dz
V x dz ,
ny
³
h /2
> kN/m @
W zy dz
h /2
V y dz ,
> kNm/m = kN @
h /2
h /2
h /2
³
mxy
h /2
h /2
nxy
mx
mxy
mxy
h /2
V y z dz ,
vx
vy
W zx dz
h /2
V x z dz ,
nxy
my
W zy dz
h /2
mx
W yx dz
nxy
n yx
³
W xy dz
> kN/m @
h /2
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Biegespannungszustand (Platte):
Biegemomente und
Querkräfte
Membranspannungszustand (Scheibe):
Membrankräfte
(Normal- /Schubkräfte)
3
Platten - Grundlagen
Ebene Elemente - Spannungsresultierende
Vorzeichenkonvention
h /2
mx
h /2
³
V x z dz ,
³
my
h /2
nx
³
mxy
m yx
³
W xy z dz
h /2
W zx dz ,
vy
³
h /2
h /2
h /2
V x dz ,
h /2
18.11.2015
ny
³
h /2
W zy dz
h /2
V y dz ,
• Positive Spannungen wirken an Elementen mit
positiver äusserer Normalenrichtung in positiver
Achsenrichtung
• Positive Membran- und Querkräfte entsprechen
positiven zugehörigen Spannungen
h /2
h /2
³
V y z dz ,
h /2
h /2
vx
h /2
nxy
n yx
³
h /2
W xy dz
• Positive Momente entsprechen positiven
zugehörigen Spannungen für z > 0
• Indizes: 1. Index: Richtung der Spannung
2. Index: Normalenrichtung des Elements,
an dem Spannung wirkt
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4
Platten – Statische Beziehungen
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5
Platten – Gleichgewicht
Gleichgewichtsbedingungen – kartesische Koordinaten
o Plattengleichgewichtsbedingung:
w 2 mxy w 2 m y
w 2 mx
2
q
wx 2
wxwy
wy 2
Balken in
x-Richtung
zusätzlich:
Drillmomente
0
Balken in
y-Richtung
Herleitung über Gleichgewicht am differentiellen Plattenelement:
wv y ·
§
wv
§
·
dy ¸ dx ¨ vx x dx ¸ dy q dxdy 0
vx dy v y dx ¨ v y wy
wx ¹
©
©
¹
wmxy ·
§
wm
§
·
mx dy mxy dx ¨ mx x dx ¸ dy ¨ mxy dy ¸ dx vx dydx
w
w
x
y
©
¹
©
¹
wm y ·
wm yx ·
§
§
m y dx m yx dy ¨ m y dy ¸ dx ¨ m yx dx ¸ dy v y dxdy
w
y
w
x
©
¹
©
¹
0
0
wvx wv y
q 0
wx wy
wmx wmxy
vx 0
wx
wy
wm y wm yx
vy 0
wy
wx
Terme mit (dx)2 bzw. (dy)2 vernachlässigt
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Platten – Gleichgewicht
Spannungstransformation: Biege- und Drillmomente
Biege- und Drillmomente in einer beliebigen
Richtung M
mn
mx cos 2 M m y sin 2 M mxy sin 2M
mt
mx sin 2 M m y cos 2 M mxy sin 2M
mtn
m
y
18.11.2015
tan 2M1
mx sin M cos M mxy cos 2M
NB: sin 2M
Hauptrichtung M1 (Drillmomente = 0)
und Hauptmomente (o Mohr’scher Kreis):
m1,2
2mxy
mx m y
mx m y
2sin M cos M, cos 2M cos M sin M
2
2
r
m
2
x m y 4mxy
2
2
2
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Platten – Gleichgewicht
Spannungstransformation: Querkräfte
Querkräfte in einer beliebigen Richtung M
vn
vx cos M v y sin M
vt
vx sin M v y cos M
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Hauptquerkraft und zugehörige Richtung M0
(Interpretation mit Thaleskreis):
v0
tan M0
vx2 v y2
vy
vx
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(allgemein ist M0 z M1)
8
Platten – Randbedingungen
Randbedingungen auf der Basis von Gleichgewichtsüberlegungen
Aus der Sicht der statischen Methode der Plastizitätstheorie ergibt sich eine Erklärung der Tragwirkung im
Bereich von Plattenrändern, welche nur auf Gleichgewichtsüberlegungen beruht:
o In einer schmalen Randzone der Platte muss aus Gleichgewicht
eine Randquerkraft Vt -mtn existieren, sofern der Plattenrand
spannungsfrei ist und die in der Randzone auftretenden
Spannungen Vt sich in t-Richtung nicht ändern (Clyde, 1979)
Querkraft in Randzone
o Aus der Randquerkraft Vt -mtn folgen die Eckkräfte 2 mtn
und der Beitrag von mtn,t zur Stützkraft
Stützkraft
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Eckkraft
9
Platten – Randbedingungen
Randbedingungen auf der Basis von Gleichgewichtsüberlegungen
o Randbedingungen auf Basis von Gleichgewichtsüberlegungen:
• eingespannter Rand: mn, mtn und vn beliebig
• einfach gelagerter Rand: mn = 0, resultierende Stützkraft:
vn wmtn
wt
wmn
wm
2 nt
wn
wt
• freier Rand: mn = 0, verschwindende Stützkraft:
vn 18.11.2015
wmtn
wt
wmn
wm
2 nt
wn
wt
0
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Stützkraft
10
Platten – Randbedingungen
Randbewehrung
Werden entlang von einfach gelagerten und freien Rändern Drillmomente in Rechnung gestellt, so ist eine
Bewehrung zur Aufnahme von Vt -mtn anzuordnen.
Veranschaulichung (Ecke, reine Drillung):
o Ober- und Unterseite: zueinander senkrechte, unter 45° zu den Plattenrändern geneigte
Betondruckstreben, Aufnahme der randnormalen Komponenten durch randparallele Bewehrung
o Komponenten in Richtung der Plattenränder werden durch geneigte Betondruckstreben in den
Randstreifen weitergeleitet; Vertikalkomponenten entsprechen den Randquerkräften Vt -mtn
o Aufnahme von Vt
-mtn mit Steckbügeln oder entsprechender Abbiegung der Biegebewehrung
Randquerkraft Vt
Kraftfluss in Plattenecke
2 mnt
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Platten – Randbedingungen
Diskontinuitäten
Im Platteninnern sind statische Diskontinuitätslinien zulässig (↔ Äquivalenz von Drillmomenten am
Plattenrand und Randquerkräften, man füge in Gedanken zwei freie Plattenränder zusammen).
An Diskontinuitätslinien
→ müssen Biegemomente mn stetig sein (mn+ = mn-)
→ dürfen Drillmomente mnt und Querkräfte vn springen (mnt+ ≠ mnt-, vn+ ≠ vn-)
Somit gelten für eine statische Diskontinuitätslinie, entlang welcher eine Querkraft Vt abgetragen wird,
folgende Bedingungen:
mn
Vt
wVt
wt
mn
mnt mnt
vn vn
Diskontinuität
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Platten - Fliessbedingungen
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Platten – Fliessbedingungen
Fliessbedingungen von Tresca und v. Mises für isotrope Platten (Stahl etc.)
(für Stahlbeton nicht geeignet, auch bei «isotroper Bewehrung»!)
Hn
n
h 2
f s mu f s mu d fs
mn
h 2
Vn
mu
Fn
d fs
z
V 2 m2 h2
fs
4
W xy mxy f s 2 mu 2 V y my f s mu V1 m1 f s mu V x mx f s mu f s mu f s mu f s mu Fliessregimes nach Tresca:
(2 ellipt. Kege, ellipt. Zylinder)
ABF: )
mu mx mu my mxy2
BCEF: )
m
CDE: )
mu mx mu my mxy2
m y 4mxy2 mu2
2
x
0
0
Im vollplastifizierten Zusta
Zustand (resp. starr-plastisches Verhalten) ist der
Spannungszustand
and auf
a jeder Seite der Mittelebene konstant o
Fliessbedingung
ngung analog wie im ebenen Spannungszustand:
T:
M
Max V1 , V2 , V1 V 2 f s
vM
vM:
V2x V x V y V 2y 3W2xy f s2
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0
0
o
Max m1 , m2 , m1 m2 mu
o
mx2 mx m y m y2 3mxy2 mu2
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0
0
14
0
Platten – Fliessbedingungen
Fliessbedingungen für Stahlbetonplatten
Biegewiderstände mx,u und my,u einer orthogonal bewehrten Platte (Bewehrung in x- und y-Richtung):
f cd
f cd
ax ' V s
mx , u
cx
a y ' V s
m y ,u
x
cy
Ohne Normalkräfte ergeben
sich die Druckzonenhöhen cx
und cy und damit mx,u und
my,u aus Gleichgewicht.
y
a y f sd
ax f sd
Schnitt x-Richtung
Schnitt y-Richtung
Da Bewehrung orthogonal,
ist mxy ,u 0
Durch Superposition der Biegewiderstände in den Bewehrungsrichtungen und Transformation in eine
beliebige Richtung (analog zu den Spannungstransformationen) ergeben sich die Biege- und Drillmomente
mn , mt und mnt in n- und t-Richtung (statisch zulässiger Spannungszustand):
18.11.2015
mn
mx ,u cos 2 M my ,u sin 2 M
mt
mx ,u sin 2 M m y ,u cos 2 M
mnt
m
y ,u
mx ,u sin M cos M
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Sämtliche Membrankräfte
verschwinden:
nt
nn
nnt
0
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Platten – Fliessbedingungen
Fliessbedingungen für Stahlbetonplatten
Der Widerstand wird anhand der Normalmomente überprüft («Normalmomenten-Fliessbedingung»).
Falls die Druckzonenhöhen gleich sind, d.h. cx = cy , kann zu dem statisch zulässigen Spannungszustand
ein kinematisch verträglicher Bruchmechanismus (Fliessgelenklinie, siehe später) gefunden werden. Es
resultiert eine vollständige Lösung und damit
mn ,u
mx ,u cos 2 M my ,u sin 2 M
m 'n ,u
m 'x ,u cos 2 M m ' y ,u sin 2 M
mt ,u
mx ,u sin 2 M m y ,u cos 2 M
m 't ,u
m 'x ,u sin 2 M m ' y ,u cos 2 M
Biegewiderstand für positive Biegemomente
Biegewiderstand für negative Biegemomente («‘»)
(Vorzeichen Biegewiderstand positiv)
Für cx ≠ cy liefert der statisch zulässige Spannungszustand einen unteren Grenzwert der Traglast:
mn ,u t mx ,u cos 2 M my ,u sin 2 M
m 'n ,u t m 'x ,u cos 2 M m ' y ,u sin 2 M
mt ,u t mx ,u sin 2 M my ,u cos 2 M
m 't ,u t m 'x ,u sin 2 M m ' y ,u cos 2 M
Die Unterschiede bzgl. der Druckzonenhöhe in x- und y-Richtung sind in der Regel gering, so dass in guter
Näherung das Ungleichheitszeichen unterdrückt werden darf.
NB: Mit einem Definitionsbereich für den Winkel Mvon {0 ≤ M ≤ S} ist die Beziehung für mn ausreichend.
18.11.2015
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Platten – Fliessbedingungen
Fliessbedingungen für Stahlbetonplatten
Wird die Einwirkung mn in der massgebenden Richtung Mu gleich dem Widerstand mn,u gesetzt, erhält man:
mx ,u cos Mu my ,u sin Mu
2
2
!
mn ,u mn
mx cos 2 Mu my sin 2 Mu 2mxy sin Mu cos Mu
Unter Beachtung, dass die Bedingung mn,u ≥ mn für alle Richtungen Merfüllt sein muss, resultiert (*):
für positive
Biegemomente:
m
m
tan M u
x ,u
mx y ,u m y für negative
Biegemomente:
tan M 'u
m '
m '
x ,u
y ,u
mx my mx , u
mx mxy tan Mu
m ' x ,u
mx mxy tan M 'u
m y ,u
my mxy cot Mu
m ' y ,u
m y mxy cot M 'u
Widerstand
Einwirkung
Widerstand
Einwirkung
(*) In der massgebenden Richtung Mu (Berührungspunkt mn,u (M) und mn (M)) ist die Differenz mn,u mn minimal, somit:
w
w
w
mn ,u M mn M min! o
mn ,u M mn M 0,
mn ,u (M)
mn (M)
o m y ,u mx ,u m y mx mxy cot Mu tan Mu wM
wM
wM
woraus durch Rückeinsetzen, nach einiger Umformung, die angegebenen Beziehungen folgen.
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Platten – Fliessbedingungen
Fliessbedingungen für Stahlbetonplatten
mn ,u
mn
m 'n ,u
Biegemomente mn in Funktion von M o massgebende Richtung Mu
MM → Richtungen, in der das einwirkende positive bzw. negative Moment maximal werden
(Hauptmomentenrichtungen für mn)
MuM’u → Richtungen, in der die Einwirkungskurve die Widerstandskurve berührt. Hier ist mn = mn,u
Allgemein ist M ≠ Mu bzw. M ≠ M’u → Bemessung von mn,u auf Hauptmoment m1 ist nicht konservativ!
18.11.2015
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18
Platten – Fliessbedingungen
Normalmomenten-Fliessbedingung
Wird Mubzw. M’u aus den voherigen Gleichungen eliminiert, folgt aus der Bedingung m 'n ,u d mn d mn ,u
die sogenannte Normalmomenten-Fliessbedingung:
≥0
Y
≥0
mxy2 mx ,u mx m y ,u m y 0
Y ' mxy2 m 'x ,u mx m ' y ,u m y 0
≥0
≥0
Ist Y t 0 bzw. Y ' t 0 , so ist die Fliessbedingung erfüllt.
Die Normalmomenten-Fliessbedingung bildet im
(mx, my, mxy) - Raum zwei elliptische Kegel. Auf
den Kegelflächen ist Fx Fy 0 (aus Fliessgesetz),
d.h. eine der beiden Hauptkrümmungen
verschwindet. Die verträglichen Mechanismen
entsprechen daher abwickelbaren Flächen.
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Y'
Y
0
0
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Platten – Fliessbedingungen
Normalmomenten-Fliessbedingung
Wird Mubzw. M’u aus den voherigen Gleichungen eliminiert, folgt aus der Bedingung m 'n ,u d mn d mn ,u
die sogenannte Normalmomenten-Fliessbedingung:
≥0
≥0
mxy2 mx ,u mx m y ,u m y 0
Y
Y ' mxy2 m 'x ,u mx m ' y ,u m y 0
≥0
Dito, mit Schreibweise nach SIA 262:
Y
≥0
≥0
≥0
mxy2 ,d mx , Rd mx ,d m y , Rd m y ,d 0
Y ' mxy2 ,d m 'x , Rd mx ,d m ' y , Rd m y ,d 0
≥0
18.11.2015
≥0
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Platten – Fliessbedingungen
Bemessungsmomente
Die Normalmomenten-Fliessbedingung kann in parametrisierter Form geschrieben werden. Dabei wird
k tan Mu und k' tan M 'u gesetzt. Es folgen daraus die Bemessungsmomente:
für positive
Biegemomente:
mx ,u t mx k mxy
1
m y ,u t m y mxy
k
für negative
Biegemomente:
m 'x ,u t mx k ' mxy
1
m ' y ,u t m y mxy
k'
Dito, mit Schreibweise nach SIA 262:
mx , Rd t mx ,d k mxy ,d
1
m y , Rd t m y ,d mxy ,d
k
m 'x , Rd t mx ,d k ' mxy ,d
1
m ' y , Rd t m y ,d mxy ,d
k'
NB: Bei mehreren Beanspruchungen resp. Beanspruchungskombinationen ist der erforderliche
Biegewiderstand (mx, my)Rd grundsätzlich für zugehörige Schnittgrössen (mx, my, mxy)d zu ermitteln. Die in
vielen FE-Programmen implementierte Ermittlung der Biegewiderstände (mx, my)Rd aus nicht zugehörigen,
separat ermittelten «Grenzwerten» für mx,d, my,d und mxy,d ist oft stark auf der sicheren Seite.
18.11.2015
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Platten – Fliessbedingungen
Bemessungsmomente
Die Normalmomenten-Fliessbedingung kann in parametrisierter Form geschrieben werden. Dabei wird
k tan Mu und k' tan M 'u gesetzt. Es folgen daraus die Bemessungsmomente:
für positive
Biegemomente:
mx ,u t mx k mxy
1
m y ,u t m y mxy
k
für negative
Biegemomente:
Der Parameter k kann frei gewählt und die Bewehrung
direkt bemessen werden. Wird k = 1 gesetzt, so folgt
daraus die linearisierte Fliessbedingung, welche auch
von vielen Computerprogrammen verwendet wird.
m 'x ,u t mx k ' mxy
1
m ' y ,u t m y mxy
k'
k 1
NB: Die Normalmomenten-Fliessbedingung
überschätzt den Drillwiderstand von Platten. Vorsicht
ist geboten bei hoher Drillbeanspruchung mit
unterschiedlichem Vorzeichen der Hauptmomente,
beispielsweise bei Eckstützen.
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Platten – Fliessbedingungen
Bemessungsmomente – Beispiel
Gegeben: An 3 Ecken gestützte Quadratplatte mit Seitenlänge l , angreifende Eckkraft Q = 100 kN
Gesucht: Bemessungsmomente bei Bewehrung in Koordinatenrichtung und unter 45° dazu
a)
x
Einwirkung: Eckkraft 2mxy Q 100 kN
(= reine Drillung bezüglich der Bewehrungsrichtungen (x,y))
Q 100 kN
mx
my
0
mxy
50 kN
y
Linearisierte Fliessbedingungen:
mx ,u t mx k mxy
m 'x ,u t mx k ' mxy
0 50 50 kN
0 50 50 kN
1
m y ,u t m y mxy 0 50 50 kN
k
1
m ' y ,u t m y mxy 0 50 50 kN
k'
→ alle vier Bewehrungslagen (oben und unten in x- und y-Richtung) müssen auf mu t 50 kN
bemessen werden
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Platten – Fliessbedingungen
Bemessungsmomente – Beispiel
b) Drehen der Bewehrung um 45° in die n-t-Richtung
t
Einwirkungen: M 45q
(Bewehrung in Hauptmomentenrichtungen angeordnet!)
x
Q 100 kN
y
mn
mx cos 2 M m y sin 2 M mxy sin 2M mxy
mt
mx sin 2 M m y cos 2 M mxy sin 2M mxy
mnt
m
m 'n ,u t mn k ' mnt
50 kN
mx sin M cos M mxy cos 2M 0
n
Linearisierte Fliessbedingungen:
mn ,u t mn k mnt
y
50 kN
50 0 50 kN
50 0 50 kN o 0
1
mt ,u t mt mnt 50 0 50 kN o 0
k
1
m 't ,u t mt mnt 50 0 50 kN
k'
→ Bei Bewehrung in Hauptmomentenrichtung ist die halbe Bewehrungsmenge ausreichend: untere
Bewehrung in n-Richtung, obere Bewehrung in t-Richtung je für m t 50 kN
u
(negative Bemessungsmomente: keine Bewehrung erforderlich)
→ «Trajektorienbewehrung» optimal, aber selten praktikabel (Bewehrungslayout kompliziert,
Hauptrichtungen ändern infolge veränderlicher Einwirkungen)
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Platten – Fliessbedingungen
Reine Drillung F xy F x
Fy
0
F xy , mxy
X
F
2
1
F
Fx , F y
1
2
mx , m y
Y
18.11.2015
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Platten – Fliessbedingungen
Reine Drillung – Untersuchung mit Sandwichmodell (unterer Grenzwert)
f cd
c
Zd
§ Z·
d ¨1 ¸
© 2¹
as f sd
Isotrop bewehrt : mx ,u
mu
§
a f ·
as f sd ¨ d s sd ¸
2 f cd ¹
©
mxy2 mx ,u mx m y ,u m y 18.11.2015
mx ,u m y ,u
mu
mx' ,u
m 'y ,u
Z·
§
d 2 f cd Z ¨ 1 ¸
2¹
©
Zdf cd
• Normalmomenten-Fliessbedingung: mxy ,u
o mxy ,u
m y ,u
mu
0 mit mx , m y
mu
0
für m ' analog
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Platten – Fliessbedingungen
Reine Drillung – Untersuchung mit Sandwichmodell (unterer Grenzwert)
• Unterer Grenzwert
x
m yx
z
z
y
m yx
y
unten
oben
x
mxy
m yx
o asx f sd
asy f sd
asx' f sd
asy' f sd
m yx z
z
d.h. alle Bewehrungen fliessen auf Zug!
Schnitt unter 45°
asy f sd
2
as f sd
a
asx f sd
2
1
18.11.2015
asy sx
as f sd
h
Zd
2
as f sd
2
2as f sd
f cd
2Zd
as f sd
2
c
as f sd
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mu
§h
·
2Zdf cd ¨ Zd ¸
©2
¹
§h
·
d 2 f cd Z ¨ 2Z ¸
©d
¹
§ Z·
d 2 f cd Z ¨1 ¸
© 2¹
27
Platten – Fliessbedingungen
Reine Drillung – Untersuchung mit Sandwichmodell (unterer Grenzwert)
0.35
0.3
'
0.25
mxyu
2
d f cd
§ Z·
Z ¨1 ¸
© 2¹
75%
0.22
' 25%
0.117
0.2
0.15
Z 1 2Z
0.125
0.1
0.094
0.05
Annahme: cnom = 0 (d = h)
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Z
Eckstützen mit grossen Drillmomenten → Vorsicht!
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Platten – Fliessbedingungen
Sandwichmodell
M0
y
z
my
nx
ny
my
vy
nxy
z
mxy
ny
2
z
nxy
vx
vx v y
2vo tan D
vy 2
2v0 tan D
mxy
n yx
2
mx n x
z
2 mxy
my
z
ny
2
vy 2
2vo tan D
mxy
z
nxy
2
v0
z
vx
vy
mx
z
tan 1 (v y vx )
x
vx v y
z
vx 2
2v0 tan D
mx n x
vx 2
2 2vo tan D
z
2vo tan D
vx 2 v y 2
D
z cot D
v0 cot D
2
v0
v0 cot D
v0 cot D
2
Gleichgewichtslösung für allgemeine Schalenbeanspruchung (statisch zulässiger Spannungszustand):
•
Sandwichdeckel übernehmen Biege- und Drillmomente sowie allfällige Membrankräfte
→ ebene Beanspruchung, Behandlung als Scheibenelemente mit entsprechender Bewehrung,
Behandlung mit Fliessbedingungen für Scheibenelemente
→ Bemessung von allgemein beanspruchten für Schalenelementen (8 Spannungsresultierende)
•
Sandwichkern übernimmt Querkräfte
→ Sandwichkern trägt Hauptquerkraft v0 in der Richtung M0 ab (siehe Querkraft in Platten)
NB: Hohe Membran(druck)kräfte: Kern auch dafür nutzbar (Interaktion mit v beachten)
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Platten – Fliessbedingungen
Sandwichmodell
m
mxy xy
z
z
m
x
my
z
z
vx
vy
z
mxy
v x mx
my
mxy
vy
my
z
mxy
z
mxy
M0
z
y
z
tan 1 (v y vx )
x
v0
mx
z
vx 2 v y 2
z
z
o Platten unter reiner Biegebeanspruchung ohne Schubbewehrung:
nx = ny = nxy = 0, v0d ≤ vRd kd Wcd dv
o Terme mit nx, ny, nxy entfallen
o Terme mit vx, vy entfallen bei Annahme eines ungerissenen Kerns.
o Fliessbedingungen für Platten auf Basis des Sandwichmodells = Vereinfachung des allgemeinen Falls
eines Schalenelements mit acht Spannungsresultierenden (Platte: nur Biege- und Drillmomente
betrachtet, Berücksichtigung Plattenquerkräfte siehe Querkraft in Platten)
18.11.2015
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30
Platten – Fliessbedingungen
Sandwichmodell
m
mxy xy
z
z
m
x
my
z
z
vx
vy
z
mxy
v x mx
my
mxy
vy
my
z
mxy
mxy
M0
z
y
z
tan 1 (v y vx )
x
v0
vx 2 v y 2
mx
z
z
z
z
o Bewehrung der Sandwichdeckel = Fliessbedingungen für Platten nach statischer Methode:
asx f sd t
mxy
mx
k
z
z
d.h.
my
1 mxy
asy f sd t
z k z
mxu t mx k mxy
m yu t m y k 1 mxy
mcxu t mx k c mxy
mcyu t m y k c1 mxy
und durch Multiplikation folgt:
2
mxy
m
asx' f sd t x k ' z
z
§ mxy · § mxu mx · § m yu m y ·
¨
¸ ¨
¸ 0
¸¨
z
z
z
z
z
¹©
©
¹ ©
¹
my
§ mxy · § mxu mx · § m yu m y ·
¸ 0
¸¨
¨
¸ ¨
z ¹ ¨© z
z ¸¹
© z ¹ © z
asy' f sd t 18.11.2015
z
mxy
1
k'
z
2
'
'
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mit
mxu
zasx f sd
m yu
zasy f sd
mcxu
zasxc f sd
mcyu
zasyc f sd
Bedingung für Regime 1
(nicht aus NormalmomentenFliessbedingung ersichtlich):
f cd ztinf t mxu mx m yu m y
'
f cd ztsup t mxu
mx m 'yu m y
31
Platten – Fliessbedingungen
Fliessbedingungen für schiefe Bewehrung
Überlagerung der Biegewiderstände von k Bewehrungslagen in den Bewehrungsrichtungen \k
(Transformation aller {mk mku, mt 0} in die Richtungen x,y):
Px
Py
P xy
r
¦m
k 1
cos \ k
Px
sin \ k
Py
ku
r
¦m
k 1
'
2
ku
r
¦m
k 1
'
2
ku
sin \ k cos \ k
P 'xy
r
¦ m'
k 1
r
ku
¦m
k 1
cos 2 \ k
'
ku
¦ m'
ku
sin \ k
sin \ k cos \ k
m y sin M
z
2
r
k 1
mxy sin M
t
mx cos M
x
\k
k
mku
m yx cos M
1
Normalmomenten-Fliessbedingung für schiefe Bewehrung:
r
mau M | ¦ mku cos 2 M \ k P x cos 2 M P y sin 2 M 2P xy sin M cos M
k 1
r
mau M | ¦ m cos M \ k P x cos M P y sin M 2P xy sin M cos M
'
'
ku
2
'
2
'
y
2
k 1
(‘|’ da zwar Druckzonenhöhen unterschiedlich o kein verträgl. Mechanismus, aber Druckfelder
im Beton nicht orthogonal o fcd überschritten, somit kein sauberer unterer/oberer Grenzwert;
für nicht allzu grosse Bewehrungsgehalte jedoch sehr gute Näherung)
'
o Kontrolle der Bedingung mau M d ma M d mau M in alle Richtungen M siehe nächste Folie
18.11.2015
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32
Platten – Fliessbedingungen
Fliessbedingungen für schiefe Bewehrung
'
Kontrolle der Bedingung mau
M d ma M d mau M in alle Richtungen M:
600
S2
mau
m1
ma
0
M1 Mu
g
mau ma
m2
mau,
S2
600
0
18.11.2015
M
S
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[Seelhofer (2009)]
33
Platten – Fliessbedingungen
Beispiel für schiefe Bewehrung
\n
60q
x
mRdx
100 kNm/m
mRdn
100 kNm/m
m1 ! 0
\n
60q
asx
Px
mRdx cos 2 0q mRdn cos 2 60q 125 kNm/m
Py
mRdx sin 2 0q mRdn sin 2 60q 75 kNm/m
P xy
mRdx sin 0q cos 0q mRdn sin 60q cos 60q
M 120q
m2 0
y
asn
3 25 43.3 kNm/m
150
125
100
75
50
25
mRd M P x cos 2 M P y sin 2 M 2P xy sin M cos M
0
0
18.11.2015
30
60
90
120
150
180
M 120q : mRdmin
50 kNm/m
M 30q : mRdmax
150 kNm/m
Maxima und Minima der Biegewiderstände treten
nicht in den Bewehrungsrichtungen auf.
Vielmehr tritt ein Minimum im Bereich der
Winkelhalbierenden des stumpfen Winkels auf,
und der Widerstand ist bereits bei geringer
Schiefe deutlich reduziert
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34
Platten – Fliessbedingungen
Fliessbedingungen für schiefe Bewehrung
1
Unter Verwendung
schiefwinkliger Koordinaten
können Bemessungsgleichungen formuliert
werden (wie bei Scheiben):
m[
mx sin \ m y cos \ cot \ 2mxy cos \
mK
m y sin \
m[K
mK[
Y
Die NormalmomentenFliessbedingung in schiefwinkligen Koordinaten lautet:
(mit Nebenbedingungen)
Y'
y
mxy m y cot \
\
m'
nu
sin \ mK
x, [
mK[
1
2
m[K
mxu sin \ m[ mnu sin \ mK 0
2
'
m[K
mxu
sin \ m[
m[
m[K
mK
n, K
0
'
mxu
sin \ d m[ d mxu sin \
'
mnu
sin \ d mK d mnu sin \
Darstellung in Parameterform
o direkte Bemessung möglich:
(Parameter k und k’ frei wählbar,
minimale Bewehrung resultiert
für k = k’ = 1)
1
m[ k m[K
sin \
1
'
mxu
t
m[ k ' m[K
sin \
mxu t
k
sin \ tan Mu cos \
k'
sin \ tan Mu' cos \
1
mK k 1 m[K
sin \
1
1
'
mnu
t
mK k ' m[K
sin \
mnu t
[Seelhofer (2009)]
18.11.2015
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35
Platten – Fliessbedingungen
Fliessbedingungen für schiefe Bewehrung
Darstellung der Fliessbedingung:
(zwei elliptische Kegel; bei orthogonaler Bewehrung liegen die Spitzen in der Ebene mxy = 0
und die Schnittellipse in einer Ebene parallel zur mxy-Achse).
[Seelhofer (2009)]
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36
Platten – Fliessbedingungen
Schiefe Bewehrung
Unter Verwendung der
Parameterform ist die
Bemessung (und die
graphische Darstellung) analog wie bei
orthogonaler
Bewehrung möglich.
1
m[ k m[K
sin \
1
'
mxu
t
m[ k ' m[K
sin \
mxu t
'
1
sin \ tan Mu cos \
k 1
m[K sin \
mK sin \
mxu
mx
mxy
m[ sin \
0
1
'
mnu
k'
0
k
0
1
1
mxy
my
x, [
m[
mK[
y \
mK m[K
n, K
'
mnu
m yu
sin \ tan Mu cos \
k
k
1
mK k 1 m[K
sin \
1
1
'
mnu
t
mK k ' m[K
sin \
mnu t
cot 1 k 2 m[K sin \
f
m[K sin \
mK sin \
mxu
m[ sin \
0
2
cot 1 ª k ' º
»¼
¬«
f
'
mxu
m[K sin \
[Seelhofer (2009)]
Für Fälle, in denen in einer der beiden Bewehrungsrichtungen keine obere resp. untere
Bewehrung erforderlich ist, wird auf Seelhofer (2009) verwiesen.
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37
Platten - Gleichgewichtslösungen
18.11.2015
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38
Platten - Gleichgewichtslösungen
Tragwerksanalyse / Berechnungsmethoden - Übersicht
Plastische Plattentheorie
Elastische Plattentheorie
Statische Methode
der Plastizitätstheorie
Lösung der Plattendifferentialgleichung
Approximative Lösungen
mit Energieverfahren
Methode der
Finiten Elemente
Momentenansätze
Kinematische Methode
der Plastizitätstheorie
Fliessgelenklinienmethode
Methode der stellvertretenden Rahmen
einfach
Streifenmethode
erweitert
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Platten - Gleichgewichtslösungen
Übersicht
Gleichgewichtslösungen beruhen auf dem unteren bzw. statischen Grenzwertsatz der Plastizitätstheorie.
Voraussetzungen:
→ statisch zulässiger Spannungszustand (Gleichgewicht und
statische Randbedingungen erfüllt)
→ Fliessbedingungen nirgends verletzt
Ermittlung statisch zulässiger Spannungszustände:
• Elastische Plattentheorie: Neben Gleichgewicht und statischen Randbedingungen sind hier auch die
elastischen Verträglichkeitsbedingungen erfüllt. Mit der Methode der Finiten
Elemente können Fälle mit beliebiger Geometrie und Belastungen behandelt
werden (heute am weitesten verbreitetes Vorgehen). Daneben existieren
verschiedene Lehrbücher mit entsprechenden Tabellenwerken.
• Momentenansätze:
Kombination verschiedener Momentenfelder für ausgewählte Geometrien und
Belastungen
• Streifenmethode:
Diese auf HILLERBORG zurückgehende Methode geht von streifenförmigen
Biegeelementen in zwei orthogonalen Richtungen aus (einfache Streifenmethode). Mit der erweiterten Streifenmethode lassen sich Einzelkräfte unter
Zuhilfenahme entsprechender Momentenansätze resp. Lastverteilelemente
behandeln.
• Stellvertretende Rahmen: Globale Gleichgewichtslösung für Flach- und Pilzdecken (Verteilung der
Momente in Querrichtung in Anlehnung an elastische Lösungen).
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40
Platten - Gleichgewichtslösungen
Übersicht
Gleichgewichtslösungen eignen sich insbesondere für die Bemessung von Platten. Wird eine Platte nach
diesen Verfahren bemessen und ist ihr Verformungsvermögen ausreichend, so liegt ihre Traglast in keinem
Fall unter der zugehörigen Belastung.
Mit der statischen Methode der Plastizitätstheorie wird ein ausreichender Biegewiderstand sichergestellt.
Der Einfluss von Querkräften ist jedoch nicht berücksichtigt und separat zu untersuchen.
Findet sich zu einer Gleichgewichtslösung ein verträglicher Bruchmechanismus (siehe Kapitel Fliessgelenklinienmethode), so entspricht die gefundene Lösung einer vollständigen Lösung der Plastizitätstheorie. Es resultiert die (theoretisch) korrekte Traglast.
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41
Platten - Gleichgewichtslösungen
Momentenfelder: Grundlagen
Aufteilen der Last in die Anteile qx, qy und qxy ergibt:
w 2 mxy w 2 m y
w 2 mx
2
q
wx 2
wxwy
wy 2
0
oq
qx q y qxy
w 2 mx
wx 2
qx
w2my
wy 2
qy
2
Balken x-Richtung Balken y-Richtung
w 2 mxy
wxwy
qxy
Drillung
Die Aufteilung kann frei und prinzipiell an jeder Stelle der Platte anders vorgenommen werden.
Drei mögliche Grundfälle für mx, my, und mxy zur Aufnahme einer gleichmässig verteilten Flächenlast:
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42
Platten - Gleichgewichtslösungen
Momentenfelder: Kombination der Grundfälle
Die möglichen Grundfälle lassen sich für verschiedene Randbedingungen superponieren
(lineare Kombination):
N.B.:
Vollständige
Lösungen
nach
Plastizitätstheorie
18.11.2015
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43
Platten - Gleichgewichtslösungen
Momentenfelder: Kombination der Grundfälle
Die möglichen Grundfälle lassen sich für verschiedene Randbedingungen superponieren
(lineare Kombination):
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44
Platten – Gleichgewichtslösungen
Einfache Streifenmethode: Grundidee
Grundidee:
→ Vernachlässigen der Drillmomente, Gleichgewichtsbedingungen nur mit mx und my erfüllen
→ Aufteilen der Belastung q in die Anteile qx und qy (qxy = 0)
w 2 mxy w 2 m y
w 2 mx
2
q
wx 2
wxwy
wy 2
0
oq
qx q y ,
w 2 mx
wx 2
qx ,
Balken in
x-Richtung
w2my
wy 2
qy
Balken in
y-Richtung
→ gesamte Belastung q wird damit durch Balkentragwirkung in x- und y-Richtung abgetragen
→ Aufteilung der Last kann grundsätzlich frei gewählt werden.
→ um ein ausreichendes Verformungsvermögen und zufriedenstellendes Verhalten im Gebrauchszustand
zu gewährleisten, ist eine gewisse Vorsicht bei der Wahl von qx und qy angebracht
→ ebenso bei der Wahl allfälliger überzähliger Grössen bei der Berechnung der einzelnen Streifen nach
Balkentheorie
Die Idee, eine Platte als zueinander orthogonale Schar von Balken aufzufassen, wurde sehr früh entwickelt.
Marcus (1931) schlug beispielsweise vor, die Aufteilung der Belastung so zu wählen, dass die elastischen
Durchbiegungen der fiktiven Balken in Plattenmitte übereinstimmen (→ verteilte Last: pro Richtung ~ L-4).
HILLERBORG zeigte, dass es sich bei der Streifenmethode um eine Anwendung des unteren Grenzwertsatzes der Plastizitätstheorie handelt und verallgemeinerte die Methode.
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45
Platten – Gleichgewichtslösungen
Einfache Streifenmethode: Einführungsbeispiel
Gegeben: Rechteckplatte (8 x 5 Meter), h = 0.32 m unter Eigengewicht (q = 8 kN/m2)
Gesucht: Bemessungsmomente mit Streifenmethode
B
C
A
5m
A
+
0.4 q
q
0.6 q
0.6 q
5m
A-A
C-C
B-B
B
3m
0.6 qb 2
8
15 kNm/m'
4.8 kN/m2
+
qb 2
8
25 kNm/m'
q 8 kN/m2
C
0.4 q 3.2 kN/m2
Signaturen:
freier Rand
0.4 ql 2
2
40 kNm/m'
18.11.2015
Linienlager
Einspannung
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46
Platten – Gleichgewichtslösungen
Einfache Streifenmethode: Beispiel versteckter Unterzug
Gegeben: Rechteckplatte, dreiseitig frei drehbar gelagert, vierter Rand frei, unter gleichmässiger
Flächenlast q
Gesucht: Lastabtragung
Schritt 1: versteckter Unterzug als Flächenlager betrachten (hier mit gleichmässiger Pressung)
¦V
18.11.2015
0:
qb
2
qsxbs A
¦M
0:
qb 2
4
qsx bs 2
Ab
2
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qsx
qb 2
b
4bs §¨ b s ·¸
2¹
©
47
Platten – Gleichgewichtslösungen
Einfache Streifenmethode: Beispiel versteckter Unterzug
Schritt 2: Reaktionen des Flächenlagers als Belastung auf
versteckten Unterzug aufbringen und Beanspruchungen superponieren (q/2 + qsx)
18.11.2015
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48
Platten – Gleichgewichtslösungen
Erweiterte Streifenmethode: Lastverteilelemente
Um Stützen und Einzellasten mit der Streifenmethode behandeln zu können, werden Lastverteilelemente
eingesetzt. Diese wandeln eine Punktlast in eine Flächenlast um oder umgekehrt. Sie entsprechen somit
den Lösungen für (in der Mitte) punktgestützte Platten unter gleichmässig verteilter Last.
Stützen: Die Lastverteilelemente werden als Flächenlager mit gleichmässiger Pressung betrachtet, welche
durch indirekt gelagerte Streifen oder (in der Regel) versteckte Unterzüge belastet werden. Den
resultierenden Biegewiderständen aus den Unterzügen werden die für die Lastabtragung im Stützenbereich
erforderlichen Biegewiderstände superponiert.
Einzellasten: Die Einzellasten werden als gleichmässig verteilte Flächenlasten auf die Platte aufgebracht,
welche durch Streifen oder (in der Regel) versteckte Unterzüge zu den Auflagern abgetragen werden. Den
resultierenden Biegewiderständen werden die für die Umwandlung der Punktlast in eine gleichmässig
verteilte Belastung erforderlichen Biegewiderstände superponiert.
18.11.2015
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49
Platten – Gleichgewichtslösungen
Erweiterte Streifenmethode: Lastverteilelemente – Repetition Momentenfelder
Die untenstehenden Momentenfelder sind als «Lastverteilelemente» zur Umwandlung von Punktlasten in
Flächenlasten geeignet.
Überlagert man ihnen konstante positive Momente mx und my , so erhält man mit mxu = myu = mu und
m’xu = m’yu = Omu den unteren Grenzwert für die Traglast einer unendlich ausgedehnten Flachdecke unter
gleichmässig verteilter Belastung (Marti 1981):
m
q t 4 1 O 2u , O
l
18.11.2015
mx
0
my
mx
§ x2
·
mu ¨ 2 1¸
©y
¹
§ y2 ·
mu ¨ 2 1¸
©x
¹
my
0
mcxu
mu
mcyu
mu
mxy
§ y 4 xy ·
mu ¨ 2 ¸
©x l ¹
für x 2 ! y 2 mxy
§ x 4 xy ·
mu ¨ 2 ¸
©y l ¹
für x 2 y 2 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III
50
Platten – Gleichgewichtslösungen
Erweiterte Streifenmethode: Lastverteilelemente
Als Lastverteilelemente
geeignet: Quadrat- und
Rechteckplatte
mu m 'u t
Q
2S
(vollständige Lösung)
18.11.2015
Q
8
§ 1 1·
mu t ¨
¸ Q 0.034 Q
© 2S 8 ¹
m 'u t
m ' x ,u t
Q lx
8 ly
mx ,u t 0.034 qlx 2
0.034 Q
m ' y ,u t
Q ly
8 lx
m y ,u t 0.034 ql y 2
0.034 Q
lx
ly
ly
lx
(Lösungen entsprechen oberen Grenzwerten, aber Stützenabmessungen sind endlich und unterer
2
Grenzwert q t 4 1 O mu l aus Momentenfeldern liegt stark auf sicherer Seite o für Bemessung ok)
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51
Platten – Gleichgewichtslösungen
Erweiterte Streifenmethode: Beispiel Rechteckplatte, einseitig aufgelegt, auf 2 Stützen gelagert
c
q
Lastabtrag:
c gesamte Belastung zuerst in yRichtung abgetragen (versteckter
Unterzug als Flächenlager a·bs)
d
18.11.2015
d Abtrag der Reaktionen auf a·bs
durch den versteckten Unterzug in
x-Richtung (Stützen als Flächenlager as·bs)
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52
Platten – Gleichgewichtslösungen
Erweiterte Streifenmethode: Beispiel Rechteckplatte, einseitig aufgelegt, auf 2 Stützen gelagert
e
f
q
Qs
e
f
qs as bs
qab
b
4 § b bs ·
¨
2 ¸¹
©
Lastabtrag:
e Ermitteln der erforderlichen
Biegewiderstände für die Umwandlung
der Flächenlast qs auf as·bs in eine
Einzellast Qs
f Überlagerung sämtlicher
erforderlicher Biegewiderstände
18.11.2015
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53
Platten – Gleichgewichtslösungen
Flachdecken: Übersicht der Möglichkeiten zur Bemessung
1.
Momentenfelder
Verwendung der behandelten Lösungen für in der Mitte gestützte Quadrat- oder Rechteckplatten mit
freien Rändern unter gleichmässig verteilter Flächenlast (bei Anwendung der Momentenfelder nach
statischer Methode resultiert ein strenger unterer Grenzwert für die Traglast).
2.
«Trägerrost in Stützenachsen» (Anwendung der Streifenmethode) (*)
(a) Trägerrost in Stützenachsen (Breite o 0) annehmen, Schnittgrössen und Auflagerreaktionen für eine
umfanggelagerte Quadratplatte nach der einfachen Streifenmethode ermitteln.
(b) Auflagerreaktionen der Plattenberechnung umgekehrt als Belastung auf den (torsionsweichen)
Trägerrost aufbringen, Schnittgrössen im Trägerrost ermitteln, auf endliche Breite der Platte verteilen
(c) Schnittgrössen des Trägerrosts mit Momenten aus der Plattenberechnung superponieren
(Integration der Momente in Feldmitte über die Plattenbreite liefert in jedem Fall ∫mxdy ∫mydx
d.h. in x- und y-Richtung wird jeweils die volle Belastung q abgetragen)
ql 2/8
→ siehe Stahlbeton II
18.11.2015
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54
Platten – Gleichgewichtslösungen
Flachdecken: Übersicht der Möglichkeiten zur Bemessung
3.
Stellvertretende Rahmen (in Praxis oft verwendet) (*)
(a) Ermittlung der Beanspruchung von Rahmen in den Stützenachsen, wobei in x- und y-Richtung je die
volle Belastung q abgetragen werden muss. (Beliebige Lastfallkombinationen, ggf. Aufnahme von
Momenten durch Stützen und die Modellierung von (Rand-)unterzügen als torsionssteife Elemente
sind dabei möglich.)
(b) Momente der Rahmenelemente in Querrichtung auf Platte verteilen. Die hierbei angewandten Regeln
orientieren sich an elastischen Lösungen. (Es resultieren unterschiedliche Querverteilungen für
Pilzdecken mit Stützenkopfverstärkungen und für Flachdecken.)
→ siehe nachfolgendes Beispiel
4.
Linear elastische Plattenberechnung mit Finite-Element-Methode
Anwendung entsprechender Computerprogramme zur Berechnung der Bemessungsschnittgrössen.
(*) Kraftfluss im Stützenbereich wird nicht untersucht o es resultiert kein strenger unterer Grenzwert o
Biegewiderstand im Stützenbereich überprüfen! Richtwerte:
Innenstützen: mu′ ≥ Q ⁄ 8 im Mittel über eine Breite von 0.3൉lx resp. 0.3൉ly ; Q = Stützenlast
18.11.2015
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55
Platten – Gleichgewichtslösungen
Flachdecken: Stellvertretende Rahmen
Vorgehen ähnlich wie beim «Trägerrost in Stützenachsen», jedoch unter Berücksichtigung einer
Durchlaufwirkung und in Anlehnung an elastische Lösungen
Beanspruchung Rahmen in y-Richtung, Breite lx
o Grenzwerte von Myd
Beanspruchung Rahmen
in x-Richtung, Breite ly
o Grenzwerte Mxd
Beanspruchung des Rahmens mit Breite → 0 in x-Richtung
ergibt die Momente Mx+ und Mx- (Grenzwerte)
pro Richtung ist die volle Last abzutragen!
18.11.2015
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56
Platten – Gleichgewichtslösungen
Flachdecken: Stellvertretende Rahmen
Verteilung der Momente Mx+ und Mx- über die Breite ly . Die Verteilzahlen sind in Anlehnung an
elastische Lösungen festgelegt.
Pilzdecken
Bsp.: Moment in Feldmitte in x-Richtung zwischen den Stützen: mx , I
0.9
über und neben den Stützen: mx , I
1.1
M x
M x
ly
ly
In y-Richtung analoges Vorgehen (Verteilung My+ und My- über die Breite lx)
18.11.2015
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57
Platten – Gleichgewichtslösungen
Flachdecken: Stellvertretende Rahmen
Unterschiedliche Verteilzahlen für Pilz- und Flachdecken
Pilzdecken
Flachdecken
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58
Platten - Bruchmechanismen
18.11.2015
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59
Platten – Bruchmechanismen
Tragwerksanalyse / Berechnungsmethoden - Übersicht
Plastische Plattentheorie
Elastische Plattentheorie
Statische Methode
der Plastizitätstheorie
Lösung der Plattendifferentialgleichung
Approximative Lösungen
mit Energieverfahren
Methode der
Finiten Elemente
Momentenansätze
Kinematische Methode
der Plastizitätstheorie
Fliessgelenklinienmethode
Methode der stellvertretenden Rahmen
einfach
Streifenmethode
erweitert
18.11.2015
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60
Platten – Bruchmechanismen
Fliessgelenklinienmethode
• Die Fliessgelenklinienmethode (Johansen, 1962) ist eine Anwendung der kinematischen Methode der
Plastizitätstheorie.
• Vorgehen: kinematisch zulässigen Mechanismus annehmen, Arbeit der äusseren Kräfte mit
Dissipationsarbeit gleichsetzen o oberer Grenzwert für die Traglast.
• In der Regel sind verschiedene Bruchmechanismen zu untersuchen, für jeden Mechanismus ist die
Traglast bezüglich allfälliger freier Parameter zu minimieren.
• Starre Teile der Mechanismen in der Regel hochgradig innerlich statisch unbestimmt o im Gegensatz zu
Stabtragwerken gelingt die Plastizitätskontrolle (m ≤ mu) nur in einfachen Spezialfällen.
18.11.2015
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61
Platten – Bruchmechanismen
Fliessgelenklinienmethode
• Im Vergleich mit Lösungen nach elastischer Plattentheorie oder auch Gleichgewichtslösungen recht
einfach anzuwenden, insbesondere bei der Überprüfung bestehender Tragwerke o kinematische
Methode der Plastizitätstheorie hat bei Platten eine weitaus grössere Verbreitung erlangt als für Balken
und Scheiben (vor allem in Skandinavien sehr verbreitet, auch für die Bemessung).
• Mit der sogenannten «Gleichgewichtsmethode» (Ingerslev, 1923) kann der analytisch oft aufwendige
Minimierungsprozess beim Vorgehen nach der Fliessgelenklinienmethode umgangen werden. Dabei wird
Gleichgewicht an den einzelnen, starren Plattenteilen eines Mechanismus formuliert, wobei sogenannte
«Knotenkräfte» zu berücksichtigen sind. Die Methode ist jedoch nur beschränkt gültig, und der
Minimierungsprozess kann heute mit numerischen Verfahren problemlos durchgeführt werden. Daher
wird darauf nicht eingegangen.
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Platten – Bruchmechanismen
Fliessgelenklinienmethode – Dissipation in Fliessgelenklinie
• Platte, orthogonal bewehrt (x, y)
• Fliessgelenklinie in beliebiger
Richtung t: Unter Vernachlässigung von Membrankräften
(nn = 0) gilt:
dD
mn Zn dt
• Einsetzen von Beziehung:
mnu
mxu cos 2 M m yu sin 2 M
• ergibt Dissipationsarbeit:
dD
• mit Rotationsgeschwindigkeiten
um die y- resp. x-Achse:
m
xu
cos 2 M m yu sin 2 M Zn dt
Zx Zn cos M , Z y Zn sin M
d y dt cos M, d x dt sin M
dD
→ Dissipationsarbeit:
mxu Zx dy m yu Z y dx
= Summe der Produkte
in den beiden Bewehrungsrichtungen von:
Biege-
Rotationsgeschwinauf diese Achse
digkeit
um
die
ent•
• projizierte Länge der
widerstand sprechende Achse
Fliessgelenklinie
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Platten – Bruchmechanismen
Beispiel
Einheiten [m, kNm/m]
1
x
y
mxu
m yu
68
22
mxu
m yu
23
22
m' xu
m' yu
68
0
m' xu
m' yu
36
34
Signaturen für Fliessgelenklinien
(n = Richtung der Randnormalen)
2
positive Fliessgelenklinie,
mn = mnu
negative Fliessgelenklinie,
mn = -mnu’ = λmnu
3
1/3
λ = mu’/mu
7
1
q
1/4
1/3
4
3
Arbeit der äusseren Kräfte W
Dissipationsarbeit
D
W
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1
1·
§
¨ 3 7 2 7 ¸ q 14q
3
2¹
©
1
1
1
1
§1 1·
§1 1·
68 ¨ ¸ 2 68 2 23 ¨ ¸ 3 36 3 22 7 34 7 311.25
4
4
3
3
©3 4¹
©3 4¹
(Pyramide
+ Prisma
)·q
D o qu d 22.2 kN/m 2
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Platten – Bruchmechanismen
Fliessgelenklinienmethode – Fächermechanismen
anismen
• Platte, isotrop bewehrt (mxu
myu
mu)
• Hauptkrümmungsradius im Kegelelement
U
Rr aus
r
U
1
R
U
U1
o Hauptkrümmung F1
o Rotation ZM
1/ R
( Rr ) 1
Rr
1/ R
1
F1rd M
r
R
• Dissipationsarbeit pro Flächenelement im
Fächer:
dD mu ZM dr
mu
1
rd Mdr
U
r dr d M
mu
dM
dr
mu
r
1
R
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Platten – Bruchmechanismen
Fliessgelenklinienmethode – Fächermechanismen
• Dissipationsarbeit pro Flächenelement im Fächer:
dD mu ZM dr
mu
1
rd Mdr
U
Dissipationsarbeit im Inneren eines Fächers mit
Öffnungswinkel E:
D
° E 1 R ( M)
½°
M
m
r
dr
(
,
)
®³
¾ d M mit U
u
³
M
R
(
)
°¯ 0
°¿
0
Rr
wobei mu und R und allgemeine Funktionen des Winkels M
sein können
• Dissipation entlang der Fächerberandung
(unabhängig von R):
E
D
1
³0 R m 'u Rd M
E
³ m ' (r , M)d M
u
0
→ Dissipationsarbeit im Fächer mit Öffnungswinkel E
für konstantes mu und m’u Omu :
D E(mu m 'u ) Emu (1 O)
r dr d M
mu
dM
dr
mu
r
1
R
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Platten – Bruchmechanismen
Einzellast auf Platte beliebiger Geometrie
W Q 1
D 2Smu (1 O)
Qu d 2S mu m 'u 2Smu 1 O Omu
Q
1
mu
Gleiche Traglast wie mit Momentenfeld für zentrisch
gestützte Kreisplatte unter gleichmässiger Belastung,
unabhängig von R o vollständige Lösung für eine
Kreisplatte; für andere Fälle oberer Grenzwert.
Durch Anwendung des Affinitätstheorems (*) erhält man
daraus für eine orthotrop bewehrte Platte beliebiger
Geometrie den oberen Grenzwert:
Qu d 2S
mxu m yu m 'xu m ' yu
2S mxu m yu 1 O (*) Eine für eine isotop bewehrte Platte mit Biegewiderständen mu, m’u unter Belastungen
q, Q in den Koordinaten (x,y) gültige Lösung kann auf eine orthotrop bewehrte Platte mit
myu P·mxu P·mu, m’yu P·m’xu P·m’u übertragen werden. Dabei sind die Koordinaten mit x* x, y* ‫ߤ ݕ‬
zu transformieren, die Lasten mit q* q und Q* ܳ ߤ
(praktischer Nutzen begrenzt, beispielsweise entspricht einer isotrop bewehrten Quadratplatte eine
orthotrop bewehrte Platte mit stärkerer Bewehrung in der längeren Richtung, was nicht sinnvoll ist).
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Platten – Bruchmechanismen
Tragwerksanalyse / Berechnungsmethoden - Übersicht
Plastische Plattentheorie
Elastische Plattentheorie
Statische Methode
der Plastizitätstheorie
Lösung der Plattendifferentialgleichung
Approximative Lösungen
mit Energieverfahren
Methode der
Finiten Elemente
Momentenansätze
Kinematische Methode
der Plastizitätstheorie
Fliessgelenklinienmethode
Methode der stellvertretenden Rahmen
einfach
Streifenmethode
erweitert
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