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Schülerzirkel Mathematik
Fakultät für Mathematik. Universität Regensburg
Höher, Schneller, Weiter!
Das Extremalprinzip
Das Extremalprinzip ist eine vielseitig einsetzbare Lösungstechnik für mathematische Probleme. Wir werden das Extremalprinzip vorstellen und zeigen wie man es
auf Probleme aus verschiedenen mathematischen Gebieten anweden kann.
Zum Beispiel werden wir sehen, dass das folgende Problem elegant mithilfe des
Extremalprinzips gelöst werden kann:
Knobelaufgabe. Von der versunkenen sagenumwobenen Stadt Vesterlys ist nur noch
die folgende dürftige Beschreibung erhalten: Führt eine Gerade durch die Mittelpunkte zweier Häuser, so gibt es ein weiteres Haus, dessen Mittelpunkt auch auf
dieser Geraden liegt. Was kann man aus dieser Beschreibung über die Anordnung
der Häuser in Vesterlys ableiten?
Thema vom 1. Oktober 2015. Einsenden der Lösungen bis 27. November 2015.
Schülerzirkel Mathematik, Fakultät für Mathematik, 93040 Regensburg
http://www.mathematik.uni-r.de/schuelerzirkel, [email protected]
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Das Extremalprinzip
Die grundlegende Idee des Extremalprinzips lautet:
Extremalprinzip. Betrachte Objekte, die sich dadurch auszeichnen, dass sie gewisse
Größen maximieren oder minimieren!
Das Extremalprinzip gibt also einen Ansatzpunkt dafür, wo man mit der Untersuchung eines Problems beginnen kann. Die beiden wichtigsten Quellen für extremale
Objekte sind die folgenden Tatsachen (die sich aus dem Induktionsprinzip ableiten):
EP 1 Jede nicht-leere endliche Menge reeller Zahlen enthält eine kleinste und eine
größte Zahl.
EP 2 Jede nicht-leere Menge natürlicher Zahlen enthält ein kleinstes Element.
Zum Beispiel folgt aus der ersten Tatsache: Sind endlich viele Punkte in der Ebene
gegeben, so gibt es zwei, die maximalen Abstand voneinander haben; im allgemeinen
sind solche Punkte jedoch nicht eindeutig.
Das Extremalprinzip legt es daher nahe, sich beim Lösen von Problemen, die
folgenden Fragen zu stellen:
• In geometrischen Problemen: Welche Punkte haben den größten bzw. kleinsten Abstand voneinander? Welche Punkte haben der größten bzw. kleinsten
Abstand von einem anderen geometrischen Objekt? Welche Winkel sind am
größten bzw. kleinsten?
• In zahlentheoretischen Problemen: Welche besonderen Eigenschaften besitzen
größte bzw. kleinste Lösungen? Was passiert mit den größten bzw. kleinsten
Primfaktoren?
• In graphentheoretischen Problemen: Welche Knoten haben die meisten bzw.
wenigsten Nachbarn? Welche Eigenschaften haben längste bzw. kürzeste Zykel?
In allen Fällen ist natürlich jeweils zu überprüfen, ob es überhaupt extremale
Objekte gibt.
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Beispiele
Die Knobelaufgabe vom Anfang übersetzen wir in folgendes mathematische Problem
und lösen dieses mit dem Extremalprinzip.
2
h
g
h1
h0
h2
h3
g0
Abbildung 1: Häuser und Geraden in Vesterlys
Beispielaufgabe. Sei H eine endliche Menge von Punkten in der Ebene mit folgender
Eigenschaft: Führt eine Gerade durch zwei Punkte aus H, so gibt einen weiteren
Punkt aus H, der auch auf dieser Geraden liegt. Was kann man daraus über die
Anordnung der Punkte aus H ableiten?
Lösung. Wir zeigen, dass die Punkte aus H alle auf einer gemeinsamen Geraden
liegen: Dazu verwenden wir einen Widerspruchsbeweis. Angenommen, die Punkte
aus H liegen nicht alle auf einer gemeinsamen Geraden.
Wir setzen nun mit dem Extremalprinzip an: Da H endlich ist, gibt es nur endlich
viele Geraden, die mindestens zwei Punkte aus H enthalten; sei G die Menge all
solcher Geraden. Dann gibt es ein Paar (h, g) mit h aus H und g aus G, so dass
folgende Bedingungen erfüllt sind:
• Der Punkt h liegt nicht auf g und
• der Abstand von h zu g unter all solchen Paaren ist minimal.
Nach Definition von G und der Annahme über H gibt es drei verschiedene Punkte h1 , h2 , h3 aus H, die auf g liegen. Wir fällen nun das Lot von h auf g; dies liefert
den Punkt h0 auf g, der am nächsten zu h liegt. Mindestens zwei der drei Punkte h1 , h2 , h3 liegen auf derselben Seite von h0 auf g. Ohne Einschraenkung können
wir dabei annehmen, dass die Situation wie in Abbildung 1 aussieht (ansonsten
benennen wir die Punkte h1 , h2 , h3 entsprechend um).
Dann ist aber auch die Gerade g 0 durch h und h3 eine Gerade in G und h2 liegt
näher an g 0 als h an g, im Widerspruch zur Minimalität von (h, g). Damit ist unsere
Annahme zum Widerspruch geführt, d.h. die Punkte aus H müssen alle auf einer
gemeinsamen Geraden liegen.
Eine klassische Anwendung des Extremalprinzips aus der Zahlentheorie ist Euklids
Entdeckung, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Wir erinnern daran, dass eine
natürliche Zahl n > 1 eine Primzahl ist, wenn sie außer 1 und n keine weiteren Teiler
besitzt.
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Beispielaufgabe. Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
Lösung. Angenommen, es gäbe nur endlich viele Primzahlen. Da 2 eine Primzahl ist,
wäre somit die Menge der Primzahlen eine nicht-leere endliche Menge. Also gäbe es
nach EP 1 eine größte Primzahl p. Wir betrachten nun die Zahl
m := 1 · 2 · · · · · p + 1.
Wegen m > 1 wird m von mindestens einer Primzahl geteilt. Nach Konstruktion
ist jedoch keine der Zahlen 2, 3, . . . , p ein Teiler von m, da bei Division durch jede
dieser Zahlen stets der Rest 1 bleibt. Dies steht aber im Widerspruch dazu, dass p
die größte Primzahl ist.
Also ist die Menge der Primzahlen nicht endlich und damit unendlich.
Wie bei allen Lösungstechniken muss jedoch sauber darauf geachtet werden, ob
das Extremalprinzip in der jeweiligen Situation überhaupt anwendbar ist. Wir illustrieren dies an der folgenden, offensichtlich unsinnigen, Aufgabe:
Beispielaufgabe. Zeige, dass 1 < 1 gilt.
Lösung. Wir beweisen“ dies mithilfe des Extremalprinzips: Sei m die größte natürli”
che Zahl, die m + 2015 < m2 erfüllt.
Mit der binomischen Formel erhalten wir m2 + 1 ≤ (m + 1)2 . Also ist
1 = m2 + 1 − m2 ≤ (m + 1)2 − m2 .
Nach Wahl von m ist m2 > m + 2015 und aufgrund der Maximalität von m ist
(m + 1)2 ≤ (m + 1) + 2015. Somit folgt
1 ≤ (m + 1)2 − m2 ≤ m + 1 + 2015 − m2
< m + 1 + 2015 − m − 2015
= 1.
Insbesondere ist 1 < 1, wie behauptet.
Was ist bei der Lösung schiefgelaufen? In der Lösung wird die größte natürliche
Zahl m betrachtet, die m + 2015 < m2 erfüllt. Eine solche Zahl kann es jedoch gar
nicht geben, da alle natürlichen Zahlen n > 2015 die Abschätzung
n + 2015 < n + n = 2 · n < 2015 · n < n · n = n2
erfüllen.
Zum Abschluss betrachten wir noch die folgende Kuriosität: Es kann keine uninteressanten natürlichen Zahlen geben, denn: Gäbe es uninteressante natürliche
Zahlen, so gäbe es nach EP 2 eine kleinste uninteressante natürliche Zahl. Eine Zahl
mit dieser Eigenschaft wäre aber natürlich besonders interessant . . .
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Aufgaben
Aufgabe 1 (eine Karte von Vesterlys?!∗ ). Professor Mogelpilz hat bei Ausgrabungen
die folgende Karte entdeckt:
Er behauptet, das Wappen sei eindeutig das Stadtwappen von Vesterlys und dass
es sich bei der Karte um die Anordnung der Häuser in Vesterlys handele; dass diese Anordnung die Beschreibung Führt eine Gerade durch die Mittelpunkte zweier
Häuser, so gibt es ein weiteres Haus, dessen Mittelpunkt auch auf dieser Geraden
liegt. erfülle, sei ja auch gut und deutlich an den eingezeichneten Geraden zu erkennen. Was ist falsch am Argument von Professor Mogelpilz? Begründe Deine Antwort!
Aufgabe 2 (mehr Primzahlen∗ ). Bestimme die Primfaktorzerlegungen der folgenden
Zahlen:
1 · 2 ····· 3 + 1
1 · 2 ····· 5 + 1
1 · 2 ····· 7 + 1
1 · 2 · · · · · 11 + 1
Aufgabe 3 (schon wieder 1 < 1 ?!∗ ). Was ist falsch am folgenden Argument? Begründe
Deine Antwort!
Es gilt 1 < 1, denn: Sei m die größte natürliche Zahl, die 2016 + m = 2015 erfüllt.
Dann folgt
1 = 2016 − 2015 = 2016 − 2016 − m = −m ≤ 0 < 1,
und damit 1 < 1.
Aufgabe 4 (acht Augen∗∗ ). Die Oktonier haben ein kreisförmiges Gesicht, dessen
Radius genau 2015 oktonische Daumenbreiten beträgt. Jeder Oktonier besitzt in
seinem Gesicht genau acht Augen. Zeige, dass jeder Oktonier zwei Augen hat, die
weniger als 2015 oktonische Daumenbreiten voneinander entfernt sind. Gib dabei
zunächst eine Übersetzung in ein entsprechendes mathematisches Problem an.
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Aufgabe 5 (viele Tische∗∗ ). König Murnetz lädt zu einem pompösen Empfang. Er
ordnet daher an, zusätzlich zu seinem Tisch im großen Ballsaal Tische so aufzustellen, dass jeder Tisch der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke zwischen zwei anderen
Tischen ist – schließlich soll keiner der Gäste das Gefühl haben, nur am Rande des
Geschehens zu sitzen. Zeige, dass die Anordnung von Murnetz nicht mit endlich
vielen Tischen zu erfüllen ist. Gib dabei zunächst eine Übersetzung in ein entsprechendes mathematisches Problem an.
Aufgabe 6 (Kompaktheit∗∗∗ ). Es bezeichne R die Menge der reellen Zahlen. Wir
betrachten folgende Axiome über kompakte Mengen und stetige Abbildungen:
K 1 Ist eine Teilmenge von den reellen Zahlen kompakt und nicht-leer, so besitzt
sie ein Maximum und ein Minimum.
K 2 Stetige Abbildungen bilden kompakte Mengen auf kompakte Mengen ab.
K 3 Die Abbildungen
R −→ R,
x 7−→ 2 · x
R −→ R,
x 7−→ x − 2
1
R \ {0} −→ R, x 7−→
x
sind stetig. Dabei bezeichnet R \ {0} die Menge der reellen Zahlen ungleich 0.
K 4 Das Einheitsintervall I := {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1} ⊂ R ist kompakt.
Beweise damit die folgenden Aussagen. Es ist dabei nicht wichtig zu wissen, was die
wirklichen Definitionen der Begriffe kompakt bzw. stetig aus der Topologie bedeuten
– die obigen Axiome sind ausreichend um die Aufgabe zu bearbeiten.
1. Die Menge R ist nicht kompakt.
2. Die Menge {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 4} ist kompakt, aber {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 4, x 6= 2}
ist nicht kompakt.
3. Die folgende Abbildung ist nicht stetig:
R −→ R
(
0
x 7−→ 1
x
falls x = 0
falls x =
6 0
Weiterführende Links
Allgemeine Hinweise zum Lösen von Aufgaben: http://www.mathematik.uni-r.de/schuelerzirkel
Induktion: Thema 4 des Schuljahres 2012/2013
Unendliche Mengen: Thema 3 des Schuljahres 2013/2014
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