Blatt 11/L2/WS15 23. Fortsetzung: Rechenstunde mit Pauli

Blatt 11/L2/WS15
23. Fortsetzung: Rechenstunde mit Pauli-Matrizen.
Finden Sie zu den Pauli-Operatoren σz , σx , σy die zugehörigen normierten Eigenvektoren
und Eigenwerte. Hinweis: Lösen Sie dazu die Eigenwertgleichung
( )
( )
x
x
= λ
.
σi
y
y
Welche mathematische und welche physikalische Bedeutung spielen Eigenvektoren und
Eigenwerte eines linearen Operators?
24. Fort-Fortsetzung: Rechenstunde mit Pauli-Matrizen.
Berechnen Sie die Erwartungswerte der Pauli-Operatoren
⟨σk ⟩ψ := ⟨ψ(θ, ϕ)| σk |ψ(θ, ϕ)⟩
k=1,2,3
für einen beliebigen reinen Zwei-Level–Zustand
θ
θ
|ψ(θ, ϕ)⟩ = cos( )| ⇑⟩ + sin( ) · eiϕ | ⇓⟩ .
2
2
(1)
Veranschaulichen Sie sich das jeweilige Ergebnis anhand der Blochkugel (Tipp: Drücken
Sie ihr Ergebnis durch die Blochvektorkomponenten aus).
25. Fort-Fort-Fortsetzung: Funktionen von Pauli-Matrizen.
Berechnen Sie die Erwartungswerte der Pauli-Operatoren zum Quadrat.
⟨σk2 ⟩ψ := ⟨ψ(θ, ϕ)| σk2 |ψ(θ, ϕ)⟩
k=1,2,3
für einen beliebigen reinen Zwei-Level–Zustand
θ
θ
|ψ(θ, ϕ)⟩ = cos( )| ⇑⟩ + sin( ) · eiϕ | ⇓⟩ .
2
2
(2)
26. Heisenbergs Unbestimmtheitsrelation.
Die Schwankung eines Operators A ist deﬁniert durch
√
√
∆Aψ =
⟨(A − ⟨A⟩ψ )2 ⟩ψ =
⟨A2 ⟩ψ − ⟨A⟩2ψ .
(a) Berechnen Sie die Schwankungen der drei Paulioperatoren σi für den beliebigen
reinen Zustand |ψ(θ, ϕ)⟩ aus den vorigen Beispielen.
(b) Berechnen Sie die Ungleichung
∆Aψ · ∆Bψ ≥
1
| ⟨[A, B]⟩ψ |
2
für A = σx = σ1 und B = σy = σ2 im beliebigen Zustand |ψ(θ, ϕ)⟩. Überzeugen
Sie sich zum Beispiel durch Zeichen der rechten und linken Seite der Ungleichung,
dass diese Ungleichung für alle ϕ und θ erfüllt ist.
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Blatt 12/L2/WS15
27. Spin- 12 Teilchen.
Da Alice sich sehr über die vier Apparate von ihrer Großmutter gefreut hat, schenkt
Großvater ihr auch einen Apparat A, allerdings wirkt er auf Spin− 12 Teilchen. Er verrät
ihr nicht, wie er funktioniert. Alice macht mehrere Messreihen, wobei sie vor und nach
dem Apparat einen Stern-Gerlach Apparat mit inhomogenen Magnetfeld in z–Richtung
schaltet. Dabei misst sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten
|⟨⇑ | A | ⇑⟩|2 = |⟨⇓ | A | ⇓⟩|2 = 0
|⟨⇑ | A | ⇓⟩|2 = |⟨⇓ | A | ⇑⟩|2 = 1
Dann macht sie noch eine Messreihe, wobei beide Stern–Gerlach Apparate im inhomogenen Magnetfeld in die positive y–Richtung geschalten werden. Sie bestimmt die folgende
Wahrscheinlichkeit
|⟨⇑y | A | ⇑y ⟩|2 = 1 .
(a) Geben Sie den Operator A in der z- und in der y-Basis–Darstellung an.
(b) Betrachten Sie ihr Ergebnis in der z-Basis–Darstellung (unserer üblichen Rechenbasis). Welchem Ihnen bekannten Operator entspricht A? (Tipp: Wählen Sie die
physikalisch nicht relevante Gesamtphase entsprechend.)
(c) Wie wirkt dieser Operator auf die Basiszustände eines in positiver x–Richtung ausgerichteten Stern-Gerlach Apparates?
28. Die allgemeinsten physikalischen Zustände.
Geben sind die folgenden Operatoren
( 1 −i )
(
3
2
ρ1 =
, ρ2 =
i
2
2
3
1
3
i
4
−i
4
2
3
)
(a) Welcher dieser zwei Operatoren beschreibt einen Dichteoperator, d.h. beschreibt
einen physikalisch möglichen Zustand.
(b) Geben Sie für den Dichteoperator den dazugehörigen Blochvektor an und zeichnen
Sie ihn in der Blochkugel ein.
(c) Zeigen Sie, dass es sich um einen gemischten Zustand handelt, indem Sie den Betrag
des Blochvektors ausrechnen und zusätzlich über die allgemeine Deﬁnition.
29. Mischung ist nicht Superposition.
Berechnen Sie für ein beliebiges Zweizustandssystem
ρ =
1
{1 + ⃗n⃗σ }
2
den Ausdruck
T r(ρ.ρ) .
Was beschreibt dieser Ausdruck?
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Blatt 13/L2/WS15
30. Fortn -Fortsetzung: Rechenstunde mit Pauli-Matrizen.
Betrachten Sie den Zustand aus Beispiel 28 und berechnen Sie die Erwartungswerte der
3 Pauli-Matrizen σk
⟨σk ⟩ρ = T r(σk ρ) .
Veranschaulichen Sie ihr Ergebnis auf der Blochkugel.
31. Wahrscheinlichkeit und Erwartungswert.
Betrachten Sie den Zustand aus Beispiel 28 und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit den
Zustand | ⇑⟩ und die Wahrscheinlichkeit den Zustand | ⇓⟩ zu ﬁnden (zur Erinnerung:
W = T r(P ρ)). Können Sie erkennen, wie diese zwei Wahrscheinlichkeiten mit dem
Erwartungswert ⟨σ3 ⟩ρ zusammenhängen?
32. Drei Observable und ein Zustand.
Die Observablen A, B und C besitzen die folgende Darstellung
)
)
(
)
(
(
0 −2i
1 1
3 0
und C =
, B =
A =
2i 0
1 −1
0 1
in einer gewählten Rechenbasis. Messungen am physikalischen Zustand, beschrieben durch
den Dichteoperator ρ in der gewählten Rechenbasis, führen auf die Erwartungswerte
⟨A⟩ρ = T r(A ρ) = 2 ,
⟨B⟩ρ = T r(B ρ) =
1
2
und
⟨C⟩ρ = T r(C ρ) = 0 .
(a) Bestimmen Sie den Dichteoperator ρ.
(b) Handelt es sich um einen reinen oder um einen gemischten Zustand?
33. Mischung ist nicht eindeutig.
Geben Sie für die Dichtematrix
(
ρ =
1
2
0
0
)
1
2
eines Spinsystems 3 verschiedene Ensemble-Zerlegungen an (es gibt unendlich viele, wählen Sie drei beliebige aus) und erklären Sie, welche physikalische Bedeutung diese verschiedenen Ensemble-Zerlegungen haben.
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