7 Bewegung von Punkten

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7
Bewegung von Punkten
7.1
Übersicht
• Bewegung von Punkten
• Differenzierbarkeit. Wo liegt die Ableitung
• Taylorreihe, Vektordreieck
• Physikalische Bezeichnungen
• Abstand zu einer Kurve (Geschwindigkeit)
• Bogenlänge einer Kurve (Geschwindigkeit)
• Natürliche Param. durch Bogenlänge (Raum = Zeit)
• Krümmung (Kraft)
• Fläche unter einer Kurve
7.2
→X
Differentialgeometrie für Funktionen x : R −
Wir untersuchen im weiteren die Änderung des Zustandes eines physikalischen Systems in der
Zeit. Hierbei stellen wir uns die Zeit als einen sich kontinuierlichen reellen Parameter vor. Mit
der “Zeit an sich” hat das erstmal nichts zu tun. Dieser reelle Parameter könnte auch eine
andere sich kontinuierlich ändernde Größe sein, etwa ein Steuerungsparamter.
Im Gegensatz zum ersten Semester interessieren uns jetzt nicht die Eigenschaften des eigentlichen Zustandsraumes. Wir nehmen deshalb der Einfachheit hal;ber an, daß X ein reeller
Banachraum ist.
Es sei I = [a, b] ∈ R ein Zeitintervall. Wir untersuchen die Spur, die I in X hinterläßt. Im
Augenblick interessieren uns nicht die Prozesse, die dazu führen, daß so eine Spur entsteht.
7.3
Definitionen
Es sei eine Abbildung x : I −
→ R gegeben. Sie heißt Trajektorie oder Kurve. Wir betrachten nur
stetige Kurven.
Diese Abbildung heißt differenzierbar im Punkt t, wenn der Grenzwert
1
ẋ(t) = lim
(x(t0 ) − x(t))
0
0
t →t t − t
in X existiert. In den Randpunkten betrachten wir einseitige Grenzwerte. Die Ableitung ẋ(t)
ist ebenfalls ein Element von X.
Analog definieren wir höhere Zeitableitungen. Im weiteren nehmen wir an, daß eine betrachtete
Kurve stets ausreichend glatt ist.
Wir führen für die Ableitungen folgende Bezeichnungen ein, die sich im weiteren als sinnvoll
herausstellen werden.
• ẋ Geschwindigkeit oder Geschwindigkeitsvektor (velocity)
• v = kẋk Betrag der Geschwindigkeit oder tempo (speed)
• ẍ Beschleunigung
parametrisierte Kurve z(t) = (x(t), y(t)) = (t, y(t)) interpreEine Funktion y(x) in R kann als p
tiert werden. Dann ist v = kżk = 1 + y 0 2 (x).
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7 BEWEGUNG VON PUNKTEN
7.3.1
Taylorreihe
Für genügend glatte Kurven können wir die Taylorreihe
1
x(t0 ) = x(t) + (t0 − t)ẋ(t) + (t0 − t)2 ẍ(t) + ...
2
und Zwischenwertsätze betrachten. Diese schreiben wir in folgender Form:
x(t0 ) − x(t) = (t0 − t)ẋ(t̃)
(16)
1
x(t0 ) − x(t) = (t0 − t)ẋ(t) + (t0 − t)2 ẍ(t̃)
2
(17)
(im quadratischen Fall gilt echte Gleichheit, im allgemeinen Fall gilt Gleichheit für einen Mittelwert).
Die letzte Schreibweise ist der in der Taylorreihe vorzuziehen, denn von einem höheren als der
Theorie der Banachräume Standpunkt aus sind x(t) und x(t0 ) Elemente eines Punktraumes
und x(t0 ) − x(t) ein Element eines Vektorraumes, die man nicht ohne weitere Erklärungen
gleichsetzen kann.
Gleichung (17) ist dann als Gleichsetzung des Vektors x(t0 ) − x(t) mit der Linearkombination
der Vektoren ẋ(t) und ẍ(t̃) mit den reellen Koeffizienten t0 − t und 12 (t0 − t)2 zu verstehen. Also
eine Gl;eichung in X.
Wenn wir den Betrag so eines Vektors als Länge und t0 − t > 0 als Zeitabschnitt, also als
extensive Größen interpretieren, dann folgt aus (17) die Dreiecksungleichung
kx(t0 ) − x(t)k ≤ (t0 − t)kẋ(t)k + (t0 − t)
t0 − t
2R
mit 1/R = kẍ(t)k.
Diese (Un)Gleichung bedeutet die Subadditivität von drei extensiven Größen
ext ≤ int · ext + ext ·
ext
ext
Die Geschwindigkeit ist also intensiv und die Beschleunigung “das Reziproke einer extensiven
Größe”.
7.3.2
Abstand zu einer Kurve
Der Abstand eines Punktes P zu einer Kurve x(t) ist natürlicherweise die Größe
min kx(t) − P k
t
Ist X ein Hilberraum, dann läßt sich aus diesem Minimumproblem eine Gleichung herleiten.
Anstelle des Minimums über kx(t) − P k läßt sich auch das Minimums über 12 kx(t) − P k2 .
Nullsetzen der Ableitung ergibt
0=
d1
d1
kx(t) − P k2 =
hx(t) − P, x(t) − P i = hẋ(t), x(t) − P i
dt 2
dt 2
Lösung dieser Gleichung ist ein Parameterwert t0 , für den die beiden Vektoren ẋ(t0 ) und x(t0 )−
P senkrecht aufeinander stehen.
83
7.3 Definitionen
7.3.3
Bogenlänge einer Kurve
Wir bestimmen die Länge einer Kurve zwischen den Parameter-Punkten a und b indem wir die
Kurve durch einen Streckenzug approximieren und die Zahl der Stützstellen gegen ∞ und die
Abstände zwischen den Stützstellen gegen 0 gehen lassen. a = t0 < t1 < t2 < ... < tn = b. Die
Länge ist dann (der Einfachheit halber im im 2-D)
n q
X
2
2
x1 (ti ) − x1 (ti−1 ) + x2 (ti ) − x2 (ti−1 ) =
sn =
i=1
n
X
s
2
x2 (ti ) − x2 (ti−1 )
+
(ti − ti−1 ) −
→
=
ti − ti−1
i=1
Z b
Z b
Z bq
2
2
ẋ1 (t) + ẋ2 (t) dt =
kẋ(t)kdt =
−
→
v(t)dt =: sx [a, b]
x1 (ti ) − x1 (ti−1 )
ti − ti−1
2
a
a
a
falls dieser Grenzwert existiert. Kurven, deren Länge sich auf diese Weise bestimmen läßt heißen
rektifizierbar.
Die Bogenlänge einer Kurve ist also das Integral über den Betrag der Geschwindigkeit. Die
Geschwindigkeit hängt natürlich von der Parametrisierung ab, die Bogenlänge der Kurve sollte
davon unabhängig sein. Das ist tasächlich der Fall.
Z b
Z b
Z b
Z b
0
0
sx◦γ [a, b] =
|ẋ ◦ γ(t)|dt =
|ẋ(t)γ (t)|dt =
|ẋ(t)| · |γ (t)|dt =
|ẋ(t)|dγ(t)
a
a
a
a
0
falls γ das Vorzeichen nicht ändert, also γ eineindeutig ist.
7.3.4
Beschleunigung bei konstantem Tempo
Angenommen, der Betrag der Geschwindigkeit ist konstant, dann gilt (im Hilbertraum)
1d
d 1 2 1 d
v (t) =
kẋ(t)k2 =
hẋ(t), ẋ(t)i = hẋ, ẍi = 0
0=
dt 2
2 dt
2 dt
In diesem Fall steht die Beschleunigung also senkrecht zur Tangente. Sie zeigt in Normalenrichtung.
7.3.5
Natürliche Parametrisierung durch Bogenlänge
Die Parametrisierung einer Kurve ist nicht eindeutig. Jede eineindeutige Funktion γ : I −
→ I˜
ermöglicht die Parametrisierung zu transformieren. Wir betrachten die Bogenlänge als Funktion
der oberen Grenze
Z t
s(t) =
v(t0 )dt0
a
s : [a, b] −
→ [s(a), s(b)] ist eine eineindeutige Abbildung der Parametermenge. Die Parametrisierung einer Kurve durch die Bogenlänge wird auch natürliche Parametrisierung genannt und
die Bogenlänge natürlicher Parameter.
Wenn das Tempo konstant ist, ist der zurückgelegte Weg proportional zur verbrauchten Zeit.
Früher hat man deshalb Entfernung oft in Zeiteinheiten angegeben (siehe alte Postmeilensäulen).
Dabei wurde die Laufgeschwindigkeit oder die Geschwindigkeit der Postkutsche implizit angenommen.
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7 BEWEGUNG VON PUNKTEN
7.3.6
Die Krümmung
Angenommen wir haben eine Kurve natürlich parametrisiert. Dann gilt für die Bogenlänge (das
war der Sinn der Parametrisierung)
Z s
v(s0 )ds0 = s
0
D.h. das Tempo ist konstant: v(s) = |ẋ(s)| = 1. Damit steht bezüglich des Parameters s die
Beschleunigung senkrecht auf der Geschwindigkeit. Der Betrag dieser Beschleunigung ist also
(im 2-D)
p
k(s) = kẍ(s)k = ẍ(s) + ÿ(s)
und wird Krümmung genannt.
Beispiel: Kreis Es ist
x(t) = R cos t ẋ(t) = −R sin t
y(t) = R sin t ẏ(t) = R cos t
Damit erhalten wir für die Bogenlänge
Z t
Z t
s(t) =
v(t)dt =
Rdt = Rt, t = s/R
0
0
Die natürliche Parametrisierung ist also
x(s) = R cos s/R ẋ(s) = − sin s/R ẍ(s) = 1/R cos s/R
y(s) = R sin s/R ẏ(s) = cos s/R
ÿ(s) = 1/R sin s/R
Damit erhält man für die Krümmung
p
k(s) = |ẍ(s)| = ẍ(s) + ÿ(s) = 1/R
Bei einem Kreis mit dem Radius R ist die Krümmung gerade konstant 1/R.
Im allgemeinen ist 1/k(s0 ) gerade der Radius des Kreises, der am besten im Punkt x(s0 ) in
die Kurve paßt. Wenn wir uns eine Kurve im ganz kleinen ansehen, sieht sie aus wie ein
Punkt. Etwas weiter entfernt sieht sie aus wie eine Gerade. Wenn wir den Abstand noch weiter
vergrößern, sieht sie aus wie der Teil eines Kreises. Das sind die Approximationen nullter, erster
und zweiter Ordnung.
Die “Gleichung”: Beschleunigung = Krümmung ergibt zusammen mit der Newtonschen Gleichung: Kraft = Beschleunigung (Masse sei 1) eine Identifizierung einer analytischen (Beschleunigung ẍ), geometrischen (Krümmung) und physikalischen (Kraft) Größe.
Krümmung ist die Abweichung von der geraden Linie. ẍ(s) = 0 ⇐⇒ x(s) ist ein Geradenstück.
Die Formel für die Krümmung einer Funktion y = y(x) ist
2 − 23
k(x) = |y 00 (x)| 1 + y 0 (x)
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7.3 Definitionen
7.3.7
Die Fläche, die eine Kurve umschließt (in 2-D)
Wir betrachten o.B.d.A. die Fläche die eine Kurve umschließt und in der der Nullpunkt liegt.
Genau wie bei der Berechnung der Bogenlänge, ermitteln wir die Fläche als Grenzwert einer
Approximation der Kurve durch einen Streckenzug. Es sei a = t0 < t1 < t2 < ... < tn = b. Die
Fläche ist dann die Fläche eines n-Ecks, also
n
Fn
=
1 X
x(ti−1 )y(ti ) − x(ti )y(ti−1 ) =
2 i=1
n
=
1 X x(ti−1 )y(ti) − x(ti )y(ti−1)
(ti − ti−1 ) =
2 i=1
ti − ti−1
n
1 X x(ti−1 )y(ti) − x(ti−1 )y(ti−1) + x(ti−1 )y(ti−1 )x(ti )y(ti−1)
=
(ti − ti−1 ) =
2 i=1
ti − ti−1
n y(ti) − y(ti−1 )
x(ti ) − x(ti−1 )
1X
x(ti−1 )
(ti − ti−1 ) −
→
− y(ti−1 )
=
2 i=1
ti − ti−1
ti − ti−1
Z
Z
1 b
1 b
x(t)ẏ(t) − ẋ(t)y(t) dt =
hx(t), ẋ⊥ (t)idt =: Fx [a, b]
−
→
2 a
2 a
Die Formel für das n-Eck war nur richtig, wenn die Summe zyklisch zu verstehen war. Das gilt
auch für das Integral. Die Formel stimmt nur, wenn x(a) = x(b) gilt. Nur dann ist die Kurve
geschlossen und man kann von Flächeninhalt sprechen.
Der Flächinhalt hängt nicht von der Parametrisierung ab.
Das entspricht der Formel für die Fläche eines Dreiecks, gebildet aus den beiden Vektoren a
und b.
2S = ha, b⊥ i = hb, a⊥ i = ha, (b − a)⊥ i
Der Flächeninhalt einer Figur ist stets das Produkt des Randes mit einer senkrecht dazu stehenden Größe, wenn man ausreichend frei diese Begriffe definiert. So bedeutet die bekannte
Formel für den Flächeninhalt eine Dreiecks 2S = (a + b + c)r, daß 2S das Produkt aus dem
Rand (der Umfang a + b + c) und dem “senkrecht darauf stehenden” Inkreisradius r ist.
7.3.8
Zusammenhänge
Math.
Symbol
x(t)
ẋ(t)
|ẋ(t)|
ẍ(t)
|ẍ(t)|
äußere Welt
Physik
Trajektorie
Geschwindigkeit (Richtung)
Geschwindigkeit (Betrag)
Beschleunigung (Richtung)
Beschleunigung (Betrag)
innere Welt (rechte GH) innere Welt (linke GH)
Geometrie
Analysis/Algebra
(Bahn-)Kurve
Funktion f : R −
→ Rn
Tangente
1. Ableitung
???
Betrag der 1. Ableitung
Normale
2. Ableitung
Krümmung
Betrag der 2. Ableitung

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