Skript M11 Seiten 019

2 DIFFERENZIALRECHNUNG
2.1 STEIGUNG
a) Wachstumsrate3
Der Begriff "Steigung" ist uns aus der achten Klasse vertraut, als wir die
Graphen linearer Funktionen kennen gelernt haben. Damals war die Steigung m der Funktion
f(x) = m·x + t
Term einer linearen Funktion
festgelegt durch den Quotient
Δy
Steigung einer linearen Funktion
m=
Δx
Erinnert sich noch jemand an das Steigungsdreieck?
Bei linearen Funktionen ist die Steigung stets gleich, ihre Graphen sind Geraden. Sie hat die Bedeutung einer "Änderungsrate", sie beantwortet die Frage:
"Wie stark ändert sich y, wenn x sich um 1 ändert?"
Im Alltag wird die Steigung auch für nicht-lineare Zusammenhänge herangezogen, um deren zeitliche Entwicklung zu beschreiben:
„In den Jahren 2005 bis 2010
wuchs der Handy-Markt weltweit
um ca. 600 Millionen pro Jahr.“
m=
3
Δ y 5290−2205 3085
=
=
≈600
Δ x 2010−2005
5
Es sei erwähnt, dass der Begriff "lineare Funktion" hier eigentlich falsch ist, denn genau genommen handelt es sich
bei Funktionen der Form y = m·x+t um sog. "affine Funktionen", während nur die Funktionen y = m·x linear sind.
Genaueres weiß, wie stets, die Wikipedia: http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Funktion
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b) Differenzenquotient
Bei nicht-linearen Funktionen können wir zwar (noch) keine Steigungen angeben, aber zumindest eine "durchschnittliche Änderungsrate" m in einem Intervall von x1 bis x2 .
Dabei berechnen wir analog zum Steigungsdreieck diesen Quotient:
Δ y y 2−y 1 f (x 2 )−f (x 1)
"Differenzenquotient"
m=
=
=
Δ x x 2−x 1
x 2−x 1
Beispiel: Fallversuch
Wenn man einen Stein vom Eifelturm
(aus 330 m Höhe) fallen lässt, dann
besteht zwischen der Zeit t und der
Höhe h der Zusammenhang:
h(t) = 330 m - 0,5 · 9,81 m/s2 · t2
(beschl. Bewegung mit Anfangsort)
Der Differenzenquotient im Intervall
von t1 = 2,5s bis t2 = 6,5s ist dann:
m=
Δ h h(t 2 )−h(t 1 )
=
Δt
t 2 −t1
120m−300 m
=
6,5 s−2,5 s
−180 m
m
=
=−45
4s
s
Hier hat die mittlere Änderungsrate m also die Bedeutung einer Durchschnittsgeschwindigkeit. Natürlich ist die momentane Geschwindigkeit (Steigung der blauen Kurve) anfangs niedriger und am Ende höher als die mittlere Geschwindigkeit (Steigung der roten Strecke).
Eine bessere Näherung für die Momentangeschwindigkeit v(t) zur Zeit t erhält man, indem man bei der Berechnung möglichst kurze Zeitintervalle zugrunde legt, dh. man macht die Intervalle schmaler.
Die beste Näherung für die Momentangeschwindigkeit bekommt man folglich, wenn man die Breite des Zeitintervalls gegen null gehen läßt. Leider ge hen dabei beide Differenzen in Zähler und Nenner des Quotienten gegen
Null, so dass man im Grenzfall nur noch 0 / 0 da stehen hat...
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c) Differenzialquotient
Wenn man das Intervall Δx immer kleiner macht, nähert sich die durch den
Differenzenquotient berechnete durchschnittliche Steigung im Intervall
von x bis x + Δx immer mehr der lokalen Steigung des Graphen an der
Stelle x an. Den exakten Wert der Steigung erhält man im Grenzfall, also
wenn Δx Null wird:
f (x+Δ x)−f (x)
Δy
m(x)= lim
= lim
"Differenzialquotient" 4
Δ
x
Δ
x
Δ x →0
Δx→0
Geometrisch betrachtet geht dabei die Sekante5, deren Steigung der Differenzenquotient berechnet, in eine Tangente6 über; man nennt die lokale
Steigung in einem Punkt des Graphen daher oft auch "Tangentensteigung":
Differenzenquotient
(Sekantensteigung)
... Intervall wird kleiner ...
Differenzialquotient
(Tangentensteigung)
Definition „lokale Steigung einer Funktion“
Als "lokale Steigung" m(x) einer Funktion f(x) an der Stelle x bezeichnen
wir die Steigung der Tangente ihres Graphen an dieser Stelle. Zur Berechnung dient der als "Differenzialquotient" bezeichnete Grenzwert des Differenzenquotienten:
f (x+Δ x)−f (x)
m(x)= lim
"Differenzialquotient"
Δx
Δ x →0
Bemerkung:
Das Hauptproblem liegt (vorerst) in der Berechnung dieses Grenzwerts. In
einfachen Fällen ist sie nicht schwer, doch spätestens bei Wurzel-, Exponential-, Logarithmus- oder gar trigonometrischen Funktionen versagt der im Folgenden vorgestellte Weg7.
4
5
6
7
Achtung, Verwirrung vorprogrammiert: Der Differenzialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten!
Sekante: Gerade, die eine Figur in mindestens zwei Punkten schneidet ("die Schneidende").
Tangente: Gerade, die eine Figur in genau einem Punkt berührt ("die Berührende").
Zum Glück müssen wir uns darüber keine Gedanken machen, da die Herleitung der lokalen Steigung für die ge nannten Problemfälle nicht mehr im Lehrplan enthalten ist... ;-)
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Beispiel:
Gegeben sei die Funktion f(x) = x 2 - 1 , deren Graph bekanntlich eine nach
oben offene Normalparabel mit Scheitelpunkt (0 | -1) ist. Es soll die Steigung
im Scheitel (bei x = 0) sowie an der Nullstellen x = 1 bestimmt werden:
f (x+Δ x)−f (x)
m(x)= lim
"Differenzialquotient"
Δx
Δ x →0
Da für Δx = 0 sowohl Zähler als auch Nenner des Differenzenquotienten null
werden, muss es möglich sein, den Faktor Δx zu kürzen:
f (0+Δ x)−f (0)
m(0)= lim
=
f(0+Dx) = (0+Dx)2 - 1 = Dx2 - 1
Δx
Δ x →0
(Δ x 2 −1)−(02−1)
(Funktionsterm eingesetzt)
= lim
=
Δx
Δ x →0
Δ x 2−1+1
= lim
=
(Klammern aufgelöst)
Δx
Δ x →0
Δ x2
= lim
=
(zusammengefasst)
Δ x →0 Δ x
= lim Δ x=
(Δx gekürzt)
Δ x →0
(0 eingesetzt)
=0
Im Scheitelpunkt hat der Graph also die lokale Steigung 0,
d.h. die Tangente an den Graph im Scheitelpunkt verläuft waagerecht.
Verkürzt die gleiche Überlegung für x = 1 :
f (1+Δ x)−f (1)
((1+Δ x)2 −1)−(12−1)
m(1)= lim
= lim
=
Δx
Δx
Δx→0
Δ x →0
2
((1+2 Δ x+Δ x 2 )−1)−(0)
2 Δ x+Δ x
= lim
= lim
=
Δx
Δx
Δ x →0
Δ x→0
Δ x⋅(2+Δ x)
= lim
= lim (2+Δ x)=2
Δx
Δ x →0
Δx→0
An der Nullstelle x = 1 hat der Graph also die lokale Steigung 2,
d.h. der Graph schneidet die x-Achse im gleichen Winkel
wie eine Gerade mit Steigung 2.
Hausaufgabe:
a) Berechne auf die gleiche Weise die Steigung m(2) im Punkt P(2 | 3)
b) Berechne allgemeingültig die Steigung m(x) im Punkt P(x | f(x))
c) Berechne mit Hilfe von b) die Steigungen m(-1) und m(5).
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