Geometrie für Lehramt Blatt 12

Prof. Dr. Franz Kalhoff
Marcel Hoya, M. Sc.
SS 2015
Übungen zur Vorlesung
Geometrie für Lehramt
Blatt 12
Aufgabe 1. Es sei (E, G, α, ≡) eine absolute Ebene und a, b, c ∈ E drei verschiedene, nicht kollineare Punkte. Ferner bezeichne M1 das Mittellot von a, b,
M2 das Mittellot von b, c und M3 das Mittellot von c, a. Zeigen Sie, dass gilt
s = M1 ∩ M2 ⇒ s ∈ M3 ,
und zwar . . .
(a) kongruenzgeometrisch,
(b) spiegelungsgeometrisch.
Hinweis zu (b): Nutzen Sie Aufgabe 3 von Blatt 11 um zu zeigen, dass
M1 M2 M3 ∈ G.
Aufgabe 2. Es sei A := (E, G, α, ≡) eine euklidische Ebene. Zeigen Sie folgende
Aussagen:
(a) Ist ϕ eine Drehung um den Punkt p und X eine Gerade durch p, so gibt
es eine Gerade Y durch p mit ϕ = XY .
(b) Ist ϕ eine Translation längs G und X eine Gerade orthogonal zu G, so
gibt es eine zu G orthogonale Gerade Y mit ϕ = XY .
(c) Jede Bewegung ϕ besitzt eine Darstellung ϕ = Ap oder ϕ = AB mit
p ∈ E, A, B ∈ G.
Aufgabe 3. Sei Π = (P, G) eine projektive Ebene, Γ die Gruppe aller Kollineationen von Π und ϕ ∈ Γ.
z ∈ P heißt Zentrum von ϕ :⇔ alle Geraden durch z sind Fixgeraden von ϕ
:⇔ alle Punkte auf A sind Fixpunkte von ϕ
A ∈ G heißt Achse von ϕ
ϕ heißt Zentralkollineation :⇔ ϕ besitzt eine Zentrum oder eine Achse
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Zeigen Sie:
(a) x, y Fixpunkte von ϕ, x 6= y
G, H Fixgeraden von ϕ, G 6= H
Besitzt ϕ zwei Zentren
Besitzt ϕ zwei Achsen
⇒
⇒
⇒
⇒
x, y Fixgerade von ϕ.
G ∩ H Fixpunkt von ϕ.
ϕ = id
ϕ = id.
(b) ϕ Zentralkollineation, x ∈ P, x 6= ϕ(x) ⇒ x, ϕ(x) ist Fixgerade von ϕ.
ϕ besitzt ein Zentrum
⇔ ϕ besitzt eine Achse.
ϕ 6= id Zentralkollineation ⇔ ϕ besitzt genau eine Achse und genau ein Zentrum.
(c) Ist ϕ eine Zentralkollineation mit Zentrum z und Achse A so gilt:
x Fixpunkt von ϕ, x ∈
/ A, x 6= z ⇒ ϕ = id.
G Fixgerade von ϕ, z ∈
/ G, G 6= A ⇒ ϕ = id.
/A
(d) Gegeben seien z ∈ P, A ∈ G sowie zwei Punkte x, y mit x, y 6= z, x, y ∈
und x, y, z kollinear. Dann gibt es höchstens eine Zentralkollineation ϕ
mit Zentrum z, Achse A und ϕ(x) = y.
Zusatzaufgabe (6 Punkte). Sei ϕ eine Kollineation der affinen Ebene (E, G)
und (E, G) = (P, G, ∈) der projektiver Abschluss von (E, G) wie in (1.19). Zeigen
Sie:
(a) Die Fortsetzung
ϕ : P → P, p 7→

ϕ(p)
[ϕ(G)]
für p ∈ E
für p = [G], G ∈ G.
von ϕ auf (E, G) ist eine Kollineation von (E, G).
(b) Jede Kollineation von (E, G) ist durch ihre Werte auf E bereits eindeutig
bestimmt, d.h. jede Fortsetzung von ϕ auf (E, G) muss so aussehen wie in
(a).
(c) Ist ϕ eine Kollineation einer projektiven Ebene (P, G) mit ϕ(U ) = U für
eine Gerade U ∈ G, so ist ϕ|P\U eine Kollineation von (P, G)U .
Abgabetermin: bis Montag, 06.07.2015 12 Uhr in Briefkasten 24
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