Leseprobe - STARK Verlag

Bayern – FOS ⋅ BOS 13 – Abiturprüfung 2015
Mathematik (Nichttechnische Ausbildungsrichtungen) – Aufgabengruppe A 1
1.0
Im Jahre 2012 ist die Gasförderung im Feld „Clipper South“ in der südlichen
britischen Nordsee angelaufen. Eine Planung für die kommenden Jahre sieht
folgende Förderraten g(t) vor:
t
g(t)
0
5
10
15
20
108
156
220
300
400
Dabei ist t die Zeit in Jahren seit Förderbeginn und g(t) die Förderrate in Millionen m3 pro Jahr.
Bis zum vollständigen Abbau des Erdgasfeldes soll sich die Förderrate modellhaft durch die Funktion g mit g(t) = (a – 2,7 ⋅ t) ⋅ eb ⋅ t, a, b ∈ 0, beschreiben
lassen.
Bei den Rechnungen kann auf die Verwendung von Einheiten verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse sinnvoll.
Bestimmen Sie die Parameter a und b mithilfe der Planungsdaten für t = 0 und
t = 10 und interpretieren Sie den Wert von a im Sachzusammenhang.
(Teilergebnis: a = 108; b = 0,1)
(4 BE)
Ermitteln Sie das Jahr, in dem die Förderrate nach dem Modell auf den Wert 0
abgesunken und damit das Feld vollständig abgebaut sein wird.
(3 BE)
Berechnen Sie, in welchem Jahr die Förderrate am größten sein wird, und geben Sie diese an.
= (8,1 − 0, 27t) ⋅ e 0,1t )
(Teilergebnis: g(t)
(6 BE)
1.4
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion g in ein geeignetes Koordinatensystem.
(4 BE)
1.5
Zeigen Sie, dass die Funktion G mit G(t) = (1 350 – 27t) ⋅ e0,1t eine Stammfunk40
1.1
1.2
1.3
tion von g ist, und berechnen Sie das Integral
Ergebnis im Sachzusammenhang.
∫
g(t) dt. Interpretieren Sie das
(5 BE)
0
− 0,5x 2 )
(x − 1)(3x
x2 −1
2.0
Gegeben ist die gebrochen-rationale Funktion h: x rer maximalen Definitionsmenge Dh ⊂ 0.
2.1
Bestimmen Sie Dh sowie die Nullstellen von h und geben Sie die Art der Definitionslücken von h an.
2.2.0 Im Folgenden wird die stetige Fortsetzung f : x − 0,5x 2 + 3x
x +1
in ih-
(6 BE)
, Df = 0 \ {–1}
der Funktion h betrachtet (Nachweis nicht erforderlich). Ihr Graph ist Gf.
2.2.1 Zeigen Sie, dass sich der Funktionsterm von f durch f (x) = − 12 x +
7
2
−
3,5
x +1
darstellen lässt, und geben Sie die Gleichungen und die Art aller Asymptoten
von Gf an.
2015-1
(4 BE)
2.2.2 Ermitteln Sie die Art und die Koordinaten der relativen Extrempunkte von
Gf. Runden Sie die Koordinaten auf zwei Nachkommastellen.
(Teilergebnis: f '(x) =
− 0,5x 2 − x + 3
)
(x + 1) 2
(8 BE)
2.2.3 Zeichnen Sie die Asymptoten und Gf unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse für – 6 ≤ x ≤ 8 in ein Koordinatensystem.
(5 BE)
2.2.4 Gf, die schiefe Asymptote und die beiden Koordinatenachsen schließen im
ersten Quadranten ein Flächenstück ein. Kennzeichnen Sie dieses Flächenstück in der Zeichnung von 2.2.3 und ermitteln Sie seine Flächenmaßzahl auf
zwei Nachkommastellen gerundet.
(7 BE)
3.0
Gegeben ist die Funktion g: x ln(ax2 + bx) in ihrer maximalen Definitionsmenge Dg ⊂ 0. g besitzt eine Nullstelle xN = 2 und eine Extremstelle xE = 3.
3.1
Berechnen Sie die Werte a und b.
(Ergebnis: a = − 18 ; b = 34 )
3.2
(5 BE)
Bestimmen Sie die Art des Extrempunktes des Graphen von g.
2015-2
(3 BE)
(60 BE)
Tipps zur Lösung von Aufgabe A 1
Teilaufgabe 1.1
r Setzen Sie die gegebenen Wertepaare in g(t) ein.
Teilaufgabe 1.2
r Setzen Sie g(t) gleich null.
Teilaufgabe 1.3
mithilfe der Produkt- und der Kettenregel.
r Berechnen Sie zuerst die 1. Ableitungsfunktion g(t)
Teilaufgabe 1.4
r Ergänzen Sie die Wertetabelle aus 1.0 bis t = 40.
Teilaufgabe 1.5
r Bilden Sie die 1. Ableitungsfunktion von G(t).
Teilaufgabe 2.1
r Zur Bestimmung der Definitionslücken muss der Nennerterm gleich null gesetzt werden.
Teilaufgabe 2.2.1
r Formen Sie den Funktionsterm f(x) durch Polynomdivision um.
Teilaufgabe 2.2.2
r Bilden Sie die 1. Ableitung mit der Quotientenregel.
Teilaufgabe 2.2.3
r Zur Sicherheit kann eine Wertetabelle erstellt werden.
Teilaufgabe 2.2.4
r Verwenden Sie für die Integration der Funktion f die Darstellung des Funktionsterms, die sich
aus der Polynomdivision von Teilaufgabe 2.2.1 ergeben hat.
Teilaufgabe 3.1
r Berechnen Sie zuerst die 1. Ableitungsfunktion g '(x) mit der Kettenregel in Abhängigkeit von
a und b.
Teilaufgabe 3.2
r Setzen Sie die Werte von a und b in die 1. Ableitungsfunktion g '(x) ein.
2015-3
Lösung
1.0
Gasförderung mit folgenden Förderraten g(t):
t
g(t)
0
5
10
15
20
108
156
220
300
400
g(t) = (a – 2,7 ⋅ t) ⋅ eb ⋅ t
1.1
Berechnung der Parameter a und b
Es sollen die Planungsdaten (Wertepaare) für t = 0 und t = 10 aus obiger Tabelle verwendet werden. Durch Einsetzen in g(t) erhält man:
(Lösung zur Kontrolle gegeben)
(I) g(0) = 108; (a − 2,7 ⋅ 0) ⋅ e b ⋅ 0 = 108; a = 108
(II) g(10) = 220; (a − 2,7 ⋅ 10) ⋅ e b ⋅ 10 = 220
(108 − 27) ⋅ e10b
(mit a = 108)
= 220
81 ⋅ e10b = 220
220
e10b =
81
220 ⎞
10b = ln ⎛⎜
⎟
⎝ 81 ⎠
1
220 ⎞
b = ⋅ ln ⎛⎜
⎟
⎝ 81 ⎠
10
b ≈ 0,1
(Lösung zur Kontrolle gegeben)
Interpretation des Wertes von a im Sachzusammenhang
Die anfängliche Förderrate beträgt 108 Millionen m3 (im ersten Jahr).
1.2
Berechnung des Zeitpunktes mit Förderrate null
0,1 ⋅ t = 0
g(t) = 0; (108 − 2,7 ⋅ t) ⋅ e
>0
108 − 2,7 ⋅ t = 0
108 = 2,7 ⋅ t
108
t=
2,7
t = 40
Das Erdgasfeld wird nach 40 Jahren, also im Jahr 2052, vollständig abgebaut sein.
2015-4

Download Report