Inverse Probleme: Prinzipien und Anwendungen Barbara Kaltenbacher Graz, 4. Februar 2016 1 Inverse Probleme: Prinzipien und Anwendungen Barbara Kaltenbacher in Kooperation mit: Anna Fiedler, Jan Hasenauer, Thomas Hegewald, Manfred Hofer, Sabrina Hroß, Manfred Kaltenbacher, Reinhard Lerch, Wolfgang Polifke, Nicole Radde, Fabian Wein, . . . Romana Boiger, Rainer Brunnhuber, Stephania Hokenmaier, Tom Lahmer, Marcus Mohr, Vanja Nikolić, Jonas Offtermatt, Peter Steinhorst, Lena Vedmedenko, Slobodan Veljović, . . . Hans Baumeister, Martin Burger, Daniele Cassani, Christian Clason, Heinz W. Engl, Anke Griesbaum, Uno Hämarik, Urve Kangro, Kamil Kazimierski, Alana Kirchner, Michael Klibanov, Irena Lasiecka, Antonio Leitao, Alfredo Lorenzi, Richard Marchand, Gen Nakamura, Andreas Neubauer, Gunther Peichl, Christiane Pöschl, Maria Pospieszalska, Stefan Reitzinger, Elena Resmerita, Anna-Margarete Sändig, Otmar Scherzer, Josef Schicho, Joachim Schöberl, Frank Schöpfer, Volker Schulz, Thomas Schuster, Boris Vexler, Harro Walk, . . . 2 Überblick Was sind inverse Probleme? ein klassisches Beispiel: Computertomographie ein elementares Beispiel: Numerisches Differenzieren einige Anwendungen 3 Inverse Probleme Identifikation % beobachtete oder Bestimmung von Ursachen für Effekte. gewünschte & Optimierung Inverse Probleme sind oft instabil: Kleine Störungen in den Daten können große Abweichungen in der Lösung bewirken! → Regularisierung erforderlich Frage der Identifizierbarkeit: Sind die gesuchten Größen eindeutig durch die gegebenen Daten bestimmt? Mathematische Modellbildung: Formuliere die zugrundeliegenden physikalischen/biologischen/wirtschaftswissenschaftlichen. . . Gesetze in einer mathematischen Sprache 4 Ein klassisches Beispiel: Computertomographie 5 Ein klassisches Beispiel: Computertomographie Z tD ~ + tϑ ~ ⊥ )dt = − log ρ(s ϑ tS ~ ID (s, ϑ) ~ IE (s, ϑ) ! Johann Radon, 1887–1956 Z tD ρ 7→ ~ + tϑ ~ ⊥ )dt . . . Radontransformation ρ(s ϑ tS 6 Ein elementares Beispiel: Numerisches Differenzieren Gegeben: gestörte Werte f˜1 , f˜2 , f˜3 , . . . , f˜n einer differenzierbaren Funktion f mit |f˜i − f (xi )| ≤ δ, xi = i h, i = 1, 2, . . . , n 0 Gesucht: f Sekantenapproximation: f (xi+1 ) − f (xi−1 ) =: fh0 (xi ) f 0 (xi ) ≈ 2h Einsetzen der gegebenen Messdaten: f˜i+1 − f˜i−1 ˜0 = fh (xi ) f 0 (xi ) ≈ 2h h xi−1 h xi xi+1 7 Exakte Daten: Sekantenapproximation mit h = 1 10 : 8 Exakte Daten: Sekantenapproximation mit h = 1 10 : Sekantenapproximation mit h = 1 100 : 9 Gestörte Daten (1% Messfehler): Sekantenapproximation mit h = 1 100 : 10 Gestörte Daten (1% Messfehler): Sekantenapproximation mit h = 1 100 : 11 Was geht hier schief? 12 Was geht hier schief? 13 Was geht hier schief? 14 Was geht hier schief? 15 Was geht hier schief? 16 Was geht hier schief? 17 Was geht hier schief? 18 Was geht hier schief? f˜i+1 − f˜i−1 fi+1 − fi−1 − | 2h 2h 1 ˜ 2δ δ = | fi−1 − fi−1 − f˜i+1 − fi+1 | ≤ = 2h | {z } | {z } 2h h |f˜h0 (xi ) − fh0 (xi )| = | ≤δ ≥−δ 19 Gestörte Daten (1% Messfehler): Sekantenapproximation mit h = 1 100 : Sekantenapproximation mit hopt : 20 Einige Anwendungsbeispiele 21 Piezoelektrischer Lautsprecher → Optimierung der Form der Piezo-Scheibe zur Maximierung des Schalldruckpegels bei gleichförmigem Frequenzgang • Philips Sound Solutions, Wien 22 Nierensteinzertrümmerung → Design der Form der akustischen Linse zur Erzielung einer vorgeschriebenen Fokusgeometrie Fokus Fluid Linse • Dornier MedTech, Munich, • IDK Elite Netzwerk Bayern • FWF Projekt Mathematik der Nichtlinearen Akustik Spule Membran Gummi 23 Charakterisierung magnetischer Materialien → Identifikation der ortsabhängigen magnetischen Leitfähigkeit von Bauteilen; → Hysteresemodellierung magnetische Durchflussmessung • Endress + Hauser, Reinach, CH; • Inst. theoret. Elektrotechnik, Univ. Stuttgart 24 Piezoelektrischer Stapelwandler Inaktive Kopfzone Aktive Schichten Interdigitale Elektrodenanordnung Inaktive Fußzone → Identifikation der Materialparameter Einspritzventil Common-Rail Diesel Motor Vielschichtaktor Kraftstoffzufuhr Stellwegvergrößerung Injektornadel • DFG Nachwuchsforschergruppe Inverse Probleme in der Piezoelektrizität, Universität Erlangen • CERAMTEC, Lauf 25 Virtuelle Materialentwicklung Gefügeschliff der Piezokeramik Polarisierungs- und Verzerrungshysterese → Hysteresemodellierung • Verbundprojekt COMFEM (Bosch, Siemens, PI Ceramic, CeramTec, Fraunhofer Inst. f. Werkstoffmechanik, KIT) 26 Optimierung verfahrenstechnischer Prozesse Verfahrenstechnische Anlage flow sheet → optimale Dimensionierung verfahrenstechnischer Komponenten (Wärmetauscherflächen, Verdichter-Enddruck, Behältervolumen,. . . ) • Linde Engineering, Munich 27 Identifikation von Rissen in Piezokeramiken → Lokalisierung von Rissen in piezoelektrischen Bauteilen aus Oberflächenmessungen (zerstörungsfreie Werkstoffprüfung) Strom-Spannungsmessungen an Elektoden Potenzialverteilung im Material mit Riss adaptive Diskretisierung • DFG Projekt mit Prof.Dr. Anna-Margarete Sändig, Universität Stuttgart 28 Parameter Identifikation in der Systembiologie → Identifikation von Gennetzwerken (Aktivierung/Hemmung) Gennetzwerk Abhängigkeitsmatrix • Excellenzcluster SimTech Projekt mit Jun.Prof.Dr. Nicole Radde, Universität Stuttgart Kooperation mit Helmholtz-Zentrum München 29 Danke für Ihre Aufmerksamkeit! 30