Refresher course for the entrance test in MINT studies Exercise

Fachrichtung 6.1 Mathematik
Wintersemester 2015/16
Jun.Prof. Johannes Rau
Refresher course for the entrance test in MINT studies
Exercise sheet 2
Exercise 1. Find all solutions of the following equations:
−x2 + 2x + 3 = 0
(1)
2x2 + 2x − 40 = 0
(2)
−x2 + 8x = 16
(3)
x2 − 2x + 4 = −x2 − 5x + 13
(4)
Exercise 2. Use our tricks to nd the solutions of the following equations:
4x4 − 4x2 − 3 = 0
(5)
x3 − x2 − 10x − 8 = 0
(6)
2x3 + 11x2 = −12x + 9
(7)
Exercise 3. Factorize the following polynomials:
F1 = x3 + x2 − 9x − 9
(8)
F2 = x3 + x + 2
(9)
F3 = x4 − 4x3 − 5x2
(10)
Exercise 4. Zum Spaÿ!
Wir haben gesehen, dass es manchmal nötig ist, Nullstellen von Polynomen zu raten.
F = an xn + . . . + a0
ein Polynom vom Grad n mit ganzzahligen Koezienten ai ∈ Z. Dann gilt für jede
ganzzahlige Nullstelle b ∈ Z von F , dass b den letzten Koezienten a0 teilt. Warum ist
4
3
2
das so? Finden Sie eine Nullstelle von F = x + x − 20x + 5x + 25.
Es gibt einen kleinen Trick, der beim Suchen helfen kann.
Sei
We saw that sometimes it is necessary to guess roots of a polynomial. Here is a little
trick which can be helpful. Let
integer coecients
F =
+
x3
be a polynomial of degree
Then every integer root
a0 . Can you show
− 20x2 + 5x + 25.
last coecient
x4
a i ∈ Z.
F = an xn + . . . + a0
why this is true?
b ∈ Z
of
F
n
with
is a divisor of the
Use this trick to nd a root of

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