Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW)
Hochschule für Technik
Institut für Geistes- und Naturwissenschaft
Lösung Serie 1 (Differentialgleichungen 1-ter Ordnung)
Dozent: Roger Burkhardt
Klasse: Studiengang ST
Büro: 4.613
Semester: 2 (VZ)
Modul: MDS
Datum: FS2009
1. Aufgabe
Gegeben seien die nachfolgenden gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung (Anfangswertprobleme). Welche der Differentialgleichungen sind separierbar
und welche sind linear
(a)
t2
x0 + tx = e− 2 ,
x (0) = 1
Lösung:
t2
Lineare DGL mit p(t) = t und s(t) = e− 2 .
(b)
x0 x = t,
x (0) = 3
Lösung:
Separierbare DGL:
t
dx
= ⇒ xdx = tdt
dt
x
(c)
x0 − sin (t) x = cos (t) ,
x (0) = 1
Lösung:
Lineare DGL mit p(t) = − sin(t) und s(t) = cos(t).
(d)
x0 + x = e−t ,
x (0) = 0
Lösung:
Lineare DGL mit p(t) = 1 und s(t) = e−t (lineare DGL mit konstanten Koeffizienten).
(e)
x0 + tan (t) x = sin (t) ,
x (0) = 0
Lösung:
Lineare DGL mit p(t) = tan(t) und s(t) = sin(t).
(f)
x0 =
t2
,
x2
x (0) = 1
Lösung:
Separierbare DGL:
dx
t2
= 2 ⇒ x2 dx = t2 dt
dt
x
MDS
Lösung Serie 1 (Differentialgleichungen 1-ter Ordnung)
FS 2009
(g)
x0 − 3x = t2 ,
x (0) = −
2
27
Lösung:
Lineare DGL mit p(t) = −3 und s(t) = t2 (lineare DGL mit konstanten
Koeffizienten).
(h)
x0 −
√
t=
√
tx2 ,
x (0) = 0
Lösung:
Separierbare DGL:
√
1
dx √
= t 1 + x2 ⇒
dx
=
tdt
dt
1 + x2
2. Aufgabe
(a) Bestimme die allgemeine und die partikulären Lösungen der separierbaren Differentialgleichungen.
Lösung:
• zu 1b:
– Allgemeine Lösung:
Z
Z
√
t
x2
t2
dx
= ⇒ xdx = tdt ⇒
= + C ⇒ x = ± C + t2
dt
x
2
2
– Partikuläre Lösung:
x(0) = 3 ⇒ 3 =
√
√
C + 02 ⇒ C = 9 ⇒ x = 9 + t2
• zu 1f:
– Allgemeine Lösung:
Z
Z
√
dx
t2
x3
t3
3
2
= 2 ⇒ x dx = t2 dt ⇒
= + C ⇒ x = C + t3
dt
x
3
3
– Partikuläre Lösung:
x(0) = 1 ⇒ 1 =
√
√
C + 03 ⇒ C = 1 ⇒ x = 1 + t3
• zu 1h:
– Allgemeine Lösung:
dx √
= t 1 + x2 ⇒
dt
Z √
1
2√ 3
dx
=
tdt
⇒
arctan(x)
=
t +C
1 + x2
3
√
2 3
⇒ x = tan
t +C
3
Z
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MDS
Lösung Serie 1 (Differentialgleichungen 1-ter Ordnung)
FS 2009
– Partikuläre Lösung:
√
√ 2 3
2 3
x(0) = 0 ⇒ 0 = tan
0 + C ⇒ C = 0 ⇒ x = tan
t
3
3
(b) Bestimme die allgemeine und die partikulären Lösungen der linearen Differentialgleichungen.
Lösung:
• zu 1a:
– Homogene DGL:
Z
Z
t2
1
t2
0
dx = −tdt ⇒ ln |x| = − + C ⇒ xhom = Ce− 2
x + tx = 0 ⇒
x
2
– Inhomogene DGL (Variation der Konstanten):
Ansatz:
t2
t2
t2
x = C(t)e− 2 ⇒ x0 = C 0 (t)e− 2 − tC(t)e− 2
Einsetzen:
t2
t2
t2
t2
C 0 (t)e− 2 − tC(t)e− 2 + tC(t)e− 2 = e− 2
Z
⇒ C(t) = 1dt = t + C
t2
t2
t2
⇒ x(t) = (t + C) e− 2 = te− 2 + Ce− 2
– Partikuläre Lösung:
02
02
t2
x(0) = 1 ⇒ 1 = 0e− 2 + Ce− 2 ⇒ C = 1 ⇒ x = (t + 1) e− 2
• zu 1c:
– Homogene DGL:
Z
0
x − sin (t) x = 0 ⇒
1
dx =
x
Z
sin(t)dt ⇒ ln |x| = − cos(t) + C
⇒ xhom = Ce− cos(t)
– Inhomogene DGL (Variation der Konstanten):
Ansatz:
x = C(t)e− cos(t) ⇒ x0 = C 0 (t)e− cos(t) + sin(t)C(t)e− cos(t)
Einsetzen:
C 0 (t)e− cos(t) + sin(t)C(t)e− cos(t) − sin(t)C(t)e− cos(t) = cos(t)
Z
⇒ C(t) = cos(t)ecos(t) dt =???
Es gibt keine exakte Lösung!
• zu 1d:
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MDS
Lösung Serie 1 (Differentialgleichungen 1-ter Ordnung)
FS 2009
– Homogene DGL:
Z
Z
1
0
dx = −1dt ⇒ ln |x| = −t + C ⇒ xhom = Ce−t
x +x=0⇒
x
– Inhomogene DGL (Variation der Konstanten):
Ansatz:
x = C(t)e−t ⇒ x0 = C 0 (t)e−t − C(t)e−t
Einsetzen:
C 0 (t)e−t − C(t)e−t + C(t)e−t = e−t
Z
⇒ C(t) = 1dt = t + C
⇒ x(t) = (t + C) e−t = te−t + Ce−t
– Partikuläre Lösung:
x(0) = 0 ⇒ 0 = 0e−0 + Ce−0 ⇒ C = 0 ⇒ x = te−t
• zu 1e:
– Homogene DGL:
Z
0
x + tan(t)x = 0 ⇒
1
dx =
x
Z
− tan(t)dt ⇒ ln |x| = ln(cos(t)) + C
⇒ xhom = C cos(t)
– Inhomogene DGL (Variation der Konstanten):
Ansatz:
x = C(t) cos(t) ⇒ x0 = C 0 (t) cos(t) − C(t) sin(t)
Einsetzen:
C 0 (t) cos(t) − C(t) sin(t) + tan(t)C(t) cos(t) = sin(t)
Z
⇒ C(t) = tan(t)dt = − ln(cos(t)) + C
⇒ x(t) = (− ln(cos(t)) + C) cos(t)
– Partikuläre Lösung:
x(0) = 0 ⇒ 0 = (− ln(cos(0)) + C) cos(0) ⇒ C = 0 ⇒ x = − cos(t) ln(cos(t))
• zu 1g:
– Homogene DGL:
0
x − 3x = 0 ⇒
Z
1
dx =
x
Z
3dt ⇒ ln |x| = 3t + C ⇒ xhom = Ce3t
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MDS
Lösung Serie 1 (Differentialgleichungen 1-ter Ordnung)
FS 2009
– Inhomogene DGL (Variation der Konstanten):
Ansatz:
x = C(t)e3t ⇒ x0 = C 0 (t)e3t + 3C(t)e3t
Einsetzen:
C 0 (t)e3t + 3C(t)e3t − 3 C(t)e3t = t2
Z
1
⇒ C(t) = t2 e−3t dt = −
2 + 6t + 9t2 e−3t + C
27
−3t
1
2
⇒ x(t) = −
2 + 6t + 9t e + C e3t
27
– Partikuläre Lösung:
2
2
x(0) = − ⇒ − =
27
27
−3∗0
1
2
+ C e3∗0
−
2+6∗0+9∗0 e
27
⇒C=0⇒x=−
1
2 + 6t + 9t2
27
3. Aufgabe
Erstelle zu den Differentialgleichungen 1b, 1d und 1g ein ausagekräftiges Richtungsfeld und skizziere damit die gesuchten Lösungskurven der Anfangswertprobleme.
Lösung:
• zu 1b:
Mit MATLAB:
>> richtungsfeld(t/x,[t,x],[-6,6,-6,6],[-2,-1,-0.5,0,0.5,1,2],20)
>> hold on
>> ezplot(sqrt(9+t^2),[-6,6])
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MDS
Lösung Serie 1 (Differentialgleichungen 1-ter Ordnung)
FS 2009
• zu 1d:
Mit MATLAB:
>> richtungsfeld(exp(-t)-x,[t,x],[-6,6,-6,6],[-5,-2,-1,-0.5,0,0.5,1,2,5],20)
>> hold on
>> ezplot(t*exp(-t),[-6,6])
• zu 1g:
Mit MATLAB:
>> richtungsfeld(t^2+3*x,[t,x],[-2,2,-2,2],[-5,-2,-1,-0.5,0,0.5,1,2,5],20)
>> hold on
>> ezplot(-(2+6*t+9*t^2)/27,[-2,2])
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MDS
Lösung Serie 1 (Differentialgleichungen 1-ter Ordnung)
FS 2009
4. Aufgabe
Modelliere die DGL der 1. Aufgabe in SIMULINK und vergleiche die Lösungen mit
den berechneten exakten Lösungen.
Lösung:
Modelle:
MATLAB-Befehle für die Graphen:
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
tt=simout.time;
x1=simout.signals.values(:,1);
x2=simout.signals.values(:,2);
x3=simout.signals.values(:,3);
x4=simout.signals.values(:,4);
x5=simout.signals.values(:,5);
x6=simout.signals.values(:,6);
x7=simout.signals.values(:,7);
x8=simout.signals.values(:,8);
subplot(2,4,1)
plot(tt,x1,’r*’)
hold on
ezplot((t+1)*exp(-t^2/2),[0,2])
subplot(2,4,2)
plot(tt,x2,’r*’)
hold on
ezplot(sqrt(9+t^2),[0,2])
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MDS
Lösung Serie 1 (Differentialgleichungen 1-ter Ordnung)
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
subplot(2,4,3)
plot(tt,x3,’r*’)
subplot(2,4,4)
plot(tt,x4,’r*’)
hold on
ezplot(t*exp(-t),[0,2])
subplot(2,4,5)
plot(tt,x5,’r*’)
hold on
ezplot(-cos(t)*log(cos(t)),[0,2])
subplot(2,4,6)
plot(tt,x6,’r*’)
hold on
ezplot(sqrt(1+t^3),[0,2])
subplot(2,4,7)
plot(tt,x7,’r*’)
hold on
ezplot(-1/27*(2+6*t+9*t^2),[0,2])
subplot(2,4,8)
plot(tt,x8,’r*’)
hold on
ezplot(tan(2/3*sqrt(t^3)),[0,2])
Graphen:
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FS 2009

Aufgabe 1: Berechnen Sie die Lösung des Anfangswertproblems ˙x

Lösungen zu den Aufgaben

Propädeutische Analysis I

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