Beispiele 67-73

Übungsbeispiele
Michael Schlosser
Stochastik für LAK
Sommersemester 2015
67. Ihnen wird folgendes Spiel angeboten: Sie dürfen zwei Würfel gleichzeitig werfen.
Erscheinen verschiedene Augenzahlen, so bekommen Sie das Produkt der beiden Augenzahlen in Euro ausbezahlt. Erscheinen dagegen zwei gleiche Augenzahlen, dann müssen
Sie die Faktorielle der um eins verminderten entsprechenden (einzelnen) Augenzahl in
Euro zahlen. Würden Sie dieses Spiel für einen Einsatz von 5,50 e pro Spiel einen ganzen
verregneten Sommertag lang spielen?
68. Ein bestimmtes Hotel bietet seinen Gästen zum Frühstück entweder Kaffee, Tee oder
Kakao an. Gäste, die zum ersten Mal in dieses Hotel absteigen (es muss sich, wie sich zeigen wird, tatsächlich um einen “Abstieg” im wortwörtlichen Sinn handeln), entscheiden
sich mit 60%iger Wahrscheinlichkeit für Kaffee, mit 30%iger Wahrscheinlichkeit für Tee
und mit 10%iger Wahrscheinlichkeit für Kakao. Gäste, die sich für Kaffee entschieden
haben, kommen (wohl aus gutem Grund) mit 40%-iger Wahrscheinlichkeit nicht mehr,
mit 50%iger Wahrscheinlichkeit entscheiden sie sich beim nächsten Mal für Tee, mit
10%iger Wahrscheinlichkeit für Kakao. Analog kommen Gäste, die sich für Tee entschieden haben, mit 70%iger Wahrscheinlichkeit nicht mehr, mit 20%iger Wahrscheinlichkeit
entscheiden sie sich beim nächsten Mal für Kaffee, mit 10%iger Wahrscheinlichkeit für
Kakao. Gäste, die sich für Kakao entschieden haben, kommen mit 30%iger Wahrscheinlichkeit nicht mehr, mit 20%iger Wahrscheinlichkeit entscheiden sie sich für Kaffee, mit
10%iger Wahrscheinlichkeit für Tee und mit 40%iger Wahrscheinlichkeit entscheiden sie
sich wieder für Kakao. (Der Kakao dürfte also nicht ganz so schlecht sein.) Gäste, die
bereits zweimal gekommen sind, kommen mit 70%-iger Wahrscheinlichkeit nicht mehr,
ansonsten entscheiden sie sich sich, sofern sie nicht zweimal Kakao hatten, beim dritten
Mal mit 20%iger Wahrscheinlichkeit für das, was sie noch nicht gehabt haben und mit
10%-iger Wahrscheinlichkeit für das, was sie beim ersten Mal gehabt haben (vielleicht
ist es inzwischen besser geworden?), während die, die bereits zweimal Kakao hatten, sich
mit jeweils 10%iger Wahrscheinlichkeit enweder für Kaffee, Tee oder Kakao entscheiden.
(a) Unter der Bedingung, dass ein Gast beim 3. Mal sich für Kakao entschieden hat,
wie wahrscheinlich ist es, dass er insgesamt alle drei verschiedene Heissgetränke zum
Frühstück genossen hat?
(b) Unter der Bedingung, dass ein Gast bis zum 3. Mal alle drei verschiedene Heissgetränke genossen hat, wie wahrscheinlich ist es, dass er beim 3. Mal sich für Kakao
entschieden hat?
(c) Unter der Bedingung, dass ein Gast mind. zweimal sich für dasselbe entschieden
hat, wie wahrscheinlich ist es, dass er mind. einmal sich für Tee entschieden hat?
69. Zehn Studierende des Unterrichtsfachs Mathematik geben nacheinander ihre Hausaufgaben ab, wobei der fleissigste Studierende beginnt. Dabei beträgt bei jeder weiteren
Abgabe die Wahrscheinlichkeit, dass die Lösungen (und Lösungswege) der gerechneten
Beispiele des gerade abgebenden Studierenden ident zu den (auch falschen) Lösungen des
fleissigsten Studierenden sind, 90%. Wie wahrscheinlich ist es, dass alle schlussendlich
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abgegebenen Lösungen ident sind? Wann ist die erste nicht-idente Abgabe zu erwarten
unter der Bedingung, dass es zu einer nicht-identen Abgabe kommt?
70. Eine bestimmte Republik bestehe aus drei Teilrepubliken. In der Teilrepublik A gibt
es 5000 Gefängnisinsassen, davon sind 2% Mörder. In der Teilrepublik B gibt es 12000
Insassen, davon sind 1% Mörder. In der Teilrepublik C gibt es 30000 Insassen, davon
sind 5% Mörder.
( a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Gefängnisinsasse
der Republik kein Mörder ist?
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gefängnisinsasse, der sich als Mörder
herausstellt, Gefängnisinsasse der Teilrepublik B ist?
71. (Ein Dreifingerspiel; vgl. insbesondere mit dem Zwei-Finger-Morra, das im Abschnitt
16.9 des der VO zugrundeliegenden Buches beschrieben wird.) Zwei Spieler A und B
heben jeweils gleichzeitig (und ihre Wahl unabhängig voneinander treffend) einen, zwei
oder drei Finger hoch. Ein geeignetes Modell für dieses Spiel ist dann der Grundraum
Ω = {1, 2, 3}2 mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung
p(i, j) = ai · bj ,
1 ≤ i, j ≤ 3,
mit 0 ≤ a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 ≤ 1 und a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3 = 1. (Spieler A hebt
i Finger mit Wahrscheinlichkeit ai , Spieler B hebt j Finger mit Wahrscheinlichkeit bj
hoch, i, j = 1, 2, 3.) Nun soll je nach Ergebnis A von B einen bestimmten Eurobetrag
erhalten, der sich aus der folgenden Formel ergibt:
X(i, j) = 11i δi,j − 6.
Hier bezeichnet δi,j das übliche Kroneckerdelta. Ein negativer Wert von X(i, j) (offenbar
trifft das genau dann zu wenn i 6= j) ist als Verlust zu verstehen, dann erhält B von A
den entsprechenden Eurobetrag.
Ist dieses Spiel fair ? Wenn nicht, wer ist im Vorteil? Welche Spielstrategie soll B am
besten wählen (im Sinne der Maximierung seines zu erwartenden Gewinns bzw. der Minimierung seines zu erwartenden Verlusts), welche Spielstrategie soll dagegen A wählen?
(Spieler A kann (nur) die konkreten Größen der Wahrscheinlichkeiten a1 , a2 bestimmen,
Spieler B kann (nur) die konkreten Größen der entsprechenden Wahrscheinlichkeiten
b1 , b2 bestimmen (a3 = 1 − a1 − a2 und b3 = 1 − b1 − b2 sind ja festgelegt). Es geht um
die optimale Wahl von a1 , a2 bzw. b1 , b2 .)
72. Spieler A und B spielen gegeneinander, wobei in jeder Runde die Wahrscheinlichkeit,
dass A bzw. B gewinnt, p bzw. 1 − p beträgt. Angenommen A gewinnt, sobald er n + 1
Runden gewonnen hat, während B gewinnt, sobald er m + 1 Runden gewonnen hat. Was
ist die Wahrscheinlichkeit, dass A (bzw. B) gewinnt?
73. Spieler A, B und C spielen zu dritt gegeneinander, wobei in jeder Runde die Wahrscheinlichkeit, dass A, B bzw. C gewinnt, p, q bzw. 1 − p − q beträgt. Angenommen, A
gewinnt, sobald er n + 1 Runden gewonnen hat, während B gewinnt, sobald er m + 1
Runden gewonnen hat, während wiederum C gewinnt, sobald er l + 1 Runden gewonnen
hat. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass A (bzw. B oder C) gewinnt? (Wie lässt sich
das weiters auf s Spieler verallgemeinern?)

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