Technische Universit¨ at Dortmund Fakult¨at Statistik Roland Fried Paul Kinsvater Vorlesung Stochastische Prozesse Sommersemester 2015 ¨ Ubungsblatt 6 Pr¨ asenzaufgaben Aufgabe 1: Alfred, Gerhard, Heinz, Leopold, Ludwig und Renate spielen Fußball. Hat Alfred den Ball, spielt er ihn mit gleicher Wahrscheinlichkeit zu Gerhard, Leopold, Ludwig oder Renate. Gerhard spielt den Ball mit gleicher Wahrscheinlichkeit zu Alfred, Heinz, Ludwig oder Renate. Ludwig spielt ihn mit gleicher Wahrscheinlichkeit zu Alfred, Gerhard, Leopold oder Renate. Bekommen Heinz oder Renate den Ball, spielen sie sich ihn gegenseitig zu. Bekommt Leopold den Ball, rennt er damit weg. ¨ a) Geben Sie eine kanonische Darstellung der Ubergangsmatrix f¨ ur dieses Spiel an. Benennen Sie die rekurrenten Klassen, die Menge der transienten Zust¨ande, die Periode der einzelnen Klassen und berechnen Sie die mittlere Absorptionszeiten f¨ ur die transienten Zust¨ande. b) Berechnen Sie die Matrix FR . Mit welcher Wahrscheinlichkeit endet das Spiel damit, dass Leopold wegrennt, falls der Ball zu Beginn mit gleicher Wahrscheinlichkeit bei Alfred, Gerhard oder Ludwig ist? Hausaufgaben Aufgabe 2: Sei G = (g(i, j)) die Matrix auf Seite 53 im Skript. Zeigen Sie mit den dort gegebenen Bezeichnungen G = M L. Tipp: Ein wichtiger Zwischenschritt ist die Herleitung der Beziehung G = L + QG mittels des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit. Aufgabe 3: Ein W¨ urfelspiel zwischen zwei Spielern hat folgende Regeln: Spieler A beginnt. Er w¨ urfelt so lange, bis er entweder drei mal eine gerade Zahl gew¨ urfelt hat (dann hat er gewonnen) oder bis er eine ungerade Zahl gew¨ urfelt hat (dann muss er den W¨ urfel an Spieler B abgeben). B w¨ urfelt einmal. Hat er eine 6 geworfen, so hat er gewonnen, andernfalls f¨angt A wieder an zu w¨ urfeln. ¨ a) Beschreiben Sie den Spielverlauf als Markovkette. Geben Sie einen Ubergangsgraphen und ¨ eine kanonische Darstellung der Ubergangsmatrix an. b) Berechnen Sie FR . F¨ ur wen sind die Spielregeln g¨ unstiger? c) Wie groß ist die erwartete Anzahl der W¨ urfe von Spieler B? d) Wie lange dauert das Spiel im Mittel? Abgabe der Hausaufgaben bis Freitag, 22. Mai 2015 um 12:00 Uhr in Briefkasten 142.