Lösungen Grundschule März 2016

Lösung des
Problems des Monats
März 2016
Liebe Kinder
(1) Wenn man eine 1 kg-Packung mit Gummibärchen kauft und die Gummibärchen an die
Kinder der Klasse 4a der Konrad-Fleißig-Grundschule verteilt, dann erhält jedes Kind
genau 18 Gummibärchen, und 7 Gummibärchen bleiben übrig. Wenn man an jedes
Kind 19 Gummibärchen verteilen möchte, müsste man noch 19 Gummibärchen aus
einer anderen Packung hinzunehmen.
Wie viele Kinder sind wohl in der Klasse? Wie viele Gummibärchen sind in der 1
kg-Packung?
Angenommen, es sind 20 Kinder in der Klasse. Wenn dann jedes Kind 18 Gummibärchen
bekommen soll und 7 Gummibärchen übrig bleiben, dann wären also insgesamt
20 · 18 + 7 = 367 Gummibärchen in der Packung.
Wenn jedes Kind 19 Gummibärchen bekommen soll, dann würden insgesamt
20 · 19 = 380 Gummibärchen benötigt; es fehlen aber 19 Gummibärchen.
Demnach wären dann 361 Gummibärchen in der Packung.
Da die beiden berechneten Anzahlen (367 bzw. 361) nicht übereinstimmen, können nicht
20 Kinder in der Klasse sein.
Entsprechend probieren wir systematisch weitere Klassenstärken durch:
Anzahl der Kinder in der Klasse
1. Bedingung
2. Bedingung
20
20 · 18 + 7 = 367
20 · 19 – 19 = 361
21
21 · 18 + 7 = 385
21 · 19 – 19 = 380
22
22 · 18 + 7 = 403
22 · 19 – 19 = 399
23
23 · 18 + 7 = 421
23 · 19 – 19 = 418
24
24 · 18 + 7 = 439
24 · 19 – 19 = 437
25
25 · 18 + 7 = 457
25 · 19 – 19 = 456
26
26 · 18 + 7 = 475
26 · 19 – 19 = 475
Bei einer Anzahl von 475 Gummibärchen treffen beide Bedingungen zu.
In der Klasse sind also 26 Kinder.
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Kennen Sie den folgenden, für die Grundschule
geeigneten immerwährenden Kalender?
(2) In einer 5 kg-Packung eines anderen Herstellers sind ebenfalls ziemlich viele
Gummibärchen. Aber egal, ob ich diese große Anzahl an 2, 3, …, 10 Kinder verteile
oder an 12 oder an 14 oder an 15 Kinder, es bleibt jedes Mal genau ein Gummibärchen übrig. Nur wenn ich diese Anzahl an 11 Kinder verteile, bleiben 2 Gummibärchen übrig. Und wenn ich noch ein Gummibärchen hinzunehme, kann ich die
Anzahl an 13 Kinder verteilen, ohne dass ein Gummibärchen übrig bleibt oder eines
fehlt.
Wie viele Gummibärchen sind wohl in der 5 kg-Packung?
Gesucht ist also eine Zahl, die um 1 größer ist als eine Zahl, die sich durch 2, 3, 4, …, 9,
10, 12, 14, 15 teilen lässt (denn es bleibt ja jeweils ein Gummibärchen übrig).
Wir überlegen beispielsweise:
Eine Zahl, die sich durch 10 teilen lässt, kann man auch durch 2 und durch 5 teilen.
Eine Zahl, die sich durch 12 teilen lässt, kann man auch durch 2, 3, 4 und durch 6 teilen.
Eine Zahl, die sich durch 14 teilen lässt, kann man auch durch 2 und durch 7 teilen.
Eine Zahl, die sich durch 15 teilen lässt, kann man auch durch 3 und durch 5 teilen.
Hieraus schließen wir:
Eine Zahl, die sich durch 14 und durch 15 teilen lässt, kann man demnach durch 2, 3, 5
und durch 7 teilen.
Die Zahl 14 · 15 = 210 ist eine solche Zahl. Sie lässt sich auch durch 6 und durch 10
teilen.
Aber sie lässt sich beispielsweise nicht durch 4 teilen. Wenn wir das Doppelte von 210
nehmen, also 420, dann haben wir eine Zahl gefunden, die durch 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10 und
sogar durch 12 teilen lässt (durch 14 und 15 sowieso).
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Aber 420 lässt sich nicht durch 8 teilen. Wenn wir das Doppelte von 420 nehmen, also
840, dann haben wir eine Zahl gefunden, die durch 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10 und durch 12
teilen lässt (durch 14 und 15 sowieso).
Jetzt fehlt nur noch eine Bedingung, nämlich, dass sich die Zahl auch durch 9 teilen lässt!
Wenn wir jetzt das Dreifache von 840 nehmen, also 2520, dann haben wir endlich eine
solche Zahl gefunden!
Da jeweils ein Gummibärchen übrig bleibt, müssten also 2521 Gummibärchen in der
Packung sein. (Von der Größenordnung kommt das hin: Wenn in einer 1 kg-Packung 475
Gummibärchen sind, dann müssten in einer 5 kg-Packung ungefähr 5-mal so viele
Gummibärchen sein – auch wenn das Gummibärchen eines anderen Herstellers sind.)
Kontrollieren wir, ob die Bedingung für 11 bzw. 13 Kinder zutrifft:
Es gilt: 2521 = 2200 + 220 + 101
Da 2200 und 220 durch 11 teilbar sind und 101 bei der Division durch 11 den Rest 2 lässt,
trifft die Bedingung für 11 zu.
Weiter gilt:
2521 + 1 = 2522 = 1300 + 650 + 260 + 260 + 52 ist durch 13 teilbar!
Die gesuchte Zahl ist also 2521!
ERLÄUTERUNGEN
ZU
THEMEN
AUS DEN
KALENDERN
„MATHEMATIK IST SCHÖN“
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Die Sammlung der 12 Erläuterungen, die 2015 auf der
Homepage veröffentlicht wurden, gibt es in gedruckter
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Die monatlich erscheinenden Erläuterungen zu den
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(3) In einer 360 g-Tüte sind so viele Gummibärchen, dass man sie in einer KiTa-Gruppe
wie folgt als „Preise“ verteilen kann: Das langsamste Kind bei einem Wettspiel erhält
1 Gummibärchen, das zweit-langsamste 2 Gummibärchen usw., also immer ein
Gummibärchen mehr. Wenn man an das langsamste Kind 1 Gummibärchen verteilen
würde, an das zweit-langsamste 2² = 4 Gummibärchen, an das dritt-langsamste 3² = 9
Gummibärchen usw., dann benötigt man mehr als fünf der 360 g-Tüten.
Wie viele Kinder sind vermutlich in der KiTa-Gruppe?
Wenn in der Gruppe 5 Kinder wären, dann müsste man …
… nach der ersten Regel 1+2+3+4+5 = 15 Gummibärchen verteilen,
… nach der zweiten Regel 1²+2²+3²+4²+5² = 55 Gummibärchen.
Um die zweite Regel zu erfüllen, genügen vier Tüten mit je 15 Gummibärchen.
Diese Überlegungen führen wir entsprechend mit größeren Kinderzahlen durch:
Anzahl der
Kinder in der
KiTa-Gruppe
Anzahl der
Gummibärchen nach
der ersten Regel
Anzahl der
Gummibärchen nach der
zweiten Regel
Vergleich
6
1+2+…+5+6 = 21
1²+2²+…+5²+6² = 91
5 · 21 = 105 > 91
7
1+2+…+6+7 = 28
1²+2²+…+6²+7² = 140
5 · 28 = 140 = 140
8
1+2+…+7+8 = 36
1²+2²+…+7²+8² = 204
5 · 36 = 180 < 204
9
1+2+…+8+9 = 45
1²+2²+…+8²+9² = 285
5 · 45 = 225 < 285
Wenn in der Gruppe 7 Kinder wären, dann würde man nach der zweiten Regel genau
5-mal so viele Gummibärchen benötigen wie nach der ersten Regel – angegeben war
aber, dass man mehr als 5-mal so viele Gummibärchen benötigt.
Daher sind vermutlich 8 Kinder in der KiTa-Gruppe (es könnten auch mehr sein …).
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Erläuterungen, die in den Monaten Januar – Mai heruntergeladen werden können:
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