パップスギュルダンの定理

パップス・ギュルダンの定理
【例題】
(1) 関数とが次の 2 条件を満足しているとする．
(ⅰ) 区間', () で ≧ ≧ 0
(ⅱ)
', () 上でのグラフとのグラフは直線 (は定数) に関して対称．
このとき，２曲線，，および，2 直線， ( で囲まれた図形の面積をS，この
図形を軸のまわりに 1 回転させた立体の体積をとするとき，定積分を用いて
2
が成り立つことを証明せよ．
(2)1 辺の長さの正 12 角形をその 1 つの辺のまわりに 1 回転させた立体の体積を求めよ．
（宮城教育大）
この問題の背景は，パップス・ギュルダンの定理
とよばれる，次の定理である．
（回転体の体積）＝（重心の移動距離）×（面積）
2 よって，
2 2
例えば，0, 2 を中心とした半径１の円を軸の
まわりに 1 回転させたドーナツ型の立体の体積は，
断面積，重心(中心)の移動距離4なので，体積
は 4 である．
この証明をしようとすると，重心の取り扱いにつ
いて大学レベルの知識が必要になってしまう．しか
し，に関して対称な図形の回転体のときであ
れば，高校レベルで証明できる．
さて，この問題の，
「に関して対称」という
条件をどのように数式に表現し，処理するか？これ
は，
2
を満たすとして処理するとよい．
【解答】
(1) 2，また，(ⅰ)より，
(2)(略解)
正１２角形の中心から軸までの距離をとする．計
算をすると，正 12 角形の面積は6，また，
7 4√3 4
が成り立つ．よって(1)から，
2 12 37 4√3
【１】 + 5とする．円C: 25 を
軸の周りに 1 回転してできる回転体の体積は，円
Cを軸の周りに 1 回転してできる回転体の体積
の 5 倍に一致している．このとき，の値を求め
よ．
（小樽商科大）
【解答】
軸の周りに 1 回転してできる回転体の体積を! ，
軸
の周りに 1 回転してできる回転体の体積をとする．
円Cの ≧ の部分を表す関数を， ≦ の
部分を表す関数をとすると
%
%
&%
%
&%
! &%
2より
%
%
! 2 &%
-&%. / は半径 5 の円の面積を表すから，
! 2 ∙ ∙ 5
2 ∙ 5 ∙ は半径 5 の球になるので
4
∙ 51
3
よって
! 5 より
4
2 ∙ 5 ∙ 5 ∙ ∙ 51
3
よって
50
3

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