PPT

工業力学補足スライド
Industrial Mechanics
第4回：重心
●
●
●
●
宿題を提出してください
わからないことを質問してください
以前のノートがない人はとりにきて下さい
配布物：ノート 3枚 (p.25～36)，
重心の求め方 2枚，解答用紙
知能システム工学科井上康介
日立キャンパス E2棟801号室
前回のおさらい
 大きさを持つ物体のつりあいにおいては，以下の条件を
用いる．
ìï å fix = 0
 物体は加速していない
ïï
í
 受ける力 (2次元) の合力は 0
ïï å fiy = 0
ïî
 物体は回転し始めていない
 受ける力のモーメントの和 (合モーメント) は 0
å
Ni = 0
2
前回のおさらい
 例えば以下のように長さ l，質量 m (既知) の棒がなめら
かな壁に立て掛けられているとき反力 R1，R2 を求める
 xy 座標系の方向を図のように設定する (どちらが正か)
å
縦方向のつりあい： å
横方向のつりあい：
fix = 0  - R1 + R2x = 0
fiy = 0  R 2y - mg = 0
モーメントのつりあい： å N i = 0
(
※ どの点まわリで考えても良い
 計算が楽になる点を考える
)
1
 R1 ×l sin q - mg × l cos q = 0
2
正負の取り違えに十分注意！
R1
y
x
R2
mg
q
3
前回のおさらい (トラス)
 複雑な構造を持った物体の扱いのモデルとして，トラス
を導入した．
 トラス (truss)：棒状の部材 (member) とそれを結合す
る回転自由な節点 (joint) から構成される骨組み構造．
 接地点は，回転支点または移動支点．
部材
回転支点
節点
移動支点では移動
方向の反力を受け
移動支点ない！
4
前回のおさらい (トラス)
 この構造に外力 (external force) が加わると，部材が引
張力あるいは圧縮力という内力 (internal force) を受け
る．
 部材は加速もしていないし回転も初めていない
 部材にかかる内力は部材の軸上で反対方向
内力
部材
※ 図では「部材が節点を押す力」
を書いている．「部材が節点か
外力
ら押される力」ではない！
この場合，圧縮材ならこのよう
に，外向けの矢印となる．
節点
↑ここかなり重要！
回転支点
移動支点
5
前回のおさらい (トラス)
 部材の受ける引張力・圧縮力を求める方法が2つある：
 節点法：節点が受ける力が釣り合っていることを利用し
て，全ての部材力をしらみつぶしに求めていく方法．
 切断法：トラス全体をある切断面で切断し，切られたそ
れぞれの断片を一つの剛体と見立てることで，特定の部
位だけをピンポイントに解析する方法．
6
前回のおさらい (節点法)
 節点法では 2 つの手順をとる．
 (1) まずトラス全体が釣り合っていることを利用して，ト
ラスが受ける外力を求める．
 (2) 受けている未知力の数が 2 以下の節点から順番に，一
つ一つの節点が受けている力の合計が 0 であることを利用
して，部材力を求めていく (ただし，節点にかかっている
未知の力が 3つ以上ある場合は解けない)．
7
前回のおさらい (節点法)
 (1) まずトラス全体が釣り合っていることを利用して，ト
ラスが受ける外力を求める．
 トラス全体を1つの剛体と見立てると，力の釣り合いと
モーメントの釣り合いを用いて外力を求められる．
 å Fix = 0, å Fiy = 0, å N i = 0
F
A
D
B
R1
R2
R2
C
8
前回のおさらい (節点法)
 (2) 受けている未知力の数が 2 以下の節点から順番に，一
つ一つの節点が受けている力の合計が 0 であることを利
用して，部材力を求めていく (ただし，節点にかかってい
る未知の力が3つ以上ある場合は解けない)．
 部材力は引張力であると仮定して変数を定義．圧縮力の場
合は値がマイナス．
 この統一性は重要
FBAF
FAB
A
B
FAB：節点 A が B 方向に
FBC
引っ張られる力
FAD FAC
FDA
R1
D
FDC
R2
FCA
FCD
FCB ここに描かれている力は全て，「部
C
材が受ける力」ではなく，「節点が
受ける力」であることに注意！
9
前回のおさらい (節点法)
 さて，どの節点から始めるか…？
 未知力が3つ以上作用している節点は解けない
 とりあえず解けるのは B または D．
 例えば B について，F が (Fx, Fy )T と求まっているとする
A
FAB
FBAF
FAD FAC
FDA
R1
D
FDC
R2
FCA
x 方向のつりあい：
Fx - FBA = 0  FBA = Fx
B
FBC y 方向のつりあい：
Fy - FBC = 0  FBC = Fy
FCB 節点 A, C も解ける状態に
C
 あとは順次解いていく
FCD
10
切断法
 特定の部材に働く内力をピンポイントに知りたい場合は，
節点法のように絨毯爆撃的にすべての部材力を求めようと
するのは非効率
 切断法では，求めようとする部材を横切る切断面でトラス
を仮想的に切断
 切断された両側の構造をそれぞれ剛体と見なし，つりあい条件を
解く ( 切断する部材は 3本まで！)
 節点法と同様，第一
ステップで，まずは
トラス全体を剛体と
みなして外力を全て
求める
11
切断法
 問題の図式は「2つの剛体とその間をつなぐ 3本の部材」
となり，これらの部材力を求めれば良い．
 そこで次に切断面の両側のいずれかの剛体についてつりあ
い条件を解く  この例では，左の三角形の方が計算が楽
 切断された部材の部材力を変数化
 このとき，節点法と同様に部材力は引張力と想定する
 あとは x, y 方向のつり
あい式，モーメントの
つりあい式という 3 つ
の条件をいつもどおり
使えば良い
A
(カルマン法)
D
C
E
FCD
FGD
G
FGH
B
H
12
重心の求め方
重心の求め方
 下図の物体にかかる重力ベクトルを考える．
 微小部分 (位置 xi，質量 mi) に作用する重力は mig．
 そしてその合力が重心 (位置 xG) にかかる mg である．た
だし m = Smi．  物体の並進・回転に対する影響が等価
y
COG
xG
mi
æx i ö÷
x i = ççy ÷
çè i ø÷
÷
m ig
mg
x
14
重心の求め方
 物体の各部分 i にかかる重力 mig によって生じる原点周り
の力のモーメントを合計すると，重心にかかる合力 mg に
よる原点周りのモーメントに等しい．
 例えば重力方向を図のように y 軸負の方向として，原点周
りのモーメントの方程式を立てると…
y
COG
xG
mi
æx i ö÷
x i = ççy ÷
çè i ø÷
÷
m ig
mg
x
15
重心の求め方
mg・xG = S mig・xi
 同様に，重力方向を x 軸に平行にして考えれば，
mg・yG = S mig・yi
 両辺に g があるのでこれをとってベクトル表記すると…
y
COG
mg
xG
mi
m ig
æx i ö÷
x i = ççy ÷
çè i ø÷
÷
m ig
mg
x
16
重心の求め方
m xG = S mi xi
 連続体においては，加算の演算が積分となって，
m xG =
ò
物体全体
x dm
y
COG
xG
mi
æx i ö÷
x i = ççy ÷
çè i ø÷
÷
m ig
mg
x
17
重心の求め方
m xG =
ò
物体全体
x dm
 この式の要点は以下の通り：
(全質量)・(重心位置) =
{(部分の質量)・(部分の位置)}の合算
これを理解すればよい！
 教科書 p.35 以降の例題ではすべてこの計算をやってい
る．
18
結合物体の重心
 図のように，質量 m1 の物体 1と質量 m2 の物体 2 が結合し
ているとき，総質量は m1+m2 である．物体 1, 2 の重心を
それぞれ x1, x2 とし, 結合体全体の重心を xG とする．
 物体 1 について m 1x 1 = å 物体1 m i x i ，物体 2 については
m 2x 2 = å 物体2 m j x j ．
物体2
物体1
mi g
m 1g
x1
xG
x2
mj g
m 2g
(m 1+ m 2)g
19
結合物体の重心
 m
．1x 1 = å 物体1 m i x i , m 2x 2 = å 物体2 m j x j
 物体全体の重心について，
(m 1 + m 2 )x G = å 物体1+ 物体2 m k x k = å 物体1 m i x i +
 つまり，
å
物体2
m jx j
= m 1x 1 + m 2x 2
物体1
(全質量)・(全体の重心)
物体2
mi g
= S (各部位の質量)・(部位の重心)
m g
x1
xG
x2
mj g
1
m 2g
(m 1+ m 2)g
20
例題 3.1
12 [cm]
G1
O
8 [cm]
16 [cm]
G G2
8 [cm]
10 [cm]
y
x
 上下に対象なので，重心は対象軸上．
 三角形の重心は頂点から 2/3 下りたところ．長方形の重
心は真ん中である．
A1 x 1 + A2 x 2
 あとは結合体の重心の式を適用： x G =
A1 + A2
21
例題 3.2
15
10
5
 物体の一部を抜いた場合，抜く前の質量・重心を mT，
xT，抜いた部分の質量・重心を mD，xD ，抜いた後の重心
を xG とすると，
m T x T - m Dx D
xG =
mT - mD
22
例題 3.2
 分母を移項して整理すると，
m T x T = (m T - m D )x G + m Dx D
あわせた質量とあわせた重心の積
抜いた残りの部分と抜いた部分の質量・重
心の積の合算
 合体した物体の式と同じ
 物体の一部を抜いた場合，抜く前の質量を mT，xT，抜い
た部分の質量・重心を mD，xD ，抜いた後の重心を xG と
すると，
m T x T - m Dx D
xG =
mT - mD
23
例題 3.2
15
10
5
 抜く前の面積・重心が 150, 7.5 で，抜いた部分の面積・重
心が 4p, 10．これを当てはめて，
150 ×7.5 - 4p ×10
xG =
= 7.27
150 - 4p
24
例題 3.3
 積分で求める例．この場合，微小部分をどのように設定す
るかがキモだが，微小部分の位置と質量が簡単な式となっ
ていて，積分が可能であることが重要
 例えば上の例の場合，x 軸や y 軸に沿ってスライスするよ
うなやり方もあり得るが，角度 q で切るのが簡単
25
例題 3.3
 図のように微小部分 (長さ dL (= rdq), 点Oからの角度 q)
を考えると，その x 座標は r cosq である．
 あとは，教科書 p.36 の通り，以下の計算をすればよい：
( 重心位置) =
ò ( 微小部位の位置)( 微小部位の長さ)
ò ( 微小部位の長さ)
26
例題 3.4
 この例では，図形を縦に細く切り出した幅 dx の短冊を微
小部分としている．
 短冊の上の端には直角三角形のような形の部分がくっつい
ている．斜辺は厳密には曲線だが，微小幅なので直線と見
なすと，その傾きは f ’(x)．三角形の底辺は dx で高さは
f ’(x)・dx となり，面積は f ¢(x ) dx 2 2．
 微小幅 dx の2乗がかかるので，無視．
f ’(x) dx
 よって微小部位の面積は dA = 2x 2 dx
 短冊の重心の x 座標は x であり，y 座標は
f (x)
下側の長方形の中心だから，f (x )/2 = x 2．
 あとは x, y 座標それぞれについて，
例の積分：
x dA
y dA
dx
ò
ò
xG =
, yG =
A
A
27
例題 3.4
 補足として，短冊重心の x 座標を x としてよいとしたが，
厳密には中央だから x +dx/2 となる．しかし，この部分は
無視して良い．
1æ
1 æ
1 ö
1
1 ö
2
÷
÷
ç
ç
xG =
x
+
dx
dA
=
x
+
dx
2
x
dx
÷
÷
ò
ò
÷
÷
ç
ç
A è
2 ø
A 0è
2 ø
1 1 3
1 1 2
=
2x dx + ò 2x dx dx
ò
A 0
A 0
f ’(x) dx
微小量の2乗は無視してよい
f (x)
dx
28
例題 3.5
y
O
dq
q
a
x
2
r cos q
3
 例題 3 と同様に q に基づく微小部分を考える．
 微小部分は微小な中心角 dq をもつ扇形であり，これは二
等辺三角形とみなして良い．すると重心は中心から (2/3)r
いったところ．角度は q だから，重心位置が求まる．
 微小部分の面積は 2 等辺三角形の面積であり，底辺が r dq
で高さが r  dA = (1/2) r 2 dq
29
例題 3.6
y
x
h
x
r = R
h
x
x +dx
R
 図のように，yz 平面から距離 x の位置を薄さ dx でスライス
した板を微小部位と考える．
 この板の側面は厳密には傾きを持っているが，これにより
生じる体積の大きさには dx 2 がかかるため，無視する．
 すると微小部位は半径 r，厚み dx の円板と考えることがで
きる  dV = pr 2dx = (pR2/h2)x2dx
 あとは x・dV (= (pR2/h2)x3dx) を積分．
30
まとめ
 物体全体の構成要素として微小部位を考え，その位置と質
量 (または長さ，面積，体積) を求める．
 あとは以下の通りやればよい．
( 重心位置) =
ò ( 微小部位の位置)( 微小部位の質量)
ò ( 微小部位の質量)
 微小部位が大きさを持っている場合，下記の通り．
( 重心位置) =
ò ( 微小部位の重心位置)(微小部位の質量)
ò ( 微小部位の質量)
31
まとめ
 結合体の重心は以下の通り．
( 重心位置) =
å
( 部分 i の重心) ×( 部分 i の質量)
å
( 部分 i の質量)
 物体の一部を除去した場合は以下の通り．
( 重心位置) =
(除去前の重心) ×(除去前の質量) - (除去部分の重心) ×(除去部分の質量)
(除去前の質量) - ( 除去部分の質量)
32
まとめ
 予告：第6章で扱う慣性モーメントも同様にして微小部
位を作って積分を行うことで求められる．こちらでは，
2
(
微小部位と軸との距離
)
( 微小部位の質量)
ò
を計算する．同じような計算なので混同に注意！
33

Download Report