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工業力学補足スライド
Industrial Mechanics
第3回：物体のつりあい (静力学)
知能システム工学科井上康介
日立キャンパス E2棟801号室
はじめに
 宿題を教壇に提出してください．
 配布物：解答用紙 1枚
 宿題の模範解答は配布しません．ヒントを見ても分から
ずじまいになってしまうことを避けるため，(提出済み
の) 宿題の中で分からなかった部分については，井上あ
るいは分かっている学生などに必ず質問し，絶対につぶ
しておくこと．残しておくと，わからないことが更にわ
からないことを増やす負の連鎖につながります．
 なお，採点後の小テスト・宿題の返却は行いません．
 例年は，先輩たちはこの講義において，質問時間を有効
に活用していました．
※ 先週以前に配布したノートを持っていない人は，
前に取りに来てください．
2
前回のおさらい
 物体上の点 A に力 F が作用しているとき，物体はどの
ような加速度および角加速度を持つかを計算したい．
 このとき，力の着力点を重心 G に移動させつつ，もとの
状態と同じ効果を物体にもたらす状態にすることを考え
る．
F
A
G
3
前回のおさらい
 力の作用線が距離 d だけ動くことの影響は，その力が
持っていたモーメントが変わることとして現れる．そこ
で，その差の分を新たに加えてやる．
 力が移動したことによるモーメント差は N = Fd であ
る．そこで，これを重心 G に加える．
力 F の効果
=
力 F’の効果 + モーメント N の効果
 このとき物体の加速度ベクトル a
は F’に比例し，角加速度 w&は
N に比例する．
F = m a , N = I w&
F
F’
G
A
N
d
4
前回のおさらい
 原点への力の移動では，力 F を原点に移動させるとき，
F がもともと原点周りに持っていた力のモーメント N を
補償すればよい．
 そして N = Fyx - Fxy． 憶えることを推奨
æFx ÷
ö
çç ÷
F = ç ÷
÷
çèFy ÷
ø
y
F’
N
x
5
前回のおさらい
 これを使い，3力以上の着力点の異なる力の合成は，各
力を原点に移動させて足し算をすればよい． 表などに
F1
F2
R = F1 + F2 + F3
N = N1 + N2 + N 3
F3’
F2’
N2
F3
N1
N3
F1’
cf. 例題 1.4
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前回のおさらい
 大きさを持つ物体がつりあっている状態の力学 (静力学)
を扱う．
 このとき注目すべき箇所は，物体間の接触点および物体
と物体をつなぐ支点
 接触点において，摩擦がないなめらかな接触では，物体
が受ける反力は必ず接触面に垂直である．
摩擦なし
摩擦あり
※ 均一な棒にかかる
重力は中点 (重心)
を通る
7
前回のおさらい
 物体間をつなぐ支点には以下の 3種類がある．
 移動支点：1方向の力のみ受ける (移動方向の力と力
のモーメントは逃がす)
 回転支点：2方向の力を受ける (モーメントを逃がす)
 固定支点：2方向の力とモーメントを受ける
移動支点
回転支点
反力は移動方向に垂直，
反力の作用線は回転
その作用線は回転中心を通る中心を通る
固定支点
反力だけでなく，反
モーメントも生じる
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節点法
 (1) まずトラス全体が釣り合っていることを利用して，ト
ラスが受ける外力を求める．
 トラス全体を1つの剛体と見立てると，力の釣り合いと
モーメントの釣り合いを用いて外力を求められる．
 å Fix = 0, å Fiy = 0, å N i = 0
F
A
D
B
R1
R2
R2
C
節点法
 (2) 受けている未知力の数が 2 以下の節点から順番に，一
つ一つの節点が受けている力の合計が 0 であることを利
用して，部材力を求めていく (ただし，節点にかかってい
る未知の力が3つ以上ある場合は解けない)．
 部材力は引張力であると仮定して変数を定義．圧縮力の場
合は値がマイナス．
 この統一性は重要
FBAF
FAB
A
B
FAB：節点 A が B 方向に
FBC
引っ張られる力
FAD FAC
FDA
R1
D
FDC
R2
FCA
FCD
FCB ここに描かれている力は全て，「部
C
材が受ける力」ではなく，「節点が
受ける力」であることに注意！
節点法
 さて，どの節点から始めるか…？
 未知力が3つ以上作用している節点は解けない
 とりあえず解けるのは B または D．
 例えば B について，F が (Fx, Fy )T と求まっているとする
A
FAB
FBAF
FAD FAC
FDA
R1
D
FDC
R2
FCA
FCD
x 方向のつりあい：
Fx - FBA = 0  FBA = Fx
B
FBC y 方向のつりあい：
Fy - FBC = 0  FBC = Fy
FCB 節点 A, C も解ける状態に
C
 あとは順次解いていく
切断法
 特定の部材に働く内力をピンポイントに知りたい場合は，
節点法のように絨毯爆撃的にすべての部材力を求めようと
するのは非効率
 切断法では，求めようとする部材を横切る切断面でトラス
を仮想的に切断
 切断された両側の構造をそれぞれ剛体と見なし，つり
あい条件を解く ( 切断する部材は 3本まで！)
 節点法と同様，第一
ステップで，まずは
トラス全体を剛体と
みなして外力を全て
求める
切断法
 問題の図式は「2つの剛体とその間をつなぐ 3本の部材」
となり，これらの部材力を求めれば良い．
 そこで次に切断面の両側のいずれかの剛体についてつりあ
い条件を解く  この例では，左の三角形の方が計算が楽
 切断された部材の部材力を変数化
 このとき，節点法と同様に部材力は引張力と想定する
 あとは x, y 方向のつり
あい式，モーメントの
つりあい式という 3 つ
の条件をいつもどおり
使えば良い
A
(カルマン法)
D
C
E
FCD
FGD
G
FGH
H
B

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