演習3 I. 極限値 A = lim log(1 + x) − x x2 を計算したい。 (i) log(1 + x) を

演習３
I. 極限値
log(1 + x) − x
x→0
x2
A = lim
を計算したい。
(i) log(1 + x) を x のべき級数であらわせ。
(ii) log(1 + x) − x
を x のべき級数であらわし，極限値 A の値を求めよ。
x2
log(1 + x) − (a0 + a1 x + a2 x2 )
が 0 でない実数となるよう
x→0
x3
に実定数 a0 , a1 , a2 を決定せよ。またそのときの極限値を求めよ。
II. 極限値 lim
1
III. e 10 の小数近似を 5 次近似
x2
x5
1
e =1+x+
+ ··· +
+
2!
5!
5!
∫
x
et (x − t)5 dt
x
0
を利用して求めよ。誤差の評価も適切に与えること。
———————————————————————1
,
I. (i) log(1 − x), log(1 + x) の x に関するべき級数はそれぞれ、 1−x
の幾何級数展開を積分してつくれるのだった。実際，
log(1 + x) = x −
(ii) 分子は (x −
x2
2
+
x3
3
1
1+x
x2 x3 x4
+
−
+ ···
2
3
4
2
− · · · ) − x = − x2 +
x3
3
− · · · であるから
log(1 + x) − x
1 x x2
=− + −
+ ···
x2
2 3
4
1
よって x → 0 として A = − である。
2
II. 考え方は I の (ii) とおんなじ。分母が x3 だから分子のほうも x の２次
以下の部分がなくなって丁度 3 次の項から始まるように a0 , a1 , a2 を決め
ればよい．つまり a0 = 0, a1 = 1, a2 = − 12 とすれば極限値は 13 である。
1
III. 講義中に説明した通り。5 次誤差は
( )6
1
1
1
± · e 10 ·
5!
10
1
で評価できる。さらに適当に e 10 < 54 などをつかってより具体的な有効桁
数を決定すればよい：
( )6
1 5
1 1
1
1 1 1
· ·
=
· · 6 ≤ · 7 = 0.0000000125
5! 4
10
24 4 10
8 10
であって，5 次近似の値の方は
1+0.1+0.005+0.000166666 · · ·+0.00000416 · · ·+0.0000000833 = 1.10517091 · · ·
（各項の桁をそろえて和を縦書きにすると計算しやすい）。上の誤差評価
と照らし合わせてみると，小数点以下 7 桁まで正しいことがわかる。
2

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