基礎応用数学第 1 章集合と写像 1 章の練習問題 B 解答 ( p 12 ) 【問題 1-5 の答】 (1.4a) A A B C B C 縦線 A、横線 B ∩ C 縦線 A ∪ B、横線 A ∪ C (1.4b) A A B C B C 縦線 B ∪ C、横線 A 縦線 A ∩ B、横線 A ∩ C 【問題 1-6 の答】問題をベン図で表すと右図のようになる。条件から、    a + c + d = 17    a + b + d = 11   b + c + d = 12      a + b + c + d + e + 21 = 50 これらの式から、a、b、c、e をそれぞれ d の式で表すと、 17 e 物理 5 23 化学 6 c b d a 21 生物 10 d d d d a = 8 − 、b = 3 − 、c = 9 − 、e = 9 + 2 2 2 2 これらの a、b、c、e が非負の整数値を取るためには、d は 0、 2、4、6 のいずれかを取らねばならない。そのうち e が最大値を取るのは d = 6 の時で、その最大値は 12 である。【問題 1-7 の答】簡単に一対一対応をつけるには、x ∈ X と y ∈ Y に対して、一対一対応をつける連続一価関数を探せばよい。そのような関数としては、例えば以下のようなものがある。 1 −1 1−x π · y = tan x 2 ·y= 基礎応用数学第 1 章集合と写像また、連続でない対応付けの例としては、次のようなものも考えられる。y を十進小数で表して、整数部を ak 、小数部を bk として、 Y 3 y = . . . an an−1 . . . a2 a1 .b1 b2 . . . bn−1 bn . . . と X 3 x = 0.a1 b1 a2 b2 . . . an−1 bn−1 an bn . . . を対応させる。【問題 1-8 の答】 ¯ x+y ¯ ³ x + y ´2 ¯ ¯ (1) ¯ < 1 ⇔ (x + y)2 − (1 + xy)2 < 0 ¯<1 ⇔ 1 + xy 1 + xy ここで (x + y)2 − (1 + xy)2 = x2 + 2 x, y + y2 − 1 − x2 y2 − 2 x y = x2 + y2 − 1 − x2 y2 = −(1 − x2 )(1 − y2 ) < 0 x+y ∈ P。ゆえに閉じている。 1 + xy x+y +z x+y x + y + z + xyz 1 + xy (2) (x ⊗ y) ⊗ z = ⊗z = = (x + y)z 1 + xy 1 + xy + yz + zx 1+ 1 + xy y+z x+ x + y + z + xyz y+z 1 + yz = = ゆえに結合法則が成り立つ。 x ⊗ (y ⊗ z) = x ⊗ x(y + z) 1 + yz 1 + xy + yz + zx 1+ 1 + yz x+e (3) 単位元は、x ⊗ e = = x より、(1 − x2 ) e = 0 → e = 0 単位元は 0 1 + xe x + x0 (4) 逆元は、x ⊗ x0 = = 0 より、x の逆元は −x これらより、群をなす。 1 + x x0 であるから、【問題 1-9 の答】 n = 2 の場合、偶置換、奇置換それぞれ 1 である。 n > 2 の場合、異なる全ての偶置換に対して、σ = (1, 2) の互換を行う。その結果は奇置換となり、しかもすべて異なっていて、同じ置換はない。なぜなら、もう一度互換 σ を行えばもとの置換に戻るが、それが同じ置換であることは「異なるすべての偶置換」という仮定に矛盾するからである。これより、「奇置換の数 > = 偶置換の数」である。異なる全ての奇置換に対しても同様な操作を行い、「偶置換の数 > = 奇置換の数」が言える。これらより、「偶置換の数 = 奇置換の数」である。