フーリエ解 析 の基 本 の「キ」をザッと知 ろう！
信号とは，多様な物理量（電圧，電流，音圧，光など）を表すもので，一般
に，アナログ（時間連続）信号とディジタル（時間離散）信号に大別される．
デ ィ ジ タ ル 信 号 は ， 順 番 に 並 ぶ 数 値 列 の 集 合 （ 数 列 ） で あ り ， k番 目 の 数 値
を，
x[k ]
； kは 整 数
（ 1・ 1）
で書き表すと，
{x[k ]}kk ==∞−∞
（ 1・ 2）
となる．
デ ィ ジ タ ル 信 号 x[k ] は ， 通 常 ア ナ ロ グ 信 号 を 「 サ ン プ リ ン グ （ s a m p l i n g ） 」
す る こ と に よ っ て 得 ら れ ， サ ン プ リ ン グ が 一 定 の 時 間 間 隔 T [秒 ]で 行 わ れ る と ，
x[k ] = x(kT )
（ 1・ 3）
と な る（ 図 1 － 1 ）．こ う し た 数 列 で あ る デ ィ ジ タ ル 信 号 {x[k ]}kk ==∞
−∞ を 四 則 計 算 し て ，
多彩なディジタル信号処理が実現されている．
図 1－ 1
時間離散（ディジタル）信号
基 本 １：ザックリと理 解 する
信 号 数 学 とはこんなもの！
まずは，ディジタル信号処理のための三つの“信号数学”の極意，
『直交』，『相関』，『フーリエ解析』
を取り上げる．いずれの極意も，信号数学を理解するうえでのキーポイントと
-1-
なるもの．四則計算の範囲でイメージ的な解説にとどめることにして，最初に
『直交』，『相関』の意味するところの感触を味わっていただきたい．
きゅー こ
以下，美人の信号処理エンジニア（名前は Q 子）と博士が丁々発止でやり
あう，興味深い会話の一部を紹介しよう．
Ｑ子
初 め ま し て ，博 士 ．信 号 数 学 が も つ ザ ッ ク リ と し た イ メ ー ジ を 教 え て ほ
しいわ．
博士
い い で す よ ，多 種 多 様 な デ ィ ジ タ ル 信 号 処 理 も ，こ れ か ら は 女 子 力 に 頼
らないといけないし，ズバズバ聞いてください．
Ｑ子
さ っ そ く な ん で す が ，『 直 交 』っ て い う の は ，い っ た い 何 な ん で し ょ う ？
博士
そんなの簡単，直角に交わることで すね ，な んち ゃっ て．信号 が直 角に
交 わ る っ て ， お そ ら く チ ン プ ン ， カ ン プ ン ？ で し ょ ． そ れ じ ゃ あ ， 図 1－ 2に
示 す 二 つ の デ ィ ジ タ ル 信 号 x =｛ a, b , c , d ｝ と y =｛ e, f , g , h｝ を 考 え ，
< x, y >=
1
{a × e + b × f + c × g + d × h}
4
（ 1・ 4）
と い う 演 算 を 定 義 し て お き ま し ょ う ．こ の と き ，図 1 － 3 に 示 す 四 つ の 信 号（ ❶ ，
❷ ， ❸ ， ❹ ） を 考 え ， 異 な る 二 つ の 信 号 に 対 し て 式 （ 1・ 4） を 計 算 し て み て
ください．Ｑ子さん，どんな値が得られるかな？
図 1－ 2
デ ィ ジ タ ル 信 号 （ 4サ ン プ ル ） の 相 関 計 算
-2-
図 1－ 3
Ｑ子
“ 直 交 す る ” デ ィ ジ タ ル 信 号 例 （ 4サ ン プ ル ）
博士，私のこと，ちょっと見くびってないかしら．❶と❷なら，式（1
・ 4） を 適 用 す れ ば い い ん だ か ら ，
<❶ ,❷ >=
1
1
× {1 × 1 + 1 × (−1) + 1 × (−1) + 1 × 1} = × {1 − 1 − 1 + 1} = 0
4
4
（ 1・ 5）
となって，一丁上がり．こんなもんですか，博士．
博士
種 明 か し を す る と ね ぇ ー ， 式 （ 1・ 5） の よ う に 式 （ 1・ 4） の 計 算 値 が 0
（零）になるというのが『直交』という性質なんだ．簡単なことでしょ．ち
な み に ， 式 （ 1・ 4） で 定 義 し た “ 積 和 （ 乗 算 し た 結 果 を 加 算 し た 値 ） ” の 1
サンプル当たりの平均値が，『相関』と呼ばれるものなんだ．これでもう，
『直交』と『相関』の信号数学の二つの極意がいっぺんに理解してもらえた
っていうわけ．ざっと，こんなもんでしょう．
Ｑ子
へ ぇ ー っ ，ビ ッ ク リ し た わ ．ほ か の 異 な る 二 つ の 信 号 の 相 関 は ど う な る
のかなあ？
ちょっと計算してみましょ．
-3-
<❶ ,❸ >=
1
1
× {1 × 1 + 1 × 1 + 1 × (−1) + 1 × (−1)} = × {1 + 1 − 1 − 1} = 0
4
4
<❶ ,❹ >=
1
1
× {1 × 1 + 1 × (−1) + 1 × 1 + 1 × (−1)} = × {1 − 1 + 1 − 1} = 0
4
4
<❷ ,❸ >=
1
1
× {1 × 1 + (−1) × 1 + (−1) × (−1) + 1 × (−1)} = × {1 − 1 + 1 − 1} = 0
4
4
<❷ ,❹ >=
1
1
× {1 × 1 + (−1) × (−1) + (−1) × 1 + 1 × (−1)} = × {1 + 1 − 1 − 1} = 0
4
4
<❸ ,❹ >=
1
{1 × 1 + 1 × (−1) + (−1) × 1 + (−1) × (−1)}= 1 × {1 − 1 − 1 + 1} = 0
4
4
（ 1・ 6）
す ば ら し い わ ， す べ て の 組 み 合 わ せ で 『 相 関 が 0 』 に な っ て る ぅ ー ー ．『 信
号が直交』しているっていうことなんだ．チョー，驚き．こんなことが世の
中にあっていいのかしら，うっふん，博士，どうなっているのかしら？
博士
Ｑ 子 さ ん も 美 し い け ど ， 式 （ 1・ 5） と 式 （ 1・ 6） は も っ と 美 し い ！
す
べ て の 異 な る 二 つ の 信 号 に 対 す る 『 相 関 が 0』 に な る と き ， 図 1－ 3の 四 つ の
信号の集合を『直交基底』というんだ．頭の片隅にでも入れて，記憶にとど
めておいてほしい，いずれ役に立つことがあるから．なお，一般に N個のサ
ン プ ル 値 を 有 す る 二 つ の デ ィ ジ タ ル 信 号 x = {x[n]}nn==0N −1 と y = {y[n]}nn==0N −1 に 対 す る 相
関は，
< x, y >=
=
1
N
N −1
∑ x [n ]y [n ]
n=0
1
{x [0 ]y [0 ] + x [1]y [1] + L x [N − 1]y [N − 1]}
N
（ 1・ 7）
で与えられる．もちろん，
< x, y >=< y , x>
（ 1・ 8）
の関係が成立することも明らかである（可換性という）．
Ｑ子
そ ん な こ と 言 わ な い で ，『 直 交 基 底 』の 利 用 シ ー ン を か い つ ま ん で 教 え
てもらいたいです．よろしく，お願いしまーす．
-4-
すけ
イヨッと，「ガッテン承知の助」なんちゃって，わかりましたよ．
博士
い ま ，あ る 信 号 ⓧ が（ 1 6 , － 2 , 4 , － 6 ）と し て ，図 1 － 3 の 四 つ の 信 号（ ❶ ，
❷ ，❸ ，❹ ）を 用 い て 合 成 す る こ と を 考 え て み よ う ．結 論 か ら で 恐 縮 だ け ど ，
実 は 図 1－ 4の よ う に 合 成 で き る ん だ ．
ⓧ ＝ [信 号 ❶ を 3倍 ]＋ [信 号 ❷ を 2倍 ]＋ [信 号 ❸ を 4倍 ]＋ [信 号 ❹ を 7倍 ]
（ 1・ 9）
図 1－ 4
Ｑ子
「 相 関 」と「 直 交 」を 利 用 し た 信 号 の フ ー リ エ 分 析（ D F T ）／ 合 成（ I D F T ）
本 当 ， で も 不 思 議 だ ぁ ． ど う や っ て 3倍 ， 2倍 ， 4倍 ， 7倍 と い う 情 報 を 見
つけ出してくるのかしら．かなり難しそうだわ．
博士
いやあ，それがそうでもなくて，チョー簡単．ちょっと，やってみまし
ょ ．試 し に ，「 信 号 ❶ を 3倍 」の 情 報 に お け る 数 値 の‘ 3’か ら 始 め ま し ょ う ．
算出方法は，ある信号ⓧと信号❶の『相関』を求めるだけなんですね．式（1
・ 4） の 定 義 に 代 入 す れ ば い い の で ，
<ⓧ ,❶ >=
1
1
× {16 × 1 + (−2) × 1 + 4 × 1 + (−6) × 1} = × {16 − 2 + 4 − 6} = 3
4
4
（ 1・ 10）
と な っ て ， 驚 い た こ と に 3倍 を 表 す 数 値 ‘ 3’ が ， あ ぶ り 出 さ れ て く る で は な
いですか．
-5-
Ｑ子
エッー，うそっー，そんなこと，凄すぎます．博士，たまたま，そうな
っただけなんでしょう．でも，残りすべても『相関』で算出できるのかもし
れない．騙されたと思って，信号❷でやってみようっと．
<ⓧ ,❷ >=
1
1
× {16 × 1 + (−2) × (−1) + 4 × (−1) + (−6) × 1} = × {16 + 2 − 4 − 6} = 2
4
4
（ 1・ 11）
ま あ ， な ん と い う こ と で し ょ ．‘ 2 ’ と い う 数 値 が 出 て ， あ っ て る ぅ ー ー ．
残り二つの計算で，きっとボロが出るから，きっとネ．
<ⓧ ,❸ >=
1
1
× {16 × 1 + (−2) × 1 + 4 × (−1) + (−6) × (−1)} = × {16 − 2 − 4 + 6} = 4
4
4
（ 1・ 12）
<ⓧ ,❹ >=
1
1
× {16 × 1 + (−2) × (−1) + 4 × 1 + (−6) × (−1)} = × {16 + 2 + 4 + 6} = 7
4
4
（ 1・ 13）
えっ，えぇーっ．全部，正解？
くわばら，くわばら，触らぬ神に祟りな
しっていうこと．さすがに博士ですね，後光が差しているわ．
博士
そうでしょうとも，たった二つだけの極意『相関』，『直交』を身につ
けてさえいれば，信号処理の世界をいとも簡単に攻略できるわけだからね．
さ ら に 付 け 加 え れ ば ，式（ 1・ 9 ）が『 フ ー リ エ 解 析 』の 物 理 的 な 意 味 と し て ，
『信号の直交基底による分解／合成』
で，周波数成分の計算に相当しているんだな．まったくもって，フーリエ解
析は信号数学に欠かせない，すごーいテクニックなんだから．
Ｑ子
これまでは，『 フーリエ解析』と 言えば ，難しい 数学 で見 るの も嫌 だっ
た け ど ，ど う っ て こ と は な い ん だ わ ．信 号 数 学 な ん て ，恐 れ る に 足 ら ず で す ．
博士，有り難うございます．
博士
ど ん な も ん じ ゃ い ，俺 さ ま の 実 力 を わ か っ て も ら え た か な ．信 号 数 学 の
土台になる三つの極意『フーリエ解析』，『相関』，『直交』は，信号処理
の基本中の「キ」であるぞよ．数式を丸暗記するんじゃなく，信号数学のも
つイメージを感覚的に把握することこそが，信号処理を身につけるための近
道と言えるんじゃな．
Ｑ子
はい，そうしますわ．博士，いろいろと有り難うございました．
三 つ の 極 意 が 醸 し 出 す 数 学 的 な 感 覚 を 体 感 し て も ら っ た と こ ろ で ，い よ い よ ，
ディジタル信号処理システムの解説開始となるのである．
-6-
本 技 術 講 習 会 で は ， こ ん な 調 子 で 2回 に わ た り ， 「 フ ー リ エ 変 換 」 ， 「 ｚ 変
換」，「ディジタル・フィルタの設計と実装」，「適応フィルタ」，「マルチ
レート信号処理」．「ウェーブレット変換」等の基本中の“基本”を中心に，
演習問題とともに体感しながら，理解・習得していきます．
･･････セ ミ ナ ー 講 師 よ り 一 言
-7-
© Copyright 2024 ExpyDoc
