カテナリー

カテナリー
■ 数学 III で曲線の長さを扱うとき，パラメータ表示された関数で
ない場合には，カテナリーが教科書に例題として登場することが多
い．
そもそも，曲線    () ( ≦  ≦ ) の長さ



1  {  ()}2  の積分計算が容易にできる関数が限られて

いるから，扱われる関数も同じようなものになる．
■ 曲線の長さの公式を導いた後，カテナリ
ーの紹介をする．
そのとき，「この曲線は何でしょう？」と
言って，チェーンの両端を持って垂らしてみ
せる．殆どの場合，「放物線」という返答が
ある．
「そうかな？」と言って，放物線を印刷し
た紙を黒板に貼り付け，それに沿わせるよう
に垂らすと，ビミョーな誤差がある．
チェーンが手元にないときは，ゼムクリップを繋いで作れば十分
に事足りる．
■
そこで「この曲線はカテナリー・懸垂線と呼ばれ，



   (     ) という形をしているんだ」と話を進める．
2
2
4
6
さらに，        3   5   と表示でき，放物線とは
2 24
720
異なるものだという紹介をする．
担当する生徒の状況に応じて，   1 として話をすることも多い．
■ 微分して公式に代入し，ルートが外せることが計算上の重要な
ポイントである．ルートのままだと，ルートの中が 1 次式とかでな
いと計算が辛い（あるいは，不定積分が求まらない）．
■ 計算後，
「電力会社や電気工事会社の人たちは，必要な送電線の
長さをこうやって積分計算しているのかも知れないね」と話すと，
「なるほど」という顔をする生徒も少なからずいる．
先日，このコラムの「働く数学のリアル」に書いたが，実際は放
物線として扱って計算しているというから，何か残念な気がする．
■ 確かに，図のような送電線
があったとき，このカテナリー
の方程式は  と  に対して，
 の方程式




 ( 2    2 )     の解で

2
決まるが，この方程式を解くことは容易でない．
一方，これを放物線としてしまえば，   42  2 と合同であるこ

とがただちに分かる．先のコラムでも触れたが，これで計算すると
2

/2
0
2
1   82    
 

16 2   2   2 log 16 2   2  4
2
8

である．この式を WolframAlpha のサイトにより    でローラン展
2
4
6
開すると     8  323  2565   となるそうで，電気工事
3
5
7
2
士の試験では，     8 という公式が使われているらしい．
3
この近似式の精度
が気になったので，
  10 として 2 つの
グラフをかいてみた．
横軸が  であり，青
(上側)が近似式である．
 の値が大きけれ
ば，誤差は殆ど無視で
きるという，何とも優れた近似式なのであった．
2015 年 9 月 14 日

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