Hayata, Hidaka, MH, Noumi , to be published in PRD [ arXiv: 1503.04535 ]
異常輸送現象を含む
非散逸性流体力学の
幾何学的定式化
本郷 優 東京大学理学系研究科 物理学専攻
共同研究者：日高 義将
2015 9/2 京都大学 熱場の量子論とその応用
Outline
Motivation:
異常輸送現象と非散逸流体？
Approach:
場の量子論 for 局所ギブス分布
（熱的多脚場・対称性の活用）
Result:
異常輸送現象の導出
流体力学による時間発展の記述
•
系の詳細によらない，ユニバーサルな記述を行う
•
マクロなダイナミクスを記述する有効理論
•
保存量のみに注目 ∼ 系の対称性のみに注目
クォーク・グルーオン プラズマ
10
T
12
10
12
cm
流体力学 { (x), v(x)}
'
K
http://www.bnl.gov/rhic/news2/news.asp?a=1403&t=pr
中性子星 ( マグネター )
10 km
'
12
10
kg/cc
http://newsoffice.mjitugenn.edu/2012/model-bursting-star-0302
対称性の破れと流体力学
・自発的な対称性の破れ
ミクロな現れ：真空の選択
マクロな現れ：超流動
https://en.wikipedia.org/wiki/Superfluidity#/
media/File:Liquid_helium_Rollin_film.jpg
・量子異常による対称性の破れ
ミクロな現れ：π0崩壊
0
マクロな現れ：カイラル異常輸送
S
µR 6= µL
j
( Adller 1969, Bell-Jackiw 1969 )
N
B
( Erdmenger et al. 2008, Son-Surowka 2009 )
異常輸送現象：パリティを破る応答
◆ カイラル磁気効果 (CME)
eµ5
j=
B
2
2
◆ カイラル渦効果 (CVE)
µµ5
j=
2
2
( Fukushima et al.2008, Vilenkin 1980 )
S
µR 6= µL
j
N
B
( Erdmenger et al. 2008, Son-Surowka 2009 )
j
µR 6= µL
非散逸流体力学 = 局所熱平衡系
その時刻の局所温度・局所速度場…のみによって定まる分布！
Outline
Motivation:
異常輸送現象と非散逸流体？
Approach:
場の量子論 for 局所ギブス分布
（熱的多脚場・対称性の活用）
Result:
異常輸送現象の導出
?
µ5 = 0
S
j
B
N
局所熱平衡系の記述法
熱力学 ( 大局熱平衡 )
T = const.
ギブス分布:
ˆG = e
Ĥ
[ ]
,
[ ]
log Tre
Ĥ
Localize
局所熱力学 ( 局所熱平衡 )
Thigh
局所ギブス分布(LG):
T = T (x)
ˆLG = e
Tlow
K̂ =
K̂
3
d x
[
µ
µ
(x), (x)]
0
(x)T̂ µ (x)
0
ˆ
+ (x)J (x)
超曲面上の熱力学ポテンシャル
t
µ
gµ̄¯ =
N
0
2
0
(x) で特徴付けられる分布
īj̄
t̄
t̄(x) = const.
x
Massieu-Planck functional
[t̄; ]
log Tr exp
= log Tr exp
d
t̄
d3 x̄
µ
(x)T̂ µ (x) + (x)Jˆ (x)
g
µ̄
(x̄)T̂ 0̄µ̄ (x̄) + (x̄)Jˆ0̄ (x̄)
9
フェルミオン系のEMテンソル問題
L=
⇣
1¯
µ̄
e⌫
2
⌫!
D µ̄
D µ̄
⌫
µ̄
e⌫
⌘
m¯
正準エネルギー・運動量テンソル
µ̄
⇥ ⌫¯
=
µ̄
⌫
¯L
1¯
(
2
µ̄ !
D ⌫¯
D ⌫¯
µ̄
D ⌫¯
µ̄
)
対称エネルギー・運動量テンソル
µ̄
T ⌫¯
=
µ̄
⌫
¯L
1¯
(
4
µ̄ !
!µ̄
D ⌫¯ + ⌫¯ D
D
µ̄
⌫
¯)
局所ギブス分布で採用するのはどちらにするべきか？
対称エネルギー・運動量テンソル？
対称エネルギー・運動量テンソル
µ̄
T ⌫¯
=
µ̄
⌫
¯L
1¯
(
4
µ̄ !
!µ̄
D ⌫¯ + ⌫¯ D
D ⌫¯
µ̄
D
µ̄
⌫
¯)
採用したい理由
① 局所ギブス分布 ＝ 独立な保存量のみを肩に乗せよう！
( 対称じゃない場合は，角運動量が独立でなくなる… )
② 流体力学に現れるマクロなEMテンソルは対称なはず！
採用したくない理由
経路積分したときに，Actionに戻らなさそう…
EMテンソルの分解と虚時間スピン接続
µ̄
⇥ ⌫¯
注目点：正準エネルギー・運動量テンソル は戻りそう！
(
虚時間の微分はただの偏微分になりそう…？ )
Actionに戻る部分と戻らない部分に分けてみる
戻る部分
µ̄
T ⌫¯
戻らない部分
1 µ̄
1 µ̄
µ̄
⌫
¯
= (⇥ ⌫¯ + ⇥ µ̄ ) = ⇥ ⌫¯
(⇥ ⌫¯
2
2
i
µ̄
⇢¯
µ̄
¯
= ⇥ ⌫¯ + D⇢¯( { , ⌃⌫¯ } )
4
⌫
¯
⇥ µ̄ )
虚時間方向のスピン接続になり，正しくEuclidean Actionに！
熱的多脚場による熱力学関数の記述
経路積分の結果
[t̄; ]
log Tr exp
= log
Z
熱的多脚場：
d
µ
t̄
(x)T̂ µ (x) + (x)Jˆ (x)
D ¯D exp S[ , ¯, ẽ]
µ
ẽ0̄
µ
µ
= e u , ẽī = eī
結果が意味するところ
2
ds =
µ ⌫
µ̄
⌫
¯
ẽµ̄ ẽ⌫¯ gµ⌫ dx dx
(aī
e
uī ,
=
īj̄
2
µ
(e ⌘ (x)/
ī 2
e (dt̃ + aī dx ) +
īj̄
+ uī uj̄ ,
dt̃ =
0)
0
ī
j̄
īj̄ dx dx
id )
という「曲がった時空」上の場の理論として記述
曲がった”時空”の対称性
ds2 =
(aī ⌘
e
e2 (dt̃ + aī dx̄ī )2 +
uī ,
0
īj̄
⌘
īj̄
ī
j̄
dx̄
dx̄
īj̄
+ uī uj̄ , dt̃ ⌘
d
µ µ
ẽµ̄ ( )
(x)
id⌧ )
x
“時空”の持つ対称性
( 1 ) 空間座標の貼り換え：
空間座標を勝手に貼り換えても物理は変わらない！
( 2 ) 虚時間並進 & Kaluza-Klein：
(温度などの)パラメータ は虚時間に依存しない！
分配関数法
[
µ
, ]=
D e
S[ ,g̃]
Banerjee et al.(2012), Jensen et al.(2012)
はこれらの対称性をrespectする！
“時空”の対称性: Kaluza-Klein対称性
2
2
ds =
ī 2
e (dt̃ + aī dx̄ ) +
[
µ
依存しない！
“Kaluza-Klein” gauge tr.
(x)
] = log
(fīj̄
Z
x
S[
¯
D D e
ī aj̄
dx̄
dx̄
īj̄
j̄
パラメータ は虚時間 に
µ
µ
ẽµ̄ ( )
d
ī
j̄ aī )
, ¯,ẽ]
t̄
t̄ + (x̄)
x̄
x̄
aī (x̄)
aī (x̄)
ī
(x̄)
īj̄
f fīj̄ , · · ·
ī
aī , aī a , · · ·
15
Outline
Motivation:
?
µ5 = 0
異常輸送現象と非散逸流体？
S
j
B
Approach:
g̃µ = g̃µ ( , v)
場の量子論 for 局所ギブス分布
（熱的多脚場・対称性の活用）
曲がった”時空”中のQFT :
2
ds =
2
[
µ
d
] = log
ī
Z
e (dt̃ + aī )dx +
Result:
N
異常輸送現象の導出
D ¯D e
(x)
S[ , ¯,ẽ]
0
ī
j̄
īj̄ dx dx
x
非散逸流体の有効理論のレシピ
[
µ
] = log
Z
D ¯D e
S[ , ¯,ẽ]
=
(0)
[
µ
]+
(1)
[
µ
, @]
- Building blocks: {e , aī , µ, Aī }
- 対称性：Spatial diffeo，Kaluza-Klein，ゲージ対称性
- Power Counting：外場( )は弱く，微分は高次とする
O(p0 ) :
1
O(p ) :
異常輸送係数の導出
① Wess-Zuminoの無矛盾性条件を使う
Jensen et al.(2012)
4次元のアノマリーの係数 ← 6次元のアノマリー
② 外場中の熱力学関数を評価する
Fukushima et al.(2008)
Landsteiner et al.(2011)
4次元のアノマリーの係数 ← 6次元のアノマリー
(1)
ψ の計算：Weyl
† µ
L=
µ
(p) =
fermion
Vilenkin (1978,1980)
Fukushima, Kharzeev, Warringa (2008)
Dµ
3
d
d xe
0
ip·x
µ
T J ( , x)J (0, 0) =
˜k i ˜p)i µ ( i ˜k)i
tr
(
i
d k
(2 )3
(k̃ + p)2 k̃ 2
3
= ( 1)T
n
i
µ
0
µL
p
8 2
(1)
EM
µL
= 2
8
ijk
Ai j Ak
Chiral Magnetic Effect
(1)
EM
µL
=
8 2
ijk
Ai
j Ak
µL
J =
=
Ai
4 2
i
ijk
µ5 = 0
S
N
j
B
µL
B
j Ak =
i
2
4
まとめ
Motivation:
?
µ5 = 0
異常輸送現象と非散逸流体？
S
j
N
B
Approach:
g̃µ = g̃µ ( , v)
場の量子論 for 局所ギブス分布
（熱的多脚場・対称性の活用）
曲がった”時空”中のQFT :
2
ds =
2
[
µ
d
] = log
ī
Z
e (dt̃ + aī )dx +
D ¯D e
(x)
S[ , ¯,ẽ]
0
ī
j̄
īj̄ dx dx
Result:
異常輸送現象の導出
(1)
eµ5
j = 2B
2
x
Backup
流体力学と曲がった”時空”の幾何学
熱力学
有限温度の場の量子論 = 松原形式
0
( Matsubara, 1955 )
半径
T = const.
d
経路積分
0 の
平らな”時空”上
0
の場の理論
x
局所熱平衡系の場の量子論
流体力学 { (x), v(x)}
[ Hayata-Hidaka-MH-Noumi ’15 ]
計量 g̃µ = g̃µ ( , v)
経路積分
d
で記述される
(x)
曲がった”時空”上
x
の場の理論
異常輸送現象が生じうる物理系
クォーク・グルーオン プラズマ
マグネター ( 強磁場中性子星 )
スケール Tで
y
x
衝突
非関与部
z
強磁場
衝突
非関与部
強磁場
強磁場
B
低温のQCD
プラズマ?
QGP
http://newsoffice.mjitugenn.edu/2012/model-bursting-star-0302
http://www.bnl.gov/rhic/news2/news.asp?a=1403&t=pr
e|B|
B
14
10
QEDプラズマ
8
T
強い磁場とカイラリティの不釣り合い
異常輸送現象の生じる絶好の系！
14
10
10
T
µ5 = 0
S
N
j
B
しかし，理論的に大きな課題が残されており，未解決！
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