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本書の特色
冬休みは，自分の弱点や不得意な分野を克服し，さらに応用力をつけるための最適
な時期といえます。この本では中学１∼３年の学習内容をあつかっています。基礎的
な事項の確認から，応用・発展的な難問まで，幅広く盛り込まれていますから，応用
力を効果的に身につけることができます。
各課とも，最初の２ページで基本的な問題を解きながら重要なポイントをおさえ，
次の２ページの演習問題で実力を定着させる…という流れになっています。
また，１課に１枚の別冊確認テストがついています。各課の理解度チェックに役立
ててください。
e
l
p
本書の使い方
・要点整理･･････････各課の基本事項をまとめています。
基本事
めています。
・例題･･････････各課の代表的な問題のパターンをとりあげて，その考え方を示
各課
な問題のパターンをとりあ
示
ターンをとりあげ
げて，その考え
m
a
ます。すぐ下の類題でくり返し練習し，
り身に
ぐ下の類題でくり返し練
してあります。すぐ下の類題でくり返し練習し，しっかり身に
つけましょう。
けましょう。
う。
・演習問題･･････････例題で学習したことがらを確実にするための問題です。演習問
演習
･･･例題で学習したこと
めの問題
題で学習したことが
がらを確実にす
を確実にす
S
題Ｂには難しい問題も含まれていますから，じっくり時間をか
題Ｂには難しい問題も含まれ
すから
題Ｂには難しい問
け，解けるようになる
習しま
け，解けるよ
け，解けるようになるまで学習しましょう。
・入試直前テスト････本書の総まとめの問題です。
・
テス
題です。
スト････本書
本の総まとめ
・レベルアップ･･････入試において正答率が低くなりがちな問題を載せています。難
レ
･･････入試に
て正答率
プ･･･
すが，
しいですが，少しずつ練習しましょう。
も
く
じ
数学中3
1 数と式の計算･･･････････････････････････ 2
6 平面図形⑵ ････････････････････････････ 26
2 方程式････････････････････････････････････ 6
7 空間図形･･･････････････････････････････ 32
3 関数⑴･･････････････････････････････････ 10
8 確率，資料の活用････････････････････ 38
4 関数⑵･･････････････････････････････････ 14
入試直前テスト････････････････････････････ 42
5 平面図形⑴ ････････････････････････････ 20
レベルアップ･･･････････････････････････････ 46
6 平面図形⑵
要点整理
❶
三角形の相似条件
［1］ 3組の辺の比がすべて等しい。
相似な図形の相似比と面積比の関係
［2］ 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。
相似比 m：n ⇔ 面積比 m2：n2
［3］ 2組の角がそれぞれ等しい。
❷
平行線と線分の比
・PQ™BC ならば，
AP：AB＝AQ：AC＝PQ：BC P
AN＝NC
❹
A
ならば，MN™BC，MN＝
円周角の定理
∠a＝∠b＝
❺
1
∠c
2
三平方の定理
2
2
c ＝a ＋b
2
M
B
a'
a
b
b
b'
中点連結定理の逆
逆
AM＝MB
MB
N
MN™BC
MN
C
ならば，AN＝NC，MN＝
A
e
l
p
m
a
接線
b
円に内接する四角形
円に内接す
b
∠a＝∠b
2
3
b
2
1
45°
1
S
cm，AC＝8
cm，
m，AC＝8 c
右の図において，∠ABC＝∠DAC，AB＝12
にお
ABC
BC＝∠
＝∠DAC
DAC，AB
AB＝
＝12 cm
A
AD＝9 cm で
のとき
次の問いに答えな
なさい。
とき，
，次の問いに答え
である。このとき，次の問いに答えなさい。
12
2 cm
m
8 cm
⑴ △ABC と△DAC
と
は相似であることを証明せよ。
相似であることを証明せよ
似であるこ
⑵ 線分 CD の長さを求めよ。
の長
よ。
。
解法
c
∠a
∠a＝∠c
＝∠c
a＝∠c
a
60° 1
1
BC
2
a
∠a＋∠
∠a＋∠b＝180°
＋∠b
b＝
30°
a
例題 1 相似
1
BC
2
接弦定理
a b
O
c
c
n
a：b＝a'：b'
中点連結定理
AM＝MB
m
a：a'＝b：b'
Q
AP：PB＝AQ：QC ❸
¬
・¬™m™n ならば，
2組
似の
等しい条
⑴ 相似の証明では，2組の角が等しい条件を使って証明することが多い。
9 cm
m
B
C
D
⑵ △ABC
BC ∽△DAC から，AB：DA＝AC：DC
AB
よって，12：9＝8：DC 12DC＝9×8 DC＝6
1
8：DC
△ABC と△DAC において，
⑴ ［証明］ △ABC
答
仮定より，∠ABC＝∠DAC ……①
共通な角だから，∠ACB＝∠DCA ……②
①，②より，2組の角がそれぞれ等しいので，△ABC ∽△DAC
⑵ 6cm
□1
右の図のように△ABC と△ADE があり，1辺の長さがそれぞれ8cm と7cm の正
A
三角形である。点Dは BC 上の点で，AC，DE の交点をFとする。AF の長さを求め
7 cm
m
8 cm
なさい。
E
F
B
［
26
］
D
C
６．平面図形⑵
例題 2 平行線と線分の比
A
右の図で，平行四辺形 ABCD の辺 AB，AD の中点をそれぞれ E，F とし，線
F
分 CF と対角線 BD の交点を P，線分 DE の交点をQとする。このとき，次の問
P
E
いに答えなさい。
D
Q
⑴ △EFQ ∽△DPQ であることを証明せよ。
⑵ EF：DP をもっとも簡単な整数の比で表せ。
解法
B
C
⑵ △ABD で，点 E，F は辺 AB，AD の中点であるから，中点連結定理より，EF＝
1
BD ……①
2
また，△PDF と△PBC で，FD™BC より，∠FDP＝∠CBP，∠DFP＝∠BCP
2組の角がそれぞれ等しいので，△PDF ∽△PBC
したがって，DP：BP＝FD：CB＝1：2 よって，DP＝
①，②より，EF：DP＝
答
1
BD ……②
3
1
1
BD： BD＝3：2
2
3
⑴ ［証明］
△EFQ と△DPQ において，
対頂角は等しいから，∠EQF＝∠DQP ……①
①
e
l
p
m
点 E，F は辺 AB，AD の中点だから，中点連結定理より，EF™BD
中点連
り，E
よって，錯角は等しいから，∠FEQ＝∠PDQ
FEQ
……②
…②
①，②より，2組の角がそれぞれ等しいので，△EFQ
それぞ
ので，△
EFQ ∽
∽△DPQ
DPQ
△E
△DPQ
⑵ 3：2
□ 右の図の平行四辺形
ABCD におい
において，辺 AB
B 上に AE
AE：EB＝1：2
EB＝1：2 となるよ
となるよう
E：E
2 に点Eをとり，点Eから辺
ら辺 A
AD に平行な直線をひき，辺
な直線をひき
との交点を
との交点をFとする。
ひき，
，辺 CD
D との交点をFとする
a
S
対角線 AC と線分
分 EF
EF，線分 BF との交点をそれぞれ
とするとき
H
をそれぞ G，H
G，H とするとき，線分
するとき線 GH
A
D
G
E
F
H
と線分 HC の長さの比を，もっとも簡単な整数の比で表しなさい。
の長
もっとも簡単な整数の比で表しなさい。
もっとも簡単な整数の比で表し
B
［
C
］
右の図の△ABC
AB で点Pは辺
の中点であ
点Qは線 BP の中点である。
は辺 AC の中点であり，点Qは線分
の
3 A
Rとし
直線 AQ と辺 BC
Cと
との交点をRとし，Pから
AR に平行な直線をひき，BC
に平
との交
点をSとする。次の問いに答えなさい。
の問
P
⑴ BR＝SC であることを証明せよ。
こ
せよ。
Q
B
R
C
S
⑵ △ABC の面積は△ABQ の面積の何倍か。
［
］
cm，DC＝8 cm，BE＝2 cm，EC＝10 cm
□ 右の図で，AB™PQ™DC，AB＝6
4 D
A
のとき，PQ の長さを求めなさい。
P
［
］
B
E
Q
C
27
例題 3 円
右の図で，4つの頂点が1つの円周上にある四角形 ABCD の対角線の交点をPとし，
A
QP™BC となる点Qを AB 上にとる。このとき，△PBQ ∽△ACD であることを証
D
明しなさい。
［証明］
△PBQ と△ACD において，
答
P
Q
円周角の定理と，三角形の相似条件を使って証明する。
解法
B
C
QP™BC で，錯角は等しいので，∠BPQ＝∠DBC
͡
また，C D に対する円周角より，∠DBC＝∠CAD
よって，∠BPQ＝∠CAD ……①
͡
AD に対する円周角より，∠PBQ＝∠ACD ……②
①，②より，2組の角がそれぞれ等しいので，△PBQ ∽△ACD
次の図で，∠x
の大きさを求めなさい。
5 □⑴
□⑵ A
x
F
A
55°
x
B
D
e
l
p
m
E
O
O
15°
B
1152°
5 2°
C
C
［
a
S
右の図について，次の問いに答えなさい。
て，次
答えなさい。
さい。
6 ］ ⑴ △PAC
C ∽△PDB
∽
である。このときの相似条件を書け。
ある。このときの相似条件を書け
ある。このときの相似条件を書け。
［
⑵ 円Oの半径を求めよ。
を求
6 cm
cm
］
］
D
C
8c
cm
P
［
［
4 cm
m
］
□7
右の図で，円周上の1点Aを通る接線上に点Dをとる。点Dからこの
A
円に交わるように直線をひき，その交点をDに近い方から B，C とする。
∠ADB の二等分線をひき，AB，AC との交点を E，F とするとき，
F
E
AE＝AF であることを証明しなさい。
D
B
C
28
B
O
A
６．平面図形⑵
例題 4 三平方の定理
右の図の△ABC は，∠B＝90°，AB＝9 cm，BC＝3 cm の直角三角
C
形であり，円の弧に辺 AB，BC がそれぞれ点 D，C で接している。
E
また，点Eは円の弧と辺 AC との交点である。このとき，次の問いに
答えなさい。
A
B
D
⑴ ∠AED の大きさは何度か。
⑵ △ADE の面積を求めよ。
解法 ⑴ BC，BD は円の接線だから，BC＝BD＝3 cm
よって，△BCD は直角二等辺三角形だから，∠CDB＝45°
接弦定理より，∠CED＝∠CDB＝45°
したがって，∠AED＝180°−45°＝135°
⑵ △ADE と△ACD において，
接弦定理より，∠ADE＝∠ACD
共通な角なので，∠DAE＝∠CAD
2組の角がそれぞれ等しいので，△ADE ∽△ACD
e
l
p
m
a
S
したがって，AE：AD＝AD：AC
32 ＝3㲋10（cm）
ここで，三平方の定理より，AC＝㲋92＋3
AD＝9−3＝6
9−3 （cm）
よって，AE：6＝6：3㲋100 より
より，AE＝
36
6㲋10
0
cm）
cm）
＝
（cm）
（
5
3㲋10
AE
1
6
E
6㲋10
Eから AB にひいた垂線を
ひいた
EH とすると，EH
とすると，EH＝CB×
＝3×
3×
×
＝（
（cm）
EH＝
＝CB
B×
＝
5
5
AC
3㲋100
1
6 18
これより，△ADE＝
れより
×6× ＝（cm2）
2
5
5
答
⑴ 135° ⑵
⑴
⑵
118
8
cm2
5
右の図は，長方形
長
ABCD
D を線分
を折り目として，頂点Aが辺
頂点
BC 上の点F
分 EG を折り目と
8
A
G
D
cm，BF＝6
cm のとき，線分 BE の
と重なるように折ったものである。AB＝10
に折
である。
BF
である。AB
長さを求めなさい。
い。
E
B
［
F
C
］
右の図で，2点
A，B は放物線 y＝2x 上の点で，x座標はそれぞれ −2，3 である。
9 2
y
いま，線分 AB 上に AC＝3㲋 5 となる点Cをとり，さらに，放物線上で，線分 AB
B
の下側にx座標が正となるような点Dをとる。また，線分 BD 上に点Eをとって台形
C
ADEC をつくる。このとき，次の問いに答えなさい。
E
□⑴ 線分 AB の長さを求めよ。
［
］
［
］
A
□⑵ 点Cの座標を求めよ。
□⑶ △BCE と台形 ADEC の面積比をもっとも簡単な整数の比で表せ。
［
D
O
x
］
29
演習問題
A
□ 右の図のように，AB
を直径とする半径3の半円がある。この半円の弧 AB 上
1
Q
に2点 P，Q を，∠APQ＋∠BQP＝210° となるようにとる。このとき，弧 PQ
P
の長さを求めなさい。
A
［
B
O
3
］
A
右の図のように，∠BAC
が直角である直角三角形 ABC がある。いま，辺 AC
2 上に点Dをとり，頂点Aから辺 BC に垂線 AE をひき，線分 BD との交点をFと
証明しなさい。
D
F
する。このとき，AD＝AF ならば，線分 BD は∠ABC の二等分線であることを
B
e
l
p
A
右の図の平行四辺形
ABCD で，辺 AB，BC，CD
CD の
の中点を，それぞれ
れぞれ
L
L，M，
ぞれ L，M
M，
3 D
N とし，LM，AN が対角線 BD と交わる点を，それぞれ
点を
P，Q
，Q とする。
する
BD＝12 cm のとき，線分 PQ の長さを求めなさい。
さを求め
m
a
S
［
C
E
Q
L
N
P
B
C
］
□4
△ABC
で，辺
で
BC を 33：2
に分ける点をPとし，辺
に分ける点を
：2 に分ける点を
分ける点 Pとし，辺 AB を 2：1 に分け
A
Qとする。右の図のように，Qを通り
Qを通り BC に
右の
に平行な
に平行な直線をひき，AC
ひき
との交点を
に，Q
cm
Rとし，Rを通り
通 AP に平行な直線をひき，BC
行な直線をひき，B との交点をSとする。SC＝3
交点を
行な直線を
のとき，線分 QR
R の長さを求めなさい。
の
めなさい。
Q
R
B
［
P
S
C
］
A
右の図で，△ABC
の2つの頂点 A，C を通る円Oをかき，辺 AB，BC
5
と円との交点を D，E とする。それぞれの長さが図のようであるとき，
次の問いに答えなさい。
□⑴ 線分 EC の長さを求めよ。
8 cm
m
［
］
［
］
□⑵ 線分 CD の長さを求めよ。
30
6 cm
D
B
7 cm
cm
6c
cm
E
O
C
６．平面図形⑵
演習問題
B
A
右の図において，△ABC
は CA＝CB の二等辺三角形であり，円Oに内接し
1
ている。CB の延長上に CB＝AD となる点Dをとり，点Bを通り AC に平行な
直線と，円Oとの交点をEとする。このとき，次の問いに答えなさい。
⑴ △ADB≡△CBE であることを証明せよ。
O
B
D
⑵ ∠BAE＝24° であるとき，∠ABC の大きさを求めよ。［
E
］
A
右の図で，四角形
ABCD は正方形で，Eは辺 AB の中点，F，G は辺 DC 上の点で，
2
DF＝
C
D
1
FG＝GC である。AB＝4 cm のとき，次の問いに答えなさい。
2
E
⑴ 線分 FE の長さを求めよ。
［
Q
G
］
e
l
p
⑵ 線分 AG と EF，BF との交点をそれぞれ P，Q とするとき，四角形
るとき
PEBQ の面
の面積
を求めよ。
F
P
［
B
］
C
，右の
に頂点 A，B，C
A，B
B，C がそ
3 1つの角が45°の三角定規をノートに置くと，右の図のように頂点
A
12 mm
の横線
平行な線分であり
れぞれノートの横線上にきた。ノートの横線は互いに平行な線分であり，となり
線分であり，とな
となり
り
合うどの横線の間隔もすべて 12
2 mm であるとして，次の問いに答えなさい。
て，次の問いに答
の問いに答えなさい
さい。
m
a
□⑴ △ADE と四角形 DBCE
BCE の
の面積の比を求めよ。
を求めよ。
。
□⑵ 辺 AB の長さを求めよ。
長さを
［
S
［
］
B
D
45°
5
E
45°
45°
］
円に内接する四角形
接
形 ABC
ABCD があり，対角線の交点をPとする。∠BAC＝∠DAC，
があり，対角線の交点を
∠BA
対角線の交点 Pと
4
PA＝
A
2㲋 3
，PB＝3
P
PD＝㲋 2 であると
であるとき
であるとき，次の問いに答えなさい。
，次の
に答えな
PD＝
㲋 2 ，PD＝
3
。
⑴ 線分 PC の長
の長さを求めよ。
C
［
H
D
P
B
］
⑵ 点Cから対角線
線B
BD にひいた垂線と対角線
線と対
BD との交点をHとするとき，線分 PH
C
の長さを求めよ。
⑶ この円の半径を求めよ。
［
］
［
］
A
右の図のように，円に内接する五角形
ABCDE において，線分 BE と線分 AC，
5
͡
AD との交点をそれぞれ F，G とし，円周上にあり，CAD 上にない点をPとする。
͡ ͡ ͡ ͡
AB＝B C，AE＝ED，BC™ED であるとき，次の問いに答えなさい。
□⑴ △ABF ∽△EAG であることを証明せよ。
B
F
E
G
C
D
P
□⑵ ∠CAD の大きさを求めよ。
［
］
□⑶ AF＝2 cm，BF＝1 cm であり，点Pが点Cと点Dの間を動くとき，△CPD の面積の最大値を求めよ。
［
］
31

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