問題
右図において，
K
L
M
N
O
H
I
J
D
E
(1) 直線でできる三角形の個数を求めよ。
(2) 交点を結んでできる三角形の個数を求めよ。
F
A
G
B
C
【解】
(1) 保留。
(2) 全 15 個の交点から，任意の 3 交点をえらぶのは 15 C3 通り。ここから 3 点が同一直線上にある場合を除けば OK。
まず，各段から 3 つの交点をえらぶのは 5 C3 通り。よって，1 段目から 3 段目まででは
5 C3
× 3 = 30(通り)
次に，各段から交点を 1 個ずつえらぶ場合，1 段目の A∼E の点で考えると
i) A · · · AFK，AGM，AHO の 3 通りで同一直線上になる。
ii) B · · · BGL，BHN の 2 通りで同一直線上になる。
iii) C · · · CGK，CHM，CIO の 3 通りで同一直線上になる。
iv) D · · · B と同様 2 通りで同一直線上になる。
v) E · · · A と同様の 3 通りで同一直線上になる。
よって同一直線をなすのは 3 + 2 + 3 + 2 + 3 = 13 通り。ここから，求める三角形の個数は
15 C3
− 30 − 13 = 412(個)

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