42平 面 図形 の性 質 問 題 の 解 法 を 通 し て ,知 識 や 公 式 の skredu 整 理 を しよ う. 27.10.29 さくら教育研究所 :撫1韻1簿1鞭 三 角形 ・四角形の内角の和,三 平方 の定理 な ど 例計算,中 点連結定理,三 角形 における相似比 な どである。問題 は図形 に関す る基礎知識 と基本的 が単独 に出題 され る ことは,非 常 に少な くなって い い きてい る。 また,作 図 もあまり出題 されて な 。 な考 え方 をみるものが多 く,考 え方,計 算 ともに 複雑 な ものはほ とん ど出ていない。 出題数 の多 いのは平行線 における角度計算 と比 の 073」 め よ ル物 と ″ の き さ を 岩 客 の き 大 求 。 る呂 畳 ニ ,∠ (新潟) 度 答 ( 2 ) 右 の図 で, ア 〃物, ∠ α=∠ うの と き, ∠ 冴 の 大 き さ を求 め よ。 (山口) 度 答 ( 3 ) 右 の 図 で, A B 〃 C D で あ る。 ∠A B E = 1 3 0 ° , ∠E C D = 2 0 ° で あ る とき,∠ ″ の大 きさを求 め よ。 (佐賀) 度 答 (4)右 の 図 で ,直 線 ′ ,物 ,%が 平行 の とき,″ の値 を求 め よ。 (鳥取) ′ ｀ ′ ｀ ｀ ヽ 3 cHl‐ 答 ″ = 9 の 07生 」 二 岩 宿 岳 軽 さ め よ た だ し を 喬署 畳 長 求 ,cDの 。 , AB〃 CD,BO:OC=2:3,AB=5cmで 平面図形 の基礎 43 ある。 (大分) 答 C m ( 2 ) 右 の図 で, ∠ X O Y = 1 2 ° , OA=AB=BC=CDと す る。 ∠B C D の 大 きさを求 めよ。 ( 鳥取) 度 答 ( 3 ) ∠ A B C = 8 0 ° の紙 を右 の図のように折 り返 した とき, ∠" の 大 きさを求 めよ。 ( 長野) 度 答 ( 4 ) 右 図 にお い て, 円0 は △A B C に 内接 してお り, ∠OBC=15° , ∠OCB=35° とす る。 この とき,∠ AOBの 大 きさを求 めよ。 (佐賀) 度 答 皿 次 の問いに答 えよ。 (1)正 十五角形 の 1つ の内角の大 きさを求 めよ。 (千葉) 度 答 (2)1つ の内角 の大 きさが 140°である正多角形 の辺 の数 を求めよ。 (福岡) 本 答 44三 角形 ・多角形 の 証 明 ま す 直 観 的 に , 等 し い 辺 ・角 の 発 見 に つ とめ よ う。 抵:韻:端 証 明 は相似 ・合 同 に関す る もの,角 度 や辺 の長 さに関 す る ものが中心 になって い る。 また,証 明 だ けが出題 され る とい う よ りは,大 て い ろい ろな計 算 をさせ る とい う形式 が 多 い。 内 容 的 に難 しい もの は少 な いが ,図 が 複雑 で 方針 の 間 の うちの 1つ の小 間 が証 明 で,そ の結果 を用 い 分養 う必 要 が あ る。 皿 立 ちに くい もの もあ るか ら,分 析 力,思 考力 を十 青森〕 平行四辺形 A B C D で , 対 角線 の交点 0 を 通 る直 〔 線 を右図のようにひき, 2 辺 A B , C D と の交点 を, そ れぞ れ P , Q と する。このとき, O P = O Q で あることを証明せ よ。 証 明〕 〔 皿 栃木〕 右 の図 の ように,AD〃 BCの 台形 ABCD 〔 が ある。BDの 中点 をEと し,AEの 延長 とBCと の 交点 をFと する。 この とき,AD=FBと 証 〔 なる ことを証明せ よ。 】 明〕 平行四辺形 で ある。 秋 田〕 〔 皿 と言 P 民 君祐 呂尼箸 倉i : D は ( 1 ) 右 の図 に, 辺 A D の 中点 M を 作図 し, 次 に, 辺 B A の延長線 と C M の 延長線 をか き, そ の 交点 を P と . せB よ。 ただ し, 作 図 には定規 とコンパ ス を使 い, 作 図 に 用 いた線 は消 さない こ と。 ( 2 ) ( 1 ) で作 った 図 で, △ P A M = △ 明 せ よ。 証 明〕 〔 CDMと なる ことを証 B 10 三 角形 ・多角形 の証明 45 1辺 と を る す 皿蟹 哲 索 亀 軍 』 2形 払 者 箔 詔錠留 法 ザ このとき, △EAD≡ △EBCで あることを証明せよ。 証 明〕 〔 皿 広島〕 右 の図のように,三 角形 ABCと ,三 角形 ABC 〔 を点 Cを 中心 として回転 した三 角形 DECが ある。線分 ADと 線分 BEの 交点をFと し,点 Fを 通 り線分 ECと 平行 な直線 をひき,線 分 BCと の交点をGと する。 これについて,次 の問い に答 えよ。 B (1)△ ACD∽ △BCEで ある ことを証明せ よ。 証 〔 明〕 (2)△ ABCが ∠CAB=9o° , ∠ABC=50° の直角三 角形 で, ∠BCE=100° で ある とき,∠ AGFの 大 きさを求 めよ。 答 度 皿 北海道〕 右 の図のように,△ ABCの 辺 AB,AC 〔 上 に 2点 D,Eを B,Eか DE〃 BCと なるよ うに とる。点 らそれぞれ DC,ABに 直線 の交点 をFと し,EFと れぞれ H,Gと 平行 にひいた 2つ の DC,BCと の変点 をそ する。 この とき,次 の問 いに答 えよ。 (1)△ HCCと 相似 な三角形 をすべて書 け。 (2)△ DHE≡ △BFGを 証明せ よ。 証 明〕 〔 46三 角形 ・多角形 の 証 明 皿 塚唱B暴 暑 を 1介 2繁を し 繁鍔&後現笛整 た。 この とき,次 の問 い に答 えよ。 (1)△ PCE∽ △EDAで ある こ とを証明 せ よ。 証 明〕 〔 ( 2 ) 長方形 A B C D の 形 によって は, 点 Eの 位置 が辺 CDの 中点 に くる ことが ある。 この とき, BP:PCを 求 めよ。 答 BP:PC= 高知 〕 右 の図 において,△ ABCは 〔 正三角形 であ り,点 D,Eは ある。BD=2cm,∠ 1辺 の長 さが 8cmの それぞれ辺 BC,CA上 の点 で ADE=60° の とき,CEの 長 さを次の ようにして求 めたい。匝□ には角 を,匝 □ には辺 を,匝 □ には数 を適切 に補 え。 △A B D と △A B C は △D C E に お い て, 正 三 角形 で あ るか ら, ∠ABD=∠ ……… "… ① DCE=60° また ,三 角形 の 外 角 は,そ れ と とな り合 わ な い 2つ の 内角 の和 に等 しい か ら, ∠ADB=∠ DAC十 ∠DCA 国函□ =∠ EAD十 ∠ADE 同様 に, ところで ∠DCA=∠ ADE=60° で あ るか ら, □ … … … …… …② ①,② より, 2組 の角がそれぞれ等 しいから, △A B D ∽ △D C E ∠ADB=匝 =BDiCE したが って ,AB:回 よって,CE=□ cm : 10 三 角形 ・多角形 の証明 47 皿 香川〕 右 の図 のように,平 行四辺形 ABCDが あ り, 〔 ∠Aは 鈍角で,辺 BCの 長 さは辺 ABの 長 さよ り長 い。辺 AD上 に BC=BEと なるように点 Eを とり,点 Bと 点 E,点 Eと 点 Cを それぞれ結ぶ。 また,∠ EBC の二等分線 と線分 ECと の交点をPと し,辺 ABお よ B び線分 EDの 中点 をそれぞれ Q,Rと する。 これにつ い て,次 の問 い に答 えよ。 (1)△ BPC≡ △BPEで ある ことを証明 して, ∠BPC=90° を導 け。 証 明〕 〔 (2)点 Qと 点 Rを 結ぶとき,QRttECで あることを証明せよ。 証 明〕 〔 皿 和歌山〕 右 の 図 の よ うに,正 方形 ABCD 〔 が ある。 この正方形 の辺 CD上 を動 く点 Pが あ り,Aと Pを 結ぶ線分が対角線 BDと 交わ る点 を Q,APの 延長 が辺 BCの 延長 と交わ る点 をRと する。 また,点 Pを 通 り,BCに 平行な直線が,QB, QCと 交わ る点をそれぞれ S,Tと する。 この とき,次 の問いに答 えよ。 (1)∠ QCP=∠ CRPで あることを証明せよ。 証 明〕 〔 (2)AB=6cm,DP:PC=1:2で ある とき,DQの 長 さを求 めよ。 ただ し,答 えが無理数 になる ときは,無 理数で答 えよ。 Cm (3)点 Pが 辺 CDの 中点 にある とき,正 方形 ABCDの 面積 は △QSTの 面積 の何倍 か。解 き方 と答 えを書 け。 解 き方〕 〔 倍 答 ≪ 4 8 平 面 図 形 の 長 さ ・面積 辺 の 比 や 相 似 な 図 形 ・含 同 な 図 形 の 発 見 が ポ イ ン ト. いう 高 さまた は底辺 を共 有 す る三 角形 の面積比 な どで あ るが ,図 が複雑 な もの もあ り,分 析力 と 長 さや面積 に関す る問題 は よ く出題 され る。 問題 の 内容 は, ともに総合 的 な図形 に関 す る直観力 と思 考力 を養 (i)平 行線 と辺 の比 の 関係 (五 )相 似 三 角形 の面積比 ってお く必要が あ る。 '総 皿 撃 哲岩 貞 務 胡 高 啓 辺 極 揚 穐 異 晶 &の う 議告 阜 だ 提 蒼 。 答 ｍ 皿 茨城 〕 右 の図のように,AB=4cm,AD=6cmの 〔 形 ABCDが ある。辺 BC,CDの し,辺 AD上 に AG:GD=2:1と AEと BG,AFと 長方 中点 をそれぞれ E,Fと なる点 Gを とる。 BGと の交点 を,そ れぞれ P,Qと する とき,△ APQの 面積 を求めよ。 答 cm2 皿 隅 c官 便 督 ?1督 済 許 筈 官 盟 晶 lr匿 とし, 線 分 A E , F C と れ P,Qと の対角線 B D と の交点 をそれぞ す る。 この とき, 次 の問 い に答 えよ。 (1)∠ DBC=23° , ∠DQC=97° め とき, ∠AFCの 大 きさは何度 か。 面積 は,△ FQDの 度 答 修)平 行 四辺形 ABCDの 面積 の何倍 か。 倍 (3)線 分 BPの 長 さが たcmの とき,線 分 PQの 長 さを たを用 い て表 せ 。 Cm 11 三 角形 ・ 多角形 の長 さ,面 積 49 皿 愛知 〕 右 の図で,四角形 ABCDは 〔 DCで ある。また,E,F,Gは 点 で,Hは AD〃 BCの 台形 で,AB= それぞれ辺 AB,DC,BCの 中 DBと EFと の 交 点 で あ る。AD=4cm,BC=6 cm,AB=8cmの とき,次 の問 いに答 えよ。ただ し,答 えが無 理数 になるときは,根 号 をつ けたままでよい。 (1)四 角形 HBCFの 面積 は台形 ABCDの 面積 の何倍 か。 倍 答 修)線 分 FGの 長 さは何 cmか 。 皿 香川〕 右 の図のような正六角形 ABCDEFが 〔 CD,EFの Q,Rを 中点 を,そ れぞれ P,Q,Rと あ り,辺 AB, する。 3つ の点 P, 結 んでできる △PQRの 面積 は,正 六角形 ABCDEF の面積 の何倍 か。 倍 答 皿 京都 〕 右 の 図 の よ うに,平 行 四辺形 ABCDが 〔 あ り,∠ Bの 二 等分 線 と辺 ADと の 交 点 を Eと し, BE,CDの 中点 をそれぞれ F,Gと Hは ,EH:HC=1:2に す る。 また,点 分 ける点 で,BHと FCと の交点 を Iと す る。 ∠A=120° ,AB=5cm,AD=8cmの (1)∠ EFGの 大 きさを求 め よ。 とき,次 の問 い に答 えよ。 ｀ 答 度 修)線 分 FGの 長 さを求 めよ。 答 Cm 僧)F｀ I:ICを 最 も簡単 な整 数 の比 で答 えよ。 答 50 H 中 心 角 ・円 周 角 ・三 角 形 な ど の 知 識 の活用 が 解 法 の カギ . お うぎ形 は弧 の長 さ,面 積計算 な どの公式 です ぐで きる問題が多 い。計算 の コツは中心角が何度 か まず考 える ことで ある。 円 は円周角,三 角形 な どの広 い知識 を総合的 に 092 利用 して解 く問題 も多 く,ま た出題形式 もい ろい ろで あ るか ら,単 に解法 の暗記 で はな く,図 を ど ん どんか き,じ っ くり考 える習慣 をつ けて お く必 要 が あ る。 次 の問 い に答 えよ。 ( 1 ) 右 の図 は, 四 角形 A B C D が AB=ADで 円 0 に 内接 し, ∠ B C D = 1 3 0 °, ある。 ∠A B D の 大 きさを求 め よ。 ( 二重) この とき, ∠ ″の大 きさを求 めよ。 度 答 ( 2 ) 右 の図 の ように, 円 に内接 す る四角形 A B C D が ある。 ( 栃木) 度 (3)右 の 図 で,四 角形 ABCDは ∠AOD=α °で ある。 円 0に 内接 し,∠ B=100°, この とき,∠ CDOの 大 きさを αを用 い て表 せ。 (千葉) の直径 で,AB=AEで 円 0に 内接 し,BEは ある。また,Fは ACと 度 答 (4)右 の図 で,五 角形 ABCDEは 円0 BEと の交 点 で ある。 ∠EDC=112° の とき,∠ AFEの 大 きさは何度 か。(愛知) 度 答 ｌ Ａ 皿 山梨〕 右 の図のように,半径 2cm,中 心角 120° のお うぎ 〔 形 OABが お うぎ形 と円 51 ある。半径 OBの 中点 をPと し,点 Aと 点 Pを 直 線 で結ぶ。 この とき,次 の問 いに答 えよ。 ただし,円 周率 は πとし, 答 えが無理数 になるときは,無 理数 のままで答 えよ。 (D ABの 長 さを求 めよ。 答 Cm (2)線 分 APの 長 さを求 めよ。 答 Cm 皿 繁七 緊橡 ° 温 愛 督 と 闇野 獄 と BCの 交 点 で あ る。 ∠E=29° ,∠ F=35° の とき,∠ CDAの 大 きさ を求 め よ。 答 度 皿 栃木〕 右 の図 において, △ A B C は 円 0 に 内接 してい る。 〔 辺 A C 上 に点 D を とり, B D の 延長 と円 0 と の交点 をE と する。 この とき, 次 の問 いに答 えよ。 ( 1 ) 点 A を ふ くまない方の孤 B C の 長 さが, 円 周 の長 さの 十 である とき, ∠B A C の 大 きさを求 めよ。 答 度 (2)点 Cと 点 Eを 結 ぶ線分 をひ く。 AD=6cm,DC=2cm,DE=3cmの △CEDと とき, △ABCの 面積 の比 を求 め よ。 答 △CED:△ ABC= : 円周 角 に接 線 の 定 理 が プ ラ ス さ れ た だ け ′ま す 角 度 に 注 意 . ￨:!モ ' ￨::::F】 ■:辞撃辞1車 111モ ■￨や :1■ ヽ や:荘 を i:守 1神:ギ 革ギ:1本 =1弾栄t=ギ す =車 キ:i::1羊 円 と接線 に関す る問題 も多数出題 されてい る。 内容 は円周角 に接線 と弦 ではさむ角 の定理が プラ スされ,か な り複雑 になってい るが,等 しい角度 や,接 線 の長 さ,中 心 と接点 を結 ぶ直線 が接線 に 皿 垂直である ことな どに注意すれば容易 に解法 の見 通 しがつ く。大部分 の問題 は円周角 と接弦定理, 三 角形 の合同,相 似,面 積 な どと関連 してい ると い うことを念頭 において解 いてみよう。 次 の問 い に答 えよ。 ( 1 ) 右 の 図 の ように, △ A B C が 円 0 に 内接 して い る。直線 A T は , 点 A に お ける円0 の 接線 で あ る。 ∠T A B = 6 2 ° , ∠ B O C = 1 0 2 ° で ある とき, ∠ A B C の 大 き さは何度 か。 ￨￨) ( 香ナ 度 (2)右 の図 の ように,線 分 ABを 直径 とす る円 0に 内接 す る 三 角形 ABCが ある。点 Cに おける円 0の 接線 を CDと し ,点 Aを 通 り直線 CDと 平行 な直線 をひ き,円 0と の交点 をEと す る。∠BCD=32° で ある とき,∠ BAEの 求 めよ。 大 きさを ( 広島) 形 ABCDが 度 答 僧)右 の 図 の ように,半 径 6cmの 円 0に 内接 す る長方 あ り,点 Bに お ける円 0の 接線 を BTと す る。∠CBT=20° の とき,中 心角のイヽさい方 のお うぎ 形 OCDの (宮城) 面積 を求 めよ。 ただ し,円 周率 は πとす る。 ・ 答 ｍ (4)右 図 にお いて,半 径 lcmの 円 0と 半径 2cmの 円 0′が外接 して い る。直線 物は 2つ の 円 の共通 な接線 で,点 A,Bは それぞれの接点 で ある。 線分 ABの 長 さを求 め よ。 (大分) Cコn 13 皿 秋田〕 右 の図のように,AB,AOを 〔 半円 0,0′ が ある。点 Aを 通 り,ABに 円 と接線 53 それぞれ直径 とする 垂直 な直線 ′をひ く。 また,点 Bか ら半円 0′にひいた接線 の接点 をTと し, BTの 延長 と半円 0,直 線 ′との交点をそれぞれ P,Qと す ・ る。 c m と して, 次 の問 い に答 えよ。 ° ( 1 ) 点 0 と T を 線分 で結 び, ∠ A O T = α , ∠ A B Q = が AB=12 と す る とき, αを うの式 で表 せ。 答 α = (〕 PQの 長 さを求めよ。 答 Cm 皿 宮 山〕 右 の図 の ように,半径 7cmの 円 0に △ABCが 〔 接 してお り,∠ BAC=120° ,AB=1l ∠BACの 二 等分線 が BC,円 内 cmで ある。 0と 交わ る点 をそれ ぞれ E,Dと し,ま た点 Bに お ける接線 とACの 延長 が交わ る点 をFと す る とき,次 の問 い に答 えよ。 ° (1)∠ ACBの 大 きさを α とす る とき,∠ BFAの 大 きさ を, αを用 い て表 せ。 答 度 修)図 の 中 か ら △ABDと 相似 な三 角形 を 2つ あげよ。(三角形 の各頂点 が △ABD の頂点 と対応す るように表す こと) ほ)BDの 長 さを求めよ。 答 Cm (4)ADの 長 さを求 め よ。 答 Cm 54 H 皿 愛知〕 次 の問いに答 えよ。 〔 (1)右 の図で,四 角形 ABCDは 長方形 で,Eは 辺 BC上 の点 である。また,△ DECに 外接す る円は点 Fで 辺 ABに 接 し て い る。 A B = 1 2 c m , E D = 1 3 c m の とき, 長 方形 A B C D の 面積 ・ は作丁しI B 1 2 か 。 答 cm2 (2)右 の 図 で,△ ABCは ∠B=90° の直角三 角形 で,辺 AC上 の点 0を 中心 とす る半 円 0は ,点 P,Qで それぞ 接 して い る。 また,R,Sは れ辺 AB,BCに の点 で,∠ PRS=90° ,PR//QSで BC=6cmの とき,四 角形 RPQSの 辺 AC上 あ る。 AB=3cm, B 面積 は何 cm2か 。 答 cm2 10回 こ 省 :醤 活 岳 十 晏 !号 そ 3,呂 呈 吊 盆 署 占 君 轡 啓 盤 PSを とる。 ∠BAC=40° の とき, ∠ABD十 ∠ACDを 求 め よ。 度 答 皿 罷 ,官 協 慨桑 栃 呂 粧α 亀 軽 笠 盟 戦疫 また,線 分 PA,PBと 円 0と に接 して い る円 0′が ある。 ∠APB=60° の とき,次 の問 い に答 えよ。 (1)線 分 PAの 長 さを求 めよ。 Cコn (2)円 0′と線分 PBと の接点 をCと す る とき,線 分 CBの 長 さを求 め よ。 答 Cm ' 102」 電 泌 の 署 猛 E2税 曾 ふ ぉ 倉 ;暑 督 介 運 岳 皇 ぎ 盟 ft軽 い る。AB=8cm,BC=5cm,∠ 13 円 と接線 55 ABC=60° として,次 の 問 い に答 えよ。 (1)PRQに 対 す る中心角 ∠POQの 大 きさは何度 か。 (2)点 Aか ら辺 BCに 垂 線 をひ くと △ABCは 度 答 2つ の直角三 角形 に分 け られ る。 こ の 2つ の直角三 角形 を利用 して,辺 ACの 長 さを求 めよ。 得)斜 線 部 分 の お う ぎ形 OPQの ｍ 答 面 積 を 求 め よ。た だ し,円 周 率 に は πを そ の ま ま用 い る こ と。 答 cm2 皿 挿覇理線 息 荒 監乳 f塀 濫 , C で 接 す る半径 3 c m の 円 0 が あ る。線 分 A B 上 に, B P = 預 「 c m と なる点 P を と り, P か ら円 0 に 接線 をひ き, 線 分 A C と の 交 点 を Q と す る。 この とき,次 の 問 い に答 え よ。 (D 線分 PQの 長 さを求 め よ。 答 Cm 修)図 の斜線 の部分 の面積 を求 めよ。 答 ｍ ま す 円 周 角 と 接 線 の 定 理 で ,等 角 度 を も れ な く探 し 出 せ . 円 に関 す る証 明 も独立 して 出題 され る場合 は少 な く,大 間 の うち の 1つ の小 間 として 出 る ことが 多 い。 内容 は,角 度,三 角形 の合 同,相 似 ,な どに関 す る ものの証 明 が 多 い。 しい 一 般 に証 明 は基 本 的 な問 題 が 多 く,出 題 内容,形 式 ともに種類 は少 な い か ら,証 明練習 を じっ くりや ってみれ ば,す ぐで き るようにな る。 '盟雪 正 塑 」艦 ↓ 」 ダ 七 尻 宅 住 旨 哲 縁 晃 岳 腎 醤 意と 婚骨 猛 昼 周上 に と り, 点 A と 点 D , 点 B と 点 D を それぞれ直線 で結 ぶ。 この とき, A T / / B D で ある ことを証明せ よ。 証 明〕 〔 皿督 [ 魯 岳 弓 を 軽景 貿 径 肯 醤 ふ ま 『 せ 塩 活 冒 倉 り ユ P3岳 F密 半径 が等 し く,点 Cで 円 0と 外接 す る円 0′をつ くる。OCの 延長 と円 0′との交点 を Dと す る と,CDは る。次 に,点 B,Cを し,点 E,Dを 円 0′の直径 とな 結 び,そ の延長 と円 0′との交点 を Eと 結 ぶ。 この とき,次 の問 い に答 えよ。 (1)∠ AOC=110° の とき, ∠CDEの 大 きさを求 めよ。 度 (2)△ ABCと △D C E に は どん な 関係 が 成 り立 つ か 。 その 関係 を書 い て , 証 明 せ よ。 証 明〕 〔 (3)点 A,Dお よび点 A,Eを それぞれ結 んでで きる △AODと △ABEの 面積 の 比 を,最 も簡単 な整 数 の比 で表 せ 。 答 △AOD:△ ABE= : '1:言 に 10旦 」 湯 ず を 呂 と 吊 場 ど 彗 暑 を 稔 想 景 と 屏 舞 ,者 雪 魯 桑 ,号 14 円 と証 明 57 図 1 D 点 E に 重 なるように折 った ものである。 また, 図 2 は 折 った半 円の紙 を もとの半 円 に開 いた ものである。図 2 で 線分 A C と B D を ひ き, そ の交点 をF と す る。 ただ し, BC>ADと す る。 A 図2 この とき, 次 の問 い に答 えよ。 (1)△ OCDは どんな三 角形 か。 答 (2)A,B,C,D,E,F,0の 7 つ の点 の うち, 3 つ の点 を適 当 に とって三 角形 を つ くる。 ∠C A D と 大 きさの等 しい角 を 2 つ あげよ。 答 (3)△ CED≡ △CFDで あることを証明せよ。 証 明〕 〔 のとき,四 角形 ABCDの (4)AD:BC=1:2″ か 面積は三角形 CEDの 面積 の何倍 。 倍 答 10コ 1側極名 ;暑 品鮮g縁 躍 畢 盟温↓ 含 し,AX」 コこAB=ACと なる点 Cを とる。BCと 円 0と の交点 をDと し,BD上 に ∠CAD=∠ BAEと なる点 Eを とる。 AEの 延長 と円 0と の交点 を Fと す る。 この とき, 次 の問 い に答 えよ。 ( 1 ) △ C A E ≡ △A B F で ある ことを証明せ よ。 証 明〕 〔 (2)∠ CAF=114° の とき,∠ BAYは 何度 か,求 めよ。 答 度 58 H 1囲号 言 智冷駆冒 :禄 ほ 曾 品)星 歓 号 ず B密 縦モ 金 γ また,弦 ADの 延長 とこの 円の点 Bに お ける接線 との交点 を F とす る。 この とき,次 の問 い に答 えよ。 (1)△ ADCと 相似 な三 角形 を右 の図 の 中か ら,1つ 選 んで,記 号 で答 えよ。 答 ￨ (2)△ ABFと ￨ △BDFが 相似であることを証明せよ。 証 明〕 〔 109」 呂 T島 せ 準 ゴ !4気 占 唇 忌 毬B:iユ 倉 g貞 釜 盤 啓 ヨ 円 に内接 す る三 角形 B C D を 作 る。 また, D を 通 り B C に 平行 な直線 をひ き, 直 線 A B , A C と E,Fと の交点 を す る。 この とき, 次 の問 い に答 えよ。 ( 1 ) △ C D F ∽ △D B E で ある ことを証明 せ よ。 証 明〕 〔 ( 2 ) B C = 3 c m , C D = 4 c m , D B = 2 c m のと き, ① FDと DEの 長 さの比を求めよ。 答 FD:DE= : ② ADと BCの 交点をGと するとき,CGの 長 さを求めよ。 答 Cm 皿 新潟〕 右 の図 の ような,線 分 ABを 直径 とす る半 円が あ 〔 る。線分 ABの 中点 Cで 線分 ABに 接 する円0を かき,半 円 との交点をそれぞれ D,Eと し,線 分 ADの 延長 と円 0と の 交点 をFと する。 この とき,AF=CFで 証 〔 明〕 あることを証明せ よ。 皿 ,〔茨城〕 右の図のように,円 る。BACを に内接す る正三 角形 ABCが 除 いた円周上 に点 Pを とり,AP上 あ に ∠APC= ∠PCQと なるように点 Qを とるとき,△ AQC≡ △BPCで あ る ことを証明せ よ。 証 〔 明〕 皿 毘 ,縦滞覇 子 3払 署 縁 裾鯛 名 軽 皇 交点をQと する。 このとき,次 の問いに答えよ。 (1)△ ABPと △CQPが 相似であることを証明せよ。 証 明〕 〔 (2)円 0の 半径 が 10 cm,BC=CP=5cmの とき, △ABPの 面積 は △CQPの 面積 の何倍 か。 倍 答 ミ 皿 罪と 鋸 銚言 挽繁∬ど 換尉 を通 る接線 の交点 をE と す る。次 の問 い に答 えよ。 ( 1 ) △ D B C ≡ △E A C で ある こ とを証明 せ よ。 証 明〕 〔 (2)円 0の 半径 が 2cmの とき,線 分 CEの 長 さを求 め よ。 答 Cm 60 H 皿 網 醍甥‰紫鍔蟹管 ど テ 遭 鎌盈離岩 な直 線 と孤 A B と の交点 をD と し, 2 直 線 A D , C B の 交点 をE と す る。 この とき, 次 の問 い に答 えよ。 ( 1 ) △ A B E ∽ △A D C で ある ことを証明 せ よ。 証 明〕 〔 (2)OA=5cm,AC=6cmの とき,線 分 ADの 長 さを求 め よ。根号 が つ くときは, 根号 の ついた ままで答 えよ。 答 ｍ 」 里 正 】伊 Rを ほ !で 暑 香 ぼ 岳 轡 3署 と 告 畳 桂 優 『 P嵩 い弦 ABに 対 し,AB=ACで ,∠ BACが 鈍角 になる点 Cを 直線 ′上 に とる。また,線分 BCと 円 0と の 交点 を Dと し,円 周上 に AB〃 DEと なる点 Eを とる。弦 BDと 弦 AEの 交点 を Fと C す る とき,次 の問 い に答 えよ。 (1)三 角形 ABEと 三 角形 CAFは 合同 であるこ とを証 明 せ よ。 証 明〕 〔 (2)∠ FCA=35° の とき, ∠ABEの 大 きさを求 め よ。 C , 線 分 0 0 ′と円 0 の A B と の交点 を D , A D の と円 0 ′の 円周 との交点 を E と す る。 ∠O A O ′= 9 0 °の とき, 次 の問 い に答 えよ。 ( 1 ) △ A B C ∽ △E B D で ある ことを証明 せ よ。 証 明〕 〔 延長 度 答 11旦 ′ 」 を 岳 岳 8,〕 。 岳 楊 古 鱗 ?景 奮 桑 当 送[合 言 :曾 1 4 円 と証明 6 1 ( 2 ) 円 0 , 0 ′ の 半径 が それ ぞれ 1 5 c m , 2 0 c m の とき, 線 分 D E の 長 さ を求 め よ。 答 Cm 皿 岐阜〕 右 の図で, 2つ の円は点 Pで 接 してい る。内側 の円 〔 周上の点 Qに お ける接線 が外側 の 円 と交わ る点 を A,Bと し,APと 内側 の円 との交点 を C,PQの 延長線 と外側 の円 と の交点をDと する。 この とき,次 の問いに答 えよ。 (1)△ ACQ∽ △DQBで ある ことを証明せ よ。 証 〔 明〕 (2)APが 内側の円の中心を通 り,∠ DBQ=20° のとき,∠ DQBを 求めよ。 答 度 皿 徳島〕 右 の図のように,ABを 〔 直径 とする半円0 と,点 0に おいて ABと 接す る円 0′が異なる 2点 C,Dで 交わ ってい る。この円 0′が ACと 交わる点 をEと するとき,次 の問 いに答えよ。ただし,点 0′ は ACに 関 して,点 0と 反対側 にあるもの とする。 (1)△ EAOは 証 〔 二等辺三 角形 であることを証明せ よ。 明〕 (2)∠ EAOの 大 きさを "°とす る とき, ∠0′ECの 大 きさを″を用 い て表 せ。 答 度 ほ)半 円 0の 半径 を 6cm,円 0′の半径 を 5cmと す る とき,ECの 長 さを求 め よ。 答 Cm
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