第 6 回 2015-05-25

数値解析
[2015 第６回目]
1
数値積分
y=f (x) の積分が容易でない場合
がある．或いは、 f (x) の値が，
実験データの現実の問題を解く
ためには，容易でない．
そこで，数値解析により求める方
法を学習する．
y = f (x)
α
b
I = ∫ f ( x)dx
β
x
a
2
数値積分
微小区間に分けて，各区間の面積を足
しあわせる（区分求積法）．
各微小区間における積分方法が各種
提案されている．
…
b
a
α
β
m分割
(1) 中点則
(2) 台形則
(3) シンプソン則
(4) ニュートン・コーツ積分公式
h
(5) ガウス積分
(6) チェビシェフ公式
a
b
以降，微小区分を取り出して考える．
3
数値積分
h
1. 多項式への近似
(1) 中点則 y = q (定数)と近似
aとbの中点をcとする．積分値を以下
と考える．
分点
M = h f (c)
a
c
a
b
(2) 台形則 y = px+q と近似
分点
台形で近似して，面積を求める．
b
h
T = ( f (a) + f (b))
2
分点 (3-1) シンプソン則y = px2+qx+r と近似
二次多項式で近似する．
a
c
b
h
S = ( f (a) + 4 f (c) + f (b))
6
4
1. 多項式への近似
数値積分
分点 (3-2) シンプソンの3/8公式
y = px3+qx2+rx+s と近似
三次多項式で近似する．
a
c1
c2
b
3(h / 3)
S3 / 8 =
( f (a) + 3 f (c1 ) + 3 f (c2 ) + f (b))
8
h
= ( f (a) + 3 f (c1 ) + 3 f (c2 ) + f (b))
8
5
1. 多項式への近似
数値積分
(4) ニュートン・コーツ積分公式
分点( , )の数: n+1
●
○
y = pn x n + pn −1 x n −1  + p0
y = f (x)
中点則，台形則，シンプソン則を一般
化した積分方法．
分点の数をn+1とするとき，f(x)をn次
の多項式で近似して，積分する．
多項式で近似する方法は？
…
分点
x0 x1
a
xn
b
6
2. 誤差解析 (2) 台形則
数値積分
h
I
b
I = ∫ f ( x)dx
a
T
a
c
b
b−a
T=
( f (a) + f (b))
2
Taylor展開を用いて，I と M の差を見積もる．
Taylor展開
F ʹ′ʹ′( x) 2 F ʹ′ʹ′ʹ′( x) 3
F ( x + δ ) = F ( x) + F ʹ′( x)δ +
δ +
δ +
2!
3!
(n)
∞
F ( x) n
=∑
δ
f(x+δ)
n!
n =0
f(x)
δ
x
7
数値積分
2. 誤差解析 (2) 台形則
h
f(x)の原始関数をF(x)とする．
I
b
I = ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a)
T
a
F(b)とF(a)をcのまわりでTaylor展開．
a
c
b
h f ʹ′(c) h 2 f ʹ′ʹ′(c) h 3
F (b) = F (c) + f (c) +
( ) +
( ) 
2
2! 2
3! 2
h f ʹ′(c) h 2 f ʹ′ʹ′(c) h 3
F ( a ) = F (c ) − f (c ) +
( ) −
( ) 
2
2! 2
3! 2
よって，
2 f ʹ′ʹ′(c) h 3 2 f ʹ′ʹ′ʹ′ʹ′(c) h 5
I = f (c ) h +
( ) +
( ) 
3!
2
5!
2
8
数値積分
2. 誤差解析 (2) 台形則
h
一方，
h
T = ( f (a) + f (b))
2
f(b)とf(a)をcのまわりでTaylor展開．
I
T
a
c
b
h f ʹ′ʹ′(c) h 2 f ʹ′ʹ′ʹ′(c) h 3
f (b) = f (c) + f ʹ′(c) +
( ) +
( ) 
2
2! 2
3! 2
h f ʹ′ʹ′(c) h 2 f ʹ′ʹ′ʹ′(c) h 3
f (a) = f (c) − f ʹ′(c) +
( ) −
( ) 
2
2! 2
3! 2
よって，
f ʹ′ʹ′(c) h 2
T = h{ f (c) +
( ) + }
前のページ
2 f ʹ′ʹ′(c) h
2 f ʹ′ʹ′ʹ′ʹ′(c) h
2! 2
I = f (c ) h +
( ) +
( ) 
3!
2
5!
2
結局，誤差は，
1 1
h 3
T − I = 2( − ) f ʹ′ʹ′(c)( ) +  =>１区間での誤差は，h3のオーダー
2! 3!
2
全区間では，m=(β-α)/h倍して，
2
h2のオーダー．O(h )
9
3
5
数値積分
2. 誤差解析 (3) シンプソン則
一方，
h
S = ( f (a) + 4 f (c) + f (b))
6
f(b)とf(a)をcのまわりでTaylor展開を用いると
h
S
a
c
b
f ʹ′ʹ′(c) h 2 f ʹ′ʹ′ʹ′ʹ′(c) h 4
S = h{ f (c) +
( ) +
( ) + }
3 ⋅ 2! 2
3 ⋅ 4! 2
結局，誤差は，
1
1
h 5
S − I = 2(
− ) f ʹ′ʹ′ʹ′ʹ′(c)( ) + 
3 ⋅ 4! 5!
2
=>１区間での誤差は，h5のオーダー
全区間では，m=(β-α)/h倍して，
h4のオーダー．O(h 4 )
10
数値積分
2. 誤差解析(2)台形則と(3) シンプソン則
台形則(分点数=2, 二次の多項式)
誤差：h2のオーダー
…
しかしながら，多項式の次数を上げると，端
点で振動的な振る舞いをすることがある(ル
ンゲの現象) ので、そこそこの次数で区間幅
hを狭め、分割数mを増やすのが良い
β
m分割
誤差：h4のオーダー
高精度化のためには，一見すると，
･近似する多項式の次数を上げる．
･区間幅hを小さくする．
= 区間分割数mを多くする．
b
a
シンプソン則(分点数=3, 三次の多項式) α
h
a
b
h
a
c
b
11
数値積分
演習問題の 1 から 4 までについて；
被積分関数を一次式から順に高次の式に変えていって、
数値積分の結果と正確な値との間に
どのような誤差が出るかを確認する。
誤差を生むような被積分関数を使った時に、
区間幅 h (あるいは分点間隔 hh ) を変化させることによって
誤差の値がどのように変化するかを確認する。
異なった積分公式を用いた結果を比較する場合には、
計算に用いた分点の数がほぼ同じになるよう調整する。
(関数値の計算に非常に大きなコストがかかるものとしている。)
12

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