2015年11月10日

情報処理入門（火曜４限）
第 5 週（2015 年 11 月 10 日）のキーワード
テイラー展開
関数 f(x)が何度でも微分可能な関数である時、f(x)のテイラー展開は以下のように書ける。
f !(a)
f !!(a)
f (n) (a)
(x − a) +
(x − a)2 + ⋅⋅⋅ +
(x − a)n + ⋅⋅⋅
1!
2!
n!
f (n) (a)
=∑
(x − a)n
n!
n
f (x) = f (a) +
有限個（n 個）までの項の和（下の gn(x)）を n 次のテイラー展開という。また、特に a = 0 の場合をマクローリ
ン(Maclaurin)展開と呼ぶ。
n
gn (x) = ∑
k=0
f (k ) (a)
(x − a)k
k!
テイラー展開は、関数の値を近似する時などに便利であり、物理、化学の分野ではよく使われる。
Mathematica でテイラー展開を計算するには、組み込み関数 Series[]を用いる。いくつ目の項まで計算させ
るかで、近似の精度が変わる。n 番目まで計算させて、それ以降は無視する場合、f(x)は n 次のテイラー展
開と剰余項 Rn+1(x)を用いて以下のように表される。
f (x) = gn (x) + Rn+1 (x)
Series を用いて 5 次のテイラー展開(a = 2)を求める。
Series[f[x], {x, x0, n}]は、f(x) の(x-x0)n 次までの点 x = x0 に関するベキ級数展開を作成する。
ここの O[x-2]6 は(x-2)6 以上の高次の項で、剰余項に対応する。
最小二乗法
実験で得られるデータは離散データであり、測定上の誤差が存在するため、実験データが理論式に完全
に一致することはない。また、理論式は種々の近似の下で導かれるため、その意味でも実験データと理論
式は一般には一致しない。
実験データを解析する時、確からしい理論式にあてはめて様々なパラメータを推定することが良く行われ
る。これをフィッティングと呼ぶ。このとき、最小二乗法が用いられる。
実験データの組を（xi, yi） (i = 0, 1, 2, ... n) とし、 xi は実験者が決める測定条件（時間や波長など）で測
定誤差はなく、yi は測定結果で誤差を含むとすると、測定値と理論値とのずれΔi は以下のように書ける。
Δi = yi − f (xi )
この測定値と理論値とのずれΔi の総和は、i → ∞でゼロに近づくが、Δi の二乗の総和 S はゼロにはなら
ない。
S = ∑ Δ i2 = ∑ ( yi − f (xi ))
i
2
i
最小二乗法では、この S が最小になるように f(x)を決める。その方法は非常に面倒で、手計算では難しく、
計算機を用いて最も確からしい f(x)を求める。Mathematica では組み込み関数 Fit[]を使うことで最小二乗法
によるフィッティングが可能である。
1

Download Report