2015 年 4 月 13 日 第 2 回 1 変量データの整理（2） 村澤 康友 前回のキーワード 統計学，記述統計学，統計的推測，推測統計学，母集団，標 本，実験データ，調査データ，横断面データ，時系列デー タ，パネル・データ，全数調査，標本調査，1 変量データ， 多変量データ，質的変量，量的変量 1 目次 1 変量の尺度（p. 27） 3 2 度数分布（p. 18） 6 3 記述統計量（p. 28） 2 20 1 変量の尺度（p. 27） 変量の尺度によりデータ整理の方法が異なる． 4 種類の尺度 1. 2. 3. 4. 名義尺度 順序尺度 間隔尺度 比尺度 3 質的変量の尺度 定義 1. 順序がない類別を名義尺度という． 注： 「最大値」「最小値」「平均」は無意味． 例：婚姻状態（未婚・既婚・離別・死別） 定義 2. 順序がある類別を順序尺度という． 注： 「平均」は無意味． 例：学歴（中卒・高卒・大卒） 4 量的変量の尺度 定義 3. 間隔のみが意味をもつ量を間隔尺度という． 例：摂氏・華氏，時刻 定義 4. 比率が意味をもつ量を比尺度という． 例：身長，体重，時間，絶対温度 5 2 度数分布（p. 18） まず最初に観測値の範囲をいくつかの階級に分割する． 定義 5. ある階級に含まれる観測値の数を，その階級の度 数という． 定義 6. （度数）／（観測値の総数）を相対度数という． 6 例：試験の得点の度数分布表（p. 18） 階級 0∼10 10∼20 20∼30 30∼40 40∼50 50∼60 60∼70 70∼80 80∼90 90∼100 計 度数 相対度数 12 10 19 42 72 82 54 38 25 19 373 7 .032 .027 .051 .113 .193 .220 .145 .102 .067 .051 1.000 ヒストグラム（p. 19） 定義 7. 横軸に値をとり，各階級の（相対）度数を柱の面積 で表したグラフをヒストグラム（柱状グラフ）という． 注：柱の高さで表す棒グラフとは異なる．階級分けしない離 散変量は棒グラフでよい． 注：ヒストグラムの印象は階級の取り方により異なる．粗す ぎても細かすぎてもいけない． 8 15 10 5 0 Frequency 20 25 30 例：[0,1] 上の一様乱数（階級幅 0.2） 0.0 0.2 0.4 0.6 data 9 0.8 1.0 10 5 0 Frequency 15 例：[0,1] 上の一様乱数（階級幅 0.1） 0.0 0.2 0.4 0.6 data 10 0.8 1.0 6 4 2 0 Frequency 8 10 例：[0,1] 上の一様乱数（階級幅 0.05） 0.0 0.2 0.4 0.6 data 11 0.8 1.0 累積（相対）度数（p. 19） 定義 8. ある階級以下の度数の和を，その階級までの累積度 数という． 注：名義尺度なら無意味． 定義 9. （累積度数）／（観測値の総数）を累積相対度数と いう． 12 例：試験の得点の累積度数分布表 階級 0∼10 10∼20 20∼30 30∼40 40∼50 50∼60 60∼70 70∼80 80∼90 90∼100 累積度数 累積相対度数 12 22 41 83 155 237 291 329 354 373 .032 .059 .110 .223 .416 .635 .780 .882 .949 1.000 13 累積（相対）度数グラフ（p. 26） 定義 10. 累積（相対）度数の折れ線グラフを累積（相対） 度数グラフという． 注：階級を細かくしたほうが良い． 14 60 40 20 0 cumfreq 80 100 例：[0,1] 上の一様乱数（階級幅 0.2） 0.0 0.2 0.4 0.6 class 15 0.8 1.0 60 40 20 0 cumfreq 80 100 例：[0,1] 上の一様乱数（階級幅 0.1） 0.0 0.2 0.4 0.6 class 16 0.8 1.0 60 40 20 0 cumfreq 80 100 例：[0,1] 上の一様乱数（階級幅 0.05） 0.0 0.2 0.4 0.6 class 17 0.8 1.0 ローレンツ曲線（p. 26） 定義 11. 横軸に累積相対度数，縦軸に（その階級以下の観 測値の総和）／（全観測値の総和）をとった折れ線グラフ をローレンツ曲線という． 注：全観測値が等しければ 45 度線に一致．下に行くほど 「不平等」な分布． 18 例：45 度線とローレンツ曲線 vsat 1 Lorenz curve 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 19 0.6 0.7 0.8 0.9 1 3 記述統計量（p. 28） 1. 位置 （算術）平均，中位数，最頻値 2. 散らばり 分散，標準偏差，変動係数 20 （算術）平均（p. 28） 定義 12. （観測値の総和）／（観測値の総数）を（算術）平 均という． 注：質的変量なら無意味． 注：観測値を (x1 , . . . , xn ) として式で表すと x1 + · · · + xn µ := n 21 中位数（p. 32） 定義 13. 観測値を小さい方から順に並べたときの中央の値 を中位数という． 注：データの総数が偶数で中央の値が存在しない場合は両隣 の間をとる． 注：順序尺度でも意味をもつ． 注：対称な分布なら平均＝中位数． 22 分位点（p. 33） 定義 14. 観測値を小さい方から順に並べたときの αn 番目の 値を α 分位点という． 注：αn 番目の値が存在しない場合は両隣の間をとる． 例：0.5 分位点（中位数），四・五・十分位点，百分位（パー セント）点． 23 最頻値（p. 33） 定義 15. 度数が最大となる値を最頻値という． 注：階級の取り方に依存する． 注：名義尺度でも意味をもつ． 注：対称で単峰な分布なら平均＝中位数＝最頻値． 24 分散・標準偏差・変動係数（pp. 37–38） 定義 16. 平均からの偏差の 2 乗の平均を分散という． 注：式で表すと 2 2 (x − µ) + · · · + (x − µ) 1 n 2 σ := n 定義 17. 分散の平方根を標準偏差という． 定義 18. （標準偏差）／（平均）を変動係数という． 注：変動係数は測定単位の影響を受けない． 25 ジニ係数（p. 39） 定義 19. （ローレンツ曲線と 45 度線の間の面積）／（45 度 線の下の面積）をジニ係数という． 注：45 度線の下の面積は 1/2 注：不平等度（格差）を表す 26 今日のキーワード 名義尺度，順序尺度，間隔尺度，比尺度，度数，相対度数， ヒストグラム（柱状グラフ），累積度数，累積相対度数，累 積（相対）度数グラフ，ローレンツ曲線， （算術）平均，中位 数，分位点，最頻値，分散，標準偏差，変動係数，ジニ係数 27
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