熱力学・電磁気学
石川健三
平成 27 年 1 月 22 日
序
本書は、理系の大学１年生向けの熱学と電磁気学の教科書である。前半で熱学、後半で電
磁気学を扱っている。
熱が物体に加わると、物体の温度は上昇する。この時さらに、物体は、大きさや形、時に
は様々な性質を変える。温度の変化に伴って生じるこれらの変化には、いかなる規則や普遍
的な法則があるのだろうか？ この法則を解明するのが熱学である。もともと熱学は、産業
革命の発達に伴う実用的な問題の解決に向けて発展した。産業の機械化にあたり動力が必要
である。動力源として、水蒸気を利用する蒸気機関が発明され、様々の分野で使用された。
蒸気機関では、熱を力学的なエネルギーに変換している。熱を動力に変換する熱機関の作成
や、熱機関の効率を上げるのにはどうしたら良いか？熱力学は、これらの問題の解決に向け
て発展した学問である。温度で変わる物体の変化、その際の普遍的法則を解明する熱学は、
物理学の一分野として力学と対照的な性質を持つ。力学では、運動法則を満たすのは、時間
とともに変動する物体の位置である。これは、具体的であり直感的に分かりやすい。ところ
が、熱学において変化する量である温度は、それ自身が分かりずらい。温度の変化で生ずる
性質の変化に関する熱学は、そのため、論理が見えにくいとよくいわれる。本書では、熱学
の論理を、できるだけ分かりやすく説明したつもりである。
一方、本書の後半では、電荷と電荷間の力、電流と電流間の力や、電場や磁場に関する電
磁気学を扱った。電磁気学は、電気や磁気に伴う力や、電気や磁気に伴う様々な現象に関す
る法則や原理を扱う学問である。力、や電場や磁場は大きさと方向とをもつベクトルである。
電磁気学は、このため、ベクトルやベクトル場、並びにベクトル場の微分や積分を使えば、
系統的に分かりやすく取り扱うことができる。しかし、通常の大学１年生は、これらの数学
をまだ身につけていない。この状態で、電磁気学をベクトルの演算（ベクトル解析）を駆使
して学ぶのは、まだ難しい。これらの数学を学ぶのは、通常、数年を経た大学２、３年生で
ある。そのため、１年生はベクトル解析を十分に使うことなく、電磁気を学ぶことになる。
ベクトル解析を使わずに、物理的意味を理解するのは、容易ではない。しかし、このような
努力は、無意味であるわけではないしまた大事である。もともと、ファラデーは、あまり数
学を使うことなく、電磁気学の概念と物理を直感的に理解し、その後マックスウェルが、数
学を駆使して電磁気学を完成したと言える。先ず、ベクトル解析の使用を最低限に減らして、
電磁気学を理解することは可能である。本書は、このような現状における理科系の大学１年
生の状況を踏まえて、電磁気学をまとめた。電磁気学で一つの問題点は、きれいにまとまっ
ている電場や磁場の法則と、これらと相補的である物質の電磁気的な性質とをどのように関
i
連ずけて整理するか、である。この点で、場と物質のバランスは著者によって異なるであろ
う。物質の話は、複雑で難しい点を含む。そのため、大学１年生のレベルですべてを扱うこ
とは、難しい。本書は、物質の話をできるだけ少なくするよう努力し、電磁気学の全体的な
流れを強調した。
ii
目次
序
第 1 章 熱学
1.1 熱平衡 . . . . . . . . . .
1.2 状態方程式 . . . . . .
1.3 熱容量と比熱 . . . . . .
1.3.1 熱容量 . . . . .
1.3.2 熱膨張 . . . . .
1.4 分子運動論 . . . . . . .
1.4.1 理想気体の圧力 .
1.4.2 温度の微視的解釈
1.5 Maxwell の分布関数 . . .
1.6 問題 . . . . . . . . . . .
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第 2 章 熱量と熱力学第一法則
2.1 熱量 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 比熱 . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 原子熱、分子熱 . . . . . . .
2.1.3 熱の移動 . . . . . . . . . . . .
2.2 熱力学第一法則 . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Joule の実験 . . . . . . . . . .
2.3 気体の内部エネルギー . . . . . . . .
2.3.1 ジュールの法則 . . . . . . . .
2.3.2 自由膨張によるテスト . . . .
2.4 準静的過程 . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 準静的過程と圧力のなす仕事
2.4.2 ジュール · トムソンの実験 . .
2.5 熱力学第一法則の微分形 . . . . . . .
2.5.1 理想気体の二つの比熱の関係
2.5.2 理想気体の準静的過程 . . . .
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2.6
2.7
2.5.3 オットーサイクル
2.5.4 冷蔵庫と暖房機 .
問題 . . . . . . . . . . . .
2.6.1 １ . . . . . . . . .
中間テスト問題 . . . . . .
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現実的な問題
ヴァンデルワール気体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
気体の蒸発と液化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
化学反応 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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第 3 章 熱力学第二法則
3.1 熱現象の特異性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 熱：乱雑な原子や分子の運動のエネルギー .
3.1.2 熱的現象の変化は時間方向性を持つ。 . . .
3.2 熱機関 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 カルノーサイクル . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 熱効率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 熱力学第二法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 熱力学第二法則 . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Clausius の表現と Thomson の表現の同等性
3.4 可逆過程と不可逆過程 . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Carnot の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 可逆機関の熱効率 . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 不可逆機関の熱効率 . . . . . . . . . . . . .
3.5 Clausius の不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第 4 章 エントロピー
4.1 エントロピーとは？ . . . . . . .
4.1.1 エントロピーの計算 . . .
4.2 エントロピー増大の原理 . . . . .
4.3 エントロピーの微視的な意味 . .
4.4 種々の自由エネルギー . . . . . .
4.4.1 内部エネルギー . . . . . .
4.4.2 Gibbs 自由エネルギー . .
4.4.3 Helmholtz 自由エネルギー
4.5 数学のまとめ . . . . . . . . . . .
第5章
5.1
5.2
5.3
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相転移 . . . . .
問題 . . . . . .
5.5.1 偏微分 .
豆 テスト . . .
単位系 . . . . .
中間テスト問題
中間テスト問題
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第 6 章 序 II：電磁気学とは
71
第 7 章 電荷と電場
7.1 電荷間の力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 電場と電気力線 . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 電場の重ね合わせ . . . . . . . . . . . .
7.2.2 電荷分布による電場 . . . . . . . . . .
7.2.3 ガウスの定理 . . . . . . . . . . . . . .
7.3 電位と電場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 電場のエネルギー . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 コンデンサーに蓄えられるエネルギー
7.4.2 電位と電場のエネルギー . . . . . . . .
7.5 絶縁体と導体 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 絶縁体と電場 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7 導体と電流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7.1 電流のする仕事 . . . . . . . . . . . . .
7.7.2 電荷の保存と保存電流 . . . . . . . . .
7.8 電荷の最小単位 . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8.1 ミリカンの実験 . . . . . . . . . . . . .
7.9 問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.9.1 解答 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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第 8 章 電流間の力と磁場
8.1 電流間の力 (アンペールの法則）
8.1.1 ベクトル３重積 . . . . . .
8.2 電流間の力と磁場 (磁束密度) . .
8.3 磁場（ 磁束密度） . . . . . . . .
8.3.1 磁力線 . . . . . . . . . . .
8.3.2 磁場のエネルギー . . . . .
8.3.3 電場と磁場の比較 . . . . .
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8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
第9章
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
ローレンツ力 . . . . . . . . . . . . .
磁性体と磁石 . . . . . . . . . . . . .
磁気単極子 . . . . . . . . . . . . . .
電磁気学の単位系 . . . . . . . . . . .
8.7.1 MKSA 単位系（ＳＩ単位系）
8.7.2 クーロン . . . . . . . . . . . .
8.7.3 アンペア . . . . . . . . . . . .
8.7.4 光速度 . . . . . . . . . . . . .
問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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場の時間変化
ファラデーの電磁誘導の法則 . . . . . . . .
磁場のエネルギー . . . . . . . . . . . . . . .
発電機 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
コイルの自己誘導 . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.1 交流回路 . . . . . . . . . . . . . . . .
変圧器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
電場の時間変化とマックスウェルの変位電流
問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第 10 章 マックスウエル方程式
10.1 電磁波 . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.1 電磁波の性質 . . . . . . . . .
10.1.2 電磁波の偏光 . . . . . . . . .
10.2 電磁波の反射と屈折 . . . . . . . . .
10.2.1 異なる誘電率を持つ物質界面
10.2.2 金属表面での反射 . . . . . . .
10.3 電磁波の生成（発信）と受信 . . . .
10.4 重ね合わせの原理 . . . . . . . . . . .
10.4.1 線形方程式 . . . . . . . . . .
10.4.2 ２重スリットの干渉 . . . . .
10.5 光速度の測定 . . . . . . . . . . . . .
10.6 ダークマター . . . . . . . . . . . . .
10.7 問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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第 11 章 電気機器
153
11.1 電灯 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
11.2 電熱器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
vi
11.3 送電 . . . . .
11.4 電信 . . . . .
11.5 ラジオ . . . .
11.6 テレビ . . . .
11.7 レコード . . .
11.8 電車 . . . . .
11.9 電子計算機 .
11.10電子レンジ .
11.11様々の電磁波
11.12問題 . . . . .
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第 12 章 現代物理学
12.1 相対性理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.1 慣性の法則 . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.2 ガリレオの相対性原理 . . . . . . . . .
12.2 アインシュタインの相対性原理 . . . . . . . .
12.3 時間と空間の同等性 . . . . . . . . . . . . . .
12.3.1 相互作用や情報の伝達 . . . . . . . . .
12.4 因果律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5 量子論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.1 ミクロな世界の特徴 . . . . . . . . . .
12.5.2 物差しや時計の代わりをする物理現象
12.6 複素波動関数と重ね合わせの原理 . . . . . . .
12.6.1 ２重スリット実験 . . . . . . . . . . . .
12.6.2 確率と波 . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6.3 干渉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6.4 中性子干渉 . . . . . . . . . . . . . . .
12.6.5 ＡＢ効果 . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6.6 いかなる波か？ . . . . . . . . . . . . .
12.7 観測と実在 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.8 確率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9 問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第 13 章 付録
13.1 積分 . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.1 1 変数の定積分 . . . . . .
13.2 ベクトル場の線積分 . . . . . . .
13.2.1 ベクトル場の閉経路線積分
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13.3 ベクトル場の回転 . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.1 2 次元面 (xy 面) 内の閉経路にそう線積分
13.3.2 ストークスの定理 . . . . . . . . . . . . .
13.4 ベクトル場の面積分 . . . . . . . . . . . . . . .
13.4.1 閉曲面の内部の体積積分 . . . . . . . . .
13.4.2 ガウスの定理 . . . . . . . . . . . . . . .
13.5 ルジャンドル変換 . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.5.1 1 変数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.5.2 多変数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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第 1 章 熱学
気体の温度を上げると、一定量の気体の体積や圧力は大きく変化する。液体や固体では、
変化は気体ほど大きくはないがやはり温度とともに性質が変わる。このような、温度の変化
に伴う物理現象に関する物理学が熱学である。
物体に温度の変化が生じるのは、原因となる何かが物体にくわえられた時である。この温
度の変化を引き起こすものを、熱量とよぶ。熱量が加わった時の物質の性質の変化や温度の
高低で生ずる物理現象の普遍的な性質や基本的法則を調べるのが熱学である。力によって加
速度が生ずる力学と対比させて、熱力学ともいわれる。
温度の変化は物体の形状、大きさや様々な性質の変化を引き起こす。温度の変化、熱量、
性質の変化の３者の関係は、力学における物体の位置を測る時間、力、位置の変化としての
加速度の関係に似ている。力学の法則はニュートンの運動の３法則でまとめられる。３法則
の中で、第二法則の運動方程式は、力と加速度の関係を表し、物体の加速度が加えられた力
に比例し物体の質量に反比例する微分方程式、
d2
⃗x(t) = F⃗
(1.1)
dt2
である。この運動方程式で運動が統一的にかつ普遍的に理解される。加速度は物体の位置が
時間と共に変化するときの、位置の時間に関する２階微分であり、物差しと時計で簡単に定
義される。しかし、質量や力はより抽象的な概念であり、ニュートンの運動方程式で初めて
意味がきっちりと確定する物理量である。このような一見あいまいな考え方にはがゆい気持
ちを持つ者が多いかもしれない。しかしこの考え方は、物理学や他の自然科学で常套的な考
え方である。熱学における、熱量や温度も同様に抽象的な概念であり、抽象的な概念により
自然現象が普遍的に把握されることが、徐々にわかってゆくであろう。
さて熱学では、”温度の変化につれて物体がどのように形、大きさや他の様々な性質をか
えるか、またその際いかなる普遍的な事柄が成立するか？”、を考察する。物体に ”熱量 ”が
加えられると、物体の ”温度 ”が上昇し、逆に物体から熱量が引かれると物体の温度が下降
する。熱量が一つの物体 A からもう一方の物体 B に移動するとき、A の温度は下がり、B の
温度は上がる。また、理想的な状況では、A から出る熱量は、B に入る熱量と等しい。熱量
は、物体の温度を変化させる原因となるものであるが、その正体は、後で述べるように、エ
ネルギーの１種である。
ところで、”温度 ”は、物体の位置のように簡単に具体的な定義ができるものではない。温
度は直感的な冷たさや暑さの度合いを定量的に表す物理量である。温度は、また温度計で測
m
1
られ、同時に定義される。では、温度計とは何であろうか？温度計は、温度の変化と共に起
きる物体の性質の定量的な変化が普遍的であることにもとずいている。これらの物理の解析
から都合の良い温度計が選ばれて使われる。この際、物体が決まった温度のもとでいつも同
じ性質を示す事が大事である。この普遍性はすべての自然科学で重要である。自然科学では
再現性を示す普遍的な現象を扱う。温度計もこの普遍的な性質に基づいている。熱学では、
温度や熱に関連する現象を解明する。まづ初めに、熱現象をいかに表し、いかに解析するか
学び、さらに熱現象に関する原理や法則を明らかにする。
1.1
熱平衡
熱平衡
熱い物体と冷たい物体を接してしばらくおくと、高温物体から低温物体に熱が移動する。
この結果、それぞれの温度が徐々に変化し、最後に二つの物体が同じ温度となる。これ以後
は、熱の移動は起きず、またそれぞれが同じ温度で保たれる。このように、物体がすべて同
じ温度で一様になっている時、物体は熱平衡にあるという。決まった温度で熱平衡にある同
量の物体は、同じ体積や同じ性質をもつ。これらを熱学的な性質という。本章では、物体の
熱学的な性質を、おもに学ぶ。
一方で、熱平衡にない孤立した物体は、時間と共に変化し最後に熱平衡になる。
温度の決め方
熱平衡にある物体は一定の温度で一定の性質を示す。温度の変化と共にこの性質は、通常
変化する。例えば、身近にある水は温度と共におおきく性質を変える。水は、低温で固体の
氷、室温程度の常温で液体の水、高温で気体の水蒸気と、三つの異なる状態になる。三つの
それぞれは、大きく異なる性質を示す。これら状態を、相、と呼ぶ。水では、異なる温度で
固体、液体、気体の三つの相が現れ、温度を変えると一つの相から他の相への転移である相
転移がおきる。相の境となる温度はどこでも、いつも同じである。相転移は劇的な変化であ
るので、簡単に観察や観測をすることができる。そのため、相転移の温度を知るのも易しい
ので、相転移に基づき温度の目盛りが定義される。その一つが、液体の水が凍る氷点を０度、
液体の水が沸騰する沸点を１００度とする摂氏目盛り（ C) である。摂氏目盛り（ C) は日
常生活に密着した温度目盛りである。
温度目盛りには、他に 華氏目盛り (F) や絶対温度目盛り ( K) 等が良く使われる。華氏目
盛りでは人間の体温が約１００度（ ９６度）であり、水、氷、塩の混合から作られる最低温
度が０度である。
2
また絶対温度目盛りは、後で調べるように気体の性質が温度と共に簡単な法則（ボイル
シャルルの法則）に従うことに基づいて決められる。絶対温度では、最低の温度が０度であ
り、摂氏０度は絶対温度で２７３Ｋである。絶対温度では、実現可能な温度の最低値が０度
であり、この時気体の体積は零となる。
状態量
温度と共に変化する物体の状態を指定するに必要な物理量を状態量という。温度の変化と
共に、気体が最も大きく性質を変える. そのため、ここで気体について考えることにしよう。
有限の大きさの箱の内部に閉じ込められた気体の場合には、状態量は気体の温度（ T)、気
体の体積（ V)、閉じ込めるための圧力（ P)、モル（ n）数等がある。大抵の場合これらは、
独立ではなく互いに関連しあう。ある決まったモル数の気体は、温度を一定にしたとき圧力
と体積の積が、いつも同じである。
1.2
状態方程式 一定の大きさの箱の内部に希薄な気体を閉じ込める。このとき、閉じ込められた気体の体
積（ V) は、圧力（ P) に反比例し温度（ T) に比例することがボイルやシャルルによる各種
の実験で確認された。これらは、理想気体のボイルシャルルの法則
V =k
T
P
(1.2)
としてまとめられた。ここで、この関係を満たす温度はセ氏でもカ氏でもなく、絶対温度で
ある。絶対温度はセ氏温度と、
K = C + 273.15 度 C
(1.3)
で関係している。だから、摂氏０度は、絶対温度 273.15K であり、温度間隔は、
∆T K = ∆T 度 C
とどちらでも同じである。
3
(1.4)
また、ボイルシャルルの法則の比例定数 k は、気体の種類や質量により異なるが、分子数
で決まり、値は分子数に比例する。即ち、この比例定数はモル数（ n）に比例する。実際上
は、一モルの気体あたりの比例定数を使うのが便利である。一モルあたりの比例定数として
記号 R を導入すると、ｎモルの気体では、状態量圧力（ P)、体積（ V)、温度（ T) の間に
一つの関係式
P V = nRT
(1.5)
が成立する。状態量の間のこの関係式は、理想気体の状態方程式と呼ばれる。状態方程式で
ただ一つの物理定数である R は気体定数と呼ばれ、値は
R = 8.314 × 103 J/KKmol = 1.986Kcal/KKmol
(1.6)
である。この関係式を図示しよう。 5cm
P-V 図
温度の変化と共に、グラフは変化する。だから、各温度ごとに体積と圧力が一本の曲線上
にあり、またこの曲線は温度で変化する。各温度ごとに、一つの体積 V1 における圧力 P は、
縦軸で与えられる。図より、圧力は、低温よりも高温で大きくなる。三つの物理量の関係式
を、三次元空間で示すことも可能である。この場合、あるモル数の気体の状態方程式は、三
次元空間における曲面を表わしている。
実は、理想気体の状態方程式は、希薄な気体等の理想的な状況にあるガスで成り立つもの
である。希薄でない現実的なガスも一つの状態方程式に従う。しかし、現実気体の状態方程
式は、これほど簡単ではなく、修正された状態方程式にしたがう。
現実的な気体が満たす方程式として、van der Waals 状態方程式がよく知られている。
van der Waals 状態方程式は、いくつかの物質に依存するパラメーターをもつ
(P + an2 /V 2 )(V − bn) = nRT
であり、図のようなグラフである。
4
(1.7)
P-V 図
van der Waals 状態方程式に従う気体は、理想気体とは全く異なる性質を示すことが、
後でわかる。
1.3
1.3.1
熱容量と比熱
熱容量
：
水１ｇを１度上げるのに必要な熱量を、１カロリーという。物体の温度を摂氏１度上げる
に必要な熱量は、物体ごとに異なる固有な値をとる。これを、熱容量といい、熱容量は、物
体の量（質量、モル数、等）に比例する。 ある物体の温度を δT あげるのに要する熱量が
δQ であるとき、
δQ
C=
(1.8)
δT
の C が熱容量である。
また、熱容量を C 、質量を M とすると、両者は比例して、
C = cM
(1.9)
となる。比例係数 c は、単位質量当たりの熱容量であり、これを比熱という。つまり、比熱
は一定の物質（１ｇ 、１モル他）の熱容量である。１モルの熱容量を、モル比熱とよぶ。
物質の比熱
5
1.3.2
熱膨張
温度の変化により生ずる物質の変化の一つは、高い温度で物体が大きくなる熱膨張である。
熱膨張には、直線状の物体の長さの膨張、面状の物体の面積の膨張、立体状の物体の体積の
膨張がある。直線状の物体では、温度 T における長さ l(T ) は、温度 T0 の近傍で
l(T ) = l(T0 )(1 + α(T − T0 ))
(1.10)
となる。この時、比例係数 α を線膨張係数という。また、面状の物体は、温度の変化で面積
が変化する。ある温度での面積 S(T ) が、温度 T0 の近傍で
S(T ) = S(T0 )(1 + β(T − T0 ))
(1.11)
と変化するとき β を面膨張係数といい、同様に、体積 V (T ) が
V (T ) = V (T0 )(1 + γ(T − T0 ))
(1.12)
と変化するとき γ を体積膨張係数という。同じ物体では、３この熱膨張係数は、簡単な関係
を満たしている。いま、同じ物体の正方形や立方体を考えよう。辺の長さ、面の面積、及び
立体の体積の関係は、
S(T ) = L(T )2
(1.13)
V (T ) = L(T )3
(1.14)
であるので、面積や体積の変化率は長さの変化率から、
d
d
S(T ) = 2L(T ) L(T )
dT
dT
d
d
V (T ) = 3L(T )2 L(T )
dT
dT
(1.15)
(1.16)
となる。よって、面積膨張率、体積膨張率は、線膨張率から
α=
d
1
L(T )|T =T0
L(T0 ) dT
d
d
1
1
S(T ) = 2
L(T )|T =T0 = 2α
S(T0 ) dT
L(T0 ) dT
1
1
d
d
V (T ) = 3
L(T )|T =T0 = 3α
γ=
V (T0 ) dT
L(T0 ) dT
β=
と表わせる。
6
(1.17)
(1.18)
(1.19)
物質の膨張率
1.4
分子運動論
気体の簡単な性質である、体積 V が圧力 P に反比例して、温度 T に比例するボイルシャ
ルルの法則、
T
(1.20)
V = nR
P
は何を意味するのだろうか？
気体は、目に見えない小さな分子が沢山集まってできている。これから、ボイルシャルル
の法則が導かれる。このように、沢山の小さな分子が集合していることに基づいて気体を
理解する考えを、気体の分子運動論という。分子運動論に基づいて気体の性質が理解できる
のは、
（ １）気体の性質は分子数で決まっている、
ことから予想でき、しかしながら
（ ２）気体における分子はほとんど見えないし直接観測されない。
これから、分子は極めて小さいことがわかる。その結果、分子の数は極めて大きくなるこ
とより、
（ ３）ボイルシャルルの法則が簡単に導ける。
実際、一モルのガスは 6 × 1023 （アボガドロ数）個もの多数の分子からなる。
7
1.4.1
理想気体の圧力
分子運動論にもとづいて、熱平衡にある気体の性質を考えよう。
気体が箱の中に閉じ込められると、気体の分子は境界の壁と衝突して、跳ね返る。この際
の衝突は、弾性的であり、気体分子のエネルギーは変化しない。そのため、気体の全体とし
ての性質は、時間的に変化しないで、一定に保たれる。もし、気体分子が壁との衝突が、エ
ネルギーを失う非弾性衝突であれば、気体の性質が時間と共に変化してしまうことになる。
時間に依存しない定常的な気体の性質は、弾性衝突によって引き起こされている。弾性衝突
では、気体分子はエネルギーを失わないが、壁に力を与える。この力が、気体が持つ圧力と
なる。
気体の圧力を求めるため、壁に閉じ込められて熱平衡にある気体の各分子の運動を調べる。
熱平衡にある時、気体全体としての性質は、時間が経過して変化しない。だから、分子は、
壁と弾性衝突を繰り返していると考えてよい。
次に、分子と壁との弾性衝突による圧力の計算を行う。
一個の分子 m が壁と弾性衝突をするとき、分子は運動の方向が変化するので、分子の運
動量が変化する。変化量は、壁が分子に与える運動量であり、壁と分子で運動量の交換がな
される。運動方程式
d
F⃗ = m ⃗v
dt
(1.21)
F⃗ δt = δ(m⃗v )
(1.22)
から、短時間での運動量の変化量は、
となる。この左辺を、力積と呼ぶ。このベクトル式の x 成分に注目し、さらにある時間 δt 内
で n 回の衝突では、
F δt = 2mvx n
vx
n=
2lx
8
(1.23)
となる。衝突回数 n は、この時間内にｘ−方向に運動する距離 vx を一往復の距離で割った
値である。だから単位時間当りの一粒子の力積から力が、
F = 2m
vx2
v2
=m x
2lx
lx
(1.24)
と求まり、さらに全粒子で加えた力の総和を面積 S で割って、圧力 P が
P =
1
V
1
=
V
=
1∑
v2
1 ∑
m( x ) =
mvx2
S
lx
Slx
∑ ⃗
v2
m
3
2
⃗
2
v̄
Nm
3
2
(1.25)
(1.26)
と求まる。これより、圧力と体積の積が、粒子の運動エネルギーを使い
2
2 m⃗v̄
PV = N
3
2
(1.27)
となる。左辺は気体の状態方程式の左辺に一致し、右辺は分子の運動エネルギーに比例して
いる。だから、圧力と体積の積が、分子の運動エネルギーに比例する。
1.4.2
温度の微視的解釈
上の結果から、一モル当りの気体では、圧力 P 体積 V と平均運動エネルギー ϵ は、アボガ
ドロ数 NA を使い、
2
m⃗v̄
2
P V = NA ϵ̄, ϵ =
3
2
(1.28)
となる。これを、一モル当りの状態方程式
P V = RT
(1.29)
と比較して、分子のエネルギー平均値 ϵ̄ は、
2
NA ϵ̄ = RT
3
(1.30)
となることが分かる。ここで、１モルあたりの気体定数 R から、１分子あたりの新たな定数
k （ ボルツマン定数）
k=
R
= 1.38062 × 10−23 J/K
NA
9
(1.31)
を定義しておこう。k を使い、分子の平均エネルギーと温度が
3
ϵ̄ = kT
2
(1.32)
と比例関係にある事が分かる。
つまり、１分子の平均運動エネルギーは、温度に比例し
3
ϵ̄ = kT
2
(1.33)
である。分子運動は、x, y, z の３方向をとり、運動エネルギーは３方向の運動エネルギーの
和であるので一方向当りの運動エネルギーは、 12 kT である。
1.5
Maxwell の分布関数
気体内で分子は、一つの速度を持つわけではなく、様々な速度を持っている。このような
状況にある沢山の分子を表すには、速度の分布関数を使うとよい。全分子数が大きな数 N で
ある時、速度が ⃗v である分子数が
m 3/2
m⃗v 2
f (⃗v )d⃗v = N (
) exp(−
)d⃗v
2πkT
2kT
(1.34)
であるとき、f (⃗v )/N が分布関数である。分布関数を積分して、実際分子数が
∫
f (⃗v )d⃗v = N
(1.35)
となる。また運動エネルギーの平均値は、
∫
f (⃗v )
⃗v 2
3
d⃗v /N = kT
2m
2
(1.36)
となることが分かる。
上の積分計算に際しては、ガウス積分の公式
∫
I=
∞
−∞
dxe
−ax2
√
=
π
a
(1.37)
を繰り返し使う。この公式は、求める積分 I の二乗が２次元空間の積分
∫
2
I =(
∫
=
∞
∞
∞
∞
dxe
∫
−ax2 2
dxdye−a(x
) =
2 +y 2 )
10
∞
∞
dxe
−ax2
∫
∞
∞
dye−ay
2
(1.38)
(1.39)
であること、また２次元空間の積分を極座標に座標変換して、
x = r cos θ, y = r sin θ
(1.40)
dxdy = rdrdθ
(1.41)
となることを使い計算される。この結果、求める積分の二乗が
∫
∞
∞
=[
−a(x2 +y 2 )
dxdye
∫
=
−1 −r2 ∞
π
e ]0 π =
2a
a
と求まる。
11
∞
∞
∫
2π
rdr
dθe−ar
2
(1.42)
0
(1.43)
1.6
問題
問題１−１
摂氏温度の定義を説明せよ。
問題１−２
気体の状態方程式を書き下し、絶対温度を説明せよ。また、絶対零度とは、いかなる温度で
あるか？
問題１−３
幅の狭い長いガラス管の中に、アルコールが封入されている温度計を考察する。ガラス管の
断面積は、１ mm2 とする。温度が摂氏２０度から１度上昇するとき、アルコール面の位置
は、どれほど変化するか？下の表の、熱膨張率を使い計算せよ。
熱膨張率
固体の線膨張率 (α/10−6 K − , 20C)
亜鉛 30.2
アルミニウム 23.1
金
14.2
鉄
11.8
氷 52.7(0 C)
ガラス 8-10
液体の体膨張率 (β/10−3 K − , 20C)
水 0.21
メチルアルコール 1.19
水銀
0.181
12
問題１−４
大気中にある風船を考える。
(1) 摂氏２０度、１気圧中で体積が１ m3 であった。これを、同じ温度で０．５気圧中の
大気中におくとき、体積はいくらか？
(2) また、１気圧で、風船内部の温度が摂氏３０度であるとき、体積はいくらか？
(3) 風船内部も外部も同じ大気であり、摂氏２０度１気圧では、質量密度が１．２ Kg/m3
とする。(2) の状況で、風船にかかる浮力をもとめよ。
問題 １−５
(1) 摂氏２０度の水１ K ｇに、摂氏４０度のお湯０．２ Kg を入れて時間が十分経過した
時の、温度はいくらか？
(2) 摂氏２０度の水１ K ｇに、摂氏１００度の鉄０．２ Kg を入れて時間が十分経過した
時の、温度はいくらか？
ただし、比熱は、
水の比熱（１グラム当たり）
：４．１８ J/K
鉄の比熱（１モル当たり）
：２５．０ J/K
である。水は１グラム当たりの値で、鉄は１モル当たりの値であることに注意。
13
第 2 章 熱量と熱力学第一法則
2.1
熱量
熱量は、もともと物体の温度を上げ下げさせる原因となるものであった。水１ g の温度を
一度 C あげるのに必要な熱量が１カロリーである。しかし、後で述べるように、熱量はエネ
ルギーと等価である。このため、熱量の単位として、MKS 単位系におけるエネルギーの単
位である、ジュールを使うことも多い。
2.1.1
比熱
物質の比熱 は１ g 当りの熱容量のことである。身近な物質の比熱は、次にあげる通りで
ある。
固体・液体の比熱
金 : 0.035(−185C − −20C)
(2.1)
: 0.0303
(2.2)
銀 : 0.0556
(2.3)
水銀 : 0.0315
(2.4)
鉄 : 0.1045
(2.5)
水 : 1
(2.6)
氷 : 0.502
(2.7)
アルコール : 0.547
(2.8)
このように、比熱は物質で異なり、決まった規則は無いように見える。だから、非熱の値に
は、このままではなんらの普遍的な意味はないかのように見える。
気体の比熱
気体は、熱膨張係数が最も大きい。気体の温度を上昇させる際、気体は、通常、膨張して
体積が大きくなる。だから、気体の温度を上昇させる熱量には、温度を上げる際の膨張に伴
う仕事が足される。ただし、体積を一定に保つ定積変化で温度を上昇させる場合は、この仕
事はない。また、圧力を一定に保つ場合には気体は膨張し、膨張に伴う仕事が有限である。
15
このように、気体では、どのような条件で温度を上昇させるかで、熱量や熱容量は異なる。
体積を一定に保つ場合の比熱を定積比熱 CV 圧力を一定に保つ場合の比熱を定圧比熱 CP と
いう。
一般に膨張する時、気体の圧力は外部に対して正の仕事をするので CP > CV である。
また、後で示すように、定積比熱と定圧比熱の比
γ=
CP
CV
(2.9)
は決まった値
γ = 1.66（１原子気体）、1.40（２原子気体）
(2.10)
をとる。
2.1.2
原子熱、分子熱
比熱を、単純な質量あたりの熱量ではなく、分子の数で換算した値でみてみよう。ここで、
物質の原子量グラムや分子量グラム当りの熱容量の値である原子熱や分子熱で見る。これら
は、以下のように定義される。
原子熱：１ g 原子の熱容量 （ ＝比熱 × 原子量）
分子熱：１ g 分子の熱容量 （ ＝比熱 × 分子量）
このとき、比熱は下の表のような値になる。
物質
比熱 原子量 原子比熱
(2.11)
Mg
0.25 24 6.0
(2.12)
Fe
0.105 55 5.6
(2.13)
Cu
0.091 63 5.7
(2.14)
Ag
0.055 107 5.9
(2.15)
Pb
0.031 205 6.4
(2.16)
これからわかるように、固体の原子熱はほぼ 6 である。また、気体の分子熱や原子熱は
物質
比熱 原子量 分子比熱 原子比熱
3.0 3.00
(2.17)
He
0.75 4
Ar
0.074 40 2.96 2.96
(2.19)
H2
2.43 2 4.86 2.43
(2.20)
N2
0.178 28 4.98 2.49
(2.21)
O2
0.156 322 5.00 2.50
(2.22)
となり、やはり普遍的な傾向があることがわかる。
16
(2.18)
2.1.3
熱の移動
熱が移動する仕方や機構には、熱伝導、対流、熱輻射の 3 種類がある。
熱伝導は、熱量が物質内で移動しておきる。物質内で温度が一様ではなく温度の傾きが
あるとき、高温部から低温部に熱は移動する。熱伝導は、固体、液体、気体のいずれでも起
きる。
対流は、流体内で起きる熱を伝達する機構である。流体の高温部は、膨張して低温部より
比重が小さくなるため軽い。このため、高温部は低温部とは異なる運動をする。流体内の高
温部の塊は、大きな浮力が働くため浮く。逆に低温部の浮力は重力より小さいため、低温部
の塊は沈む。これらの流体の移動は、温度の違いによって引き起こされるが、一方で熱の移
動を引き起こす事になる。これが対流である。対流は、物体の内部が簡単に運動できる流体
内で起きる。温度の傾きがあるため、前述の熱伝導も生ずるが、物質の性質によっては、熱
伝導は対流よりもはるかに小さくなる事もある。
熱輻射は、電磁波としてのエネルギーの伝搬である。前の２つの機構が、物質があるとこ
ろで物質の効果として起きるのに対して、熱輻射は真空中でも起きる。これは、電磁波が真
空中を伝播する波であることによる。たとえば、魔法瓶は、内部の空間と外部の間に、しき
いと真空部分を作り、熱伝導と対流を遮断する。しかし輻射は真空中でも伝搬するので、熱
輻射は避けられない。魔法瓶は、熱伝導も対流も遮断しているが、熱輻射による熱の伝播は
起きている。それでも、内部の温度を持続する大きな効果を持つ瓶である。
2.2
熱力学第一法則
熱量とは、力学的エネルギーの変形したものである。その為、物体が熱的に変化をすると
き、熱量と力学的エネルギーの和は一定の値に保たれる。これを、熱力学第一法則という。
１カロリーの熱は 4.189Joule の仕事（エネルギー）に対応することが、次のジュールの実験
で分かった。
2.2.1
Joule の実験
熱量がエネルギーの変形したものである事を、実験的に確認したのが、Joule の実験であ
る。重い物体を重力中でゆっくり落下させると、重力による位置エネルギーが、変化する。
このエネルギーを、図のような水中の羽根車で水の温度の上昇の熱に変換させる。このと
き、重力エネルギーは、水の温度上昇に使われた。ジュールは、水の温度の変化に伴う熱量
Q = M C∆T が、重力エネルギー 12 M g 2 に比例することを確認した。両者が比例することよ
り、両者が等価なものであることが分かる。比例係数は、熱の力学的エネルギーへの換算率
である。
17
l
Fig. 2.1: ジュール.
2.3
2.3.1
気体の内部エネルギー
ジュールの法則
気体は状態に固有な内部エネルギーをもつ。内部エネルギーは、状態量の一つであるが、
温度、体積、圧力等の値によって変化する。特に、ボイルシャルルの法則を満たす気体であ
る理想気体の内部エネルギーは、温度だけで決まり他の状態量には依存しない。この性質は、
理想気体の特徴の一つである。
2.3.2
自由膨張によるテスト
ジュールは、気体を自由膨張させた時、気体の温度がどのように変わるかを調べた。自由
膨張とは、気体の壁を瞬間的にとり除いた時に生ずる現象である。自由膨張では、気体が真
空中に拡散するだけで、境界に壁のようなものは存在しない。このため、自由膨張では、気
体は外部に対して仕事をしないので、気体が持つ内部エネルギーは一定の値のままである。
ジュールは、自由膨張にさいして、気体の温度が変化しないことを確かめた。このことから、
外部からの仕事がない時、気体の温度は変化しないことがわかった。つまり、内部エネルギー
は、温度だけで決まっている。
ところで、体積を一定に保つとき、体積変化がなく壁の変位がゼロであるので、圧力は仕
事をしない。だから、このとき内部エネルギーの変化は熱量だけで引き起こされ、内部エネ
ルギーの変化量は、このときの熱量、すなわち体積を一定に保ちながら、温度を上昇させる
ときの熱量（ エネルギー）である定積比熱から表わせる。よって、気体の内部エネルギーは
定積比熱で
dU = JCv dT
18
(2.23)
Fig. 2.2: 自由膨張.
と表わせる。
2.4
準静的過程
物体を、一つの熱平衡状態から、ゆっくり変化させ、途中のどの状態でも熱平衡でありつ
つ他の熱平衡状態に移行する課程を準静的過程という。準静的過程では、途中の各状態で、
状態方程式が成立している。
2.4.1
準静的過程と圧力のなす仕事
一様な流体圧力をもつ系の体積を準静的に変化させたとき費やされる仕事を計算しよう。
気体の圧力 P は、気体が境界の壁に及ぼす単位面積当りの力である。そのため、面全体 S に
かかる力 F は、
F = PS
(2.24)
である。だから、一つの面を距離 δl 変化させた時の仕事 W は、力と距離から決まり
δW = F δl = P Sδl = P δV
(2.25)
である。
流体系が外部に行なった微少な仕事の和
∑
δWi =
i
∑
Pi δVi
(2.26)
i
から、図のような曲線にそって体積を有限に変化させた時の全仕事は、斜線部の面積である
積分
∫
∫
δW =
P δV
19
(2.27)
である。
o
O
u
Fig. 2.3: 仕事.
また、図２．４のように、一つの閉じたサイクルに沿って圧力を体積と共にゆっくり変化
させ、最後に状態が基に戻る時の気体がする仕事は、
I
I
δW =
P δV
である。
o
O
u
Fig. 2.4: 閉じた経路.
20
(2.28)
2.4.2
ジュール · トムソンの実験
図のような断熱壁でできたシリンダー内に、細孔のあいた隔壁を置き、両側に理想気体を
入れる。それぞれの圧力を p1 と p2 、体積を V1 と V2 とする。圧力を一定の値にしたままで、
ピストンを移動させて
V1 ̸= 0, V2 = 0
(2.29)
V1 = 0, V2 ̸= 0
(2.30)
の状態から
の状態にゆっくり変化させる。それぞれの状態での内部エネルギーを U1 、U2 とすると、熱
力学第一法則より、
U1 − U2 = P1 V1 − P2 V2
(2.31)
となっている。温度が等しい場合、理想気体の状態方程式から
P1 V1 = P2 V2
(2.32)
U1 = U2
(2.33)
となり、内部エネルギーは
と等しくなる。だから、一定量の理想気体の内部エネルギーは、温度だけで決まり、
U = U (T )
となる。これは、理想気体の特徴の一つである。
21
(2.34)
2.5
熱力学第一法則の微分形
気体を準静的に状態変化させた時、熱量と力学的エネルギーが出入する。だから、内部エ
ネルギーの変化量 dU は、 熱量としての変化量と力学的な仕事としての変化量の和である。
熱量として流入した量 dQ′ と圧力が一定の値 P で体積変化が dV である時の仕事 P dV から、
これらは
dU = dQ′ − P dV
(2.35)
を満たしている。体積が増加 dV > 0 した時、気体は外部に仕事をする。このため、気体の
内部エネルギーは減少する。この式 (2.35) が、熱力学第１法則を微分形で表わしたものであ
り、内部エネルギーが状態量としての意味を持ち、また熱量が仕事と同じ物理量であること
を、示している。
2.5.1
理想気体の二つの比熱の関係
熱力学第１法則を使い、理想気体の二つの比熱の関係を具体的な計算で求める。そのため、
内部エネルギーの変化量に着目する。温度を dT 微少変化させた時、定積変化では、外部か
らの仕事は零である。
（ １）定積変化
温度変化 dT での内部エネルギーの変化は、定積比熱で
dU = Cv dT
(2.36)
のようにかかれる。
一方、定圧変化では、体積が変化するので、温度変化に伴い体積が変化し仕事がなされる。
（ 2 ）定圧変化
温度変化 dT に対する、内部エネルギーの変化量は、定圧比熱 Cp で決まる外部からの熱
量と体積膨張に伴う外部への負のエネルギーの和
dU = −P dV + Cp dT
(2.37)
となる。また、理想気体の状態方程式
P V = RT
(2.38)
が成り立っている。この両辺を定圧下 dP = 0 で微分して
dP V + P dV = RdT
(2.39)
dP = 0
(2.40)
22
が得られる。これらを、内部エネルギーの式にまとめて
dU = −RdT + Cp dT = (Cp − R)dT
(2.41)
となる。よって、内部エネルギーの変化は二つの過程で等しく
(Cp − R)dT = CV dT, Cp = Cv + R
(2.42)
となる。このように、定圧比熱は定積比熱に気体定数を足したものである。これを、マイヤー
の関係という。
2.5.2
理想気体の準静的過程
理想気体の様々な準静的過程の下での変化をまとめておく。
等温過程
温度が一定に保たれる等温過程では、状態方程式は、
P V = RT
(2.43)
であり、図２．５のようなグラフに沿って変化する。これより、仕事は
∫
∫
V2
δW =
P dV =
V1
RT
V2
dV = RT log
V
V1
(2.44)
となる。
o
O
uP
uQ
u
Fig. 2.5: 等温過程.
内部エネルギーは、等温下では変化しないので dU = となり、熱量としての変化は
δQ = −RT log
23
V2
V1
(2.45)
である。
断熱過程
熱を断つ過程が断熱過程である。熱の出し入れがない過程であるので、断熱過程では、
dQ′ = 0
(2.46)
となり、内部エネルギーの変化は、圧力のする仕事だけであり
dU = −P dV + dQ′ = −P dV
(2.47)
と決まる。一方、内部エネルギーの変化は、もともと定積比熱を使い
dU = Cv dT
(2.48)
とも表わせる。二つの内部エネルギーを比較して
Cv dT = −P dV
(2.49)
を得る。さらに状態方程式に代入して
P dV + V dP = RdT = −R
P
dV
Cv
(2.50)
を得る。
o
`
o u @
Œ Ł @ @ `
O
P
u
Fig. 2.6: 断熱.
これをまとめて、
P (1 +
R
)dV + V dP = 0
Cv
24
(2.51)
となり、体積の変化と圧力の変化の関係式が
d(P V γ ) = 0, γ =
Cv + R
Cv
(2.52)
となる。さらに、この両辺を積分して
P V γ = 一定
(2.53)
がえられる。γ は 1 より大きな数であるので、状態は P − V 図で、等温変化より急激な変化
をし図２．６のようになる。
次に、熱と仕事がやり取りされる例を考察する。
2.5.3
オットーサイクル
燃焼する気体をピストンに閉じ込めて、先ず、
１．ピストンが外向きの運動をしている間に気体をシリンダーに入れ、
２．次のピストンの内向きの運動の間に気体を圧縮し、
３．うち向きから外向きにピストンの運動が変わるときに、気体に点火し燃焼させ膨張
させ、
４．最後に燃えた気体を、ピストンの次の内向きの運動の間に外に出す。
とするサイクルが、オットーサイクルである。
o
R
S
Q
P
O
u
Fig. 2.7: オットー過程.
25
冷蔵庫と暖房機
2.5.4
冷蔵庫
は、物体の温度を下げる装置である。図のように、冷蔵庫は低温部 Tc から熱量 Qc をとり、
外部から仕事 W をして高温部に QH に出し、低温部の温度をさらに下げる。
sg
pg
q
• M „
v
pg | pb
pb
sb
Æ • M „
Fig. 2.8: 冷蔵庫.
暖房機
は、冷蔵庫とは逆に、熱機関を逆に働かせ外から仕事 W をして、低温部に熱量 Qc を与え、
低温部の温度をあげる。
sg
pg
v
pb
q
pb | pg
v { pg
O
pg
pb
sb
Fig. 2.9: 暖房.
26
2.6
2.6.1
問題
１
内部エネルギー U は状態量であるが、熱量 Q は途中の過程によって異なり、状態量では
ない。そのため、微小量を d′ Q と書き、微小量は、
d′ Q = dU − P dV
(2.54)
である。勿論、圧力や、体積は状態量である。
もしも Q が状態量であるとしたら、矛盾することを示せ。
証明
１．背理法
背理法を使い、Q が状態量であると仮定して矛盾を導く。U は状態量であるので、微小量
は微分で表せ、
∂U
∂U
dV +
dP − P dV
∂V
∂P
∂U
∂U
=(
− P )dV +
dP
∂V
∂P
dQ = dU − P dV =
(2.55)
となる。ここで、Q が状態量であるとき成立する積分可能条件、
∂ ∂U
∂ ∂U
(
− P) =
∂P ∂V
∂V ∂P
(2.56)
を計算して、
∂ ∂U
∂ ∂U
∂ ∂U
−1=
=
∂P ∂V
∂V ∂P
∂P ∂V
が得られる。明らかに、最後の式の左辺と右辺は等しくない。よって、Q が状態量であると
する仮定は、正しくない。後で示すように、温度でわった d′ Q/T は状態量（エントロピー）
である。
2. 具体的計算 (理想気体の使う内部エネルギーは、温度で決定される)
状態変化 （T1 , P1 , V1 )→（T2 , P2 , V1 )
１． 定積変化で変化した時。
∫
∫
dQ =
∫
=
dU −
(dU − P dV )
∫
(P dV ) = CV (T2 − T1 )
２． 等温変化＋定圧変化で変化した時。
27
(2.57)
(2.58)
状態変化 （T1 , P1 , V1 )→(等温 ) →（T1 , P2 , V2 )→(定圧 ) →（T2 , P2 , V1 )
∫
∫
Q=
dQ =
∫
∫
=(
dU −
= −RT1
∫
(dU − P dV )
(2.59)
∫
(P dV ))|等温 + (
dU −
∫
(P dV ))|定圧
dV /V + CV (T2 − T1 ) − P2 (V1 − V2 )
= −RT1 log (V1 /V2 ) + CV (T2 − T1 ) − P2 (V1 − V2 )
̸= CV (T2 − T1 )
つまり、熱量は状態の変化のさせ方で変わる量である。このように、内部エネルギーが温
度で決まる理想気体の性質は、熱量が状態の変化のさせ方で変わる量、つまり、状態量では
ないことを示す。だから微小量は、d′ Q と書く。
ところが、エントロピー (S) の変化量
dS =
dQ
T
(2.60)
は、状態の変化のさせ方で変わらない量である。これを、エントロピーという。
2.7
中間テスト問題
問１
気体には、定積比熱 Cv と定圧比熱 Cp と二つの比熱がある。1 モルの理想気体について、
二つの比熱の定義を与え、どちらが大きいか考察し、理由をつけて説明せよ？
また、理想気体の１モルの定積比熱と定圧比熱の関係式をみちびけ。ただし、状態方程式
は P V = RT で与えられる。
問 ２
１モルの理想気体を高温熱源（T1 ) と低温熱源 (T2 ) に接した二つの等温過程と二つの断熱
過程で変化させて、カルノーサイクルを作る。この各過程における、熱と仕事の変化量を調
べ、次にカルノーサイクルの熱効率を求めよ。
問３
熱力学第二法則を使い、高温熱源 ( 温度 T1 ）と低温熱源（ 温度 T2 ）に接して働く熱機関
の効率に対して成立するカルノーの定理
１。可逆熱機関の効率はすべて等しい、
２。不可逆熱機関の効率は可逆熱機関の効率より悪い、
が成り立つことを示せ。
28
第 3 章 熱力学第二法則
熱量は力学的エネルギーの変形したものであるため、熱量と力学的エネルギーの和は一定
に保たれ、熱力学第一法則が成立する。しかしながら、熱と力学的エネルギーは異なるもの
である。その違いは、両者の変換に際して顕著にあらわれる。熱量と力学的エネルギーの相
違点が発現して、熱力学第２法則が成立する。すなわち、力学的エネルギーは容易に熱に変
換されるが、逆過程は容易ではなく、熱を力学的エネルギーに変換するには、大きな制約が
課される。これは、熱の特徴を明らかにしている。
3.1
熱現象の特異性
熱現象は、分子運動論で調べたように、極めて小さな分子の運動に着せられる。すべての
物質は極めて小さな分子や原子が沢山集まって構成されている。これらの沢山の微小な分子
や原子は、各分子が互いに関係なくほぼ乱雑に振る舞う運動をし、その結果大きな乱雑性を
伴う運動である。これが、熱の重要な性質である。
3.1.1
熱：乱雑な原子や分子の運動のエネルギー
気体分子運動論でみたように、分子や原子の乱雑な運動の激しさを示す平均エネルギーが
温度に比例する。各分子や原子は、それぞれが独立に運動しているので、各分子や原子の運
動を調べるのは難しい。しかし、それらの平均的な挙動を調べるのは比較的たやすい。
ところで、物体の力学的エネルギーは、すべての分子がそろった運動をする際のエネルギー
である。各分子の乱雑な運動と共に、一様に運動する時持つエネルギーである。
3.1.2
熱的現象の変化は時間方向性を持つ。
熱現象の特徴の一つは、物体の温度変化に伴う変化が、方向に大きく依存して、２方向が
等価ではなく差があることである。
例えば、熱現象の例として図のような粒子の拡散を考える。拡散過程は、粒子が空間全体
に拡がる方向に一方的に進行するが、逆向きには進行しない。
29
Fig. 3.1: 拡散過程.
この一方的な変化は、物体の力学的な運動とは異なる。通常の力学では、ニュートンの運
動方程式
d2
m 2 ⃗r(t) = f⃗
(3.1)
dt
は、時間を t > −t と逆向きにしても変わらないで不変である。だから、図のような時刻 t1
に位置 P1 にあって時刻 t2 に位置 P2 に到達する運動があれば、初期条件を逆にして時刻 −t2
に位置 P2 、時刻 −t1 に位置 P1 にある逆向きの運動の解が必ずある。これを、時間反転に対
する不変性という。粒子の拡散過程では、各粒子の運動はニュートンの運動方程式に従うの
で時間反転に対する不変性を持つはずである。しかし、粒子全体としては、１方向に運動が
進む。
o1
@
o1
1
( )
@
1
( )
o2
@
o2
2
O
@
2
O
Fig. 3.2: 力学逆過程.
3.2
熱機関
熱機関とは、熱を動力（ 力学的エネルギー）に変換する装置である。燃焼熱を利用して、
動力とする機関は、応用上も大変重要である。
理想的な熱機関の例は、等温過程と断熱過程を組み合わせたカルノーサイクルである。
30
カルノーサイクル
3.2.1
カルノーサイクルは、理想気体を媒体と使い二つの断熱過程と高温部と低温部の二つの等
温過程を組み合わせて出来る理想的熱機関である。
理想気体の性質から、カルノーサイクルは、高温部から熱を奪い低温部にその熱の一部を
返し、同時に残りのエネルギーを外部に対する仕事ぼ形出す過程であり、等温過程と、断熱
過程が組み合わされている。
順序を 等温準静過程（高温 T1 ）→ 断熱準静過程 → 等温準静過程（低温 T2 ）→ 断熱準静
過程 としている。
f M
o
W
T
s2
U
V
O
s1
•
u
Fig. 3.3: カルノー過程.
P −V 図
カルノーサイクルの各過程
I. 等温過程（ 高温での膨張）
高温の熱源 R1 に接触させ気体を等温膨張させる時、外からされる仕事 W1 を求める。
A1 (P1 , V1 , T1 ) → A2 (P2 , V2 , T2 )
R
P V = 一定 = P1 V1 = P2 V2 =
T
M
∫ V2
RT1 V1
W1 = −
P dV =
ln
M
V2
V1
(3.2)
(3.3)
(3.4)
等温変化では、内部エネルギーは一定に保たれる。その為熱量としての変化量は、
Q1 = −W1 =
II. 断熱膨張
31
RT1 V2
ln
M
V1
(3.5)
o
o1
o u
Œ Ł
q
@ s
l
s1
o2
O
u1
u2
u
Fig. 3.4: 等温過程.
外部からの熱を遮断した状況で気体を膨張させる。この際、温度が T1 から T2 に変わった
とする。
A2 (P2 , V2 , T1 ) → A3 (P3 , V3 , T2 )
(3.6)
W2 = Cv (T2 − T1 )
(3.7)
Q2 = 0
(3.8)
P V γ = 一定
(3.9)
o
o1
`
o u@
Œ Ł
@ @ f M
o2
O
u1
u2
u
Fig. 3.5: 断熱過程.
III. 等温過程（ 低温での圧縮）
32
低温の熱源 R2 に接触させ気体を等温圧縮させる時、外からされる仕事 W3 を求める。
A3 (P3 , V3 , T2 ) → A4 (P4 , V4 , T2 )
R
P V = 一定 = P3 V3 = P4 V4 =
T2
M
∫ V4
RT2 V3
W3 = −
P dV =
ln
M
V4
V3
(3.10)
(3.11)
(3.12)
等温変化では、内部エネルギーは一定に保たれる。その為熱量としての変化量は、
Q3 = −W3
(3.13)
o
o4
o3
O
u4
u3
u
Fig. 3.6: 等温過程.
IV. 断熱圧縮
外部からの熱を遮断した状況で気体を圧縮させる。この際、温度が T2 から T1 に変わった
とする。
A4 (P4 , V4 , T2 ) → A1 (P1 , V1 , T1 )
(3.14)
W4 = Cv (T1 − T2 )
(3.15)
Q4 = 0
(3.16)
γ
P V = 一定
33
(3.17)
これらの過程は、外部に対して仕事をしている。膨張時 （ I、II） 系は外部に正の仕事を
する
収縮時（ III、IV）外部は系に正の仕事をする
一つのサイクルで外部にする仕事
−(W1 + W2 + W3 + W4 ) =
=
3.2.2
RT1 V2 RT2 V3
ln −
ln
M
V1
M
V4
R
V2
(T1 − T2 )ln
M
V1
(3.18)
(3.19)
熱効率
熱機関の熱効率は、順操作で吸収する熱量 H(??) と外にする仕事 A(5.50) との比、
η=
A
H
(3.20)
である。吸収する熱量のどのくらいの割合を仕事として利用したかを示す比率である。カル
ノーサイクルの効率は
T1 − T2
η=
(3.21)
T1
と高温部の温度と低温部の温度で決まる。
3.3
熱力学第二法則
熱量を力学的エネルギーに変換する際、成立するのが熱力学第二法則である。熱力学第二
法則は、熱量が、エネルギーに変換される際に大きな制約があることを示している。熱力学
第二法則は、様々な表現がある。
34
熱力学第二法則
3.3.1
（１）Clausius(1850)
クラウジウスは熱力学第二法則を、「熱が移動したという現象のほかは他に何の変化も残
さないで、熱を低温の物体から高温の物体に移す方法はない」と熱の移動に主眼をおいて表
わした。
•
Æ •
M
fi
Fig. 3.7: 熱の移動.
（2）Thomson(Kelvin)(1851)
一方、トムソンは熱機関に主眼を置いて、「熱源からえた熱を仕事に変えるだけで他にな
んの変化も残さないで操作する熱機関は存在しない」と表わした。
•
p1
q
v
p
1 | p2
p2
Æ •
Fig. 3.8: トムソン熱の移動.
35
3.3.2
Clausius の表現と Thomson の表現の同等性
クラウジウスによる熱力学第２法則と、トムソンによる熱力学第２法則は一見異なるよう
に見えるが、実は等価である。これを背理法を使い示す。
1
Clausis が真でないと仮定すると Thomson が否定されることを熱力学第二法則を使い導く。
sg
g2
sb
Fig. 3.9: トムソン熱の移動 2.
Clausis が真でないと仮定する。
すると、
他に何の変化を残さないで低温部から高温部へ熱が移動することになる。
この時、高温部の熱源から熱を得て外部に仕事をするカルノーサイクルを付け足して図のよ
うな熱機関を構成する。
この熱機関は熱源から得た熱を仕事に変えるだけで、他に何の変化も残さないで操作する熱
機関である。つまり、Thomson が否定されることが導かれた。
g1
sg
g2
b
‘
g1 | g2
sb
g2
Fig. 3.10: トムソン熱の移動 3.
2 逆の証明も、ほぼ同じようにされる。
カルノーサイクルが、有力な手段となっている。
36
3.4
可逆過程と不可逆過程
系と外部とのすべてのものをもとの状態に戻すことができる過程を可逆過程という。
逆に、系と外部とのすべてのものをもとの状態に戻すことができない過程を不可逆過程と
いう。
3.4.1
Carnot の定理
熱機関の効率について、カルノーは、可逆熱機関の効率はすべて等しいこと、並びに不加
逆機関の効率は可逆熱機関の効率より小さいこと、を証明した。熱機関について、非常に一
般的な定理が成立する事がわかった。
いま、可逆機関 ( E) が、高温部 T1 から熱量 H を得、外部に仕事 A をし低温部 T2 に熱量
H-A をだすとする。
この熱効率は、
A
η=
(3.22)
H
である。
g | ‘
g
d
‘
Fig. 3.11: カルノーの定理.
次に、不可逆機関 ( E ’) が、高温部 T1 から熱量 H ’を得、外部に仕事 A ’をし低温部 T2
に熱量 H ’-A ’をだすとする。
この効率は、
A′
η′ = ′
(3.23)
H
である。
定理
可逆機関や不可逆機関の効率に関して、以下の等式または不等式が成立する。
η可逆 > η不可逆 ′
η可逆 = η可逆 37
(3.24)
(3.25)
g’ | ‘
d’
g’
Fig. 3.12: カルノーの定理 2.
（ 証明）
熱力学第二法則を使う。いま、二つの機関を構成する過程をつなげて図のようなサイクル
を作る。
sg
g
d
g’
‘
‘
d’
g | ‘
g’ | ‘
sb
g
Fig. 3.13: カルノーの定理.
（１）
初めに、一つの過程 E を可逆過程とし、他の過程 E ′ を不可逆過程として、η可逆 > η不可逆
の証明を背理法で行なう。
(i)
まず、H − H ′ = 0 と仮定する。すると、両過程を終えて一周した後で、系がもとに戻っ
38
た事になり、E ′ が不可逆過程であった仮定と反する。よって、H − H ′ = 0 となることはあ
り得ない。
(ii)
次に、H − H ′ > 0 と仮定する。すると、両過程を終えて一周した後で、低温から高温に
熱が動いたことになる。これは、クラウジウスの原理に反する。よって、H − H ′ > 0 とな
ることはあり得ない。
以上の (i), (ii) から、
H − H ′ < 0, η > η ′
(3.26)
となる。
（ ２）
次に、二つの過程を可逆過程として、η可逆 = η可逆 の証明を背理法で行なう。
（ １）と同様な考察により、（ １）と同じ向きの操作に対して
η ≥ η′
(3.27)
（ １）と同様な考察により、（ １）と逆向きの操作に対して
η′ ≥ η
(3.28)
よって、η = η ′ となり、すべての可逆過程の効率は等しい。
3.4.2
可逆機関の熱効率
可逆機関の一つであるカルノーサイクルで熱効率の計算が、具体的になされ、熱効率は温
度だけで決まることがわかっている。
H1 − H2
H1
T1 − T2
=
T1
η =
(3.29)
(3.30)
この結果から、すべての可逆機関における熱量の変化量と温度の比について普遍的な関係式、
H1
H2
=
T1
T2
(3.31)
が成立する。これより、熱源からの熱量の変化を熱源の温度で割った量である換算熱量は、
一定である。換算熱量が、特別な物理量になっていることを示している。
39
3.4.3
不可逆機関の熱効率
不可逆機関の効率とカルノーサイクルで計算した可逆機関の効率を比較して、
H1 − H2
H1
T1 − T2
=
T1
η不可逆 =
(3.32)
η可逆
(3.33)
が得られる。この結果から、不可逆過程での換算熱量について、不等号
H2 H1
−
>0
T2
T1
(3.34)
が成立する。
3.5
Clausius の不等式
熱源が二つ以上あるときは各熱源の温度 Ti とその熱源から入る熱量 Qi に関する和が関
係式、
∑ Qi
= 0 : 可逆サイクル
Ti
∑ Qi
< 0 : 不可逆サイクル
i Ti
(3.35)
i
(3.36)
をみたす。可逆サイクルとして二つ以上の熱源からなるカルノーサイクル、即ち熱源と接し
た等温変化と温度をかえる断熱変化を組み合わせて構成されたサイクルの場合は、熱量が具
体的に計算できる。これにより、等式を証明する。各過程で、出入りする熱量は、微小であ
るとして記号 d′ Q を使う。先ず、断熱過程では熱の出入はない。そのため、d′ Q = 0、であ
る。また、等温過程では内部エネルギーが一定であるため、d′ Q = P dV である。このため、
左辺の和に寄与するのは、等温過程に限られ、
∑ dQ′i
i
Ti
=
∑ ∫ Pi dV i
等温、i
=
(3.37)
Ti
∑ ∫ RPi dV i
（理想気体の状態方程式 T =
Pi Vi
RdV i
=
Vi
i
∑
Vi+1
=
R ln
Vi
i
∏Vi+1
= R ln(
）
Vi
i
i
∑∫
40
PV
）
R
が成り立つ。ここで、閉じたサイクルである条件、
V1 = VN
(3.38)
から、
R ln(
∏Vi+1
i
Vi
) = Rln
V2 V3 · · · VN
VN
= Rln
V1 V2 · · · VN −1
V1
(3.39)
=0
が成り立つ。さらに状態が連続的に変化するときは、和が積分に置き換わり関係式
I
dQ
=0
T
(3.40)
が成立する。よって、閉じた経路（サイクル）に沿う熱量変化を温度でわった量の周回積分
′
が零になる。熱量の微小変化を温度でわった dTQ が、状態の位置で決まる状態量であること
を表わしている。
Fig. 3.14: カルノーの定理.
41
3.6
問題
問 2 気体には、定積比熱 Cv と定圧比熱 Cp と二つの比熱がある。1 モルの理想気体につ
いて、以下の問題に答えよ。
2-1 比熱
二つの比熱の定義を与えよ。また、どちらが大きいと想像出来るか？
2-2 内部エネルギー
理想気体の内部エネルギーを定積比熱で表わせ。
2-3 二つの比熱の関係式
理想気体の１モルの定積比熱と定圧比熱の関係式をみちびけ。ただし、状態方程式は P V =
RT で与えられる。
問3
１モルの理想気体の断熱過程における P と体積 V の間に成り立つ関係式を導け。
問4
熱力学第二法則を使い、高温熱源 ( 温度 T1 ）と低温熱源（ 温度 T2 ）に接して働く熱機関
の効率に対して成立するカルノーの定理
１。可逆熱機関の効率はすべて等しい、
２。不可逆熱機関の効率は可逆熱機関の効率より悪い、
が成り立つことを示せ。
問5
１モルの理想気体の状態を可逆的に、A(T1 , V1 ) から B(T2 , V2 ) に変えたときのエントロピー
の変化を求めよ。
今までの項目：
1 章：熱と温度、熱平衡、熱容量と比熱、熱膨張
2 章：様々な比熱（原子熱、分子熱）、熱力学第一法則、ジュールの実験、自由膨張、理想気
体、理想気体の比熱、準静的過程、断熱過程
3 章：熱現象の特異性（乱雑な運動）カルノーサイクル、熱力学第二法則、可逆過程の熱効
率、熱効率に対するカルノーの定理
4 章：エントロピーとは？、エントロピー増大の原理
42
第 4 章 エントロピー
4.1
エントロピーとは？
′
前章で、可逆サイクルにそって準静的に状態変化させた時の dTQ の周回積分が零になるこ
とをみた。ところで、閉じた積分路にそう周回積分は、二つの経路にそう積分の差として
I
∫
∫
z d′ Q
d′ Q
=
+
T
T
0
∫ z ′
d Q ∫ z d′ Q
=
−
T
T
0
0
0
z
d′ Q
T
(4.1)
(4.2)
と表せる。このため、可逆サイクルを半分に分けた二つの可逆過程での積分値
∫
z
0
d′ Q
T
(4.3)
は積分経路に依存しないで、積分の上限と下限だけで決まる。積分の値は、上限での物理状
態と下限での物理状態で一意的に決まる状態量である。この事情は、力学で保存力の空間の
経路に沿う仕事が経路に依らずに上限と下限の２点の位置で決まる事と同じである。力学で
は、この仕事は位置で決まるので、ある位置にある物体が持つエネルギーである位置エネル
ギーという。熱力学の場合、この状態量をエントロピー S という。温度 T で熱量 d′ Q が増加
する準静的過程におけるエントロピーの微少量は
dS =
d′ Q
T
(4.4)
となる。右辺の熱量の微少量 d′ Q は、例えばカルノーサイクルの計算で分かるように、過程
（経路）により異なる値をとる。そのため熱量は一つの状態で一つの値が決まるわけではな
く、状態量ではない。数学的に厳密な意味では、単純な微分ではないので ’をつけるのが正
しい。しかし熱量の微少量を温度で割った量である左辺のエントロピーは状態量の微少量で
ある。そのため、エントロピーの微少量を単純に dS と書く。エントロピーを使うと熱量の
微少量が、
d′ Q = T dS
(4.5)
と表せる。この表示で、熱力学第一法則はエントロピーを使い
dU = T dS − P dV
43
(4.6)
と表せる。このように、内部エネルギー U はエントロピー S と体積 V を自変数とする物理
量であることが分かる。係数 T と −P は、偏微分を使い
∂U T =
∂S V
∂U P =−
∂V S
(4.7)
(4.8)
となる。
4.1.1
エントロピーの計算
エントロピーを具体的な準静的な過程で計算しよう。
１．固体、液体で比熱一定（ C) の場合。
この場合はエントロピー
∫ T2 ′
dQ
S=
T
T1
が、熱量が比熱を使い簡単にあらわせ、
d′ Q = CdT
dT
d′ Q
=C
dS =
T ∫
T
S2 − S1 =
∫
T2
=C
T1
(4.9)
(4.10)
dS
T2
dT
= C ln
T
T1
(4.11)
と簡単に求められる。
２．理想気体
理想気体は内部エネルギーが温度だけできまり、またボイルシャルルの法則を満たす。熱
力学第一法則から熱量を内部エネルギーと体積変化で表して、エントロピーは、
dU = CV dT : 内部エネルギーは温度の関数 44
(4.12)
dU + P dV
T
dT
dV
= CV
+R
(P V = RT )
T
V
∫ T2
∫ V2
dT
dV
S2 − S1 = CV
+R
T1 T
V1 V
T2
V2
= CV ln
+ R ln
T1
V1
dS =
(4.13)
(4.14)
(4.15)
となる。ここで一モルの気体とした。
３．積分可能条件
式 (4.6) で、内部エネルギー U 、温度 T 、エントロピー S 、圧力 P 、体積 V はすべて一つ
の状態に対して一つの値をとる状態量である。内部エネルギーの微分量が
dU = T dS − P dV
(4.16)
と書けることより、U は S と V を自変数として U (S, V ) と表せる。だから微小量は、偏微分
を使い
dU =
∂U
∂U
dS +
dV
∂S
∂V
(4.17)
となるので、両辺を比較して、温度 T と圧力 P が
∂U
∂S
∂U
P =−
∂V
T =
(4.18)
(4.19)
と内部エネルギー U の S や V に対する変化率となる。２階偏微分が、微分の順序によらな
いので、
∂ ∂
∂
T =
U
∂V
∂V ∂S
∂ ∂
∂
=
U =− P
∂S ∂V
∂S
45
(4.20)
が成立し、温度と圧力を内部エネルギーの偏微分で表して、温度と圧力の微分に対する関
係式
∂T
∂P
=−
(4.21)
∂V
∂S
が成立する。一見自明な関係式 (4.17) から、まったく自明ではない上の関係式が導かれるの
は、不思議である。その理由は、内部エネルギー、体積、温度に加えてエントロピーが状態
量であることに依拠している。
4.2
エントロピー増大の原理
エントロピーは、可逆過程によって状態を変化させたとき途中の過程に依存せず始状態と
終状態で決まる値をとる。つまり、エントロピーは状態量である。では、エントロピーは、
不可逆過程によって状態を変化させるときも、同じように途中の過程によらないのあろうか。
実は、不可逆過程では可逆過程とは異なり始状態や終状態に固有な値をとるわけではない。
不可逆過程によって状態を変化させるときエントロピーは、特有な変化をする。Clausius の
不等式から、不可逆過程におけるエントロピーの特異な変化が明らかになる。
不可逆過程と可逆過程からなる閉じた不可逆サイクルを考える。このとき、周回積分は、
不等式
∫ A ′
dQ
d′ Q ∫ B d′ Q
=
(不可) +
(可) < 0
T
T
T
A
B
∫ B ′
∫ B ′
dQ
dQ
(不可) <
(可) = dS
T
T
A
A
I
(4.22)
(4.23)
を満たしている。
s ´ t
‘
a
´ t
Fig. 4.1: エントロピー.
上の不等式より、断熱系における不可逆過程を A → B で行なう際、エントロピーの変
化は、
d′ Q = 0
(4.24)
dS ≥ 0(等号は可逆のとき)
(4.25)
46
となり、結果
S(B) > S(A)
(4.26)
が成立する。
エントロピー増大の原理
不可逆過程によって A から B に状態が変化したとき、状態 B のエントロピー S(B) は必
ず状態 A のエントロピー S(A) より大きくなり、エントロピーは増大する。
熱平衡では、
δS = 0
(4.27)
となり、エントロピーは極値をとっている。
例１：熱伝導
温度 T1 と T2 の間を熱量 Q が伝導する。この時、エントロピー変化は
Q
Q
−
T2 T1
1
1
= Q( − ) > 0
T2 T1
δS =
(4.28)
(4.29)
となる。よってエントロピーは増大する。
p
‘
s1
a
s2
Fig. 4.2: 熱伝導.
例２：理想気体の断熱自由膨張
断熱自由膨張では温度は不変に保たれ体積が大きくなる。よって、
δS = CV ln
47
T2
V2
+ R ln
T1
V1
(4.30)
= R ln
V2
>0
V1
(4.31)
となり、やはりエントロピーは増大する。 VV21 = 2 とすると、
δS = R ln 2
(4.32)
である。
エントロピーの微視的な意味
4.3
エントロピーは、熱伝導や断熱自由膨張では必ず増加することがわかった。これらの過程
は、可逆過程ではなく不可逆過程であり、自然界で自然に起こる過程である。熱的な現象は、
小さな沢山の分子の乱雑な運動に特徴があった。この度合を示すのが、エントロピーである。
エントロピーは、状態の不規則さを定量的に表す量であり、自然界の状態変化は、より不規
則な状態に遷移する傾向があることを示している。
場合の数の多さ（ 不規則さの度合い）がエントロピーで定量的に表される。その結果、あ
るマクロな状態の実現確率が大きいとき、その状態に対応するミクロな多くの状態があるこ
とになり、その状態の不規則さが大きいことになる。
ある熱力学的な状態のエントロピー S は、その状態の実現する確率 w の関数である。
‘
a
Fig. 4.3: エントロピーの意味.
いま、図のような箱の内部にアボガドロ数程度の沢山の粒子があるとする。箱の内部を仕
切り、片方をＡ、他方をＢとする。これらの粒子が各箱に、あるときの確率を ωi とする。
w1 : A にすべての粒子が集まっている確率。
48
(4.33)
w2 : A、B 両方に粒子が分散している確率。
(4.34)
A の体積が、Ｂの体積の２倍であり、粒子数がＮであるとき、これらの比は、
w1
V1
1
= ( )N = ( )N
w2
V
2
(4.35)
であり、Ｎがアボガドロ数であるとき、
1
1070
N = 6 × 1023
=
(4.36)
と莫大の数となる。
なお、場合の数を１に規格化したものが確率である。
次、エントロピーを確率で表す。二つの系のエントロピーは各系のエントロピーの和で
ある。
S = S1 + S2
(4.37)
また一方で、独立事象の二つの系の確率は各系での確率の積である。
w = w1 × w2
(4.38)
S = f (w)
(4.39)
エントロピーを確率のある関数
として、上の性質を満す関数を求めよう。
f (w1 × w2 ) = f (w1 ) + f (w2 )
(4.40)
w1 = w, w2 = 1 + ϵ
(4.41)
を満たす関数を求めるため、
として、代入して
f (w + wϵ) = f (w) + f (1 + ϵ)
(4.42)
f (w) + wϵf ′ (w) = f (w) + f (1) + ϵf ′ (1)。
(4.43)
これより、微分方程式
f (1) = 0
f ′ (w) =
49
(4.44)
′
f (1)
w
(4.45)
を満たすことになる。この微分方程式は容易に解くことが出来、
f (w) = f ′ (1) ln w
(4.46)
である。 よって、確率を使い、エントロピーが、
S = k ln w
(4.47)
となる。実はこの定数 k はボルツマン定数である。実際この関数が、上の関係式を満たすこ
とが、容易に分かる。
断熱自由膨張
断熱自由膨張では、確率は
ω1 = ω2 × (1/2)N
(4.48)
と関係している。この結果、エントロピーの変化は、
S1 = S(ω1 ) = k ln ω1 = k ln ω2 − N ln 2
(4.49)
である。これは、例で調べたエントロピーの変化に一致する。
4.4
4.4.1
種々の自由エネルギー
内部エネルギー
熱力学第一法則で内部エネルギー U をエントロピー S と体積 V を使い表すと、微分量に
対して
dU = T dS − P dV
(4.50)
微分形では、
∂U =T
∂S V
∂U = −P
∂V S
(4.51)
(4.52)
である。つまり、体積を一定にしてエントロピーを変化させる時の傾きの係数が温度であり、
エントロピーを一定にして体積を変化させる時の傾きの係数がー圧力である。孤立した系を
断熱状況で等積変化させるとき平衡条件は
δU = 0
50
(4.53)
である。
内部エネルギーの応用
内部エネルギーの考察から、
(
∂U
∂p
)T = T ( )V − p
∂V
∂T
(4.54)
が成立する。
（証明）熱力学第一法則から、
dU = d′ Q − pdV
(4.55)
エントロピーの定義、
dS =
d′ Q
T
(4.56)
から微小熱量をエントロピーで表わし、さらに内部エネルギーを体積と温度の微小量で表わ
すと、
T dS = dU + pdV =
∂U
∂U
dV +
dT + pdV
∂V
∂T
(4.57)
となる。両辺を T で割り、エントロピーの微小量が
dS =
1 ∂U
1 ∂U
(
+ p)dV +
dT
T ∂V
T ∂T
(4.58)
となる。よって、微分可能条件から、
∂ 1 ∂U
∂ 1 ∂U
( (
+ p)) =
(
).
∂T T ∂V
∂V T ∂T
(4.59)
1 ∂2U
∂p
1 ∂ 2U
1 ∂U
(
+
p)
+
(
+
)
=
T 2 ∂V
T ∂T ∂V
∂T
T ∂T ∂V
(4.60)
1 ∂U
1 ∂p
(
+ p) + ( ) = 0
2
T ∂V
T ∂T
(4.61)
∂p
∂U
)T = T ( )V − p
∂V
∂T
(4.62)
両辺の微分を実行して、
−
よって、
−
となり、書き直して
(
が得られる。
51
4.4.2
Gibbs 自由エネルギー
通常は、孤立系を調べるのではなく、外部からコントロールした時の系の平衡状態を調べ
る。この場合は、上の内部エネルギーではなく、次にあげる様々な、自由エネルギーを使う。
次に、自変数をエントロピーと体積から温度と圧力に変換する。その為に新たな熱力学量
Gibbs 自由エネルギー G を定義する。これの微少量は、
G = U − TS + PV
(4.63)
dG = dU − T dS − SdT + P dV + V dP
(4.64)
= T dS − P dV − T dS − SdT + P dV + V dP
(4.65)
= −SdT + V dP
(4.66)
となる。だから Gibbs 自由エネルギーの自変数が温度と圧力であることがわかる。
dG = −SdT + V dP
(4.67)
微分形では、
∂G = −S
∂T V
∂G =V
∂P S
(4.68)
(4.69)
である。つまり、体積を一定にして温度を変化させる時の傾きがーエントロピーであり、温
度を一定にして圧力を変化させる時の傾きが体積である。自変数をあらわに書いて Gibbs 自
由エネルギーを G(T, P ) と表記する。等温、等圧変化させるとき平衡条件は
δG = 0
(4.70)
で決まる。
Gibbs 自由エネルギー の応用
ファンデルワールス気体
圧力と温度を一定にする状況で行なう実験で実現する平衡状態は、Gibbs 自由エネルギー
G の停留条件から決定される。これは、液体ー気体の混合状態や、相転移で見られる。
ファンデルワールス気体は、理想気体からずれた現実の気体であり、状態方程式は、
(P +
a
)(V − b) = N kT
V2
である。図１で与えられ、これより、圧力が体積の関数として
52
(4.71)
P =
Nk
a
T− 2
V −b
V
(4.72)
∂P
=0
∂V
(4.73)
となるので、圧力が停留となる体積は
から、
Nk
∂P
2a
=−
T− 3 =0
2
∂V
(V − b)
V
2
(V − b)
Nk
=
T =A
3
V
2a
(4.74)
(4.75)
を満たしている。この解は、図２のように変化する。
図２
温度が高い場合、圧力が体積と共に一様に減少する関数となり
∂P
=0
∂V
(4.76)
は解をもたない。この場合、物理系の性質は、理想気体に近く簡単に圧縮され圧縮率が大き
い状態である。これは、気体の状態である。しかし、温度が低い場合は、
∂P
=0
∂V
(4.77)
となる解が複数あり、極大値と極小値があり、圧力に増減が現れる。また、温度が低く体積
が小さい領域では、圧力は体積の変化に対して急激に変化する。これは、圧力を大きく変え
て初めて体積が変化することを示し、気体とは異なる性質をもつ液体である。
次に、G の変化を調べよう。温度 T が一定であるとき、
dG = V dp
G(p) − G(pa ) =
53
∫
(4.78)
p
V (p)dp
pa
(4.79)
図３
上の図３で、a → b → c → d → e → f → g でＧは、
図４
のようである。このため、G が最小になるところは、図５であり、b → c → d → e → f で
圧力は一定の値 pb = pf に留まっている。b → c → d の面積と d → e → f の面積は等しい。
図１で、圧力が体積の変化とともに増減する領域での平衡状態は、図のようにｂからｆま
54
では、圧力が一定の状態である。図で p ≥ pf の領域が気体であり、p ≤ pa の領域が液体で
あるので、中間の圧力が一定である領域は、気体と液体が混合した状態である。
4.4.3
Helmholtz 自由エネルギー
同様に Helmholtz 自由エネルギー F (V, T )、エンタルピー H(S, P ) を以下のように定義
する。
F = U − TS
(4.80)
H = U + PV
(4.81)
dF = T dS − P dV − T dS − SdT = −P dV − SdT
(4.82)
dH = T dS − P dV + P dV + V dP = T dS + V dP
(4.83)
これらは微小量が、
となることより、自変数を (V, T ) や (S, P ) とするエネルギーである。
温度と体積をコントロールして変化させるときの平衡条件は
δF = 0
(4.84)
であり、圧力をコントロールして断熱変化させるときの平衡条件は
δH = 0
である。
Helmholtz 自由エネルギーの応用
55
(4.85)
4.5
数学のまとめ
微分
f (x + h) − f (x)
d
f (x) = limh→0
,
dx
h
d
f (x + h) = f (x) + h f (x)
dx
∂
f (x + h, y) − f (x, y)
f (x, y) = limh→0
∂x
h
∂
f (x + h, y) = f (x, y) + h f (x, y)
∂x
∂
f (x, y + h) − f (x, y)
f (x, y) = limh→0
∂y
h
∂
f (x, y + h) = f (x, y) + h f (x, y)
∂y
∂
∂
f (x + h, y + g) = f (x, y) + h f (x, y) + g f (x, y)
∂y
∂y
∂
∂
df (x, y) =
f (x, y)dx +
f (x, y)dy
∂y
∂y
56
(4.86)
(4.87)
第 5 章 現実的な問題
5.1
ヴァンデルワール気体
前章でヴァンデルワール気体を、調べた。状態方程式は、いくつかの物質に依存するパラ
メーターをもつ
(P + an2 /V 2 )(V − bn) = nRT
(5.1)
であり、図のようなグラフである。この状態方程式が、気相と液相を共にもつ状態であるこ
とをみた。
温度が高い場合、圧力が体積と共にゆっくり一様に減少する関数となり相の性質は、理想
気体に近く簡単に圧縮され圧縮率が大きい。これは、気体である。しかし、温度が低い場合
は、圧力によって大きく異なる性質を示す。温度が低く体積が小さい領域では、圧力は体積
の変化に対して急激に変化し、また圧力を変えてもあまり体積が変わらない液体である。
5.2
気体の蒸発と液化
気相と液相の異なる相をもつ物質で、蒸発や液化の熱力学について考察する。ある物質で、
気体と液体が共存する領域を考え、クラウジウスークライペロンの関係式を導く。いま、そ
れぞれの単位質量当たりの体積を v1 と v2 、エネルギーを u1 と u2 とする。これらは、温度 T
の関数である。また、圧力を p とする。m1 と m2 をそれぞれの質量とする混合気液体では、
m = m1 + m2
(5.2)
V = m1 v1 (T ) + m2 v2 (T )
(5.3)
U = m1 u1 (T ) + m2 u2 (T )
(5.4)
である。
ここで、dm だけ液体から気体に等温過程で移す。質量、体積、エネルギーは、
m = m1 + m2
(5.5)
V + dV = (m1 + dm)v1 (T ) + (m2 − dm)v2 (T )
(5.6)
U + dU = (m1 + dm)u1 (T ) + (m2 − dm)u2 (T )
(5.7)
57
となり、微小量が
dV = dm(v1 (T ) − v2 (T ))
(5.8)
dU = dm(u1 (T ) − u2 (T ))
(5.9)
となる。ここで、熱力学第１法則より、熱量が内部エネルギーと仕事から、
dQ = dU + P dV = dm(u1 − u2 + p(v1 − v2 ))
(5.10)
と表わせる。よって、
dQ
= u1 − u2 + p(v1 − v2 )
dm
(5.11)
である。ここで、潜熱を定義する。潜熱とは、液体が気体に変化するときの熱量であり、今
の場合単位質量あたり、の潜熱は、
λ=
dQ
dm
(5.12)
である。温度が一定であるときの変化を考えたので、内部エネルギーの体積変化率が、潜熱、
体積変化、圧力で
(
u1 (T ) − u2 (T )
∂U
)T =
∂V
v1 (T ) − v2 (T )
λ − p(v1 − v2 )
=
v1 − v2
λ
−p
=
v1 − v2
(5.13)
(5.14)
となり、最後に関係式 (4.54)
(
∂U
∂p
)T = T ( )V − p
∂V
∂T
(5.15)
を組み合わせて、クラウジウスークライペロンの関係式
(
∂p
λ
)V =
∂T
T (v1 − v2 )
が導かれる。
58
(5.16)
5.3
化学反応
5.4
相転移
5.5
問題
5.5.1
偏微分
f (x, y)
(5.17)
∂ ∂
∂ ∂
f (x, y) =
f (x, y)
∂x ∂y
∂y ∂x
(5.18)
vx =
∂
f (x, y)
∂x
(5.19)
g = vx x − f
(5.20)
dg = dvx x + vx dx − df = dvx x + vx dx − fx dx − fy dy = xdvx − fy dy
(5.21)
59
基礎物理学 II（ 再履）中間 テスト
（ (金) 16:30 E-203 ）
(2009 6/26(金) 16:30-18:00 石川健三
問1
質量 M の質点が速度 ⃗v で xy 面内にある壁と完全衝突を行った時の、運動量の変化を求め
よ。またこのような衝突が一秒当り N 回起こるとして、xy 面内にある面積 S の壁が感じる
圧力を計算せよ。
問 2 気体には、定積比熱 Cv と定圧比熱 Cp と二つの比熱がある。1 モルの理想気体につい
て、以下の問題に答えよ。
2-1 比熱
二つの比熱の定義を与えよ。また、どちらが大きいと想像出来るか？
2-2 内部エネルギー
理想気体の内部エネルギーを定積比熱で表わせ。
2-3 二つの比熱の関係式
理想気体の１モルの定積比熱と定圧比熱の関係式をみちびけ。ただし、状態方程式は P V =
RT で与えられる。
問3
１モルの理想気体の断熱過程における P と体積 V の間に成り立つ関係式を導け。
問4
熱力学第二法則を使い、高温熱源 ( 温度 T1 ）と低温熱源（ 温度 T2 ）に接して働く熱機関
の効率に対して成立するカルノーの定理
１。可逆熱機関の効率はすべて等しい、
２。不可逆熱機関の効率は可逆熱機関の効率より悪い、
が成り立つことを示せ。
問5
１モルの理想気体の状態を可逆的に、A(T1 , V1 ) から B(T2 , V2 ) に変えたときのエントロピー
の変化を求めよ。
60
基礎物理学 II（ 再履）中間 テスト (再）
（ (金) 16:30 E-203 ）
(2009 7/15(水) 13:30- 石川健三
問1
質量 M の質点が x 方向の速度 vx で xy 面内にある壁と完全衝突を行った時の、運動量の
変化を求めよ。またこのような衝突が一秒当り N 回起こるとして、xy 面内にある面積 S の
壁が感じる圧力を計算せよ。
問 2 気体には、定積比熱 Cv と定圧比熱 Cp と二つの比熱がある。1 モルの理想気体につい
て、以下の問題に答えよ。
2-1 比熱
二つの比熱の定義を与えよ。また、どちらが大きいと想像出来るか？
2-2 内部エネルギー
理想気体の内部エネルギーを定積比熱で表わせ。
2-3 二つの比熱の関係式
理想気体の１モルの定積比熱と定圧比熱の関係式をみちびけ。
問3
１モルの理想気体の断熱過程における P と温度 T の間に成り立つ関係式を導け。
問4
熱力学第二法則を使い、高温熱源 ( 温度 T1 ）と低温熱源（ 温度 T2 ）に接して働く熱機関
の効率に対して成立するカルノーの定理の一つ、
１。可逆熱機関の効率はすべて等しい、
が成り立つことを示せ。
問5
１モルの理想気体の状態を可逆的に、A(P1 , V1 ) から B(P2 , V2 ) に変えたときのエントロピー
の変化を求めよ。
61
基礎物理学 II（ 再履） テスト (前）
（ (金) 16:30 E-203 ）
(2009 石川健三)
問 1 気体には、定積比熱 Cv と定圧比熱 Cp と二つの比熱がある。1 モルの理想気体につい
て、以下の問題に答えよ。
1-1 比熱
二つの比熱の定義を与えよ。また、どちらが大きいと想像出来るか？
1-2 内部エネルギー
理想気体の内部エネルギーを定積比熱で表わせ。
1-3 二つの比熱の関係式
理想気体の１モルの定積比熱と定圧比熱の関係式をみちびけ。
問2
１モルの理想気体の状態を可逆的に、A(P1 , V1 ) から B(P2 , V2 ) に変えたときのエントロピー
の変化を求めよ。
問3
3-1
電荷 Q1 と電荷 Q2 が離れて置かれている。このときの電場、電気力線の様子を書き表わ
せ。二つの電荷が、同符号である場合と異符号である場合を分けること。
3-2
直線電流 I1 と直線電流 I2 が離れて平行に置かれている。このときの磁場と磁場を結んだ
磁力線の様子を書き表わせ。二つの電流が、同じ向きである場合と異なる向きである場合を
分けること。
3-3
また、上の二つの場合で、場のエネルギーについての考察にもとづいて、電荷間ならびに
電流間の力の性質について、引力、斥力いずれの力になるか明らかにせよ。
問4
一様なｚ軸方向の磁場（磁束密度）Bz の下で、半径 R の円形の導体を xy 面内にある軸の
周りに角速度 ω で回転させる。このとき、この円形導体に生ずる起電力を計算せよ。
62
基礎物理学 II（ 再履） テスト
（ (金) 16:30 E-203 ）
(2009 8/6(金) 16:30- 石川健三
問1
1 モルの理想気体について、以下の問題に答えよ。
1-1
1 モルの理想気体の体積 V 、圧力 P 、ならびに温度 T の間の状態方程式を書き下せ。
1-2
理想気体の内部エネルギーについて成立することを説明せよ。また、
（１）等温変化（２）
断熱変化における圧力 P と体積 V の間の関係式を求めよ。
1-3
１モルの理想気体を高温（温度 T1 ）、低温（温度 T2 ）の二つの等温過程とその間を二つの
断熱過程でつなげたカルノーサイクルの熱機関としての効率を計算せよ。
問2
2−1
熱力学第二法則を説明せよ。
2−2
また、熱力学第２法則を使い、高温熱源 ( 温度 T1 ）と低温熱源（ 温度 T2 ）に接して働く
熱機関の効率に対して成立するカルノーの定理の一つ、
１。可逆熱機関の効率はすべて等しい、
が成り立つことを示せ。
問3
直線電流 I1 と直線電流 I2 が離れて平行に置かれている。このときの磁場、磁力線の様子
を書き表わせ。二つの電流が、同じ向きである場合と異なる向きである場合を分けること。
問 4 一様なｚ軸方向の磁場（磁束密度）Bz の下で、径の長さ Ｌ の正方形の導体を xy 面
内にある正方形の中心を通り正方形の１辺に平行な軸の周りに角速度 ω で回転させる。この
とき、この正方形導体に生ずる起電力はどのように変化するか？
63
基礎物理学 II（ 再履） 再（追）テスト
（ 12 日 (水) 14:45 E-204 ）
(2009 8/6(金) 16:30- 石川健三
問1
1 モルの理想気体について、以下の問題に答えよ。
1-1
熱力学第１法則を説明せよ。
1-2
理想気体の内部エネルギーについて成立することを説明せよ。また、
（１）等温変化（２）
断熱変化における圧力 P と体積 V の間の関係式を求めよ。
1-3
１モルの理想気体を高温（温度 T1 ）、低温（温度 T2 ）の二つの等温過程とその間を二つの
断熱過程でつなげたカルノーサイクルの熱機関の各過程における仕事、熱量、エントロピー
の変化を計算せよ。
問2
2−1
熱力学第二法則を説明せよ。
2−2
また、熱力学第２法則を使い、高温熱源 ( 温度 T1 ）と低温熱源（ 温度 T2 ）に接して働く
熱機関の効率に対して成立するカルノーの定理の一つ、
１。不可逆熱機関の効率は可逆熱機関の効率より悪い、
ことを示せ。
問3
直線電流 I1 と直線電流 I2 が離れて平行に置かれている。このときの磁場と磁場を結んだ
磁力線の様子を書き表わせ。二つの電流が、同じ向きである場合と異なる向きである場合を
分けること。また、それぞれの場合、力は引力、斥力いずれであるか？
問 4 一様なｚ軸方向の磁場（磁束密度）Bz の下で、径の長さ Ｌ の正方形の導体を xy 面
内にある正方形の中心を通り正方形の１辺に平行な軸の周りに角速度 ω で回転させる。この
とき、この正方形導体に生ずる起電力を計算せよ？
64
基礎物理学 II（ 再履） 再（追）テスト
（ 12 日 (水) 14:45 E-204 ）
(2009 8/6(金) 16:30- 石川健三
問1
1-1
気体の体積、圧力、内部エネルギー、熱量を使い熱力学第１法則を説明せよ。
1-2
１モルの理想気体の定積比熱と定圧比熱の関係を求めよ。
1-3
１モルの理想気体を高温（温度 T1 ）、低温（温度 T2 ）の二つの等温過程とその間を二つの
断熱過程でつなげたカルノーサイクルを説明せよ。
問2
2-1
１モルの理想気体の状態を、可逆的に A(T1 , V1 ) から B(T2 , V2 ) に変えた時のエントロピー
の変化を計算せよ。
2-2
熱力学第２法則を使い、高温熱源 ( 温度 T1 ）と低温熱源（ 温度 T2 ）に接して働く熱機関
の効率に対して成立するカルノーの定理の一つ、
１。可逆熱機関の効率はすべて等しい、
ことを示せ。
問3
直線電流 I1 と直線電流 I2 が離れて平行に置かれている。このときの磁場と磁場を結んだ
磁力線の様子を書き表わせ。二つの電流が、同じ向きである場合と異なる向きである場合を
分けること。また、それぞれの場合、場のエネルギーについての考察にもとづいて、引力、
斥力いずれの力になるか明らかにせよ。
問 4 一様なｘ軸方向の磁場（磁束密度）Bｘ の下で、一辺の長さ L の正方形の導体を xy
面内にある正方形の１辺の周りに毎分 N 回回転させた。このとき、この正方形導体に生ず
る起電力を計算せよ？
5.6
豆 テスト
⃗ とする。この時、成
質量 M の質点の位置を ⃗x(t) 速度を ⃗v (t) とし、質点に加わる力を F
立する運動方程式は
d⃗v (t)
= F⃗
(5.22)
M
dt
65
である。但し、 d⃗xdt(t) = ⃗v (t) である。地面から投げあげられた物体には一様な下向きの重力
が働く。鉛直方向を z 軸とすると、力は、
F⃗ = −⃗nz M g
(5.23)
と表せる。ここで ⃗nz は z 軸方向の単位ベクトルである。この運動方程式を解くことより、こ
の質点の t 秒後の位置と速度を求めよ。物体を最も遠い地点に落下させるには、初速をどの
方向にとれば良いか？
5.7
単位系
1
長さ： １ メートル＝光が真空中を 299792458
秒の間に進む距離
質量： １ Kg ＝国際キログラム原器の質量（１０％のイリジウムをいれた不純物の混入比
０。０００１の白金合金；円柱形の分銅直径、高さ約３９ mm
時間：秒（S）1 秒＝セシウム１３３原子の基底状態における２つの微細構造（F ＝４、M ＝
０及び F ＝３、M ＝０）の間の遷移に対応する放射の９１９２６３１７７０周期の継続時間
（１９６７）
電流：1 アンペア＝真空中に 1 メートルの間隔で平行におかれた無限に小さい円形断面積を
有する無限に長い 2 本の直線状導体のそれぞれを流れ、導体の長さ 1 メートルごとに 2 × 10−7
ニュートンの力を及ぼし合う電流
質量の起源、
ニュートリノ、
ダークマター、
66
5.8
中間テスト問題
問１
気体には、定積比熱 Cv と定圧比熱 Cp と二つの比熱がある。1 モルの理想気体について、
二つの比熱の定義を与え、どちらが大きいか考察し、理由をつけて説明せよ？
また、理想気体の１モルの定積比熱と定圧比熱の関係式をみちびけ。ただし、状態方程式
は P V = RT で与えられる。
問 ２
１モルの理想気体を高温熱源（T1 ) と低温熱源 (T2 ) に接した二つの等温過程と二つの断熱
過程で変化させて、カルノーサイクルを作る。この各過程における、熱と仕事の変化量を調
べ、次にカルノーサイクルの熱効率を求めよ。
問３
熱力学第二法則を使い、高温熱源 ( 温度 T1 ）と低温熱源（ 温度 T2 ）に接して働く熱機関
の効率に対して成立するカルノーの定理
１。可逆熱機関の効率はすべて等しい、
２。不可逆熱機関の効率は可逆熱機関の効率より悪い、
が成り立つことを示せ。
67
5.9
中間テスト問題
問１
気体には、定積比熱 Cv と定圧比熱 Cp と二つの比熱がある。1 モルの理想気体について、
二つの比熱の定義を与え、次に関係式をみちびけ。ただし、状態方程式は P V = RT で与え
られる。
問 ２
１モルの理想気体を高温熱源（T1 ) と低温熱源 (T2 ) に接した二つの等温過程と二つの断熱
過程で変化させて、カルノーサイクルを作る。この各過程における、熱と仕事、並びにエン
トロピーの変化量を求めよ。また、カルノーサイクルの熱効率を求めよ。
問３
1．エントロピーの物理的意味を説明せよ、。次に、理想北１モルが温度・体積を (T1 , V1 )
から (T2 , V2 ) に変化する時の、エントロピーの変化を計算せよ。
解答：
問１．
1. 熱力学第１法則は、U,P,V,Q を内部エネルギー、圧力、体積、熱量とすると、
dU = −P dV + d′ Q
(5.24)
である。また理想気体では、内部エネルギーは温度だけで決定され、比熱 Ci は
d′ Qi = Ci dT, i = 定積、または 定圧
(5.25)
で、熱量や温度の微小変化量と関係している。
等積過程：
気体の体積を一定に保って温度を上げる。
dV = 0、d′ Q体 = dU
(5.26)
である。
等圧過程：
気体の圧力を一定に保って温度を上げる。
dV ̸= 0、d′ Q圧 = dU + P dV
(5.27)
である。温度変化が同じ場合、式 (5.26) と式 (5.27) における dU は等しい。そのため、
d′ Q圧 − P dV = d′ Q体 (5.28)
が成立する。P dV は正定値なので、気体が外部にする仕事は必ず正であり d′ Q圧 > d′ Q体 で
ある。
68
2. １モルの理想気体の状態方程式
P V = RT
(5.29)
P dV = RdT (5.30)
から、等圧過程では、
である。式 (5.25) と (5.30) を、 式 (5.28) に代入すると、
Cp dT − RdT = Cv dT
(5.31)
Cp − R = Cv
(5.32)
となり、両辺を dT で割ると、
が得られる。
問２．
カルノーサイクルは、理想気体を媒体と使い二つの断熱過程と高温部と低温部の二つの等
温過程を組み合わせて出来る理想的熱機関であり理想気体の性質から、高温部から熱を奪い
低温部にその熱の一部を返し、同時に残りのエネルギーを外部に対する仕事として出す過程
である。
順序を 等温準静過程（高温 T1 ）→ 断熱準静過程 → 等温準静過程（低温 T2 ）→ 断熱準静
過程 とする。
カルノーサイクルの各過程
I. 等温過程（ 高温での膨張）
高温の熱源 R1 に接触させ気体を等温膨張させる時、外からされる仕事 W1 を求める。
A1 (P1 , V1 , T1 ) → A2 (P2 , V2 , T2 )
(5.33)
P V = 一定 = P1 V1 = P2 V2 = RT
∫ V2
V1
W1 = −
P dV = RT1 ln
V2
V1
(5.34)
等温変化では、内部エネルギーは一定に保たれる。その為熱量としての変化量は、
V2
Q1 = −W1 = RT1 ln
V1
(5.35)
(5.36)
II. 断熱膨張
外部からの熱を遮断した状況で気体を膨張させる。この際、温度が T1 から T2 に変わった
とする。
A2 (P2 , V2 , T1 ) → A3 (P3 , V3 , T2 )
(5.37)
W2 = Cv (T2 − T1 )
(5.38)
Q2 = 0
(5.39)
P V γ = 一定
(5.40)
69
III. 等温過程（ 低温での圧縮）
低温の熱源 R2 に接触させ気体を等温圧縮させる時、外からされる仕事 W3 を求める。
A3 (P3 , V3 , T2 ) → A4 (P4 , V4 , T2 )
R
P V = 一定 = P3 V3 = P4 V4 =
T2
M
∫ V4
V3
W3 = −
P dV = RT2 ln
V4
V3
(5.41)
(5.42)
(5.43)
等温変化では、内部エネルギーは一定に保たれる。その為熱量としての変化量は、
Q3 = −W3
(5.44)
IV. 断熱圧縮
外部からの熱を遮断した状況で気体を圧縮させる。この際、温度が T2 から T1 に変わった
とする。
A4 (P4 , V4 , T2 ) → A1 (P1 , V1 , T1 )
(5.45)
W4 = Cv (T1 − T2 )
(5.46)
Q4 = 0
(5.47)
P V γ = 一定
(5.48)
これらの過程は、外部に対して仕事をしている。膨張時 （ I、II） 系は外部に正の仕事を
行い、収縮時（ III、IV）外部は系に正の仕事をする
一つのサイクルで外部にする仕事
−(W1 + W2 + W3 + W4 ) = RT1 ln
= R(T1 − T2 )ln
V2
V3
− RT2 ln
V1
V4
V2
V1
(5.49)
(5.50)
熱機関の熱効率は、順操作で吸収する熱量と外にする仕事との比、
η=
A
H
(5.51)
である。吸収する熱量のどのくらいの割合を仕事として利用したかを示す比率である。カル
ノーサイクルの効率は
T1 − T2
η=
(5.52)
T1
と高温部の温度と低温部の温度で決まる。
問３．略（ノートまたは、教科書参照）
70
第 6 章 序 II：電磁気学とは
本書の後半では、電荷と電荷間の力、電流と電流間の力や、電場や磁場について学ぶ。電
荷の周りの空間には電場が出来ていて、真空とは異なっている。また、電流の周りの空間に
は磁場が出来ていて、やはり真空とは異なっている。電場や磁場は、ある種の運動方程式に
従う。電場と磁場にかかわる分野を総称して、電磁気学と呼ばれる。電磁気学は、物理学の
柱の一つであり、様々な応用と関係して大変重要である。現代生活において、電磁気学を応
用した多くの機器や道具が、必需品となっている。これらなしには、現代の生活は成り立た
ない。驚くことに、これらの多くは比較的近年に発展したものである。特に、最近は、パソ
コン、携帯電話、インターネット等の発展は著しい。
電磁気現象の一つに、電磁波である。電磁波は電場と磁場が振動して生ずる波であり、１
９世紀末にその存在が確認された。電磁波は、真空中でも空気中でも光速度で伝播する。こ
の点、音波や、水の波のように媒質があって初めて伝搬する通常の波とは異なる。真空中を
伝搬することより、電磁波は遠隔地間の情報やエネルギーの伝達に威力を発揮する。例えば、
太陽からのエネルギーは、電磁波の一種である光により地球に運ばれている。テレビ、ラジ
オ、携帯電話等では、電磁波で情報が伝達される。電磁波には、様々な波長のものがあり、
各波長ごとに異なる名で呼ばれてい、下の図のような多様な応用に使われている。
これら多くの応用は、電磁気学の法則や原理に従ってなされる。電磁気学は、電気や電流・
磁気に伴う力や、電気や電流・磁気に伴う様々な現象を扱う学問である。力や電場や磁場は
大きさと方向とをもつベクトルである。そのため、電磁気学は、ベクトルやベクトル場、並
71
びにベクトル場の微分や積分を使うことにより、系統的に分かりやすく取り扱うことができ
る。しかし、通常の大学１年生は、これらの数学をまだ身につけていない。だから、電磁気
学をベクトルの演算（ベクトル解析）を駆使して学ぶのは、時期早尚である。この数学を学
ぶのは、通常、数年を経た大学２、３年生である。そのため、１年生のための電磁気学はベ
クトル解析を使わない。ところが、ベクトル解析を使わずに、多様で高度な物理的意味を理
解するのは、容易ではない。しかし、このような努力は、逆に大事である。もともと、ファラ
デーは、あまり数学を使うことなく、電磁気学の概念と物理を直感的に理解し、その後マッ
クスウェルが、数学を駆使して電磁気学を完成したと言える。ベクトル解析の使用を最低限
に減らして、電磁気学を理解することは可能であろう。本書は、このような大学１年生の状
況を踏まえて、電磁気学をまとめた。電磁気学の一つの特徴である多くの概念や法則が絡み
合っている全体像を包括的に理解するのに役立つことを願っている。
電磁気学での一つの問題点は、きれいにまとまっている電場や磁場の法則と、これらと相
補的である物質の電磁気的な性質とをどのように関連ずけて整理するか、である。この点
で、場と物質のバランスのおきかたは、著者によって異なるであろう。物質の話は、複雑で
難しい点を含む。そのため、大学１年生のレベルで物質に関する詳細な事柄まで扱うことは、
電磁気学の全体像の把握を妨げかねない。そのため本書は、物質の話をできるだけ少なくす
るよう努力し、電磁気学の全体的な流れを強調した。最初に述べた、電磁波の話は、最後に
なる。
72
第 7 章 電荷と電場
電荷をもつ二つの物体の間には力が働く。また、電荷をもたないで電流が流れている二つ
の物体の間にも力が働く。これらの電磁気的な力や、電磁気的な力を媒介する電場や磁場に
関連する物理学について本書の後半で、学ぶ。
自然界には、いくつかの力が存在することが知られている。その中で、万有引力や電磁気
力は、基本的な力である。基本的な力は、他の力とは独立であり、また他の力からの２次的
な効果として表わすことが出来ない。しかも他の一見異なる力を導くものである。だから基
本的な力は、重要である。すべての物体間に働く、万有引力は惑星の運動や月の運動等の大
きな物体の間の運動を決定している。万有引力については、力学の項で学習した。２番目の
基本的な力が、電磁気的な力である。電磁気的な力は、電荷や電流をもつマクロな物体の間
に働くと共に、多くの小さな物体（ミクロ）の運動や様々な物質の性質をきめる働きをして
いる。本章では、おもにマクロな物体の間の電気力や磁気力について学ぶが、ミクロな物体
の間でも、ほぼ同じ力が、働く。この力は、ミクロな物体間では、万有引力よりはるかに強
い力であり、電子と原子核の間に働くのは、この力である。さらに、物質内にあるおおくの
原子、分子間の力の源となっているのもこの力である。ミクロな物体の間では、万有引力は
無視できるほど弱い。原子は、中心にあり正電荷を帯びた原子核と外側にあり負電荷を帯び
た電子からなっている。これらの間の電気的な引力のために原子核と電子が結合した安定な
状態が原子である。このようにして、原子や原子から成る様々な物質を構成させているのが、
電磁気的な力である。
万有引力と電磁気力は、ミクロな世界からマクロな世界まで同じ性質で共通に働くが、ミ
クロな世界では電磁気力が主要な働きをし、マクロな世界では万有引力が主要な働きをして
いる。
実は、このようなことが分かったのは、２０世紀になってからである。２０世紀以前より、
マクロな物体の間に働く電気的な力や磁気的な力についてはわかっていたが、電磁気学と
して統一されたのは、１９世紀後半になってからである。マクロな世界における電磁気学を
これから学び、ミクロな世界における電磁気学は、量子論として扱うので、本書の範囲を超
える。
73
7.1
電荷間の力
二つの電荷 q1 , q2 を持つ物体間には、それらの距離の二乗に反比例して電荷の積に比例す
る大きさの力が働く。簡単な状況で先ず考察するため、この物体は大きさを持たない点電荷
であるとする。この力の方向は、両物体を結ぶ方向であり、同符号の二つの電荷間では両物
体を引き離す斥力が働き、異符号の二つの電荷では両物体を引きよせる引力が働く。電荷間
の力のベクトルは、
q1 q2 1
F⃗ =
⃗er
4πϵ0 r2
(7.1)
である。ここで、比例係数にある ϵ0 は、真空中の誘電率であり、大きさは力や電荷の単位に
よって決まる。r は両電荷の間の距離、⃗er は両電荷を結ぶ方向の単位ベクトルである。これ
を、クーロンの法則といい、この力をクーロン力という。クーロン力は以下にあげるような
特徴的な性質をもつ。
1. 力が物体の詳細な性質に無関係で、電荷だけで決定されている。
2. 長距離でも短距離でも働く力であり、力の到達距離は無限である。
3. 上記の事柄を反映して、クーロン力はミクロな物体間でもマクロな物体間にも共通に
働く。
4. 力の大きさのオーダーは電子と陽子が 1cm 離れたとき 2.3 × 10−24 N である。
二つの荷電物体の運動から、荷電物体間に力 (7.1) が働いていることが確認される。電荷間
の力が、物質によらずに上にあげた普遍的な性質を持っていることは、 非常に重要なこと
である。この力が存在することは、物質とは無関係な電荷の性質や電荷間の力の性質として
理解される。
7.2
電場と電気力線
電荷間の力は普遍的な性質もつ。これは、力が電場によって働くと考える近接作用論で理
解できる。近接作用論では、一つの電荷が周りの空間に電場を作り、この電場が他の電荷に
力を及ぼす。電荷間に働く力は、物質とは異なる電場を媒介にし、電場により生成される。
原点に電荷 Q がある時の座標 ⃗r における電場は、
⃗ = Q 1 ⃗er
E
4πϵ0 r2
74
(7.2)
である。また、電場中でこの座標 ⃗r にある電荷 q が受ける力は、電荷に比例すると共に電場
(7.2) に比例した、
⃗ = q Q 1 ⃗er
F⃗ = q E
4πϵ0 r2
(7.3)
⃗ が電場 E
⃗ と一致する。つまり、電場とは、単位電荷
である。上の式で q = 1 とすると力 F
q = 1 に働く力のことである。
⃗ が決まり、また ⃗r を変
電場ベクトルは空間座標 ⃗r の関数であり、⃗r を決めるとベクトル E
⃗ も変わる。ただし、力と電場の関係式は、いつも同じであり、
えると E
⃗
F⃗ = q E
(7.4)
と表わせる。複雑な電場の場合でも、この形は同じである。だからある場所における電場が
分かれば、この場所に置かれた電荷が受ける力は上の式で決定される。このように、空間座
標の関数である電場ベクトルが、大事な働きをしている。電場ベクトルのように、空間の各
点で定義されたベクトルの全体を、ベクトル場という。
電場ベクトルの全体を鳥瞰的に表わすものが、電気力線である。電気力線は、空間の各点
における電場ベクトルを連続的につないだ曲線である。だから、空間の各点での電場の方向
は電気力線の接戦方向である。また電気力線に垂直な面を横切る電気力線の総数は、電場の
強さに比例する。電気力線に垂直ではない面を横切る電気力線の数は、面における法線方向
の電気力線の数であり、電場ベクトルの面積分
∫
⃗ ·E
⃗
dS
(7.5)
で与えられる。ここで、面要素は、面における法線方向の単位ベクトル ⃗n と面の微小な大き
さ dS の積
⃗ = ⃗ndS
dS
(7.6)
である。
例１ 点電荷からの電気力線
点電荷が作る電場は Eq.(7.2) で与えられる。これが、距離の２乗に反比例する大きさであ
75
るため、点電荷を中心とする半径 R の球面を横切る電気力線の総数は、
∫
F lux =
⃗ ·E
⃗
dS
(7.7)
Q ∫
1
4πR2 dΩ 2
4πϵ0
R
Q
=
ϵ0
=
となり、半径によらない電荷だけで決まる大きさである。電荷から外に出てゆく、電気力線
の総数は、電荷のない領域で変化しない。この性質は、電荷間の力が距離の２乗に反比例す
ることに起因している。またこの性質より、電気力線は、連続的に伸びたり曲がったりする
が、分岐はしないことを意味する。
つまり、電気力線の方向は電場の方向を表わし、電気力線の疎密の度合いは、電場の強さ
をあらわしている。電気力線が密に詰まっている領域は、電場が強く、逆に疎に詰まってい
る領域は電場は弱い。
例２
二つの同じ符号の点電荷がある系で、電気力線はそれぞれの作る電場を重ねて、図のよう
になる。
Fig. 7.1: クーロン力.
例３
二つの異なる符号の点電荷では、電気力線は図のようになる。
以上の例からわかるように、電気力線は電荷がないところでは分岐せず連続につながって
いる。また、電気力線は一様であるわけではなく、密に分布する空間領域と力線が疎に分布
する空間領域がある。これらの相違は、後で述べる電場のエネルギーや、電荷間の力に関連
する。
76
Fig. 7.2: クーロン力.
面積分
積分は、微分の逆演算である。一変数では、
∫
x
F (x) =
dx′ f (x′ )
(7.8)
x0
とおくと、F (x) はｘ−軸と関数との間の部分の面積であり、逆に
d
F (x) = f (x)
dx
(7.9)
である。変数が x, y の２つあるとき、２変数の積分
Fig. 7.3: 積分.
∫
∫
x2
G=
y2
dx
x1
dyf (x, y)
(7.10)
y1
は、関数 f (x, y) を長方形の領域 x1 ≤ x ≤ x2 , y1 ≤ y ≤ y2 でたしあわせたものである。この
領域は、図の長方形の内部である。このように多変数の積分では、積分領域は重要である。
Fig. 7.4: 積分.
この２次元積分は、３次元空間での一つの面積分であるとみなせる。積分領域は、３次元
空間における立方体 x1 ≤ x ≤ x2 , y1 ≤ y ≤ y2 , z1 ≤ z ≤ z2 の底面である。すると、この底面
上での関数 f3 (x, y, z) の面積分は
∫
面
f3 (x, y, z)dS
dS = dxdy
77
(7.11)
である。ただし、面は
z = 0, x1 ≤ x ≤ x2 , y1 ≤ y ≤ y2
(7.12)
で定義される。また、この被積分関数は、ベクトル関数 f⃗ = (f1 (x, y, z), f2 (x, y, z), f3 (x, y, z))
⃗ = dS⃗n との内積
と面要素と面に垂直な方向ベクトルの積 dS
f⃗ · ⃗ndS = f3 dxdy
(7.13)
に一致する。この場合の積分は、３次元空間における立方体の底面にそう面積分である。次
に、面積分を立方体の面をすべて覆うように拡張することは、簡単である。面要素ベクトル
⃗ は、各面における法線ベクトルと面要素の積になり、yz 面での面要素は
dS
dSx = dydz
(7.14)
dSy = dzdx
(7.15)
dSz = dxdy
(7.16)
zx 面での面要素は
xy 面での面要素は
である。立方体の表面での面積分は、上面、底面、左面、右面、手前面、奥面の６個の面に
そう積分の和
∫ ∫
表面
⃗ · f⃗ =
dS
∑∫ ∫
i
面i
⃗ · f⃗
dS
(7.17)
であり、
∫ ∫
表面
∫ ∫
+
⃗ · f⃗ =
dS
∫ ∫
dxdy(f (x, y, z2 ) − f (x, y, z1 )) +
dzdx(f (x, y2 , z) − f (x, y1 , z))
∫ ∫
dydz(f (x2 , y, z) − f (x1 , y, z))
(7.18)
となる。同様に、任意な面のうえでの面積分を定義できる。ベクトル場の発散の体積積分が、
ベクトル場の面積分に一致するガウスの定理（付録参照、）が成立する。
Fig. 7.5: 積分.
78
球面上の積分
半径Ｒの球面 r = R 上での面要素は、法線方向を向き
⃗ = dS⃗n
dS
⃗n = ⃗nr =
(7.19)
⃗r
r
である。動径方向を向いた電場の球面上の面積分は、
∫ ∫
r=R
⃗ · dS
⃗=
E
∫ ∫
r=R
⃗ · ⃗r/RR2 dΩ
E
= E(R)4πR2
(7.20)
(7.21)
となる。
7.2.1
電場の重ね合わせ
複数の電荷 q1 , q2 , · · · qn が位置 ⃗x1 , ⃗x2 , · · · , ⃗xn にあるとき、それぞれの電荷が作る電場を重
ね合わせて、
⃗ =
E
∑
⃗l
E
(7.22)
l
1
⃗ l = ql
E
⃗n(⃗r − ⃗rl )
4πϵ0 |⃗r − ⃗rl |2
⃗r − ⃗rl
⃗n(⃗r − ⃗rl ) =
|⃗r − ⃗rl |
(7.23)
(7.24)
となる。複数の力は、各力ベクトルの和で合成される。電場は、電荷に働く力から決まるの
で、電場の合成則は、力の合成則に一致する。この様に、それぞれの電荷が作る電場ベクト
ルを合成した電場ベクトルが、複数の電荷があるときの電場ベクトルになることを、電場は
重ね合せの原理に従うという。重ね合わせの原理は、場や力だけでなく、波動現象で成立し
ている。
例１
二つの異符号の電荷が、距離 2d 離れて置かれている。これらの位置を
+q1 ; ⃗x = ⃗x1 = (0, 0, d)
(7.25)
−q1 ; ⃗x = ⃗x2 = (0, 0, −d)
(7.26)
とすると、それぞれの電荷が作る場の和は
⃗ = ql ( ⃗r − ⃗x1 − ⃗r − ⃗x2
E
4πϵ0 |⃗r − ⃗xl |3 |⃗r − ⃗x2 |3
79
(7.27)
となる。いま、r ≫ d とし、また ⃗r とｚ軸の角度を θ とする。このとき、
|⃗r − ⃗xl |2 = r2 + d2 − 2rd cos θ
2d
= r2 (1 −
cos θ)
r
|⃗r − ⃗x2 |2 = r2 + d2 + 2rd cos θ
2d
cos θ)
= r2 (1 +
r
(7.28)
(7.29)
(7.30)
(7.31)
となるので、電場は
⃗r − ⃗x1
⃗r − ⃗x2
⃗ = ql (
E
−
2d
4πϵ0 r3 (1 + r cos θ)3/2 r3 (1 + 2d
cos θ)3/2
r
6d
ql ⃗x2 − ⃗x1
(
− ⃗r 4 cos θ)
=
3
4πϵ0
r
r
(7.32)
となり、r3 に反比例する大きさをもつ。
Fig. 7.6: 積分.
7.2.2
電荷分布による電場
沢山の電荷がある時、各電荷による電場の和
⃗ =
E
∑
l
ql 1
⃗n(⃗r − ⃗rl )
4πϵ0 r2
(7.33)
が、実現している電場である。今までは、電荷は点電荷であるとみなしていた。これらが点
電荷ではなく、電荷が連続的に分布する場合、電場は上の級数の代りに積分で表わされる。
∑
ql →
l
⃗ →
E
∫
∫
d⃗y
d⃗y ρ(⃗y )
(7.34)
1
⃗r − ⃗y
ρ(⃗y )
4πϵ0 |⃗r − ⃗y |2 |⃗r − ⃗y |
(7.35)
80
連続的に分布する電荷 ρ(⃗y ) から、任意な空間領域 D 内における電荷 Q(D) が、積分
∫
d⃗y ρ(⃗y ) = Q(D)
(7.36)
D
で与えられる。
球内で一様に分布する電荷
電荷分布が球対称な
ρ = ρ0 , r ≤ R
(7.37)
ρ = 0, R ≤ r
(7.38)
であるとき、電場は動径方向を向く。その大きさは、
1
4π 3 1 ρ0
=
rρ0 , r ≤ R
r
2
3 4πr ϵ0
3ϵ0
4π 3 1 ρ0
Q
Er =
R
=
, 0, R ≤ r
2
3
4πr ϵ0
4πϵ0 r2
Er =
(7.39)
(7.40)
である。ただし、全電荷 Q は、電荷密度 ρ0 と球の体積で
Q=
4π 3
R ρ0
3
(7.41)
と表せる。この電場は、動径座標 r の、図のような関数である。
7.2.3
ガウスの定理
点電荷が作る電場は、クーロンの法則で決定され、点電荷を中心とする球面をきる電気力
線の総数は、(7.7) で計算され、曲面の内部にある総電荷に比例する。このように、電気力線
は、電荷を源とし、電荷量に比例した本数をもち、また電荷のない領域では連続である。こ
れより、閉曲面をきる電気力線の総数は、曲面の内部にある総電荷に比例する。これを、ガ
ウスの定理という。
内部に電荷をもつ小さな立方体でも、電気力線の総数は同じである。これを見るには、小
さな立方体に内接する球面と、外接する球面を考えればよい。両球面を横切る電気力線は同
81
じ値である。だから、小さな極限での立方体についても、同じ値になることがわかる。つま
り、小さな立方体の面をきる電気力線の総数は、内部の電荷に比例する。
Fig. 7.7: 積分.
電荷がない空間領域では、電気力線が連続的になる。電気力線は、途中で切れることはな
い。空間に任意に作る閉じた曲面をきる電気力線の総数はいつも零である。すなわち、閉球
面に入る総数と閉球面から出る総数は等しい。
Fig. 7.8: 管状の電気力線.
小さな立方体を積み上げて、任意の形を再現することが可能である。だから、任意な形に
対して、ガウスの定理が成立する。
7.3
電位と電場
⃗ は、テストのための電荷 q に働く力 F⃗ が F⃗ = q E
⃗ となることより、決まった。ま
電場 E
た、電場ベクトルをつなげて、電気力線が定義された。だから、電気力線がある場所におか
れた電荷には、電気力線の方向に力が働く。
ところで、保存力は位置エネルギーを表わすポテンシャルによって記述され、ポテンシャ
⃗ はポテンシャル U の勾配として、
ルは、力がする仕事に依って定義される。保存力では、力 F
F⃗ = −∇U (⃗r)
(7.42)
と書かれた。ポテンシャルを使い、保存力のもとでのエネルギー保存則が導かれた。
原点にある点電荷による電場は、一つの関数の勾配で
⃗ = −∇U, U = Q 1
E
4πϵ0 r
(7.43)
と保存力と同じ形式で書かれる。さらに、一般の電荷分布 ρ(⃗x) による電場も、
⃗ = −∇U, U =
E
∫
d⃗y
82
ρ(⃗y ) 1
4πϵ0 |⃗r − ⃗y |
(7.44)
と保存力と同じ形式で書かれる。つまり、電場は保存力と同じ形式で書かれる。
保存力のポテンシャル U は、力がする仕事から定義される。同様に、電場がするしごとに
よってポテンシャル（電位）U が定義される。ある場所における電気力線は、その場所にお
ける力の方向を表わすため、電気力線に沿って電荷を移動させるときの仕事量は、終状態に
おける電位から終状態における電位を差し引いたものである。また、電気力線に直交する方
向に電荷を動かすのに力はいらない。だからこれに要する仕事は零であり、この方向では、
電位は等しい。等しい電位を持つ点の集まりは等電位面である。勿論、等電位面は、電気力
線に直交する。
例１ 点電荷による電位
原点に点電荷 Q があるときの電位 V は、
V =
Q 1
4πϵ0 r
(7.45)
である。だから、V = 一定 となる等電位面は、
r=R
(7.46)
となり半径 R の球面である。球面上では、電位は等しく、電場は球面の接平面に直交する法
線方向を向いている、球面では、法線方向は動径方向に一致する。
例 2 複数の点電荷による電位
位置 ⃗xi , i = 1, N に点電荷 Qi , i = 1, N があるときの電位 V は、
V (⃗r) =
∑ Qi
i
1
4πϵ0 |⃗r − ⃗ri |
(7.47)
である。V = 一定 となる等電位面は、
V (⃗r) = C
(7.48)
となる ⃗r が作る面である。この面のうえでは、電位は等しく、電場は面の接平面に直交する
法線方向をむいている。
83
特に、±Q の電荷対が、位置 ⃗r = ±(0, 0, a) にあるとき、電位は図のようになる。
例 3 コンデンサー（キャパシター）
平面導体を平行に間隔 d で２枚並べたものをコンデンサーという。コンデンサーの断面積
Fig. 7.9: コンデンサー.
を S 、間隔を d、とすると、ガウスの定理から、
ES = ϵ0 Q
(7.49)
である。また、電場にその方向の距離をかけたものが電圧であるので、
V = Ed
(7.50)
VS
= ϵ0 Q
d
(7.51)
となり、これらをまとめて
がえられ、コンデンサーの容量は C = ϵ0 Sd である。逆に、コンデンサーの電圧が V である
とき、コンデンサーには、Q = CV となる電荷 Q が蓄えられている。
7.4
電場のエネルギー
⃗ x) がある空間領域は、電場がない領域とは、異なる性質を持つ。電場の特徴の一
電場 E(⃗
つは、エネルギーをもっていることであり、場のエネルギーは、電気力線から把握できる。
電荷間に働く力を、電気力線や電場のエネルギーから理解しよう。
異符号の二つの電荷がある場合の電気力線は、電荷間の空間領域で図のようになる。電荷
間の距離が大きい場合と、小さい場合で、電気力線は大きく異なる。電気力線がある空間領
84
域は、電荷間の距離が大きいほど広くなるが、電気力線は疎である。電気力線が密になると
ころでは、電場が強く、また電気力線が疎になるところでは、電場が弱い。
一方、同符号の二つの電荷がある場合の電気力線は、電荷間の空間領域で図のようになる。
今度は電荷間の距離が大きい場合と、小さい場合での電気力線の違いは、前者とは、異な
る。特に、電荷間の領域の電気力線は、電荷間の距離が小さいほど密になる。これらの図の
様子から、電気力線はより短く収縮する傾向を持つと考えると、異符号電荷間の力が引力で
あり、同符号電荷間の力が斥力であることが直感的に理解出来る。この性質は、ばねの性質
と同じである．ばねでは、弾性エネルギーは、変位の２乗に比例している。だから、この電
気力線の傾向は、電場の強さが電場のエネルギーと関連することを示唆する。また、電場が
保存力と同じ性質を持つことは、電場の物理系が、保存系であることを示唆する。
以上の電荷間の力の性質を総合すると、電場の強さの二乗が電場のエネルギーに比例する
と思われる。
電場が、エネルギーを持つ考えは、場を通して電荷間の力が働くとする、近接作用の考え
と合致する自然な考えであり、
∫
場のエネルギー＝
ϵ⃗ 2
d⃗x E(⃗
x)
2
(7.52)
とすると、多くのことが理解できる。
7.4.1
コンデンサーに蓄えられるエネルギー
コンデンサーの内部にできた電場が持つエネルギーを計算しよう。いま面積 S 間隔 d 容量
C = ϵ0 Sd のコンデンサーを考える。コンデンサーの電圧が V であるとき、コンデンサーに
は、Q = CV となる電荷 Q が蓄えられている。さらに電荷 δQ を加えるのに必要なエネル
ギーは、
δE = V δQ =
85
1
QδQ
C
(7.53)
である。これより、コンデンサーに電荷を蓄えるためのエネルギーの総和 W は、総電荷が
零である状態から電荷が Q である状態までに必要とする仕事であり、
∫
W =
V dQ′ =
1
C
∫
Q
dQ′ Q′ =
0
1 2
Q
2C
(7.54)
である。一方コンデンサー内の空間の電場の強さ E は、
E=
V
Q
=
d
dC
(7.55)
であり、電場のエネルギーは、
∫
ϵ0
ϵ0
ϵ0
Q2
1
d⃗x E 2 = dSE 2 = dS 2 2 ＝ Q2
2
2
2
dC
2C
(7.56)
となる。コンデンサーに電荷を蓄えるためになされた仕事 (7.54) は電場が持つエネルギー
(7.56) に一致している。だから、電場が、エネルギーを蓄えているといえる。
7.4.2
電位と電場のエネルギー
コンデンサーで行ったエネルギーの考察を、ベクトル解析の方法を使い一般化しよう。ベ
クトル解析の手法に熟知していない読者は、この節を省略してよい。
電位 V (⃗x) の持つ空間で電荷密度 δρ(⃗x) を蓄えるための仕事（ エネルギー）δW は、
∫
δW =
d⃗xδρ(⃗x)V (⃗x)
(7.57)
⃗ とあらわして
である。ここで、電荷密度 δρ(⃗x) を、電場で ϵ0 ∇E
∫
⃗ x)V (⃗x)
d⃗xϵ0 ∇ · δ E(⃗
δW =
(7.58)
となる。次に、部分積分により空間微分を移行して、
δW = −
∫
⃗ · ∇V (⃗x)
d⃗xϵ0 δ E
(7.59)
⃗ = −∇V ([⃗x]) とあらわして、
と書き換え、最後に電場を電位で E
∫
δW =
⃗ ·E
⃗
d⃗xϵ0 δ E
⃗ = −∇V (⃗x)
E
(7.60)
(7.61)
⃗ とその微小な変化量 δ E
⃗ の積の積分であらわされ
と微小な仕事（エネルギー）δW が、電場 E
⃗ まで積分して、有限の電場にするまでの全仕事（エネルギー）が
る。最後に、電場を ⃗0 から E
1 ∫
⃗2
W = ϵ0 d⃗xE
2
(7.62)
(7.63)
86
となる。
真空に有限な電場を形成するために費やされる仕事は電場が持っているエネルギーである。
だから、電場が、エネルギーを蓄えているといえる。電場の２乗の空間積分がエネルギーに
なるので、電場の二乗はエネルギー密度である。力学で、変位の二乗に比例するエネルギー
を持つのは、単振動やばねの運動に代表される弾性体である。弾性体は、変位に比例する引
力をもち、変位を小さくさせようとする。電場が同じエネルギーを持つことは、電場や電気
力線が収縮しようとする性質を持つことを意味する。だから、二つの同符号の電荷が作る電
気力線の全体の様子から、これらに斥力が働き、また異符号の電荷が作る電気力線の全体の
様子から、引力が働くことが分かる。後で述べる、磁力線でも同じことが起きている。
7.5
絶縁体と導体
ここで、電気的な性質の違いに着目して物質を簡単にまとめておこう。物質は、力とは異
なり極めて多様である。いかなる物質が自然界にあり、またそれらがどのような性質を持つ
のか、等の物質に関する諸問題は、電気的な力や、次に述べる磁気的な力と密接に関連する
事柄である。物質の諸性質は、本来、電磁気的な力から導かれるが、ここではこの点には言
及しない。また、電磁気現象の観測は、物質を通して初めて可能となる。そのため、物質に
ついての理解を持つことは、電磁気学の理解を深めるために、必須である。
物質は、電気や電場に対する反応の仕方から、いくつかの異なる種類に分類される。電場
に対する応答に基づいて、導体と絶縁体に分かれる。導体は、内部に自由に動ける電荷をも
つ物質であり、絶縁体は、内部に自由に動ける電荷をもたない。
孤立した導体を先ず考えよう。この導体に外部から電圧をかけると、内部に電場が生じる。
この内部電場のために、導体内部にある自由に動ける電荷は移動する。この際、電荷の移動
により電流が流れる。電流が流れた結果、導体の内部の電荷分布に不均衡が生じ、内部の電
場が変化する。最終的に、内部の電場が消失すると、電流も零になる。次に孤立していない
Fig. 7.10: 導体内の電場.
で、導体に外部から電流を供給できるようにしておく。この場合孤立した導体とは異なり、
外部から電流が供給されるので、内部で電流が流れても内部の電荷分布に変化はおきない。
そのため、内部の電場がそのまま残る。だから、外部から供給される電流がある限り、電流
は流れ続ける。この電流を、定常電流という。この場合、抵抗のため、外部から流す電流に
依存した大きさの電圧降下が、導体の両端に生ずる。定常的に電流が流れる場合、導体内部
87
Fig. 7.11: 導体内の電流.
を流れる電流 I と、導体の両端にかかる電圧 V は、通常比例する。
また、逆に自由に動くことが出来る電荷を持たない物体である絶縁体では、外部電場をか
けても電荷の移動は起きない。そのため、内部を定常的な電流が流れることもない。しかし、
外部電場により絶縁体の内部にも電場が生じる。そのため、絶縁体では電流は流れないが、
内部の原子や分子の電荷分布に偏りが生じることが多い。この電荷分布の偏りのため、絶縁
体の内部の電場は外部とは異なる電場になることが多い。
7.6
絶縁体と電場
すべての物質は、電子と原子核からなる原子から構成されている。原子の構成要素である
電子は軽く負の電荷をおび、原子核は重く正電荷をおびている。このため、これらの間には
電気的なクーロンの引力が働く。電気的な引力のために、電子が、原子核に束縛されたのが
原子である。原子の大きさは、おおよそ 10−10 m 程度であり、きわめて小さい。すべての物
質は、このように小さい原子が沢山集まって、できている。絶縁体では、この原子に束縛さ
れていた電子は、やはり各原子か各分子に束縛されたままである。このような、電子は束縛
されているので、電場の下に置かれても動かないし、外部から他の電子が入ろうとしても、
入れない。そのため、絶縁体である。
絶縁体内部で各原子は、電気的に中性になっているが、電荷分布は一様ではなく偏りがあ
る。だから、電気２重極となっている。また、この電気的なかたよりは、電場の下では、増幅
されることも多い。その結果、このような絶縁体に外部電場が加えられると、電場に電気２
重極からの寄与が加わる。電場のエネルギーは、これら両方のエネルギーの和となる。２重
88
⃗ (⃗x) の発散は電場に、負の電荷密度と同じ効果を引き起こすので、
極モーメントの空間密度 P
⃗ = ρ − ∇P⃗
ϵ0 ∇E
(7.64)
⃗ x) を導入して、
となる。ここで、電場と２重極モーメントの和から定義される電束密度 D(⃗
⃗ x) = ρ(⃗x)
∇D(⃗
⃗ = ϵ0 E
⃗ + P⃗
D
(7.65)
(7.66)
⃗ はE
⃗ に比例するので、
となる。通常の物質では、P
⃗
P⃗ = κϵ0 E
(7.67)
⃗ は、物質中の誘電率 ϵ を比例係数として、電場 E(⃗
⃗ x) に比例した
となり、電束密度 D
⃗ = ϵE,
⃗ ϵ = (1 + κ)ϵ0
D
(7.68)
と書かれる。電束密度の発散は、電荷に比例する。誘電率 ϵ 中での電場のエネルギーは、
W =
1∫
⃗ x) · E(⃗
⃗ x), D
⃗ = ϵE
⃗
d⃗xD(⃗
2
(7.69)
である。この式で、ϵ = ϵ0 とおけば真空中のエネルギーとなる。
誘電体とコンデンサーのエネルギー
7.7
導体と電流
金属の内部では、電荷が自由に移動できる。孤立した原子の内部にある各電子は、原子に
束縛されている。それにもかかわらず、たくさんの原子が集まってできた金属では、一部の
電子は各原子核の束縛からは自由となり、金属内部の全体に広がる。このような電子が沢山
あれば、導体は電子からなるガスのようにふるまう。自由に動ける電子数が多いほど、大き
な電流が流れる。
7.7.1
電流のする仕事
金属内で電場があるところでは、電子は電場からの力で簡単に移動し、また外部から電流
を流すと、内部の電子が一緒に運動する。このようにして、金属は電気が流れる導体である。
導体内の全電流 I は、各断面における電流密度 ⃗j(⃗x) の面に垂直方向の成分から、
∫
I=
⃗ · ⃗j(⃗x)
dS
89
(7.70)
と積分したものである。
定常的に流れる導体内の電流は、時間変化しないで一定の値をもつ。導体を流れる定常的
な電流を I とし、導体の端にかかる電圧を V とする。位置 ⃗r1 から位置 ⃗r2 までの電圧は、電
場の線積分
∫
⃗
r2
V =
⃗
r1
⃗
d⃗l · E
(7.71)
である。
通常の金属では、電圧 V は、電流 I に比例して、
V = RI
(7.72)
なる関係が成り立つ。ここで、R は電気抵抗である。この比例関係が成り立つことを、オー
ムの法則という。電気抵抗は、物質によって異なり、また同じ物体でも温度で変わる。低温
における金属では、電気抵抗が零になる超伝導が生じる。
また、⃗r1 から ⃗r2 までの線積分 (7.71) の電場は、通常の金属ではその場所における電流密
度に比例している。この比例定数は電気伝導度 σ で、ベクトルの関係式
⃗ x)
⃗j(⃗x) = σ E(⃗
(7.73)
が成立している。
ところで、電荷 q を電位差が V である２点間を移動させた時に、費やされる仕事 W は、
W = qV
(7.74)
である。電流は、単位時間あたりに面を横切る電気量であるので、dt の時間の間に移動する
電荷は、
δQ = dtI
(7.75)
δW = V δQ = V Idt
(7.76)
であり、仕事は
90
である。オームの法則が成り立つ場合、この仕事は、電流と抵抗で
δW = RI 2 dt
(7.77)
となる。また、電圧と抵抗を使う場合は、
δW =
V2
dt
R
(7.78)
である。二つの式 (7.77)、(7.78) は等価な式であるが、片方は抵抗に比例して、他方は抵抗
に逆比例する。この違いは、電流を一定にした時の仕事の抵抗依存性が、式 (7.77) であり 電圧を一定にした時の仕事の抵抗依存性 (7.78) とは、逆になることを意味する。どの変数を
決めて測定を行うのか、で答えは異なる。
7.7.2
電荷の保存と保存電流
電荷は、必ず保存している。つまり、電荷は移動するが消失したり生成したりしない。こ
の関係は、電荷密度 ρ(x) と電流密度 ⃗j(x) の間の連続の式
∂
ρ(x) + ∇⃗j(x) = 0
∂t
(7.79)
で表される。電荷密度が時間的に変化しない時、
∂
ρ(x) = 0
∂t
(7.80)
∇⃗j(x) = 0
(7.81)
となり、電流は連続の式
を満たしている。これより、閉局面に対してガウスの定理を適用して、
∫
⃗ · ⃗j = 0
dS
となることが分かる。電流は、必ず保存している。
Fig. 7.12: 電荷保存.
91
(7.82)
7.8
電荷の最小単位
物質の電荷は、連続的な値をとるとむかし思われていた。しかし、２０世紀初頭ミリカン
によって電荷は、とびとびの不連続な値をとる事が、実験的に確認された。物質がもつ電荷
の最小単位は、電子の電荷の大きさ e に等しく、陽子の電荷の大きさも同じである。整数個
N の電子は電荷 −N e をもち、同じ数の陽子といくつかの中性子の電荷は N e である。だか
ら、原子の電荷は、原子核の電荷と電子の電荷の総和であり、零となる。また、電子の数が
これより多いならば負電荷を帯びたイオンになり、逆に少ないならば正電荷を帯びたイオン
になる。だから、いかなる物体も同様な電荷をもち、零電荷、正電荷 ne または、負電荷 −me
をもち、中間の電荷をもつ物質は見つかっていない。
電荷がとびとびであり、連続的であるわけではないことは、物質が安定に保たれるために
極めて重要である。もしも、連続的な正電荷をもつ原子核と、連続的な負電荷をもつ電子が、
構成要素であるならば、原子核と電子からの束縛状態も、連続的に異なる状態が存在出来る
ことになる。すると、どんな状態に対しても、この状態に限りなく近い別の状態が必ず存在
してしまう。すると、状態は、不安定になる。実際には、電荷の不連続性のために状態の安
定性が保証され、我々の安定な世界が実現している。
自然界の構成要素である素粒子には、現在、いくつか知られている。これら素粒子の電荷
もとびとびの値をとる点で、上と同様であるが、少しおかしなことも、起きている。物質と
分類される素粒子は、電子に近い性質をもつ仲間である、電子、ミュー粒子、タウ粒子の３
種の荷電レプトン、これらに付随する３種のニュートリノ、と全体で６個のクオーク、それ
から力を媒介にする働きをもつ素粒子として、光、弱ボソン、グルーオンがあり、それから
ヒッグス粒子がある。これらを電荷の大きさで分類すると、
電荷
0
± 13 , 23 e
±e
素粒子の電荷
素粒子
ニュートリノ、光、グルーオン、ヒッグス
クオーク
電子、ミュー、タウ、荷電弱ボソン
クオークは、 13 e と 32 e の電荷をもつ点で、他の素粒子と異なる。しかしながら、クオーク
が単独で存在することはなく、いつも整数電荷をもつ束縛状態を形成している。このため、
単独で存在出来るのは、やはり整数電荷をもつ粒子である。
92
7.8.1
ミリカンの実験
ミリカンは、空気中での油滴の落下速度を、電場をかけた時とかけない時で測定すること
より、電場による力の大きさしらべ、その結果から油滴が持つ電荷を測定した。電荷が４ケ
タの精度で単位電荷の整数倍のとびとびの値を取ることを見つけた（１９１１）。
油滴には重力、浮力、空気の抵抗、電場からの力が働く。そのため、運動方程式は、
d2
x(t) = mg − 浮力 − cv − eE
dt2
x(t) : 時刻ｔにおける油滴の高さ、ｍ：質量、ｇ：重力加速度、
m
(7.83)
ｃ：空気の抵抗係数、e：電荷、E：電場
(7.84)
である。ここで、抵抗係数 c を半径 a と空気内部摩擦係数 η で表わすストークスの定理から、
c = 6πηa, η : 空気の内部摩擦係数、a：油滴の半径
(7.85)
となり、また、油滴の質量や浮力を油滴の密度 σ と空気の密度 ρ で表わし
m=
4π 3
4π 3
a (σ), 浮力 =
a (ρ)g
3
3
(7.86)
となる。
ところで、速度に比例する抵抗を受けた運動は、力が釣り合った時一定の速度のまま保た
れる。この空気中における終速度は
mg − 浮力 − cv終 − eE = 0
(7.87)
から得られ、
v=
mg − 浮力 − eE
c
(7.88)
となる。一定の速度は、あるきまった間隔を通過する経過時間から測定出来る。だから、終
速度を高精度で決めることは、比較的やさしい。ミリカンは、ここに目をつけたわけである。
93
E ＝０での終速度の値 v終 から、半径 a が
a = 3(
ηv終
)1/2
2(σ − ρ)g
(7.89)
と表わせる。
一方、有限な E での終速度 v終、E と E ＝０での終速度 v終、0 組み合わせることにより、電
荷が
6πηa
(v終 − v終、E )
E
√
v 1/2 η 3/2
= 9 2π
(v終 − v終、Ｅ )
E(σ − ρ)1/2 g 1/2
e=
(7.90)
(7.91)
と表わせる。だから、終速度をいくつかの電場で測定すれば、電荷が分かる。
実は、油滴が小さい時は、ストークスの定理 (7.85) は厳密に成立するわけではない。抵抗
係数には、半径や平均自由行程に関係した補正項を加えて修正した式
6πηav
, λ = 平均自由行程
1 + A λa
B
λ = , p = 圧力
pa
F =
(7.92)
(7.93)
を使う必要がある。平均自由行程が、圧力に反比例する事を使い、ミリカンは空気の圧力を
様々に変えて実験を行い、補正項の大きさを正確に見積もった。補正項を考慮して、最終的
にとびとびの電荷という正しい結果を得た。もしもこの修正をしないと、電荷は連続に分布
するように見えてしまい、正しい結果は得られない。
94
7.9
問題
1. 原子核と電子間の力
原子核は、正の電荷をもち電子は負の電荷を持つ。電子の電荷を −e とすると、
e = 1.6 × 10−19
(7.94)
クーロンである。電子が、水素原子の原子核である陽子と１オングストローム 1 −−10 m 離
れているとき働く力の大きさはいくらか？また、１モルの陽子と１モルの電子が、１メート
ル離れているときの力はいくらか？
2. 摩擦電気
物体を摩擦すると、帯電する物質がある。例えば、ガラスを摩擦すると負に帯電し、エボ
ナイトを摩擦すると正に帯電する。この現象は、摩擦により物質の電子が移動するためで
ある。
（２−１）1cm3 の氷の質量を１グラムとして、水素原子と酸素原子はそれぞれ何個含ま
れているか？また、電子の総数はいくつか？
（２−２）氷では水分子が、立方体格子上に規則的に並んでいると仮定する。この格子の
間隔は、いくつか？また、1cm3 の氷の表面には、水分子や電子はいくつあるか？
（２−３）もしも、摩擦により 1cm3 の氷の表面から、 1/100 の電子が移行したとする。
この、氷が１ｃｍ (1m) 離れている時、働く力を求めよ。
3. 金属内の静電場
金属の内部に +Q の電荷が置かれた。この時、電荷の周囲にある電子の運動を考察せよ。
十分に時間が経過して電子に働く力が零になれば、電子の運動はなくなる。この状況では、
金属の内部では電位が一定になることを示せ。
4. 金属表面における静電場と電気力線
金属の内部では、電位が一定である。このことを使い、金属の平面上の表面や、でこぼこ
をした表面近傍における電場や電位を議論せよ。
5. 電流がする仕事
大きさ I の電流が、電圧差 V の間を流れるときの、単位時間当たりに消費する仕事を求め
よ。次に、一定の抵抗 R の物体中を電流が流れている。電流 I を一定にした場合と、電圧 V
を一定にした場合のそれぞれで、消費する仕事（エネルギー）を計算せよ。
6. 電流と抵抗をもつ回路
値が、R1 と R2 である二つの抵抗を、直列に接続した時の全抵抗と並列に接続した時の全
抵抗を求めよ。次に、電圧 V を両端にかけた時の電流と電流がする仕事をそれぞれの場合に
計算せよ。次に、全電流を一定の値 I にした場合に同じ計算をせよ。消費するエネルギーが
少ないのは、どちらか？また、片方の抵抗 R2 が零であれば、どうなるか？
7. 金属球殻の内部にある電荷と電場
95
半径 R1 と半径 R2 の間の金属球殻に一様な電荷密度で、電荷が分布している。ガウスの定
理を使い、r ≤ R1 R1 ≤ r ≤ R2 R2 ≤ r の３領域における電場を求めよ。
8. 電荷分布と電場や電位
電荷分布 ρ(r) が r のいかなる関数であれば、中心方向を向いた電場 Er (r) は一様なものと
なるか？
9. 誘電体とコンデンサー
コンデンサーの内部を誘電率 ϵ の液体でみたした。この場合の、コンデンサーがもつエネ
ルギーは、どのようになるか？
96
7.9.1
解答
1. 原子核と電子間の力
陽子の正電荷も電子の負電荷も同じ大きさであり、電荷の大きさ e、
e = 1.6 × 10−19
(7.95)
クーロンである。電子が、陽子と１オングストローム 10−10 m と 1 メートル離れているとき
働く力の大きさ
1 1.62 10−38
= 9 × 109 × 1.62 10−18 = 2.3 × 10−8 N,
4πϵ0 10−20
F = 2.3 × 10−8 × 10−20 N = 2.3 × 10−28 N
F =
(7.96)
である。
2. 摩擦電気
物体を摩擦すると、帯電する物質がある。例えば、ガラスを摩擦すると負に帯電し、エボ
ナイトを摩擦すると正に帯電する。この現象は、摩擦により物質の電子が移動するためであ
1
1
る。いま、1cm3 の氷は、分子量から 18
モルであり、分子数は 6 × 1023 × 18
である。分子の
間隔を a とすると、１グラム中の分子数から、
1
1
= 6 × 1023 ×
3
a
18
100 1/3 7 −1
a = ((
) 10 ) = 3.1 × 10−8 cm
3
(7.97)
である。よって、1 グラムの氷の表面積 6 cm2 にある分子数、
Ns =
6
= 0.66 × 1016 ,
3.12 × 10−16
(7.98)
6
= 5.28 × 1016 ,
× 10−16
(7.99)
電子数
Ns = 8
3.12
となることがわかる。
1
この電子数の 100
が移行するとすると、氷の表面には 6 × 1016 の余剰（または不足）電子
が、他の物質には同数の電子が不足（余剰）する。これらすべてが、平均１ｃｍ (1m) 離れ
ていると近似して、力は
F = 9 × 109 (1.6 × 10−19 × 5.28 × 1016 × 102 )2 = 6.4 × 109 N (6.4 × 103 N )
と極めて大きな値となる。(括弧内は距離１ｍの場合の値)
97
(7.100)
3. 金属内の静電場
金属の内部に +Q の電荷が置かれた。この時、電荷の周囲にある電子の運動を考察せよ。
十分に時間が経過して電子に働く力が零になれば、電子の運動はなくなる。この状況では、
金属の内部では電位が一定になることを示せ。
4. 金属表面における静電場と電気力線
金属の内部では、電位が一定である。このことを使い、金属の平面上の表面や、でこぼこ
をした表面近傍における電場や電位を議論せよ。
5. 電流がする仕事
大きさ I の電流が、電圧差 V の間を流れるときの、単位時間当たりに消費する仕事を求め
よ。次に、一定の抵抗 R の物体中を電流が流れている。電流 I を一定にした場合と、電圧 V
を一定にした場合のそれぞれで、消費する仕事（エネルギー）を計算せよ。
6. 電流と抵抗をもつ回路
値が、R1 と R2 である二つの抵抗を、直列に接続した時の全抵抗と並列に接続した時の全
抵抗を求めよ。次に、電圧 V を両端にかけた時の電流と電流がする仕事をそれぞれの場合に
計算せよ。次に、全電流を一定の値 I にした場合に同じ計算をせよ。消費するエネルギーが
少ないのは、どちらか？また、片方の抵抗 R2 が零であれば、どうなるか？
7. 金属球殻の内部にある電荷と電場
半径 R1 と半径 R2 の間の金属球殻に一様な電荷密度で、電荷が分布している。ガウスの定
理を使い、r ≤ R1 R1 ≤ r ≤ R2 R2 ≤ r の３領域における電場を求めよ。
8. 電荷分布と電場や電位
電荷分布 ρ(r) が r のいかなる関数であれば、中心方向を向いた電場 Er (r) は一様なものと
なるか？
98
9. 誘電体とコンデンサー
コンデンサーの内部を誘電率 ϵ の液体でみたした。この場合の、コンデンサーがもつエネ
ルギーは、どのようになるか？
99
第 8 章 電流間の力と磁場
8.1
電流間の力 (アンペールの法則）
物質は通常の状態で、同数の正符号の電荷をもつ物体と負符号の電荷をもつ物体から成り、
全体で電気的に中性になっている。同じ物質の内部を電荷が定常的に運動すると電流が定常
的に流れる。電荷の運動により電流が流れている時も、物質は電気的に中性のままである。
そのため物質間の電気的なクーロン力は、電流が流れるか否かに無関係であり、変わらない。
通常、簡単に動けるのは負電荷を帯びた電子であり、正符号の電荷を帯びたイオンは位置
が固定して動かない。正電荷の総量と負電荷の総量は等しく、全体としての電荷は零である。
そのため、定常的な電流が流れた物質間に、電気的なクーロン力は働かない。しかし、実験
をすると、定常電流が流れた導体線の間には、力が働く事が分かる。
Fig. 8.1: 電流間の力.
図のような平行な電流間に、同じ方向に電流が流れる場合は引力が働き、反対の方向に電
流が流れる場合には、斥力が働く。大きな電流では、力は大きくなる。このように、電流間
の力は、電流の大きさに依存すると共に、方向に依存する。この電流間の力は、明らかに電
荷間の力とは異なる力である。しかし、この力は、電荷間の力と同様に普遍的な性質を持つ。
次に、直線ではない曲線状の電流の間に働く力を考察する。
⃗2 は、ベクトル積
図のような二つの閉電流 J1 , J2 では、電流２に電流１からはたらく力 F
の線積分
I I ⃗
dl2 × (d⃗l1 × ⃗r12 )
µ0
⃗
F2 =
J1 J2
3
4π
r12
1 2
(8.1)
となることが、アンペールにより発見された。ここで、d⃗l1 は電流１の微小線要素ベクトル、
d⃗l2 は電流２の微小線要素ベクトル、⃗r12 は線要素１から線要素２に引いた位置ベクトルであ
り、これらの要素間の力が、上のベクトルの３重積で与えられる。力は、ベクトルであるの
101
で、足し算の一種である積分にはベクトルの足し算が使われる。電流１と電流２の二つの閉
じた電流間の力は、線要素間の力を合計した周回積分で与えられる。比例係数にある µ0 は、
真空の透磁率と呼ばれる。
小さな電流要素間の力の大きさは、電流要素間の距離の二乗に反比例する。この距離依存
性は、電荷間の力と同じである。だから、電荷間の力を電場の性質から理解したのと同じに、
電流間の力を新たな場で理解することができる。
ところで、一つの電流を磁石に置き換えることより、電流と磁石や磁石と磁石の間にもほ
ぼ同じ力が働くことが分かる。磁石と電流はまったく異なるように見えるが、小さな磁石は
小さな閉じた電流とほぼ同じである。
8.1.1
ベクトル３重積
電流間の力は、位置と二つの電流の３ベクトルの積に比例する。力、位置、電流はそれぞ
れ大きさと方向を決めて一意的に一つが決まるベクトルであるので、二つの電流ベクトルと、
その位置ベクトルで決まる力は、ベクトル 3 重積となっている。ここで、ベクトル積につい
て復習しよう。
二つのベクトル ⃗a と ⃗b のベクトル積 ⃗a × ⃗b は、それらのベクトルに直交する方向をもつベ
クトルである。このベクトルは、だか ⃗a と ⃗b が作る面に垂直であり、⃗a の方向から ⃗b の方向
へ右ねじを回すときに、その右ねじが進む方向である。また大きさは、二つのベクトルの間
の角度 θ の sin である sin θ とそれらの大きさ |⃗a| と |⃗b| の積で与えられる。だからベクトルの
102
⃗ = ⃗a × B
⃗ でB
⃗ が他の二つのベクトルのベクトル積 B
⃗ = ⃗b × ⃗c であるとき、A
⃗ は、⃗a と直
積A
⃗ と直交する。B
⃗ が ⃗b と ⃗c がなす平面に直交するので、B
⃗ と直交するベクト
交するとともに B
⃗ は、同じ ⃗b と ⃗c がなす平面内にある。そのため、⃗b と ⃗c との線形結合で
ルA
⃗ = x⃗b + y⃗c
A
(8.2)
と未知の数 x と y を使い表せる。x, y は、ベクトル ⃗a と直交し
⃗ = x⃗a · ⃗b + y⃗a · ⃗c = 0
⃗a · A
(8.3)
と内積が零となる事から、一つの条件を満たす。この直交条件を満たすｘとｙを、
x = ⃗a · ⃗cξ, y = −⃗a · ⃗bξ
(8.4)
と他の一つのパラメーター ξ で表わしておく。ξ はまだ未定であるが、一つの簡単な例とし
て、直交するデカルト座標の単位ベクトル
⃗a = ⃗e1 , ⃗c = ⃗e2 , d⃗ = ⃗e1
(8.5)
ξ=1
(8.6)
の場合に容易に計算できて、
となることが、分かる。よって、ベクトルの３重積は
⃗a × (⃗b × ⃗c) = (⃗a · ⃗b)⃗c − (⃗a · ⃗c)⃗b
(8.7)
と変形できる。
例
⃗e1 × (⃗e1 × ⃗e2 ) = ⃗e1 × ⃗e3 = −⃗e2
(8.8)
⃗e1 × (⃗e2 × ⃗e1 ) = −⃗e1 × ⃗e3 = ⃗e2
⃗e2 × (⃗e1 × ⃗e1 ) = 0
⃗e1 × (⃗e2 × ⃗e3 ) = 0
計算の順序を変えると、
(⃗e1 × ⃗e1 ) × ⃗e2 = 0
(⃗e1 × ⃗e2 ) × ⃗e1 = ⃗e3 × ⃗e1 = ⃗e2
(⃗e2 × ⃗e1 ) × ⃗e1 = −⃗e3 × ⃗e1 = −⃗e2
(⃗e1 × ⃗e2 ) × ⃗e3 = 0
となり、異なるベクトルになる。
103
(8.9)
8.2
電流間の力と磁場 (磁束密度)
電流間の力は、電荷間の力とは、いくつか異なる性質をもつ。電流間の力と電荷間の力で
最も異なる点は、力の方向である。電荷は、その位置と大きさで状態が決定されるのに対し
て、電流の状態を決定するには、その位置に加えて電流の方向と大きさがともに必要で十分
な変数である。だから、電流間の力は、電流の位置とそのベクトルの両変数に依存している。
しかも、これらのどのベクトルを逆にしても、力の符号が変わり方向が逆転する。これら３
個のベクトルから一つの力のベクトルを構成するのは、いくつかの方法がある。二つのベク
トルの内積に一つのベクトルをかけるか、三つのベクトルのベクトル積である。ところが、
前者は、内積を作るベクトルの方向を逆にしても変わらない。だから、後者は、どの一つの
ベクトルを逆にしても、符号が変わる。
Fig. 8.2: 直線電流の磁場.
上の電流間の力は、また、電流を流す物体には無関係であり、普遍的である。また、電流
間の力の大きさは、距離の二乗に反比例する。だから、電荷間の力が電場により普遍的に表
せたのと同様に、電流間の力が、個々の物体とは独立な ”磁場 ”を使いあらわせる。電流が、
空間に磁場を作り、この磁場が他の電流に力を及ぼす。磁場は、また磁石にも力を及ぼす。
そのため、電流が作るこの場を磁場と呼ぶ。電流間の力を磁場によって分解して２段階で考
⃗ 2 、この磁場
えると、普遍的な性質が明瞭になり分かりやすい。電流１が空間に作る磁場を B
⃗ 2 は空間の点ごとに異なるベクトルとなり、電流１の位置で決まったベクトルになる。電
B
流１の位置での磁場ベクトルにより電流１が受ける力は、電流とその場所での磁場ベクトル
のベクトル積から
F⃗2 = J2
I
⃗2
d⃗l2 × B
(8.10)
⃗ 2 に含ませた。そのため、式 (8.10) は、µ0 を含まない式
と表せる。ここで、比例定数 µ0 は B
⃗ の積は、力である。ただし、磁場ベクトル
である。つまり、電流 2 とその位置における場 B
⃗ 2 は、電流 1 で決定され、
B
µ0 I d⃗l1 × ⃗r12
⃗
J1
B2 =
3
4π
r12
(8.11)
⃗ 中の電流に働く力は、電流の位置での磁場ベクトルを使いいつも同じ式 (8.10)
である。磁場 B
であらわせる。
104
例
⃗ 1 と位置 ⃗x2 にある電流要素 I2 dl
⃗ 2 の間に働く力、
位置 ⃗x1 にある電流要素 I1 dl
µ0
d⃗l2 × (d⃗l1 × ⃗r12 )
F⃗ =
I1 I2
3
4π
r12
(8.12)
⃗ i が位置ベクトル ⃗r12 と直交する時は、
は、二つの電流要素 dl
µ0
⃗r12
F⃗ =
I1 I2 (d⃗l2 · d⃗l1 ) 3
4π
r12
(8.13)
となる。
Fig. 8.3: The geometry of the neutrino interference experiment.
8.3
磁場（ 磁束密度）
磁場は、電場と同様に重ねあわせの原理を満たし、二つの電流が作る磁場ベクトルは、そ
れぞれの磁場ベクトルの和である。無限に長い直線電流 I の周りには、電流から距離 r の点
で、周回方向に磁場があり、磁場の強さ H = µB0 は、
H=
1
B
I, H =
2πr
µ0
(8.14)
である。
このように、電流がある近傍の空間領域には磁場が作られていることがわかる。さらに、
⃗ とすると、磁場を閉じた経路に沿って線
磁場の方向は、電流の方向によっている。磁場を B
105
積分した量は、閉じた経路の内部を通過する電流に比例し、関係式
I
⃗ · d⃗l = J, H
⃗ = 1B
⃗
H
µ0
(8.15)
が成り立つ。左辺の積分は、磁場の閉じた経路に沿う方向の成分の線積分であり、右辺の J
は閉経路を切る総電流である。
コイルは、電線を多重に巻きつけたものである。多重に巻きつけてあるため、単純な直線
電流よりもコイルのほうが、電流の効果を大きく出来る。そのため、コイルに電流を流すと、
電流による効果が倍増されるので、磁場は強くなる。コイルに電流を流して、その近くに置
いた小さな磁針に力が働くことを確かめよう。図のような、単位長さ当たりの巻き数を n と
するコイルに電流 I を流して、磁針の置く場所をいろいろ変えてみよう。
コイルの内部には、ほぼ一様な磁場が生じ、その強さ H は
H = nI
(8.16)
である。
磁場に対するいじょうの積分形の等式を変形して、得られる磁場の満たす微分形の等式が、
以下のものである。
⃗ = ⃗j
∇×H
106
(8.17)
ここで、いくつかの電流が作る磁場を書いてみよう。
例１
直線電流
Fig. 8.4: 直線電流の磁場.
例2
２本の直線電流
このように、電流があるとその周りに磁場が作られる。丁度、電流を渦の中心とするよう
な磁場ベクトルができている。磁場は、閉じた経路に沿っていて、必ず連続である。
8.3.1
磁力線
空間の各点で磁場ベクトルが決まっているとする。ある点での磁場ベクトルを描き、次に
そのべクトルの先の点での磁場ベクトルを描く。この操作を次々に繰り返して行うと、磁場
ベクトルを連続的に繋げた線が引ける。この線が、磁力線である。電流間の力が距離の二乗
に反比例するため、磁力線は連続であり分岐することはない。さらに、電流を回るように磁
場ができるので、磁力線は、電流の周りを回る閉曲線に沿っている。つまり磁力線は、源（湧
口）を持たないので、空間のどの領域でも連続になっている。電気力線の場合は、電荷が湧
き出しの源となっていたが、磁力線では、このような湧き出しの源はない。この性質が、磁
力線の特徴である。
湧き出しがないので、ガウスの定理を適用すると、任意の閉局面を切る磁力線の総数 (内
部から外部に向かう磁力線の総数）を示す積分
∫
⃗ ·B
⃗ =0
dS
107
(8.18)
は必ずゼロになっている。
電流が作る磁力線の形や密度は、いつも上の関係を満たす。一方で、磁力線の全体は、電
流に依存して決まる。２本の平行電流の場合、それぞれの電流が作る磁場を重ね合わせて、
空間の各点における磁場が決まる。二つの電流が、平行である場合と反平行である場合で、
磁力線の形は大きく異なる。両者の違いは、二つの同符号電荷による電場と、異符号電荷に
よる電場の関係に似ている。その結果、２電流間の力の向きが想像できる。実際、２電流が
同じ向きであれば、両者に働くのは引力であり、逆に２電流が反平行であれば、両者に働く
のは、斥力である。
ここで、いくつかの電流が作る磁場や磁力線を書いてみよう。
例１
直線電流
Fig. 8.5: 直線電流の磁力線.
例2
２本の直線電流
Fig. 8.6: ２本の直線電流の磁力線.
例 3 コイル
例 4 円形の閉じた電流
108
Fig. 8.7: コイルの磁力線.
8.3.2
磁場のエネルギー
磁力線は、電気力線と同じに、弾性体的なエネルギーをもつ。その大きさは、磁場の自乗
に比例するエネルギー密度の体積積分、
∫
E=
d⃗x
1 ⃗ 2
B(⃗x)
2µ0
(8.19)
である。
⃗ を ベクトルポテンシャルA
⃗ であらわす
この磁場のエネルギーを理解するのには、磁場 B
と良い。ベクトル解析の手法に熟知していない読者は、これからの節を省略してよい。
磁場をベクトルポテンシャルで
⃗ =∇×A
⃗
B
(8.20)
と表わす。すると、電流密度が磁場から受ける力は、
⃗ i
F⃗i = (⃗j × B)
⃗ i
= (⃗j × ∇ × A)
(8.21)
(8.22)
と表わせ、さらに定常電流の連続性
∇ · ⃗j = 0
(8.23)
⃗ の下
を使うと、磁場のエネルギーが求められる。後で示すように、ベクトルポテンシャル A
で電流を δ⃗j 増加させる仕事（エネルギー）として
δW = −
∫
⃗
d⃗x(δ⃗j · A)
(8.24)
⃗ と磁場の微小変化 δ B
⃗ を使う表示、
となる。この仕事は、式 (8.17) と、式 (8.20) により、B
δW = −
∫
=
∫
=
∫
⃗ ·A
⃗
d⃗x∇ × H
(8.25)
⃗ ·∇×A
⃗
d⃗xH
(8.26)
⃗ ·B
⃗
d⃗xH
(8.27)
109
に書き換えることができる。上で、部分積分を使った。仕事は、磁束密度を使うと、
δW =
1 ∫
⃗ · B)
⃗
d⃗x(δ B
µ0
(8.28)
となる。
⃗ = 0 からはじめて、徐々に磁場を大きくし、最後に有限の磁場 B
⃗ になる
次に、零磁場 B
まで、磁場を大きくしてまでの過程を考える。このとき、のエネルギーの変化量は空間に磁
場を作るための仕事の和である。これは、式 (8.19) となる。
例１
磁場のエネルギーと２本の直線電流間の力
8.3.3
電場と磁場の比較
電荷間に働くクーロン力は普遍的な性質をもち、電流間に働く力も同様に普遍的な性質を
もつ。これらの普遍的性質は、それぞれが作る場の作用と考えると、理解しやすい。電荷が
電場を作り、その電場によって他の電荷が力を受ける。同様に、電流が磁場を作り、他の電
流が磁場によって力を受ける。
電荷による電場と電流による磁場は、以下のようにまとめられる。
電場
場 : 電場
(8.29)
源 : 電荷
(8.30)
場と源の関係 : 電場の湧き出しが電荷
力線 : 連続 ϵ0 ∫
dxE 2
場のエネルギー :
2
(8.31)
(8.32)
(8.33)
磁場
場 : 磁場
110
(8.34)
源 : 電流
場と源の関係 : 磁場の回転が電流
力線 : 連続 1 ∫
場のエネルギー :
dxB 2
2µ0
(8.35)
(8.36)
(8.37)
(8.38)
電場のエネルギーと、磁場のエネルギーはよく似ている。しかし、電場と磁場で大きく異
なる性質もある。電気力線は、電荷がない空間領域では連続であるが、電荷がある領域では、
連続ではなく、電荷が湧き出しとなっている。また、磁力線も連続である。もしも磁荷があ
れば、磁力線も湧き出しをもつ。ところで、電荷をもつ物質は電子をはじめとして多いが、
磁荷（磁気単極子）は今まで見つかっていない。通常知られている電子、クォーク等は、電
荷をもつが磁荷をもたない。だから、磁場（磁束密度）は、いつも連続である。
今までは、電場や磁場が時間的に変化しない現象を調べてきた。時間的な変化がない限り、
電場と磁場は関係なく、別物としてふるまう。電荷は電場から力を受け、電流は磁場から力
を受ける。しかし、時間的な変化がある場合には、電場と磁場は互いに転換される。また、
運動する電荷は磁場からも力を受ける。時間的に変化する現象では、電場と磁場は統一して
扱われる。
8.4
ローレンツ力
速度をもつ電荷は、磁場から力を受ける。この力は、電流が磁場から受けるものと同じで
あり、速度と磁場のベクトル積
⃗
F⃗ = q⃗v × B
(8.39)
であらわせる。だから、力の方向は、速度にも磁場にも直交する。電荷の運動が、電流であ
るので、速度を持つ電荷が受ける力が、電流が受ける力と同じ形になる。
ニュートンの運動方程式にローレンツ力を代入して、電磁場中における質量 m 電荷 q の質
点の従う運動方程式
d2
⃗ + q⃗v × B
⃗
⃗x(t) = q E
(8.40)
dt2
⃗ = 0 で、磁場 B
⃗ だけがある場合の運動を調べる。方程式
が得られる。ここでは、電場が零 E
m
m
d
⃗
⃗v (t) = q⃗v × B
dt
(8.41)
で、右辺の力は速度に直交する。そのため、両辺に速度を内積でかけて
⃗v · m
d
⃗ =0
⃗v (t) = ⃗v · ⃗v × B
dt
111
(8.42)
が得られる。さらに左辺を書き換えて、
d m
( ⃗v (t)2 ) = 0
dt 2
(8.43)
と、運動エネルギーが一定になる。
次に、磁場がｚ軸方向にあるときの運動を求める。速度を成分に分解した運動方程式は、
d
vx (t) = −qvy Bz
dt
d
m vy (t) = qvx Bz
dt
d
m vz (t) = 0
dt
m
(8.44)
と連立方程式になる。さらに両辺を時間で微分して、２階の方程式
d2
vx (t) = −q 2 Bz vx
dt2
d2
m2 2 vy (t) = −q 2 Bz vy
dt
m2
が得られる。この式は、角速度 ω =
qBz
m
(8.45)
(8.46)
の単振動の方程式である。解は、
vx = V0 cos(ωt + α)
(8.47)
vx = V0 cos(ωt + α)
(8.48)
となる、等速円運動である。また、z 成分は、
d
vz (t) = 一定
dt
(8.49)
と、一定になる。
電流が磁場中で受ける力 (8.10) は、運動している電荷の受ける力と同じ形である。実際、
電荷の運動が電流であるので、両者が同じ形になるのは、当然なことである。電流が受ける
力は、電流の方向と磁場の方向に直交する方向であり、また電流の向きを逆にすれば、力の
向きは逆転する。
Fig. 8.8: ローレンツ力.
112
この力を応用するのが、（直流）モーターである。モーターは、ローレンツ力を応用して
いてる。モーターの原理は、図のように回転軸に軸受けをもうけ、電流が軸受けを通るよう
にしておき、さらに電流の方向が、半回転ごとに逆転するようにしておく。すると、電流が
流れる限り、モーターは回転を続ける。
8.5
磁性体と磁石
磁石は、N 極と S 極からなる磁気双極子の集まりである。磁極が単独に分離した磁荷をも
つ磁気単極子は見つかっていないが、磁気双極子を持つ物質は沢山知られている。一つの磁
気双極子は、図のような磁束線を持つ。磁気双極子が沢山集まって構成されている物質では、
各双極子による磁束線が加わった結果、一様な磁場が作られる。
113
⃗ と物質からの磁場の総和の磁束線が
外部からの磁場を加えられた物質では、外部磁場 H
形成されている。
各磁気双極子の大きさが外部磁場に比例し、物質からの磁束が外部磁場に比例する時、そ
の比例係数を記号 κ で表し、全磁束密度は和
⃗ = µ0 (H
⃗ + κH)
⃗
B
(8.50)
⃗ と磁場強度 H
⃗ との比
となる。全磁束密度 B
µ = µ0 (1 + κ)
(8.51)
を物質の透磁率という。物資中では、磁束密度は物質の透磁率を使い
⃗ = µH
⃗
B
(8.52)
と表せる。
磁気双極子を持つ物質は、常磁性体と強磁性体に分類される。強磁性体では、物質の磁束
密度は、外部磁場によって大きく変化し、外部磁場を零にしたときにも、有限な零ではない
磁気双極子を持つ事がある。その時、この物体は永久磁石と呼ばれる。磁石になる物質は、
鉄やニッケル等のいくつかの金属に限られる。磁石の磁場は
⃗ =
M
(8.53)
である。
小さな磁石が外部に作る磁力線は、次の図のようになる。これは、小さな円電流が作る磁
力線と良く似ていることが分かる。
１．小磁石の磁力線
114
強磁性体の内部では、磁場の強さは大きくなる。しかし磁束密度は連続であり、変わらな
い。そのため、磁石がある場合の磁束密度は、図のようになる。磁力線は、内部に閉じ込め
られる。
磁石の磁束密度
8.6
磁気単極子
電場と磁場は、時間的な変化を通して互いに変換するものである。だから、電場と磁場を
まとめて、電磁場として扱うのが良い。この意味で、二つの場は、同種のものである。では、
電場と磁場はまったく同じかというと、そうではない。特に、両者に関係した物質には大き
な違いがある。
電場の源となる電荷をもつ物質や、物体は電子をはじめ沢山ある。ガウスの発散定理で
記述されるように、電気力線は電荷がない領域では連続であり、磁力線も連続である。磁場
は、回転の源を電流としているので、連続である。電流だけが、磁場の源であれば、磁場は
いつも連続である。しかし、磁力線が電気力線と同じに、不連続になる空間領域、つまり源
があってもよさそうである。このようなものを磁気単極子と呼ぶ。磁気単極子が、自然界に
存在するかは、興味深い問題である。自然界に、磁荷をもつ物体があっても何の法則とも矛
盾しなさそうであるが、しかし今まで実験で探したが、磁荷をもつ物体は、一度も見つかっ
ていない。
磁気単極子を探す試みは、今まで多くの科学者によってなされてきた。大きな加速器が作
られると、まず単極子探索はなされることの一つであった。また、鉱山で探そうとした科学
者もいた。宇宙から降り注ぐ、宇宙線の中にある可能性もある。しかし、今までのところ、
誰も単極子の発見に成功していない。理論的な考察から、Dirac は磁気単極子を量子力学で
考察して、波動関数の位相と重要な関連をもつことを示した。近年は、力の統一理論から磁
気単極子の可能性が指摘されている。しかしながら、その存在の実験的な証拠は、まだない。
115
電磁気学の単位系
8.7
8.7.1
MKSA 単位系（ＳＩ単位系）
力学における物理量の単位は、運動法則に基づいて、時間、長さ、質量を基本にして組み
立てられる。世界で標準的に使われる M KS 単位系では、質量にキログラム (Kg) 時間に秒
(S) 長さにメートル (M ) が、使われる。他の物理量はこれらに基づいて単位が決まっている。
ところで、新たな力として電荷間 の力や、電流間の力があることが分かったので、電気量
や電流の大きさ等の単位が必要になる。世界的な標準単位系は、力学の物理量の質量にキロ
グラム (Kg) 時間に秒 (S) 長さにメートル (M ) を使い、これらに、電流の単位としてアンペ
ア (A) を加えた M KSA 単位系である。電流の役割を重視した M KSA 単位系は、電流を単
位を組み立てる基本の物理量とするので、電磁気学の法則に則った物理的に最も自然な単位
系である。
8.7.2
クーロン
電流の単位 1 アンペアの定義は、次にされる。１アンペアは、１秒当たり１クーロンの電
荷が移動する電流であるので、逆に電荷は、電流を時間で足したものである。だから、電荷
は電流から組み立てられ、
クーロン [C] = アンペア [A] · 秒 [S]
(8.54)
である。次に、１クーロンの電荷を１ボルトの電位差移動させたときの仕事が、１ジュール
であるので、電位の強さ（電圧）V に１ボルトは、
ヴォルト [V ] = ジュール [J]/クーロン [C] = ジュール [J]/アンペア [A] · 秒 [S]
(8.55)
である。電場の強さは、長さ当たりの電圧であるので、電場の強さ E
電場の強さ＝ヴォルト [V ]/メートル [M ]
(8.56)
である。
8.7.3
アンペア
電流や磁場に関した単位は、電流間の力から決定される。１アンペアは、間隔が r である
平行な直線電流間の長さ δl 当たりの力、
F =
µ0 I 2
δl
2πr
116
(8.57)
で
r = δl = 1 メートル
(8.58)
F = 2 × 10−7 ニュートン
(8.59)
で力が、
となる電流である。この単位で、真空の透磁率は
µ0 = 4π × 10−7 N/A2
(8.60)
である。
磁束密度 B の単位テスラは、電流が磁束密度 B から受ける力
F = Iδl × B
(8.61)
テスラ [T ] = ニュートン [N ]/アンペア [A] メートル [M ]
(8.62)
より
である。
8.7.4
光速度
最後に、この単位系で電荷間のクーロン力に表れる真空の誘電率 ϵ0 は、後の章で述べるよ
うに、光の速度 C の関係式
1
C=√
µ0 ϵ0
(8.63)
1
= C 2 µ0
ϵ0
(8.64)
より、C と µ0 で
と表わせる。光の速度は、現在メートルと秒から、
C = 2.99792458M/S
と厳密に値が決まっている。このように長さの単位メートルが、決まっている。
117
(8.65)
8.8
問題
8-1. 電流間の力
２本の平行な直線導体を同じ大きさ I アンペアの電流が流れている。電流間の距離が 1 メー
トルであるとき、両電流間に働く力を求めよ。また、2 メートルの場合はどのようになるか？
8-2. 磁場から電流が受ける力
⃗ がｚ軸方向を向き、大きさが 10 テスラであるとする。ｘ軸の方向を向いた電流 I
磁場 B
が磁場から受ける力を計算せよ。また、力はどの方向を向いているか？
8-3. 複数の電流による磁場
ｚ軸方向の無限に長い２つの電流がある時のｘｙ面内の磁場を求める。
１．ｚ軸上を電流 I1 が流れ、(1, 0) を通りｚ軸に並行に電流 I2 が流れている。両電流が平
行の場合と、反平行の場合における、ｘｙ面内における磁場を計算せよ。力が、引力か斥力
か、磁場の分布から考察せよ。
8-4. 磁場のエネルギー
∫
⃗ 2 である。図のような円柱上の金属で透磁率が、
磁場のエネルギーは、 d3 x 2µ1 0 B
µ = µ1 , r < r1
(8.66)
µ = µ2 , r1 < r < R
(8.67)
であり、全磁束が Φ であるとき、全エネルギーを最小にするそれぞれの領域での磁束密度
B1 , B2 を求めよ。ただし、全磁束を一定として、
Φ = Φ1 + Φ 2
(8.68)
である。
8-5. 磁性体と磁束分布
図のような形の磁性体が、一様な磁場中に置かれている。連続性に注意を払い、磁束密度
⃗
⃗ は、どのようになるか？
B の様子を書き下せ。また、磁場強度 H
118
8-6. 円電流
ｘｙ面内で原点の周りの小さな半径 r で電流の大きさ I の円電流が作る原点から遠方での
磁場を計算せよ。小さな磁石では、いかなる磁場になるか？
8-7. ローレンツ力
電荷 q を持つ粒子が電場 (E, 0, 0) と磁場 (0, 0, B) のもとで運動している。質量を m として、
運動方程式を解け。電荷 q と質量 m をもつ荷電粒子の比電荷 me を決定する方法を考えよ。
8-8. 電磁気学の単位系
１アンペアの定義は何か？また、１アンペアと１クーロンとの関係、１アンペアと１ボル
トの関係を述べよ。電場の強さの単位や磁束密度の単位を説明せよ。
119
第 9 章 場の時間変化
ここまでは、電場も磁場も共に時間的に変化しない定常的な物理現象を考えてきた。電場
や磁場が時間変動する場合、今までとは異なる新しい物理現象が発現する。
時間変化のない静的状況では、電場と磁場は互いに無関係な二つの独立な場である。たと
えば、定常的な磁場中にある静止電荷は力を受けないし、逆に定常的な電場中にある静止電
流は力を受けない。ところが、磁場や電場が時間的に変動するときや、電荷や電流が運動す
るとき、電荷は磁場から力を受け、電流は電場から力を受ける。時間変動するとき、磁場は、
電場の働きをして電荷に力を与え、また回路に起電力を生じさせる。同様に、時間変動する
とき、電場は、磁場の働きをし電流に力を与える。時間的に変動する電場や磁場は、磁場や
電場を生成する。つまり電場と磁場は、もはや独立ではなく互いに変換しあいながら統一的
に時間や空間変化する場である。
9.1
ファラデーの電磁誘導の法則
ある場所で磁場が時間的に変化すると、同じ場所に電場が作られる。これを調べるため、
磁場中におかれた閉じた回路の両端に生成される起電力を測定する。その結果、この回路に
は、電圧が発生することが分かる。図のような磁場中にある回路を考える。この回路の一端
を一定の速さ v で運動させる。この時、回路を横切る磁束は、Blvt と、時間的に一様に変動
する。この回路に起電力 lvB が生ずることをファラデイが発見した。これは、磁場と電場を
関連付ける重要なものでファラデイの電磁誘導の法則と呼ばれる。
121
この電磁誘導現象で、回路を切る全磁束の時間変化に比例した起電力
∂ ∫ ⃗ ⃗
dS · B = 起電力
∂t
(9.1)
が生成される。この関係式は、レンツの法則と呼ばれる。磁場の時間変化が、起電力すなわ
ち電場を引き起こしたことになり、磁場と電場が異なる独立な場ではないことを示す。
回路を切る全磁束を変化させるには、いろいろな方法がある。一つの方法は、磁束を一定
にしたままで回路の大きさや向きを変えることである。前頁の方法では、面積を変動させた。
また、次の図のように、一様な磁場中で回路を中心軸の周りに回転すると、回路を横切る磁
束線の数は、磁場に垂直な方向の回路の面積に比例して、時間的に変動する。この時、回路
に起電力が生じる。
Fig. 9.1: ファラデー２.
以上の場合では、回路内の電荷が有限な速度で磁場中を運動する。そのため、ローレンツ
⃗ であるので、電場 ⃗v × B
⃗ による力と等価である、
力が電荷に働く。ローレンツ力は、q⃗v × B
だから、電場の線積分である電位差は、lvB となる。ローレンツ力に基づいて、求めた電位
差は、(9.1) 式と同じ結果を与える。
もちろん、回路を一定にして、磁場を時間変化させるのも一つの方法である。この場合に
は、ローレンツ力に関係させることは出来ないが、式 (9.1) は適用できる。
Fig. 9.2: ファラデー 3.
このようにして回路を横切る磁束が時間変化すると、回路に起電力が生じるので、回路を
開いて外部に導体で連結すると、この導体に起電力が生じる。この起電力を、自由に使えれ
ば、物体の運動や仕事に応用できる。このような装置を、発電機という。発電所や発電機は、
この電磁誘導現象を利用している。図のような発電機に生じる起電力は、回路を貫く全磁束
122
Φ = BS cos θ, θ = ωt
(9.2)
の時間変化から、
V =−
d
Φ = BSω sin ωt
dt
(9.3)
となる。
このように磁束の変化が、回路に起電力を引き起こし、両者の間には普遍的な関係が成立
する。また、この関係は、回路の形や材質に無関係に成り立っている。そのため、一般的な
数学的考察から、閉じた回路に生ずる起電力は、電場の経路方向の成分の和である電場の経
路積分
I
V =
⃗
d⃗l · E
(9.4)
に一致する。上の経路積分は、経路方向の電場成分を閉じた経路に沿ってたしあげた和であ
る。経路を小さくした時、この線積分が面積に比例するならば、電場が回転成分をもつこと
になる。小さい経路では、回転は電場の局所的な回転成分（渦成分）を表している。だから、
⃗ x) は、回転する成分をもつ。
磁場（磁束）が変化するとき、電場 E(⃗
電場の回転＝磁場の時間変化
(9.5)
電場の回転が磁束の時間変化に比例する関係は、定常電流が作る磁場が、定常電流の周りに
回転成分を持つことに似ている。
Fig. 9.3: ファラデー 4.
このようにして、磁場の時間変化が電流の回転に比例すること、つまり磁場が電場と無関
係ではなく、互いに変換しうるものであることがわかった。磁場の時間変化が電圧を与える
ことは、逆にみると、磁場の時間微分が電圧で与えられる式である ”磁場に対する運動方程
式 ”とみなせる。時間的な変化に着目して、運動を調べて力学が構成されたように、磁場に
対する運動方程式が成立する。運動方程式は、しかしながらニュートンの運動方程式よりも
はるかに複雑であり、また美しい形をしている。
9.2
磁場のエネルギー
抵抗をもつ電流回路は、エネルギーを消費する。一方で、電流は磁場を形成するので、こ
の回路のエネルギーの考察から、磁場のエネルギーが計算できる。この磁場のエネルギーの
123
計算法は、コンデンサーのエネルギーの考察から、電場のエネルギーが計算されたのと、ほ
ぼ等価である。
⃗ ′ と磁場による電場 E
⃗ をもつ回路で
回路の電気伝導度を σ とすると、電池による起電力 E
は電流 ⃗j とこれらの電場は、オームの法則
⃗ +E
⃗ ′)
⃗j = σ(E
(9.6)
で関係している。
⃗ ′ · ⃗j は、
これより電池が消費する単位時間かつ単位体積当たりの仕事、E
⃗2
⃗ ′ · ⃗j = j − E
⃗ · ⃗j
E
σ
(9.7)
と表わされ、さらに電流を磁場で表現して左辺の積分は、
∫
⃗ ′ · ⃗jdv =
E
∫
⃗′ · ∇ × H
⃗
dv E
(9.8)
となる。また同様に右辺の積分は、
∫
⃗ 2 ∫
(∇ × H)
⃗ ·∇×H
⃗
− dv E
dv
σ
(9.9)
となる。ここで、ベクトル場のベクトル積の勾配の公式
⃗ × H)
⃗ =H
⃗ · (∇ × E)
⃗ −E
⃗ · (∇ × H)
⃗
∇ · (E
(9.10)
を代入して、右辺のエネルギーは
∫
∫
⃗ 2 ∫
(∇ × H)
⃗
⃗
⃗ × H)
⃗
= dv
− dv H · ∇ × E + dv∇ · (E
σ
∫
⃗ ∫
⃗ 2 ∫
∂B
(∇ × H)
⃗
⃗ × H)
⃗
+ dv H ·
+ dv∇ · (E
= dv
σ
∂t
(9.11)
⃗ = −B
⃗˙ を使った。右辺の第３項目は、
となる。ここで、ファラデーの電磁誘導の法則 ∇ × E
被積分関数が大きな積分領域で急速に零に近ずく関数であるので、ガウスの積分定理から表
124
面積分に置き換えた後無視できることがわかる。また右辺第１項目は、電流がジュール熱で
失うエネルギーである。残りの右辺第２項は、磁場が持つエネルギーである。よって、磁場
⃗ 変化させたときのエネルギー変化量が
を δB
∫
δUm =
⃗ · δ Bdv
⃗
H
(9.12)
⃗ にまでさせるのに要するエネル
となる。この結果、磁場を変化させて、ゼロから有限な値 B
ギーは、
Um =
1∫ ⃗ ⃗
H · Bdv
2
(9.13)
である。これが、磁場が持つエネルギーである。
磁場がエネルギーを持つことより、電流間の力を磁場や磁力線の形から理解できる。同じ
方向に電流が流れた二つの直線が作る磁力線は、図のようになる。 これは、異符号の二つの
Fig. 9.4: 磁場のエネルギー.
電荷が作る電場の場合と同様に、両電流間の空間で、磁力線が疎になっている。そのため、
磁場が弾性体のような収縮する性質を持つのであれば、この両電流間には引力が働く。逆に、
逆方向に電流が流れる直線電流間には、図のような磁力線が生じ、斥力が働く。
125
9.3
発電機
電気は、動力や灯りに使われる。また、電気を使用することより様々な電気機器は初めて
稼働する。しかし、電気を使うためには、電気をまづ作らねばならない。電気を作るのに、
電磁誘導現象が利用される。電磁誘導では、磁束が時間変化する回路に電圧が生ずる。この
回路に電気抵抗をもつ導体を連結すると、電流が流れる。つまり、磁束の時間的な変化を作
れれば、電場がない領域や電圧がない回路に、電圧を生じることができる。磁石は、磁束を
持っている。だから、磁石を運動させれば、磁束の変化が生じる。例えば、図のように、ＮＳ
極からなる棒磁石を回路の間で往復運動させると、回路を横切る磁束は時間的に変化する。
Fig. 9.5: 発電機.
回路を横切る磁束を Φ(t) とすると、起電力 V は
∂
Φ(t)
(9.14)
∂t
となり、この回路に抵抗 R が連結されていると、電流
V
I=
(9.15)
R
が流れる。
このように磁石に力を加えて磁石を運動させると、回路の両端に起電力が生ずる。電気が
流れると、電流は仕事をする。この仕事は、磁石に加えた力がする仕事でもある。このよう
にして、力学的なエネルギーが、電流や電圧に変換された。
逆に、磁石を固定しておきその中で回路を回転させても、同じ発電機ができる。図のよう
な、大きな永久磁石で磁場を作っておき、角速度 ω で回転する回路を横切る磁束 Ψ(t) が
V =−
Ψ(t) = BS cos ωt
(9.16)
と時間変化するとする。回路の両端には、電圧
d
(9.17)
V = − Ψ(t) = BSω sin ωt
dt
が生ずる。この電圧を、外部の抵抗 R に連結しておけば、この抵抗に電流 I が流れる。この
電流は、
BSω
sin ωt
(9.18)
I(t) =
R
となる、向きが交互に変わる交流である。電圧 V は、式 (9.17) で与えられるように、B,S,ω
で決定され抵抗には依存しない。電流は、一方で、抵抗によって変わることになる。
126
9.4
コイルの自己誘導
閉じた回路に電流が流れると、内部の空間に磁場が生成される。この磁場は、電流に比例
する大きさを持つので、電流が時間変化すると、磁場も時間変化する。時間変化する磁場を
囲む別の閉じた回路があれば、この回路には起電力が生ずる。また、同じ回路にも、起電力
が生ずることになる。電流を何度も回転させておくと、それぞれの電流の寄与が加わり、生
ずる磁場や磁束は、大きくなる。これをコイルという。今図のように、２つのコイルを重ね
ておく。
一つの回路に交流電流を流し、他のコイルに生ずる電圧を図る。この電圧は、磁束の時間
微分に比例し、磁束は電流に比例する。だから、電圧は
Vi1 = −M21
d
I1
dt
(9.19)
となる。比例係数 M21 は、相互インダクタンスという。をた構造つまり、コイルに時間変化
する電流が流れると、同じコイルの両端に電流の時間微分に比例する起電力が生ずる。
コイルが一つである場合、コイルに交流を流すと、コイルに電流の時間微分に比例した
電圧,
Vis = −L
d
I1
dt
が生ずる.L を自己インダクタンスという。
127
(9.20)
9.4.1
交流回路
自己インダクタンス L のコイルに、抵抗 R とコンデンサー C を図のように直列につない
だ回路を考えよう。
Fig. 9.6: 交流回路.
それぞれの両端の電圧は、コイルの誘導電圧
Vコイル (t) = L
d
I(t)
dt
(9.21)
オームの法則による電圧
V抵抗 = RI
(9.22)
とコンデンサーにおける電荷と電圧の比例式
Vキャパシター =
Q
C
(9.23)
である。回路が閉じているので、電圧の和は、
Vコイル + V抵抗 + Vキャパシター = 0
(9.24)
と零になる。この電圧に、電流を使う上の関係式 (9.21)、(9.22)、(9.23) と、コンデンサーに
たまる電荷の変化率が、流れる電流であることを示す式
I(t) =
d
Q(t)
dt
(9.25)
より、電流についての微分方程式
L
d2
d
1
I(t) + R I(t) + I(t) = 0
2
dt
dt
C
(9.26)
が得られる。抵抗 R が零であれば、電流は、
L
1
d2
I(t) + I(t) = 0
2
dt
C
128
(9.27)
と、単振動をする。単振動の解は、周期運動
I(t) = I0 cos ωt,
1
ω=√
CL
(9.28)
(9.29)
である。この場合は、振幅は、一定に保たれる。抵抗 R が有限であれば、振動は減衰振動
I(t) = I0 e−γt cos ωt
1
Ls2 + Rs + = 0, s = −γ + iω
C
(9.30)
(9.31)
となる。
9.5
変圧器
電磁誘導を応用して、回路の両端の電圧を変えることができる。１次コイルと２次コイル
の２個のコイルを重ねて磁束を共有する２重コイルで、１次コイル側の電圧と異なる電圧を
2 次コイル側に発生させられる。１次コイルの巻数を n1 、２次コイルの巻数を n2 とすると、
2 ツのコイルを貫く磁束が等しいとき、電磁誘導の法則より磁束を貫くコイルの一巻きごと
に同じ電圧が誘起される。その結果、
V1
V2
=
n1
n2
(9.32)
の関係が成り立つことが分かる。磁束が漏れないように、図のような大きな磁化率を持つ強
磁性体からなる金属芯のまわりにコイルを巻いておけば、効率が良い。
Fig. 9.7: 変圧器.
9.6
電場の時間変化とマックスウェルの変位電流
次に、電場の時間変化が引き起こす物理について考察する。
先ず、定常的な電流が作る磁場について復習しよう。電流を回転の源として磁場が作られ
るのを示す、ストークスの定理
I
l
⃗ = µ0 I
d⃗l · B
129
(9.33)
より、図のような経路 l にそった磁場の積分は、経路を横切る電流 I に比例する。
この積分を、閉じた立体を覆う全表面でおこなうと重要なことが分かる。簡単のために、
図のような立方体の６この面の各辺を経路とする線積分の和を、計算する。これら６面を囲
む４辺にそう磁場の線積分は、図の８点の位置をつなげて
B12 + B23 + B34 + B41 = (1234); 面 1
(9.34)
B15 + B56 + B62 + B21 = (1562); 面 2
B26 + B67 + B73 + B32 = (2673); 面 3
B43 + B37 + B78 + B84 = (4378); 面 4
(9.35)
B14 + B48 + B85 + B51 = (1485); 面 5
B58 + B87 + B76 + B65 = (5876); 面 6
である。ここで、B12 は点１から点２までの磁場の線積分
∫
B12 =
2
1
⃗ · d⃗l
B
(9.36)
であり、積分は上限と下限を入れ替えると逆符号となる関係
Bij = −Bji
(9.37)
を満たすことより、式 (9.36) の左辺の６式の総和は零である。だから、この立体から６この
130
面を通って外に流れだす電流の総和は、
l=6
∑
Il = 0
(9.38)
l=1
と零である。つまり磁場の源となる電流は、全体でうち消す必要がある。この関係式には、
時間が全く関係ないので、時間的に変動する電流や磁場でも成り立つ。
コンデンサーの電荷が時間的に変動するとき、コンデンサー内の電場は、時間変動し、ま
た挟んだ立体に対して上の恒等式より、流れ込む電流と同じ大きさで、逆を向いた何らかの
電流が面から外部に出てゆく必要がある。図のような立体で、コンデンサーの電荷が時間
変動するとする。各辺からなる立体には導体から電流が流れ込んでいる。しかし、コンデン
サーにつながる導線以外に、立体の外へ電流を流す導線は存在しない。あるのは、図にある
コンデンサーの電荷により生じた下向きの電場だけである。だから、この状況で、通常の電
流は流れだしていないので、電流の保存則は破れている。じつは、この時間変動する電場が、
そとへ流れ出る電流と考えると、電流の保存則は成り立っている。さらに、これが通常の電
流と、等価な働きをして、磁場を作っている。流れ込む電流が周囲に作った磁場は、コンデ
ンサーの内部にもある。ここでは、時間変動する電場によって、磁場が作られている。時間
変化する電場と磁場との関係は、ある面を横切る電気力線の総量の時間微分が、電流の働き
をし
∂ ∫ ⃗ ⃗
dS · E = 電流
∂t
(9.39)
∂ ∫ ⃗ ⃗
⃗
⃗
dl · B = µ0 I + ϵ0 E · dS
∂t
l
(9.40)
で表される。だから式 (9.33) は、
I
と修正される。
このような電流が実際流れることを、コンデンサー（キャパシター）でさらにみよう。
131
コンデンサーには、極板の間に絶縁体がはさまれている。絶縁体中で、通常の定常電流は
流れないが、交流は流れることがわかる。コンデンサーの両端に電圧 V がかかると、外部
から流入した大きさ Q = CV の電荷がたまる。さて、蓄えられている電荷が時間的に変化
するとしよう。この電荷の時間変化は、外部からの電流で引き起こされる。つまり、コンデ
ンサーに外部から導体を通り電流が流れ込んだ結果、極板間の電荷が時間変化する。その結
果、極板間の電場が、やはり時間的に変動する。この現象で、極板間の部分で電流の連続性
を満たそうとすると、極板間の絶縁体部分に電場が流れることになる。この電流は、電場の
時間変化に比例している。
電気力線の時間変化が、コンデンサー内の電流を生じる。もともと電気量 Q(t) の時間変
化は電流
d
Q(t) = I(t)
dt
(9.41)
であり、またコンデンサーの電場は電荷 Q(t) からガウスの定理で
E=
Q
ϵS
(9.42)
と決まる。
Fig. 9.8: 変位電流.
この両式より、電流 I(t) が電場の時間変化を使い
I(t) = ϵ
d
(SE)
dt
(9.43)
⃗ ·E
⃗
dS
(9.44)
とあらわせる。ここで、SE は、
∫
SE =
と表わせる、電束である。結局、電束の時間微分が電流であることが分かる。
電流の周りに磁場の回転が生じるので、コンデンサーの電荷が時間変化して導体内を電流
が流れる時、導体の回りには磁場の回転が生じている。磁場は連続であるので、コンデンサー
の周囲にも、同じ磁場が生じている。この領域で同じ磁場を表すためには、コンデンサーの
極板間にも、磁場の回転の源がある。磁場の回転は、コンデンサー内では、電場の時間変化
であり、電場の時間変化が電流と同じ働きをして、磁場の回転となっている。図の立方体の
下面を横切る電束の時間変化を付け足した結果、全体で電流が保存している。
132
Fig. 9.9: 変位電流詳細図.
マックスウェルは、電場や磁場についての時間変化や空間変化にかんして数学的な洞察を
行い、電場の時間変化が電流を引き起こし、その結果磁場の回転を引き起こすことを、発見
した。これは、電場に対する運動方程式である。
磁場の時間変化 → 電場の回転
(9.45)
電場の時間変化 → 磁場の回転 (9.46)
磁場が時間的に変化すると共に、空間的に変化する時、電場の回転が生じまたこの電場が時
間的に変化すると磁場の回転が生じる。このようにして、次々に電場と磁場の振動が、空間
を伝わる。つまり、電場や磁場が、物質がない領域にも存在し、電荷や電流に力を与えるだ
けでなく力学的な運動法則に従っている。
例:変位電流
z 軸方向の電場 Ez (t) が、時間とともに変化した時、変位電流はｚ軸方向を向き、
⃗jz = ϵ d Ez (t)
dt
(9.47)
πr2
1
d
⃗
B(t)
= (y/r, −x/r, 0)jz
= (y, −x, 0)ϵ Ez (t)
2πr
2
dt
(9.48)
である。この電流による磁場は、
とｘｙ面内にあり電場と直交している。
9.7
問題
９−１ 電磁誘導
図のような回路を軸の周りに一定の角速度で回転させるとき、回路の両端に生ずる起電力
を求めよ。次に、回路に一定の抵抗 R をつなげた時、抵抗が消費するエネルギーを計算せ
よ。また同じ計算を、ローレンツ力に基づいて行え。
133
9-2 電磁誘導
電磁誘導の法則：磁場の時間変化
⃗ が時間の関数として、
磁束密度 B
⃗
⃗ 0 cos ωt
B(t)
=B
(9.49)
と変化するとき、次にあげる閉じた回路 Ci に沿って生ずる起電力を計算せよ。
C1 ：ｘｙ面内の半径 R の円
C2 ：ｘｙ面内で、たて a 横 b の長さの長方形
C3 ：ｙｚ面内の半径 R の円
C4 ：ｙｚ面内で、たて a 横 b の長さの長方形
9-3 変圧器
変圧器の応用
図のような鉄芯の片方に巻数 n1 他方に巻数 n2 のコイルが巻かれている。磁束の漏れがな
い場合、コイル n1 に角速度 ω の交流電流を流した場合、コイル n1 の両端の電位差 V1 とコ
イル n2 の両端の電位差 V2 の関係を明らかにせよ。
次に、磁束の 10 ％が漏れる場合には、どうなるか？
134
9-4 インダクタンス
インダクタンス（自己、相互）
9-5 コンデンサー
コンデンサー
9-6 変位電流
変位電流
9-7 交流回路
交流回路
9-8
135
第 10 章 マックスウエル方程式
電場や磁場は、電荷や電流を発散や回転の源にしている。時間的に変動しない物理現象で
は、これらは互いに独立で無関係な場であり、また物質のない空間に大きな効果を生じない。
ところが、電場や磁場が、時間的に変化するとき、電磁誘導の法則と変位電流の関係式より、
電場と磁場は独立ではなくなり、互いに他の源となる。磁場の時間変化は、電場を誘起し電
場の時間変化は磁場を誘起する。電荷や電流がない空間で、場はたがいに変換しあう連立方
程式で統一的に記述される。このようにして、電場と磁場の力学は、両者をまとめた電磁気
学として統一された。特に、物質がない空間領域でも、電場や磁場の波の効果が表れる。
電場と磁場は、
⃗ は、電荷密度ρであり、閉曲面を横切る電気力線の総和は、
1. 電場の湧き出し（発散）∇E
この閉曲面の内部に含まれる電荷に比例する
(10.1)
2. 磁束密度の湧き出しは、存在しない。 閉曲面を横切る磁力線の総和は、零である． (10.2)
3. 電場の回転は、磁場（磁束密度）の時間変化である。だから、閉曲線の両端に
生じる起電力は、その閉曲線を端とする閉曲面を横切る全磁束の時間変化に比例する。 (10.3)
4. 磁場（磁束密度）の回転は、電流と電場の時間変化である。
(10.4)
を満たしている。
これらは電場や磁場を積分した形で、
∫
1.
閉曲面
⃗ ·E
⃗ =
dS
∫
2.
I
閉曲面
1
Q内部
ϵ0
(10.5)
⃗ ·B
⃗ =0
dS
(10.6)
∫
⃗ = − ∂ Φ(t), Φ(t) = dS
⃗ ·B
⃗
3. d⃗l · E
∂t
∫
I
⃗ ·E
⃗
⃗ = µ0 (I⃗ + ∂ D
⃗ 内部 (t)), D(t)
⃗
4. d⃗l · B
= ϵ0 dS
∂t
とまとめられる。
137
(10.7)
(10.8)
これらの電場と磁場が満たす関係式を、微分形で表わした時間と空間座標についての４変
数の偏微分方程式が、マックスウェル方程式
⃗ = 1ρ
1. ∇ · E
ϵ0
⃗
2. ∇ · B = 0
⃗ =−∂B
⃗
3. ∇ × E
∂t
⃗ = µ0 (⃗j + ϵ0 ∂ E)
⃗
4. ∇ × B
∂t
(10.9)
(10.10)
(10.11)
(10.12)
である。
この式から、電場や磁場の時間微分は、
∂ ⃗
⃗
B = −∇ × E
∂t
∂ ⃗
⃗ − µ0⃗j
µ0 ϵ0 E
= ∇×B
∂t
(10.13)
(10.14)
と、磁場や電場の空間微分で決まる。だから、この二つの式は、電場や磁場の運動方程式で
ある。電場や磁場は、運動方程式に従う力学的な物理量であることが、分かった。このよう
に、電荷間の力や電流間の力を普遍的に表わすために導入された電場や磁場は、自身が固有
の運動方程式に従う物理的な実体となっている。
10.1
電磁波
電場と磁場の時間変化や空間変化が、原因や結果となって波が生成される。時間・空間で
振動する電場や磁場の波である電磁波は、物質が存在しない真空中をも、伝播する。他の多
くの波が、媒質中を伝播するのと大きく異なる。たとえば、音は空気中や、物質中を伝播し、
媒質がない場所を伝播することはできない。何も存在しないはずの真空中を、電磁波が伝播
することより、昔、電磁波が伝播する未知な媒質（エーテル）があるに違いないと、想像さ
れたこともあった。しかし、そのような物質（エーテル）は存在しない事が確認され、電磁
波が伝播することは、むしろ、真空が持つ性質である。
10.1.1
電磁波の性質
閉じた回路を横切る磁場に時間変化があるとき、回路には起電力が誘起される。このファ
ラデイーの電磁誘導の法則は、回路の性質や形状によらずに発現する現象である。だから、
回路がない空間でも、電場が生成されているはずである。回路が存在しない真空中で、時間
的に変動する磁場の周りに回転する電場が、図のように誘起される。この電場は、磁場に直
138
交する面内における磁力線を周回する経路にそう。だから、起電力が作られる事を意味する。
この閉じた経路にそう線積分は、経路を小さく取った場合では、電場ベクトルの空間微分の
一つである回転をあらわしている。磁場が時間変動する空間の位置からわずかにずれた位置
で、電場ベクトルが作られる。一方で、電束密度の時間的な変動は、電場の方向をもつ変位
電流を引き起こす。変位電流の周りには、当然ながら回転する磁場が生成される。この磁場
の空間的な位置は、やはりもとの電場の位置からわずかにずれた場所である。
変位電流が時間的に変動するとき、この電場の場所からわずかに離れた位置における磁場
も、時間的に変動する。だから電磁誘導のために、さらにわずかにずれた位置で、電場が誘
起される。このように、電場と磁場が互いの源となりながら時間や空間で変動する現象が生
ずる。これは、波動現象であり、電場や磁場の波動なので、電磁波とよぶ。このように、電
磁波が生成され伝播する。
電磁波の運動を調べるには、上のマックスウェル方程式を使えばよい。マックスウェル方
程式を書き換えて、真空中における電場の時間の２階微分が、電場の２階の空間微分に比例
する波動方程式
(∇2 −
1 ∂2 ⃗
)E = 0
c2 ∂t2
(10.15)
(∇2 −
1 ∂2 ⃗
)B = 0
c2 ∂t2
(10.16)
や、磁場に対する同じ方程式、
が導かれる。つまり、電荷密度も電流密度もない空間領域に、振動する電場や磁場が伝播す
る。ただし、c は波の速さであり、真空の誘電率 ϵ0 と透磁率 µ0 より
c2 =
1
ϵ0 µ0
(10.17)
と表わせる。
この波である電磁波は、波長や振動数によらない速さをもつ。電磁波には、様々な波長の
波があり、電波、光、ガンマ線、等はそれぞれ波長の異なる電磁波である。可視光は、目が
最も感じることのできる電磁波であり、太陽から放射される電磁波の主要な成分をなしてい
139
る。電磁波の速さは、波長の長さによらずに一定であり通常の場合光速 c とよぶ。光速は普
遍的な物理定であり、最も重要な物理定数の一つである。
電磁波の簡単な例は、時間と空間座標の一つ z に依存して変化する、
⃗ = ⃗aei(ωt−kz)
E
(10.18)
⃗ = ⃗bei(ωt−kz)
B
(10.19)
である。ここでは、複素数を使い波を表現したが、実際には、電場や磁場は実数であり複素
数ではない。上のように複素数で表わし、その実数部か虚数部を使うことにする。複素数で
表わしておくと、計算が見通しが良いし、何よりも簡単である。途中の計算を複素数で行い、
最後に複素数の実数部または虚数部が電場や磁場であるとする。このような簡便法がとれる
のは、あとで述べる重ねあわせの原理があるためである。⃗a と ⃗b が実数ベクトルであれば、
実数部分を取ることにすれば、
⃗ = ⃗a cos(ωt − kz)
E
⃗ = ⃗b cos(ωt − kz)
B
(10.20)
(10.21)
となる。また、⃗a と ⃗b が実数ベクトル ⃗r1 、⃗r2 と位相部分 eiα 、eiβ の積
⃗a = ⃗r1 eiα
⃗b = ⃗r2 eiβ
(10.22)
⃗ = ⃗r1 cos(ωt − kz + α)
E
⃗ = ⃗r2 cos(ωt − kz + β)
B
(10.24)
(10.23)
であれば、電場や磁場は、
(10.25)
となり、三角関数による表示で、位相が α や β ずれた波になる。
以下複素ベクトルで表わした表記をとる。電磁波は、ｚ方向に伝播する波でありベクトル
⃗a が電場の方向を表わすベクトルであり、⃗b が磁場の方向を表わすベクトルである。ファラ
デーの法則で電場が磁場に直交することや、変位電流による磁場が電場に直交することから、
二つのベクトルは直交して、
⃗a · ⃗b = 0
(10.26)
となっている。またこれらは、進行方向 z 方向にも、直交して
⃗a · ⃗ez = 0, ⃗b · ⃗ez = 0,
140
(10.27)
を満たすｘｙ面内にあるベクトルである。つまり、電磁波の電場や磁場は波の進行方向に垂
直である。よって電磁波は横波である。
電磁波は、他の波と同じに、周期運動を繰り返しながら、遠方まで伝播する。その間、減
衰しない。太陽で作られた光は、約 500 秒後地球に到達する。光は、エネルギーを持ってい
るので、真空中を光によってエネルギーが運ばれる。太陽エネルギーは、光の形態で地球に
伝播している。
10.1.2
電磁波の偏光
横波の条件式 (10.27) を満たす一つの解は、
⃗b = ⃗ex ,
⃗b = ⃗ey
(10.28)
(10.29)
である。これらの解は、電場がｘ方向か、ｙ−方向を向いている波であり、直線偏光という。
一方、
⃗b = ⃗ex + i⃗ey ,
⃗b = ⃗ey − i⃗ey
(10.30)
(10.31)
の解は、電場の方向がｘｙ面内で、回転するので、円偏光という。
10.2
電磁波の反射と屈折
電磁波は、金属面で反射する。また、屈折率が異なる物体の境界でも反射や屈折が起きる。
光の反射や屈折は、幾何光学で学ぶことであるが、光は電磁波であるので、マックスウェル
方程式で、調べる問題である。
141
10.2.1
異なる誘電率を持つ物質界面
⃗ が、真空中とは異なる誘電率 ϵ で
物質の効果は、電束密度 D
⃗ = ϵE,
⃗ ϵ
D
(10.32)
⃗ が磁場強度 H
⃗ に比例係数を µ として比例して
となり、また磁束密度 B
⃗ = µH,
⃗ µ
B
(10.33)
1
cm = √
ϵµ
(10.34)
となる。また、光の速さは、物質中で
であり、屈折率 n が
v
u
u ϵµ n=t
ϵ0 µ 0
(10.35)
である。
図
ここで、図のように屈折率 n の物質と、真空が平面を境に接しているとする。ガウスの発
⃗ m 、B
⃗ m とすると、反射や屈
散定理や、ストークスの定理を使い、両側での電場や磁場を、E
折の法則が導かれる。
10.2.2
金属表面での反射
次に、金属表面での反射を考える。金属の内部では、静電場はあり得ない。交流電場も、
金属の表面では存在出来るが、内部には入れない。詳しく調べるためには、電流 ⃗j(⃗x, t) と電
⃗ x, t) の間に成立するオームの法則
場 E(⃗
⃗ x, t)
⃗j(⃗x, t) = σ E(⃗
142
(10.36)
をマックスウェル方程式と連立させる。すると、電磁波は真空から入射して金属面で反射す
ることが分かる。ただし、電磁波は、表面で金属の内部ににわずかに入る。だから、電場の
法線方向の成分は、
⃗n = 0
E
(10.37)
となる。このようになるためには、表面で、反射波が入射波と同じ大きさで逆向きに進む必
要がある。これより、反射角が入射角と等しくなる。
10.3
電磁波の生成（発信）と受信
ラジオや、テレビでは、電磁波が様々な情報をのせて発信され、遠距離まで伝播し、最後
に受信機で受信される。電磁波にのせられた音や、映像が、真空中を伝播することになる。
電荷がある近傍の領域では、電場が作られている。静止した電荷が作る電場は、時間的に
一定であり変動しない。だから、電磁誘導や変位電流の効果は受けないので、静的な電場の
ままであり電磁波にはならない。また、一様な速度で等速度運動する電荷による電場は、等
速度で電荷と共に移動するだけである。これらの電場は、クーロンの法則でわかるように、
電荷からの距離の２乗に反比例して弱くなり、電荷から離れた空間を独立に伝播するわけで
はない。これらの場合の電場は、電磁波にはなれない。物質中で、電荷の速さが光の速さを
超える場合は例外である。この場合、等速度運動する化電流は、チェレンコフ光を放射する。
ところが、電荷が往復運動（振動）や、等速度円運動のように加速度運動する場合は、時間
変化する電場と磁場が互いの源となり、電磁誘導や変位電流の効果により、電磁波が生成さ
れる。加速度をもって電荷が運動する場合、電荷の近傍にできた電場は、電荷とともに移動
することができないで、電磁波として生成され、電荷とは独立に光速度で伝播する。電磁波
は、電荷からの距離の２乗に比例して弱くなるわけではない。電磁波は、電荷からの距離が
大きい空間で、極めて重要になる。
10.4
重ね合わせの原理
電場や磁場は、真空中でマックスウェル方程式に従う。マックスウェル方程式は、線形の
方程式であるので、二つの解を重ね合わせたものは、やはり方程式の解になり、解は重ねあ
わせの原理に従う。重ね合わせ原理は、波動に特徴的な性質であり、粒子は満たさない。そ
のため、波動と粒子を区別するのに、重ね合わせの原理が使われる。波動の示す物理現象と
して良く知られた、干渉や、回折は、重ね合わせの原理から導かれる。
143
10.4.1
線形方程式
いま未知関数 f (x) が、線形方程式
Df (x) = 0
(10.38)
2
d
d
を満たすとする。ここで、D は、一階微分 dx
や２階微分 dx
2 や、さらに高階微分を含むもの
とする。f1 (x) と f2 (x) が
Df1 (x) = 0
(10.39)
Df2 (x) = 0
(10.40)
を満たすとき、定数係数 c1 , c2 により二つの解を重ね合わせた関数も同じ方程式を満たし、
D(c1 f1 (x) + c2 f2 (x)) = c1 Df1 (x) + c2 Df2 (x) = 0
(10.41)
となっている。二つの解で構成した任意の線形結合が、同じ方程式の解になることを、重ね
合わせの原理を満たすという。マックスウェル方程式は、時間と空間の多変数の微分をもち、
また電場や磁場を含む点で上の例よりはるかに複雑であるが、やはり線形方程式である。だ
から、マックスウェル方程式の解は重ね合わせの原理を満たす。
10.4.2
２重スリットの干渉
重ね合わせの原理や干渉現象をみる例は、２重スリットを通過した光が示す干渉である。
図のように、平行な光をスリットを開けた平面を通過させて、遠方においたスクリーンにお
ける光の強度を観測する。スリット１からの光 ϕ1 と、スリット２からの光 ϕ2 は、共に同じ
方程式を満たす異なる解である。だから、両スリットを通過した光は、二つの光を足した、
ϕ = ϕ1 + ϕ2
(10.42)
である。二つが同じ振幅の波であり、
|ϕ1 | = |ϕ2 |
(10.43)
を満たす場合でも、波の位相は様々であり、位相差が丁度 2π の時
ϕ1 = ϕ2
(10.44)
ϕ1 = −ϕ2
(10.45)
となり、また丁度 π のとき、
144
となる。前者では、
ϕ1 + ϕ2 = 2ϕ1
(10.46)
|ϕ1 + ϕ2 |2 = 4|ϕ1 |2
(10.47)
となり、単一スリットの場合の４倍の強度になるが、後者では
ϕ1 + ϕ2 = 0
(10.48)
|ϕ1 + ϕ2 |2 = 0
(10.49)
となり、強度が零になる。このように、二つの場合で、波の強度はまったく異なる。これら
が、一つのスクリーンで実現すれば、強度の変化を示す干渉縞が見える。
10.5
光速度の測定
光の伝播の速さが有限であるのか無限であるのか昔は分かっていなかった。光は、あまり
に速いので、無限の速さをもつと考えるのが自然であっただろう。しかし、有限の光の速さ
は、様々な重要な帰結を導く。光の速さが有限である事によって生ずる物理現象があれば、
有限な速さの実験的な確認ができる。では、いかなる実験から、光の速さが有限であること
が確認されたのであろうか？
木星の衛星観測：レーマーの観測 (1676)
木星は、地球の外側で太陽の周りを回る軌道にそって運動する惑星の一つである。また、
木星には衛星があり、丁度月が地球の周りをまわるのと同じに、木星の周りを回っている。
地球から、木星の衛星を観測中、不思議なことが観測され、その原因として、光の速さが有
限であることがわかった。 地球の公転半径は約 l1 = 1.5 × 108 K ｍであり木星の公転半
径は l2 = 7.8 × 108 K ｍである。木星の周りを回る衛星を、地球で観測できるのは、衛星が木
星に隠れていない時である。衛星が、木星の反対側に隠れている位置から、丁度見えるよう
になる時間は、過去のデータから容易に予想できる。もしも光の速さが無限であれば、地球
上でも、木星と同じ瞬間に衛星が見えるはずである。だから地球上で、木星と同じように周
期的に観測される。しかし、光の速さが有限であれば、衛星から地球上の観測者までの距離
で決まる時間だけの遅れが生ずる。この遅れの時間が、観測できれば、光の速さが有限か無
限か分かる。ところで、もしも距離 L が、一定の値であれば、遅れ ∆t
145
L
(10.50)
c
は、一定の値であるので、地球上の測定では、分からない。地球上ではいつも、一定の時間
遅れているように見えるので、実は、遅れていることの判定は出来ない。現実には、木星も
地球も太陽の周りに公転しているので、距離 L は l2 − l1 と l2 + l1 の間を時間的に変動する。
だから、n 回目の時刻での距離を L(n)、
∆t =
L(n)
c
木星での時刻を T (n) とすると、衛星の周期 Ω から
(∆t)n =
T (n) = nΩ
(10.51)
(10.52)
となり、地球上で衛星が見えるようになる時刻は
L(n)
(10.53)
c
となる。そのため、地球上で衛星が見えるようになる時刻は、光の速さに依存する。もしも、
光の速さ c が無限大であれば、地球上で衛星が見えるようになる時刻は木星における時刻に
一致し、
T (n) + (∆t)n = nΩ +
T (n) + (∆t)n = nΩ
(10.54)
と周期的なはずである。実際には、時間の遅れの変化が観測され、光速が有限であることが
分かった。両星の距離が最短である時と、最長である時で、時間差は約 2000 秒である。
直接測定：フィゾーの実験 (1849)
直接測定で、光の速さを最初に決めたのは、フィゾーである。フィゾーは、高速度で回転
する歯車の隣り合う隙間の間を光がする抜ける微小時間 δtM を測定して、光の速さを決め
た。図のような距離 8.6Km 離れた位置においた鏡で光を反射させ一周あたり 103 こある歯車
を、１秒当たり 200 回、回転させた。の幅を a とすると、光の速さは、
a
c=
(10.55)
δtM
となる。
現代的方法
146
光の速さを、高い精度で単位時間（秒）当たりに光が進む長さ（メートル）で表わす際、
メートルと秒がどのように定義されているのかを検討する必要がある。これらの値は、現代
の科学や技術の基本にもかかわる重要な事柄である。現代の扱いは、光速は
c=
(10.56)
であると定義する。つまり、時間の単位 (秒) と空間の長さの単位 (メートル) の比は、上の
式で定義される。
10.6
ダークマター
我々の身近にある物質は、たくさんの小さな原子からできている。原子は、さらに正電荷
を持つ原子核と負電荷をもつ電子からできている。だから、すべての原子は、電荷をもつ構
成要素が結合したものである。一方で、電荷は電磁場と相互作用する。だから、すべての物
質は、光と相互作用する。このため、物質を熱して熱くすると、温度に応じた色を持って輝
くようになる。太陽が白色で、光り輝くのも、同じ理由であり、他の恒星も同じ理由で、輝
いている。電子やクオークは電荷をもち、これらからできている物質は、すべて同じ性質を
持つ。
光自身は、電荷をもたない、またニュートリノという素粒子も電荷をもたない。光は、電
荷間に相互作用を与える働きをし、ニュートリノは崩壊する物質と共に生成される。ニュー
トリノは、非常に小さな質量をもつことが、最近になって分かってきた。
これら以外に、もしも、電荷をもたない構成要素からできた物質があれば、この物質は光
と相互作用しないので、光を放射できない。だから、これらの物質はいつも暗いままである。
最近の実験で、電荷をもたないニュートリノではない物質が宇宙を占めている事が分かって
きた。これを、ダークマターと呼ぶ。ダークマターの正体は、今のところ分かっていないが、
新たな素粒子である可能性が高い。もしも、ダークマターが、新たな素粒子であれば、今ま
での素粒子標準理論の枠外にある物質が、見えたことになる。
ダークマターが、重力相互作用だけする粒子とすると
ニュートリノ、光（電磁波）、重力波
147
10.7
問題
7-1. 原子核と電子間の力
原子核は、正の電荷をもち電子は負の電荷を持つ。電子の電荷を −e とすると、
e = 1.6 × 10−16
(10.57)
クーロンである。電子が、水素原子の原子核である陽子と１オングストローム 1 −−10 m 離
れているとき働く力の大きさはいくらか？また、１モルの陽子と１モルの電子が、１メート
ル離れているときの力はいくらか？
7-2. 摩擦電気
物体を摩擦すると、帯電する物質がある。例えば、ガラスを摩擦すると負に帯電し、エボ
ナイトを摩擦すると正に帯電する。この現象は、摩擦により物質の電子が移動するためであ
る。いま、1cm3 のガラスの表面から、 1/100 の電子が移行した時、このような二つのガ
ラスの物体に間に働く力を計算せよ。
7-3. 金属内の静電場
金属の内部に +Q の電荷が置かれた。この時、電荷の周囲にある電子の運動を考察せよ。
十分に時間が経過して電子に働く力が零になれば、電子の運動はなくなる。この状況では、
金属の内部では電位が一定になることを示せ。
7-4. 金属表面における静電場と電気力線
金属の内部では、電位が一定である。このことを使い、金属の平面上の表面や、でこぼこ
をした表面近傍における電場や電位を議論せよ。
7-5. 電流がする仕事
大きさ I の電流が、電圧差 V の間を流れるときの、単位時間当たりに消費する仕事を求め
よ。次に、一定の抵抗 R の物体中を電流が流れている。電流 I を一定にした場合と、電圧 V
を一定にした場合のそれぞれで、消費する仕事（エネルギー）を計算せよ。
7-6. 電流と抵抗をもつ回路
値が、R1 と R2 である二つの抵抗を、直列に接続した時の全抵抗と並列に接続した時の全
抵抗を求めよ。次に、電圧 V を両端にかけた時の電流と電流がする仕事をそれぞれの場合に
計算せよ。次に、全電流を一定の値 I にした場合に同じ計算をせよ。消費するエネルギーが
少ないのは、どちらか？また、片方の抵抗 R2 が零であれば、どうなるか？
7-7. 金属球殻の内部にある電荷と電場
半径 R1 と半径 R2 の間の金属球殻に一様な電荷密度で、電荷が分布している。ガウスの定
理を使い、r ≤ R1 R1 ≤ r ≤ R2 R2 ≤ r の３領域における電場を求めよ。
148
7-8. 誘電体とコンデンサー
コンデンサーの内部を誘電率 ϵ の液体でみたした。この場合の、コンデンサーがもつエネ
ルギーは、どのようになるか？
8-1. 電流間の力
２本の平行な直線導体を同じ大きさ I アンペアの電流が流れている。電流間の距離が 1 メー
トルであるとき、両電流間に働く力を求めよ。また、2 メートルの場合はどのようになるか？
8-2. 磁場から電流が受ける力
⃗ がｚ軸方向を向き、大きさが 10 テスラであるとする。ｘ軸の方向を向いた電流 I
磁場 B
が磁場から受ける力を計算せよ。また、力はどの方向を向いているか？
8-3. 複数の電流による磁場
ｚ軸方向の無限に長い２つの電流がある時のｘｙ面内の磁場を求める。
１．ｚ軸上を電流 I1 が流れ、(1, 0) を通りｚ軸に並行に電流 I2 が流れている。両電流が平
行の場合と、反平行の場合における、ｘｙ面内における磁場を計算せよ。力が、引力か斥力
か、磁場の分布から考察せよ。
8-4. 磁場のエネルギー
∫
⃗ 2 である。図のような円柱上の金属で透磁率が、
磁場のエネルギーは、 d3 x 2µ1 0 B
µ = µ1 , r < r1
(10.58)
µ = µ2 , r1 < r < R
(10.59)
であり、全磁束が Φ であるとき、全エネルギーを最小にするそれぞれの領域での磁束密度
B1 , B2 を求めよ。ただし、全磁束を一定として、
Φ = Φ1 + Φ 2
(10.60)
である。
8-5. ローレンツ力
電荷 q を持つ粒子が電場 (E, 0, 0) と磁場 (0, 0, B) のもとで運動している。質量を m として、
運動方程式を解け。電荷 q と質量 m をもつ荷電粒子の比電荷 me を決定する方法を考えよ。
149
8-6. 電磁気学の単位系
１アンペアの定義は何か？また、１アンペアと１クーロンとの関係、１アンペアと１ボル
トの関係を述べよ。電場の強さの単位や磁束密度の単位を説明せよ。
9 −１ 電磁誘導
図のような回路を軸の周りに一定の角速度で回転させるとき、回路の両端に生ずる起電力
を求めよ。次に、回路に一定の抵抗 R をつなげた時、抵抗が消費するエネルギーを計算せ
よ。また同じ計算を、ローレンツ力に基づいて行え。
9-2 電磁誘導
電磁誘導の法則：磁場の時間変化
⃗ が時間の関数として、
磁束密度 B
⃗
⃗ 0 cos ωt
B(t)
=B
(10.61)
と変化するとき、次にあげる閉じた回路 Ci に沿って生ずる起電力を計算せよ。
C1 ：ｘｙ面内の半径 R の円
C2 ：ｘｙ面内で、たて a 横 b の長さの長方形
C3 ：ｙｚ面内の半径 R の円
C4 ：ｙｚ面内で、たて a 横 b の長さの長方形
9-3 変圧器
変圧器の応用
図のような鉄芯の片方に巻数 n1 他方に巻数 n2 のコイルが巻かれている。磁束の漏れがな
い場合、コイル n1 に角速度 ω の交流電流を流した場合、コイル n1 の両端の電位差 V1 とコ
イル n2 の両端の電位差 V2 の関係を明らかにせよ。
次に、磁束の 10 ％が漏れる場合には、どうなるか？
150
9-4 インダクタンス
インダクタンス（自己、相互）
9-5 コンデンサー
コンデンサー
9-6 変位電流
変位電流
9-7 交流回路
交流回路
9-8
10-1
電磁波の性質
電磁誘導では、時間変動する磁場が磁場の周りを回転する電場を作る。この電場も時間変
動する。時間変動する電場は、回転する磁場を作る。これらの２ステップを組み合わせると、
ある場所で時間変動する磁場は、すぐ近傍での磁場を引き起こすことになる。このような考
察から、平面波の電磁波は横波であり、また電場と磁場が直交することを示せ。
10-2
光の速さの測定
今までの項目：
7 章:電荷間の力（クーロンの法則）、電場、電位と電気力線、導体と絶縁体、電荷の 単位
8 章:電流間の力（アンペールの法則）、磁場、磁力線、ローレンツ力、電磁気学の 単位系 (MKSA)
9 章:ファラデイーの電磁誘導の法則、発電機、コイルの自己誘導、マックスウェ ル
の変位電流
10 章:マックスウェル方程式、電磁波、光の速度の測定
151
第 11 章 電気機器
電気や磁気を使う機器は、現代生活に欠かせない。これらの機器に、どのようにして電磁
気の様々な物理機構が働いているのか、見てみよう。
11.1
電灯
電気を明りとして使うことより、夜の生活が一変した。人工的な光がなかった昔は、夜に
書物を読むことは、不可能であった。しかし、現在は電気による明りのために、夜も昼と同
じ様に書物を読めるし、文字を書くこともできる。エデイソンは昔、効率のよい電灯を作る
ため悪戦苦闘した。現在白熱電球、蛍光灯、そして最新のＬＥＤはきわめて効率よく、明り
を作っている。これらは、電気エネルギーを熱や光に変換する。
光に変換する効率は、
白熱電球： ％ 蛍光灯： ％
ＬＥＤ： ％ である。オームの法則で、電気抵抗のあるとことろを電流が流れると、
エネルギーが消費され物体の温度が上昇する。この結果、フィラメントが高温になり光を発
する。この物体が発する光が、使われるのが白熱電灯である。このように、一度作られた熱
エネルギーを、光に変換して使うので、効率は少し悪い。いっぽう、蛍光灯は、高温物体を
経ることなく、エネルギーを光に変換化している。そのため、効率がだいぶ良い。蛍光灯の
原理は、放電現象と蛍光現象を組み合わせている。 図のような、 ガスを詰めた管の内
部を、放電による電子が通過する際に生じる紫外線を蛍光体に吸収させ、でてくる可視光を
使う。最も新しい最後のＬＥＤでは、電流が半導体中を流れる際に直接発生する光を利用す
る。そのため、効率はＬＥＤで最も良い。
11.2
電熱器
電気抵抗 R の導体内を電流 I が流れると、エネルギー RI 2 が熱として消費される。熱は、
物体を温めたり熱したりするのに使われる。家庭における料理用器具や、暖房に使われる電
熱器は、このような原理を使っている。
153
11.3
送電
発電機で作られた電気は、使用される場所まで送電線を通り送られる。送電中、電流が流
れるので、抵抗によるエネルギーのロスがある。ロスを小さくするように、様々な工夫がさ
れると共に、大電力を使用する場所から発電所までの距離を短くして送電距離を短く抑えら
れている。近年は、風力発電、地熱発電、小型水力発電、原子力発電等の様々な発電施設が
作られている。
11.4
電信
電信は、遠隔地に情報（信号）を送る手段として、電磁波が最初に応用された分野である。
電磁波の特徴は、真空中や空気中を自由に伝播することである。だから、電磁波をうまく使
うことより、他の手段では不可能である情報の遠隔地への移送が簡単にできる。このために
は先ず、電磁波を人工的に作ることと受信することが必要である。
11.5
ラジオ
ラジオは、音声を自由に輸送する手段として、やはりエデイソンにより発明された。中波
8 m/s
ラジオでは、電磁波の振動数が９００ＫＨｚ程度である。この波の波長は、3×10
= 300m
9×105 /s
である。一方で、人の音声の振動数は１ＫＨｚ程度以下であり、電磁波の振動数よりもはる
かに小さい。そのため、音声の振動を直接電磁波の振動に一致させるわけではない。電磁波
に、音声の振動をのせるには、工夫が必要である。一つの方法は、電磁波の振幅が音声の振
動に合わせてゆっくり振動する波を使うことである。振幅のゆっくりした変化により、電磁
波の強度がこの振動数で変化する。この強度の振動を空気中に起こせれば、音声が生成され
る。この方法を、amplitude matching(AM) といい、中波放送に使われている。
他の方法は、振動数をゆっくり変動させる方法であり、frequency matching(FM) という。
振動数の振動の振動数を音声に合わせれば、音声が生成される。ラジオの音楽番組にはＦＭ
が多く使われている。
154
ラジオでは、先ず空気の振動を電気的な振動に変換させ、次に逆のプロセスである電気の
振動を空気の振動に変換させる。マイクロフォンや、スピーカーがこれらを行う装置である。
11.6
テレビ
テレビは、映像と音を、電磁波に乗せて電磁波として伝播させ、輸送する。音の輸送は、
ラジオと同じであるが、映像の扱いは音と同じにはゆかない。音の情報は、時間とともに変
化する振動数により表される。この場合、電磁波の１次元的な変化として表わされる。とこ
ろが、面に映される映像は、元来２次元的である。空間的に２次元的な構造を持つ映像を、
電磁波で表すには、ラジオよりさらに高度な、方法がとられる。２次元的な情報を電磁波の
上に作成して、空気中を伝搬させる。
今までアナログ放送が使われてきたが、最近デジタル放送が主流になりつつある。アナロ
グ放送は、前述のような原理で、映像を電磁波の信号に変換している。一方デジタル放送は、
映像の信号を一度数字の信号に直している。
11.7
レコード
音を蓄える（蓄音）のが、レコードと蓄音機である。現在は、円盤上のデイスクの表面の
溝に情報を埋め込む方法が最もポピュラーである。情報を光（レーザー）を使い読み込む。
昔は、円盤状のレコードの表面の溝を読み込むのに、針が使われた。杯は、レコードの表面
を摩耗させ、長い期間にわたる使用は、困難であった。いま使う光は、面を摩耗させること
は、皆無をｔ掘ってにが、
155
11.8
電車
従来型の電車は、レールの上を電気エネルギーで回転するモーターを動力として高速移動
する。レールは、地面よりもなめらかにできるので、ロスを少なくできる。レール（鉄路）の
作成は、大変であるが、一度作られた鉄路は、半永久的に使用される利点がある。だから電
車は、陸上の輸送機関として、ガソリン燃料を燃焼する自動車と並んで、重要である。モー
ターとして従来型のモーターだけでなく、リニアーモーター等の新型モーターが試行的に使
われるようになってきた。
11.9
電子計算機
電子計算機の発明により、機機が計算を高速で行えるようになった。電子計算機は、記憶
と演算を行う。現在の個人用のパーソナルコンピューターは、１０Ｇバイト以上の記憶と、
毎秒 ステップ以上の演算を行う。
11.10
電子レンジ
太陽からのエネルギーは、電磁波で伝播している。同様な装置で、電磁波を作成し効率よ
く吸収させれば、加熱装置となる。これが、家庭用の電子レンジである。
11.11
様々の電磁波
電場や磁場の時間や空間での振動が、電磁波である。電磁気学の章の最初に述べたように、
様々の波長の電磁波がある。これらは、すべてマックスウェル方程式の解であり、波長が異
なるだけである。そのため、すべて光と同じ速さで真空中を伝播する。光も、電磁波の一種
であり、太陽から放射される電磁波のうち最も強度が強いのが可視光である。地球上の植物
は、光のエネルギーを、光合成で化学的なエネルギーに変換している。だから、地球上にお
ける生物は、太陽光を出発点とするエネルギーサイクルの恩恵を受けている。
現在の科学技術で、操作しうる電磁波の波長は、表のとおりである。
11.12
問題
電磁波の応用
156
電磁波の応用と反射、屈折
電子レンジのエネルギー
送電の速さ、ロス
電磁波の波長、屈折、直進等
電磁波による三角測量
157
第 12 章 現代物理学
12.1
相対性理論
12.1.1
慣性の法則
ニュートンの運動の第一法則は、慣性の法則である。慣性の法則は、物体が慣性をもち、
力が働いていない物体は、静止か等速度運動をそのまま継続するというものであり、力学に
とって不可欠な法則である。第２法則で、力が働くときの運動の定量的な関係を示し、これ
らの両法則で、力の概念が明確にされている。第２法則で、力を零にすると加速度が零にな
り、だから速度が一定になり等速度運動が導かれるので、第１法則は、第２法則に含まれる
とみなされてしまうことがある。しかし、力とは何であるかの定義が、これらの両法則と独
立にされていないので、この解釈は間違いである。第１法則が第２法則に含まれるのではな
く、両者が矛盾しないことを示している。むしろ、両法則で、力とは何かを明確にしている。
では、加速度系で生じる見かけの力は、見かけでない ”真の力 ”と区別できるだろうか？
観測者がいる座標系が、加速度系であるか、慣性系であるかを知ることは難しい。そこで、
慣性系がわかっていれば、慣性系との比較で、見かけの力と真の力を区別できる。ニュート
ンの第１法則は、慣性系が存在することを仮定し、慣性系では、力の働かない物体は慣性の
法則を満たすという法則である。慣性系で、時間は絶対的に定義されている。このような、
時間の存在も、慣性系では仮定されている。
絶対的な静止系や慣性系、一様な時間や空間の存在を、ニュートン力学は前提にしている。
しかしながら、絶対的な時間や空間を仮定することなく、これらを使わずに、我々が直接観
測することだけに基づいて自然法則を表わせれば、よりよいだろう。このような観点で物理
法則を定式化するのが、一つの方法である。
12.1.2
ガリレオの相対性原理
絶対的な意味を持つ座標系が存在するかしないか問わず、複数の座標系の相対的な関連だ
けを使い力学法則を定式化することは、大変重要で意味がある。ふたつの座標系が互いに等
速度で運動しているとき、位置、速度、時間は
⃗x1 = ⃗x2 + V⃗ t2
159
⃗v1 = ⃗v2 + V⃗
(12.1)
t1 = t2
と関係している。この結果、両座標系における運動方程式で、加速度は等しく
⃗a1 = ⃗a2
(12.2)
となっている。だから、両座標系で同じ力
F⃗1 = F⃗2
(12.3)
を使い、運動方程式
m⃗a1 = F⃗1
m⃗a2 = F⃗2
(12.4)
が成立する。つまり、等速度で運動するすべての座標系で、運動方程式は同じである。
12.2
アインシュタインの相対性原理
光速度不変の原理
光の速さは、どのような速度を持つ観測者からみても同じで一定である。これは、速度の
合成についての通常の常識的な公式 (12.1) とは異なり、不思議なことではある。しかし、実
験でそのような結果が確認されたので、光の速さが不変であるように、自然法則ができてい
る事になる。このような法則が実現するためには、空間や時間座標の変換則が (12.1) とは異
なる必要がある。
⃗ で移動している自動車に乗る人から見
ある速度 [⃗v ] で移動している自動車を、他の速度 V
たとき、速度は
⃗v = ⃗v1 + V⃗
(12.5)
となる。同じ事を、光に対して行ったマイケルソン · モーリイの実験は、光がいつも同じ速
さを持つことを確認した。光に対しては、上の速度の合成則 (12.5) が成立しない。
この原因は、時間が異なる進み方をする点にある。ガリレイの相対性理論では、時間は両
座標で変わらず同じであった。時間についての、詳細な考察が必要になったことはなかった
が、光に対しては、事情が異なる。時間も、速度に依存して変わる。z 軸方向に速さ v で移
160
動する座標系における座標 (t′ , z ′ ) は、元の座標系における座標 (t, x) と線形の関係式を満た
している。この、時間や空間の座標の変換則は、
1
v/c
√
ct′ = ct √
+
z
1 − ( vc )2
1 − ( vc )2
(12.6)
v/c
√
+
ct
1 − ( vc )2
1 − ( vc )2
(12.7)
z′ = z √
1
である。時間座標と空間座標が、対称な形で変換される。元の座標系で、光の速度で進行する
z = ct
(12.8)
では、新たな座標系では
ct′ = ct √
1
1 − ( vc )2
+ ct √
v/c
1 − ( vc )2
(12.9)
1 + v/c
= ct( √
)
1 − ( vc )2
1
v/c
√
z′ = z √
+
ct
1 − ( vc )2
1 − ( vc )2
(12.10)
1 + v/c
= ct( √
)
1 − ( vc )2
(12.11)
z ′ = ct′
(12.12)
と変換される。よって、
となり、新たな座標系でも、進行速度は同じ c である。
12.3
時間と空間の同等性
光速度不変の原理を満たすようになるためには、時間と空間が同等であることが必要であ
る。空間座標が変換されるのと同様に、時間が変換される。時間と空間が光の速さと、座標
系の速度を使い、互いに変換される。
12.3.1
相互作用や情報の伝達
相互作用や情報は、高々光の速さで伝達される。
161
12.4
因果律
相互作用や、情報が高々光の速さで伝達することは、すべての現象において原因がある場
合、結果は高々光の速さで後から生ずる。
12.5
量子論
２０世紀、ミクロな世界の物理が分かってきた。特に、分子、原子、電子、等の理解が進
むとともに、分子や原子が沢山集まってできている様々な物質の多様な性質が、ミクロな要
素の性質や、要素間の相互作用からどのように出てくるのか等が理解された。
12.5.1
ミクロな世界の特徴
ミクロな世界の一つの特徴は、マクロな世界のように物体の運動を表わすための物差しが
存在しないことである。例えば、一つの原子はほぼ 10−10 M であり、10−10 M の長さを測る
物差しは、はるかに小さな目盛を持つ必要がある。しかし、原子を集めてそのような目盛や
物差しを作ろうとしても、当然はるかに大きくなってしまい無理なことである。だから、原
子くらいの大きさのミクロな世界の記述に、普遍的な物差しで物体の位置を読み、位置の変
化から、運動の法則を確かめることは、原理的にできない。古典物理学で常識的に行う考え
は、だから適用できない。では、物差しの代わりに、ミクロな世界における運動や変化を表
すのに何を使えるであろうか？ミクロな世界で発現する現象を記述したり、調べたりするに
は、ミクロな世界の現象しかない。だから、運動を記述するために物理現象が使われる。位
置を測定する物差しがないため、位置の時間変化を追う古典力学的な記述は意味を持たない。
ミクロな世界における物理は、重ね合わせの原理を満たす。複数の物理状態があるとき、
これらを重ね合わせた物理状態が存在する。重ね合わせの原理は、ベクトル空間の性質であ
り、物理状態が、ベクトル空間におけるベクトルで表される。しかも、複素数を係数にした
重ね合わせができる、複素ベクトル空間である。物理状態を記述するのは、状態ベクトルで
あり、波動関数ともよばれる。
二つの状態を重ね合わせた状態は、二つのスリットからくる光を重ね合わせた状態とよく
似ている。電磁気の章でみたように、二つのスリットからくる光を重ねると、合成された波
が実現し、その結果干渉が見える。合成波では、二つの波がたされて強くなる場合と、引か
れて弱くなる場合があり、空間の位置の違いでこれらの違いから干渉縞ができる。ミクロな
世界の特徴は、物理状態が重ね合わせの原理を満たすことである。古典物理学では、重ね合
わせの原理を満たすのは、電磁気や様々の波動であり、質点の運動や、大きさを持つ物体の
運動を表わす力学では、重ね合わせの原理を満たさない。例えば、質点の位置は一つの時間
に一つ決まり、二つの値を重ね合わせることは、意味をなさない。しかし、ミクロな世界で
は、質点でさえ重ね合わせの原理を満たし、波のような性質を持つ。
162
12.5.2
物差しや時計の代わりをする物理現象
ミクロな世界の長さを測る物差しが存在しないことより、ミクロな世界の状態の記述が、
マクロな世界とは大きく異なる。絶対的な物差しを使うことなく、ミクロな世界における現
象を記述するには、とにかくミクロな世界の現象を考察し、比較することが初めにすること
であろう。これを手始めにして、物理現象の普遍的な面を取りだすため、諸現象の相対的な
記述と、測定現象の解析がされる。
測定過程で、測定器を使いミクロな世界の情報をマクロな世界の値として読み取る。この
過程は、古典物理学の位置の測定に対応するが、実は非常に複雑な現象が係わる。測定器で、
物理量を読みとることは、何を意味するのか？
12.6
複素波動関数と重ね合わせの原理
重ねあわせの原理を満たす物理状態は、波動関数で表わされ、一つの波動関数が一つの物
理状態を表わしている。また、二つの波動関数をたした波動関数で表わされる物理状態が、
必ず存在する。
古典物理学における波動現象として、音波、光の波や電磁波、水面の波、など様々なもの
がある。音波は、空気中や水中、固体中を伝播する。空気中の音波では、空気の密度の変化
が波となり空気中を伝播する。固体中や液体中では、これらを構成している原子や分子の平
衡位置からの変位の振動、すなわち媒質の変位が伝播する。位置の変位は、当然ながら実数
であるので、音波は実数の波である。光や電磁波では、電場や磁場の時間や空間と共に振動
する変化が波となる。電場や磁場も実数であり、水面上の波でも、もちろん波は実数である。
古典物理学では、物体の変位や、電荷や電流に加わる力に基づいて物理法則が成り立ち、こ
れらの波は、やはりすべて実数の波である。
ところでミクロな世界では、前の章で述べたように、ミクロな物体の位置、加速度、さら
に働く力を古典力学と同じに定義することは出来ない。その結果、波が実数である必然性は、
ない。ミクロな世界における波は、何を表わすか？波動が、物理状態を表わしているが、古
典物理学とは異なり、測定した位置の変位を示す波であるわけではない。だから、波が何を
表わしているかを知るには、実験で探ることになる。実験としてなされる波固有の典型的な
現象の一つは、重ね合わせの原理に基づく、干渉である。干渉実験から、ミクロな世界の波
の性質を知ることができる。
12.6.1
２重スリット実験
電子を、図のような２重スリットを通してスクリーンに写す実験を考察する。古典物理と
ミクロな世界の物理との違いは、このような実験でもある。古典物理では一つの物体の運動
を直接測定して、普遍的な結果を得たが、ミクロな世界では、電子は非常に小さくて軽いの
163
で、一つ一つの測定値が普遍的な結果を示すわけではない。逆に、一回ごとの測定値は、殆
ど不規則的であり、なんらの規則に従っているように見えない。ところが、沢山の測定をし
た時、それらの平均値には規則性が見えてくる。これは、物理現象が、確率的に起きている
事を示す。確率が普遍的な性質を持つことより、物理法則に確率が関与することになる。
２重スリットを通過した電子で、一つの電子がスクリーンに観測される場所は、一回ごと
に不規則であり、なんらの規則性を持つようには見えない。しかし、沢山観測した時の平均
的な振る舞いには、規則性が観測される。だから、規則性や普遍性を扱う物理学としては、
予測が不可能な個々の現象ではなく、沢山の観測に対する平均的な値を考察の対象にする。
この平均値を与えるのが、波動関数である。だから、ミクロな波は確率波とも呼ばれる。物
理量が確率としての値となるためには、必ず正符号の値をとる正定値性を持ち、また全確率
はいつも保存していてかつ１に規格化されている必要がある。
12.6.2
確率と波
確率が、規則的な性質を持つ物理量である。この時、確率が満たす方程式があるだろうか？
確率 P が規格化されているので、時間変化しないで
d
P =0
dt
(12.13)
となる。また、P が確率密度 ρ(t, ⃗x) の空間積分
∫
P =
d⃗xρ(t, ⃗x), ρ(t, ⃗x) ≥ 0
(12.14)
である時、確率の流れ ⃗j(t, ⃗x) と共に、流れの保存式、
∂
ρ(t, ⃗x) + ∇ · ⃗j(t, ⃗x) = 0
∂t
(12.15)
を満たす。
以上の関係は、いかなる物理系でも成立する関係であり、運動方程式とは異なる。各物理
系に固有な運動方程式は、いかなる形になるか？確率が、波動関数の絶対値の二乗
ρ(t, ⃗x) = ψ(t, ⃗x)∗ ψ(t, ⃗x)
(12.16)
とすると、上の正定値を満たし、確率としての性質に合致する。運動方程式は、波動 ψ が満
たし、時間発展がある演算子 A を使い
∂
ψ(t, ⃗x) = Aψ(t, ⃗x)
∂t
(12.17)
A(ψ1 + ψ2 ) = Aψ1 + Aψ2
(12.18)
とすると、右辺は
164
となり、波は重ね合わせの原理を満たす。
実数の波
実数の波の場合には、波動 ψ(t, x) は実数であり、確率密度は
ρ(t, x) = (ψ(t, x))2
(12.19)
となる。全確率の時間変化は、 ∫
∂
∂
P = d⃗x (ψ(t, ⃗x)ψ(t, ⃗x))
∂t∫
∂t
=
(12.20)
d⃗x((Aψ(t, ⃗x))ψ(t, ⃗x) + ψ(t, ⃗x)(Aψ(t, ⃗x)))
であり、全確率が保存する A の例は、k を定数として、
A=k
∂
∂x
(12.21)
である。このとき、実際
∫
d⃗x((Aψ(t, ⃗x))ψ(t, ⃗x) + ψ(t, ⃗x)(Aψ(t, ⃗x)))
∫
=
dx((k
(12.22)
∂
∂
)ψ(t, ⃗x)ψ(t, x) + ψ(t, x)(k )ψ(t, ⃗x)) = 0
∂x
∂x
である。この A は、空間反転 ⃗x → −⃗x に対して A → −A と変換される。
複素数の波
複素数の波 ψ(t, x) では、確率密度は
ρ(t, x) = ψ(t, x)∗ ψ(t, x)
(12.23)
∫
∂
∂
P = d⃗x (ψ(t, ⃗x)∗ ψ(t, ⃗x))
∂t∫
∂t
(12.24)
であり、全確率の時間変化は
=
d⃗x((Aψ(t, ⃗x)∗ )ψ(t, ⃗x) + ψ(t, ⃗x)∗ (Aψ(t, ⃗x)))
となる。全確率が保存する A の例は、k を定数、i を純虚数として
A = ik(
∂2
∂2
∂2
+
+
+V)
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
(12.25)
である。V は、定数でもよいし、座標の関数でも良い。この場合、
∫
dx(((−ik(
∂2
∂2
∗
∗
+
V
))ψ
)ψ(t,
x)
+
ikψ
(t,
x)((
+ V )ψ(t, x))) = 0
∂x2
∂x2
165
(12.26)
と、全確率は一定である。この A は、空間反転 ⃗x → −⃗x に対して A → A と不変であり、実
数の波の場合と異なる。
このように、実数の波の場合に確率が保存される波動方程式は、空間反転に対して不変で
はない。だから、空間反転に対して不変で確率を保存させる方程式は、難しい。ところが、
複素数の波動では、空間反転に対して不変で、確率を保存させる方程式が、簡単に作れる。
だから、確率に対応する波の方程式としては、複素数の波のほうが自然である。
複素数の波は、力に結び付く変位には、直接は関係するわけではない。しかし、力により
与えられるニュートンの運動方程式から導かれたハミルトン · ヤコビ方程式と、関連する。
この関連を明らかにするため、波動関数を
ψ = eiS(t,⃗x)
(12.27)
と表わして、位相 S に関する方程式を求める。方程式は、
i
∂
∂S
∂S
∂S
S = −ik(( )2 + ( )2 + ( )2 + V S) + · · ·
∂t
∂x
∂y
∂z
(12.28)
となり、解析力学のハミルトン · ヤコビ方程式にほぼ一致する。
12.6.3
干渉
１つのスリットを通る電子では、スクリーン上で電子を観測する確率は、ほぼスリットの
延長線上で大きくなり、延長線上を外れると小さくなる。古典的な、粒子の軌道に近い領域
に確率を持つことになる。
次に、別のスリットを開けて元のスリットを閉じると、スクリーン上でも位置がずれる。
では、二つのスリットを開けて測定するとスクリーン上でどのようになるだろうか？
つまり、どのような干渉が生ずるのであろうか？スリットのそれぞれを通る波を ψ1 , ψ2 と
表わし、重ね合わせた波を
ψ = ψ1 + ψ2
(12.29)
とする。
古典波
古典的な波と同じに ψ を実数とすると、スクリーン上の振幅は、
(ψ)2 = (ψ1 )2 + (ψ2 )2 + 2ψ1 ψ2
となる。
166
(12.30)
複素数の波
ψ を複素数とすると、スクリーン上の振幅は、
(|ψ|)2 = (|ψ1 |)2 + (|ψ2 |)2 + ψ1∗ ψ2 + ψ1 ψ2∗
(12.31)
となる。
定在波と束縛状態
波の中には、その空間位置が限定された領域であり、また遠方に伝播しないで、束縛され
た物がある。媒質を制限した時の波が、その一つである。例えば、有限の長さの弦の振動、
太鼓の膜の振動、有限長の管の内部の音波の振動、等である。これらの波では、ある特定の
振動数や、波長の振動が存在して、それらの間の振動数は、ほぼ存在しない。楽器から生成
される音は、この性質を利用している。
これ等の定在波は、決まった境界条件を満たしているため、基本振動、倍振動、３倍振動
等の特定の波長や振動数の波だけが存在して、音として外部に出てくる。ギターのような弦
の振動では、端が固定されている。この条件を満たすのは、弦の長さの整数倍の波長の波で
ある。飛び飛びになり不連続な値を持つ波が存在する。
同様な現象が、原子から放射される光や電磁波にもある。原子から放射される光が、飛び
飛びの波長を持つ不連続スペクトルからなっている。これより、原子の内部にある電子は、
同じ定在波となっている事が分かる。
12.6.4
中性子干渉
電子は非常に軽い粒子であるため、運動量が小さく波長は比較的長い。そのため容易に波
としての性質が現れる現象を見ることができる。電子の次に軽い質量を持つ粒子は、約２０
０倍の質量をもつミュー粒子である。ミュー粒子は平均寿命を 10−6 秒程度とする不安定粒
子であり、パイ中間子の崩壊で作られる。安定で、電子の次の質量を持つ粒子は、陽子や中
性子である。陽子は、＋ e の電荷を持つ安定な粒子であり、水素の原子核でもある。陽子は、
電荷を持つので、電場や磁場による制御が、容易にできる。
次の中性子は、陽子よりわずかに重い粒子であり、陽子と電子とニュートリノに崩壊して
不安定であるが、平均寿命は数分程度の長さであり、安定な粒子とみなせる。そのため、中
性子を使い様々な実験を行うことが可能である。中性子は、電荷を持たない中性な粒子であ
るため、電場や磁場による制御が困難であり、また質量が電子の約２千倍の値であり、波と
しての波長は短い。しかし、速さを十分小さく出来れば、中性子の運動量を小さく波長を長
くすることができる。このようにして、中性子の干渉が観測されている。中性子の質量が大
きいことより、極めて遅く温度の低い中性子を作る技術が、必要であるが、テクノロジーが
大きく進展した現在、これらが実現して、中性子のきれいな干渉縞が実際に観測されている。
167
12.6.5
ＡＢ効果
古典的な波と、ミクロな量子論の波の違いを端的に示す現象に、荷電粒子の示すＡＢ効果
（アハロノフーボーム効果）がある。AB 効果は、ベクトルポテンシャルが複素波の位相に及
ぼす効果から引き起こされる現象である。磁場が零になる空間領域で、ベクトルポテンシャ
ルが零ではないとき、ベクトルポテンシャルの影響は、力が零であるので古典物理には表れ
ない。しかし、複素波動関数には反映して、量子力学では物理的な効果がある。電場も磁場
も零である時、荷電粒子に働く力は全くない。しかし、波は零になるわけではなく、効果が
のこる。これは、電磁場がミクロな世界でになう役割として重要である。波動関数が複素数
である事が、電荷をもつ粒子の波動現象を可能にする。複素数としての位相の自由度が、現
代物理学で重要なゲージ変換や、ゲージ場の考えうに結びついてゆく。ゲージ場の考えは、
現代物理学において、場と基本的な力や相互作用、並びに基本的な粒子の問題において、重
要な役割を果たしている。
12.6.6
いかなる波か？
ミクロな世界における波は、確率を与え複素数の波である。ある現象が起きる確率が、１
であれば必ずこの現象が起きることを意味する。しかし、ある現象がおきる確率が１より小
さいならば、この現象が起きることも、おきないこともある。おきるかおきないかは、事前
には分からない。ただし、必ずどれかの現象はおきるはずであるので、各現象の確率をたし
た全確率は、１になる。このように、量子論の波は、物質の変位を表わす古典的な波とは大
きく異なる。量子論の波と古典力学とは、量子論の波の位相部が古典的な運動方程式である
ハミルトン · ヤコビ方程式と関連する。
干渉を示す点では、量子論の波は古典論の通常の波と同じである。しかし、干渉は、確率
的な現象として観測される。だから、期待値や平均値が干渉を示すことになる。
12.7
観測と実在
場所が確定しないで、いくつかの場所で確率的に観測される粒子は、決まった場所に実在
するとは言えない。しかし、いずれかの場所で観測される確率の総和である全確率が１であ
れば、必ずいずれかの場所で観測される。だから、場所は決まらないが、いずれかの場所に、
必ず存在し、実在する。この場合、粒子は実在しているが、場所が確定していない。
崩壊する粒子の場合には、その粒子は崩壊した後では実在していないが、しかし、崩壊す
る前では、実在している。実在の意味は、このような粒子の場合、変わってくる。平均寿命
が、例えば、数分である中性子の場合、中性子の存在を確認してから数分以内では、中性子
として存在しているか、または崩壊した陽子や電子、ニュートリノとして存在するかは、確
定しないで、確率的に起こる。観測した際には、中性子があるか陽子があるかは、分かる。
168
しかし、観測しないときには、どちらであるか分からない。この点で、実在している物は何
か、または実在とは何を意味するかについての考えは、量子論と古典物理では大いに異なる。
12.8
確率
12.9
問題
ガリレオの相対性原理
光速度不変の原理
アインシュタインの相対性原理
ローレンツ変換、時間空間の同等性
電子・中性子の干渉
169
第 13 章 付録
13.1
積分
積分は、微小量の和の極限である。そのため、加法則を満たす。
13.1.1
1 変数の定積分
変数 x の関数 f (x) を x = a から x = b までの積分
∫
b
a
dxf (x) = liml→∞
∑
δxl f (xl )
(13.1)
l
は、2 次元平面上での曲線 y = f (x) と x 軸とが囲む領域の面積を表わす。図の面積は、狭
い短冊の面積 δxl f (xl ) をたしあげた値の極限値として得られる。
13.2
ベクトル場の線積分
3 次元空間で、ベクトル場 f⃗(⃗x) があり、またこの空間に一つの曲線状の経路があるとする。
この経路に沿って、ベクトル場と微小線要素ベクトルの内積をたしあげる。いま、
δ⃗xl : 微小線要素、f⃗(⃗x) : ベクトル場
171
(13.2)
とし、ベクトル場と微小線要素のスカラー積を経路にそってたしあげた量の極限、
∫
⃗
xb
⃗
xa
d⃗l · f⃗(⃗x) = liml→∞
∑
δ⃗xl · f⃗(⃗xl )
(13.3)
l
が、線積分である。
13.2.1
ベクトル場の閉経路線積分
この空間状の曲線状の経路が閉じた経路である時、この経路に沿って、ベクトル場と微小
線要素ベクトルの内積をたしあげ
⃗xa = ⃗xb ; 閉じた経路
I
d⃗l · f⃗(⃗x) = liml→∞
∑
δ⃗xl · f⃗(⃗xl )
(13.4)
(13.5)
l
が、閉経路線積分である。
例：2 次元面内の線積分
⃗ (x, y)
ベクトル場 V
∫
P2
I =
V⃗ d⃗x
P1
=
∑
V⃗ (⃗xn )∆⃗xn
n
172
(13.6)
折れ線にそう積分
ｘ方向：
V (⃗xn )∆⃗xn = Vx dx
(13.7)
V (⃗xn )∆⃗xn = Vy dy
(13.8)
ｙ方向：
13.3
ベクトル場の回転
⃗ を回る小さな閉経路に沿う線積分
点P
I
d⃗l · f⃗(⃗x) = liml→∞
∑
δ⃗xl · f⃗(⃗xl )
(13.9)
l
が、面積に比例するとき、この積分は、ベクトル場の回転の様子や大きさを表している。ま
た、この積分は面の方向に依存している。この積分が最大になる方向 ⃗n に閉経路を選び、
I
d⃗l · f⃗(⃗x) = ∆S(f⃗回転 )
(13.10)
となる比例係数 (f⃗回転 ) を大きさとし、方向を ⃗n とするベクトルが、ベクトル場の回転である。
∇ × f⃗ = f⃗(x) のＰにおける回転ベクトル＝f⃗回転⃗n
173
(13.11)
13.3.1
2 次元面 (xy 面) 内の閉経路にそう線積分
⃗ (x, y)
ベクトル場 V
I
V⃗ d⃗x
I =
=
∑
(13.12)
V⃗ (⃗xn )∆⃗xn
n
折れ線にそう一周積分を、小さな長方形の辺に沿った経路
C:P→ P + ⃗ex dx → P + ⃗ex dx + ⃗ey dy → P + ⃗ey dy → P で行う。辺の長さ dx, dy は微小で
あるとして、積分を区分求積法で見積もり、
∑
V (⃗xn )∆⃗xn
(13.13)
= Vx (x, y)dx + Vy (x + dx, y)dy − Vx (x + dx, y + dy)dx − Vy (x, y + dy)dy
∂
∂
∂
= Vx (x, y)dx + (Vy (x, y) +
Vy (x, y)dx)dy − (Vx (x, y) +
Vx (x, y)dx +
Vx (x, y)dy)dx
∂x
∂x
∂y
∂
−(Vy (x, y) +
Vy (x, y)dy)dy
∂y
∂
∂
Vx (x, y))dxdy
= ( Vy (x, y) −
∂x
∂y
が得られる。よって積分は、面積に比例する。比例係数は、場のｙ成分 Vy のｘ微分とｘ成
分 Vx のｙ微分の差である。この差が、z 軸方向のベクトル場の回転（渦度ベクトル) の大き
さを表すことは、図で明らかであろう。
3 次元空間
3 次元では、微分ベクトル演算子 ∇ とベクトル場 V⃗ のベクトル積である。
∂ ∂ ∂
∇=( , , )
∂x ∂y ∂z
V⃗ = (Vx , Vy , Vz )
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Vz , Vy −
Vx )
∇ × V⃗ = ( Vz − Vy , Vx −
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
右辺のベクトルの３成分が、ｘ、ｙ、ｚ方向の回転を表す。
174
(13.14)
(13.15)
(13.16)
13.3.2
ストークスの定理
ガウスの定理と同様な関係式として、ベクトル場のある閉曲線にそう線積分が、
I
閉曲線
d⃗l · V⃗ (x) =
∫ ∫
曲面
⃗ · ∇ × V⃗
dS
(13.17)
と、ベクトル場の回転の面積分に一致する、ストークスの定理が成り立つ。積分が和の法則
に従うことから、各経路での線積分の和は、経路をたした全経路での線積分に一致する。面
積分についても同じ関係が成立する。そのため、ストークスの定理が成り立つ。
13.4
ベクトル場の面積分
3 次元空間で、ベクトル場 f⃗(⃗x) があり、またこの空間に一つの曲があるとする。この面に
沿って、ベクトル場と微小線面要素ベクトルの内積をたしあげる。いま、
⃗l = ⃗ndS : 微小面要素ベクトル、⃗n面に垂直な方向ベクトル、
δS
f⃗(⃗x) : ベクトル場
(13.18)
とし、ベクトル場と微小線面要素ベクトルの内積の和をたしあげた量の極限、
∫
⃗
xb
⃗
xa
⃗ · f⃗(⃗x) = liml→∞
dS
∑
⃗ l · f⃗(⃗xl )
δS
(13.19)
l
が面積分である。
閉曲面にそう面積分
この空間上の曲面が閉じた面である時、この面に沿って、ベクトル場と微小線面要素ベク
トルの内積をたしあげた
I
⃗ · f⃗(⃗x) = liml→∞
dS
∑
l
175
⃗ l · f⃗(⃗xl )
δS
(13.20)
が閉曲面積分である。
ベクトル場の発散
⃗ を含む小さな閉曲面に沿う閉曲面積分
点P
I
⃗ · f⃗(⃗x) = dS
(13.21)
⃗ · f⃗(⃗x) = ∆v(f⃗発散 )
dS
(13.22)
が、微小体積 ∆v に比例するとき、
I
の比例係数 (f⃗発散 ) が、ベクトル場の発散 ∇ · f⃗ である。
H
∇ · f⃗ =
13.4.1
⃗ · f⃗(⃗x)
dS
∆v
(13.23)
閉曲面の内部の体積積分
I
dvf (⃗x) = liml→∞
∑
l
176
δvl f (⃗xl )
(13.24)
13.4.2
ガウスの定理
積分は、微分の逆演算であるので、関数の微分の積分が、積分の上限値における関数値か
ら下限における関数値をひいた値になる、恒等式
∫
x
dt
x0
d
f (t) = f (x) − f (x0 )
dt
(13.25)
が成立する。左辺の積分は、ｘの有限の領域での値の和であり、右辺の値はｘの領域の端で
の値である。この関係式は、３次元空間のベクトル場の発散の有限領域での体積積分が、領
域の端の境界面でのベクトル場の面積分に一致するガウスの定理
∫ ∫ ∫
立体の内部
dxdydz∇ · f⃗(x) =
∫ ∫
立体の表面
⃗ · f⃗(x)
dS
(13.26)
に拡張される。
13.5
ルジャンドル変換
13.5.1
1 変数
時刻 t での位置 x(t) が与えられたとしよう。x(t) の時間微分は、
v(t) =
d
x(t)
dt
(13.27)
であり、時刻 t における速度である。
次に、位置 x における速度を求めよう。このためには、時刻を位置の関数で表した
t = t(x)
(13.28)
v(t) = v(t(x))
(13.29)
を速度における時間 t に代入して、
177
を求めれば良い。
最後に、速度 v における他の量を表す。このためには、新たな関数 g を
g = x(t) − v(t)t
(13.30)
で定義する。微小量は、
d
x(t)dt − d(vt) = v(t)dt − v(t)dt − tdv = −tdv
dt
であるので、g は変数 v の関数である。
dg =
13.5.2
(13.31)
多変数
自変数が、x, y であるとき、これらの一つの関数 f (x, y) の微小量は、
df =
∂f
∂f
dx +
dy
∂x
∂y
(13.32)
と、それぞれの変数についての偏微分で表せる。次に、ｘについての偏微分を p とする。す
なわち、
∂f
(13.33)
∂x
で新たな変数を導入する。x, y が決まれば、f の値や p の値は一つ決まる。だから、x, y の代
わりに p, y を自変数として変化する関数 g(p, y) は、
p=
g = f − px
(13.34)
である。g の、の微小量は、実際
dg = df − d(px) = df − pdx − xdp
∂f
∂f
− p)dx +
dy − xdp
=(
∂x
∂y
∂f
=
dy − xdp
∂y
178
(13.35)
であり y, p の微小量で書かれる。g をこれらの変数 y, p で表すためには、Eq.(13.33) を x に
ついて y, p の関数として、
x = x(y, p)
(13.36)
f = x2 y
(13.37)
p = 2xy
(13.38)
と解いて、g に代入すればよい。
例
x, y の関数 f を
とする。p は、ｘで微分して
となる。これより、ｇはｐとｙの関数として、
g = f − xp = x2 y − xp = x2 y − 2x2 y = −x2 y = −
となる。
179
p2
p2
y
=
−
4y 2
4y
(13.39)
１.
一次元単振動運動についての以下の問題に答えよ。
(１) 質量を M とする質点に、 バネ定数 k の変位に比例する引力が働く場合の運動方程式
を書き下せ。
(２) (１) の運動方程式の解で、時刻 t = 0 での初期条件 x(0) = 0, ẋ(0) = V を満たす解を
求め、またエネルギー、周期を求めよ。
２.
光が波であることを示す現象を二つあげ、内容を詳しく説明せよ。
180
2009 再履修物理学 金（５講目： 石川健三）合格者
合格者は、以下の通りです。
不合格者ならびに、試験を受けれなかった人を対象とした、再（追）試験を行います。
2009 再履修物理学 金（５講目： 石川健三）再（追）試験
日時：
時間：
場所：
なお、講義ノートが、私のホームページ、
http : //www.sci.hokudai.ac.jp/grp/hep/web/ishikawaj .html
のページの下の欄に乗っています。ノートを取っていない人は、これをよく勉強しておい
てください。
181
中間テスト:2010 年 12 月 7 日
１．電荷 −Q クーロンが位置 (−a, 0, 0) にまた別の電荷 Q クーロンが位置 (a, 0, 0) にある。
(1)．この二つの電荷間に働く力をもとめよ。
(2)．ｘｙ面内における電場と、電気力線の概略を書き下せ。
(3)．r ≫ a を満たすｘｙ面内の点 P(r cos θ, r sin θ) における電場を r ≫ a を使い簡単な形
で求めよ。
2. ｚ軸と平行で点 (0, 0, 0) を通る電流 I1 (アンペア) と、(0, 1, 0) を通る電流 I2 (アンペア) が、
ある。
(1). ２電流の向きが等しい場合と反対の場合のｘｙ面内での磁力線を書き下せ。
(2). 電流を回る周回路に沿った磁場の積分が満たす、
I
⃗ · d⃗l = µ0 I
B
(13.40)
を使い、ｚ軸上にある電流が (0, 1, 0) で作る磁場を求めよ。
(3). 二つの電流の間には、１ｍ当たりいくらの力が作用するか？
３．コンデンサーとガウスの定理
面積 S 、間隔 d の２枚の平行におかれた金属板からなる平板コンデンサーがある。この金
属板の一方に −Q、他方に Q の電荷蓄えられている。
182
(1) コンデンサーの内部と外部における電場を求めよ。ただし、電場は面に垂直で一様で
あるとする。
(2) 電荷が零である状況から、徐々に増やして Q の値にするまでにする仕事は、いくらか？
ただし、コンデンサーの容量を C とする。
4. 単位系
MKSA 単位系とは、何を意味するか？
また、１アンペアは、間隔が r である平行な直線電流間の長さ δl 当たりの力で、
r = δl = 1 メートル
(13.41)
F = 2 × 10−7 ニュートン
(13.42)
のとき、
となる電流である。アンペアの単位に基づいて、
(1) 電荷の単位：クーロン、
(2) 磁束密度（磁場）の単位：テスラ、
(3) 電位差の単位：ボルト、
(4) 電場の単位 を説明せよ。
183
期末テスト
1。電磁誘導の法則
⃗ = (0, 0, B(t))、B = B0 cos ωt のもとで半径Ｒの円状の回
時間変化するｚ軸方向の磁場 B
路が、図のようにｘｙ面におかれている。
１−１．この回路に発生する起電力を求めよ。
１−２．この回路に抵抗Ｒが連結されているとき流れる電流を求めよ。
１−３．この時消費される仕事を求めよ。
2。変位電流
図のような容量 C 、断面積Ｓのコンデンサーに交流電圧 V (t) = V0 cos ωt をかけるとき生
ずる現象について考察する。
２−１。コンデンサー内の空間の誘電率を ϵ とする。時刻 t において内部に生成される電
場 E(t) を求めよ。
２−２．時刻 t において、コンデンサーに流れ込む電流を求めよ
２−３．コンデンサー内をおなじ大きさの電流が流れるとして、この電流とコンデンサー
内の電場との関係を示せ。
３。波動方程式
x-方向に伝播する電磁波は、１次元の波動方程式
ϵ0 µ0 (
∂2
∂2
)E(t,
x)
−
(
)E(t, x) = 0
∂t2
∂x2
(13.43)
で記述される。
３−１．正弦波の関数形の平面波解を、振動数と波長をあらわに表わした形で求めよ。
３−２．電磁波の伝播速度をこの波動方程式のパラメータを使い表わせ。
３−３．光の速さは、おおよそいくつか？また、携帯電話の周波数 2 × 109 /秒 の電磁波の
波長はいくつか？
４。光速度
光速度を測定する方法を一つ説明せよ。
184
期末テスト (再、追)
1。電磁誘導の法則
⃗ = (0, 0, B(t))、B = B0 cos ωt のもとで半径 a の円柱状の
時間変化するｚ軸方向の磁場 B
コイルが、図のように１回巻かれている。
１−１．この回路に発生する起電力を求めよ。
１−２．この回路に抵抗Ｒが連結されているとき流れる電流を求めよ。
１−３．抵抗とコイルの巻き数を共に２倍にすると、消費される仕事は何倍になるか？
2。変位電流
図のような容量 C 、断面積Ｓのコンデンサーに時間に依存して変化する電荷 Q(t) = Q0 cos ωt
をためるとき生ずる現象について考察する。
２−１。コンデンサー内の空間の誘電率を ϵ とする。時刻 t において内部に生成される電
場 E(t) を求めよ。
２−２．時刻 t において、コンデンサーに流れ込む電流を求めよ
２−３．コンデンサー内をおなじ大きさの電流が流れるとして、この電流とコンデンサー
内の電場との関係を示せ。
３。波動方程式
ｚ-方向に伝播する電磁波は、１次元の波動方程式
ϵ0 µ 0 (
∂2
∂2
)E(t,
z)
−
(
)E(t, z) = 0
∂t2
∂z 2
(13.44)
で記述される。
３−１．正弦波の平面波解を、求めよ。この解で振動数と波長は、どう表わされるか。
３−２．電磁波の伝播速度をこの波動方程式のパラメータを使い表わせ。
３−３．光の速さが、108 M/s であるとして、周波数 900 × 103 /秒 のラジオ波の波長はい
くつか？
４。光
光が示す現象例を２つ取り上げて、光が何故波であるか説明せよ。
185
中間テスト:2010 年 12 月 7 日：解答例
電荷 −Q クーロンが位置 (−a, 0, 0) にまた別の電荷 Q クーロンが位置 (a, 0, 0) にある。
(1)．この二つの電荷間に働く力をもとめよ。
答え：
電荷間に働く力は、電荷の積に比例して距離の反比例する（クーロンの法則）より、力は
1
1
F =
(−Q)(Q)
(13.45)
4πϵ0
(2a)2
Q2 1
=−
(13.46)
16πϵ0 a2
で、引力である。
(2)．ｘｙ面内における電場と、電気力線の概略を書き下せ。
略
(3)．r ≫ a を満たすｘｙ面内の点 P(r cos θ, r sin θ) における電場を r ≫ a を使い簡単な形
で求めよ。
答え：
位置 ⃗x1 に電荷 q1 がある時の ⃗x における電場、
⃗ = q1 1 ⃗r1
E
4πϵ r13
⃗r1 = ⃗x − ⃗x1 , r1 = |⃗x − ⃗x1 |
(13.47)
(13.48)
より、今の電場は
⃗ = Q ( ⃗r+ − ⃗r− )
E
3
3
4πϵ0 r+
r−
⃗r+ = (r cos θ − a, r sin θ)
(13.49)
⃗r− = (r cos θ + a, r sin θ)
である。ここで、a が小さい時の近似式、
2
r+
= (r cos θ − a)2 + (r sin θ)2 ≈ r2 − 2ar cos θ
(13.50)
2
r−
= (r cos θ + a)2 + (r sin θ)2 ≈ r2 + 2ar cos θ
を使う。これより、
1
1
⃗r − 3 ⃗r−
(13.51)
3 +
r+
r−
1
1
(r cos θ − a, r sin θ) − 3
(r cos θ + a, r sin θ)
= 3
2a
2a
3/2
r (1 − r cos θ)
r (1 + r cos θ)3/2
1
3a
3a
= 3 ((1 +
cos θ)(r cos θ − a, r sin θ) − (1 +
cos θ)(r cos θ + a, r sin θ))
r
r
r
2a
= 3 (−1 + 3 cos2 θ, 3 cos θ sin θ)
(13.52)
r
186
となり、電場が
⃗ = Q 2a (−1 + 3 cos2 θ, 3 cos θ sin θ)
E
4πϵ0 r3
(13.53)
となる。
2.
ｚ軸と平行で点 (0, 0, 0) を通る電流 I1 (アンペア) と、(0, 1, 0) を通る電流 I2 (アンペア) が、
ある。
(1). ２電流の向きが等しい場合と反対の場合のｘｙ面内での磁力線を書き下せ。
略
(2). 電流を回る周回路に沿った磁場の積分が満たす、
I
⃗ · d⃗l = µ0 I
B
(13.54)
を使い、ｚ軸上にある電流が (0, 1, 0) で作る磁場を求めよ。
解答：
B × 2πr = µ0 I2
(13.55)
より、磁場は
B=
µ0
I2
2πr
(13.56)
となる。
(3). 二つの電流の間には、１ｍ当たりいくらの力が作用するか？
解答：
F = BI1 =
µ0
I1 I2
2πr
(13.57)
3．
コンデンサーとガウスの定理
面積 S 、間隔 d の２枚の平行におかれた金属板からなる平板コンデンサーがある。この金
属板の一方に −Q、他方に Q の電荷蓄えられている。
(1) コンデンサーの内部と外部における電場を求めよ。ただし、電場は面に垂直で一様で
あるとする。
解答：
外部を覆う面でガウスの定理を適用して外部における電場は、
E外部 S = 0
187
(13.58)
零である。また内部と外部を覆うような面でガウスの定理を適用して
1
Q
ϵ0
(13.59)
1
Q
ϵ0 S
(13.60)
E内部 S =
となる。よって、
E内部 =
である。
(2) 電荷が零である状況から、徐々に増やして Q の値にするまでにする仕事は、いくらか？
ただし、コンデンサーの容量を C とする。
解答
電圧 V のもとで微小電荷 dQ を増やす仕事は、
dW = V dQ =
Q
dQ
C
(13.61)
である。これを積分して、
∫
W =
∫
dW =
∫
V dQ =
Q
1 2
dQ =
Q
C
2C
(13.62)
となる。
4.
単位系
MKSA 単位系とは、何を意味するか？
解答：
長さ、質量、時間、電流に対して MKSA を使う世界標準の単位系である。ここで、
M: メートル
K: Ｋｇ
S: 秒
A:アンペア
である。
また、１アンペアは、間隔が r である平行な直線電流間の長さ δl 当たりの力で、
r = δl = 1 メートル
(13.63)
F = 2 × 10−7 ニュートン
(13.64)
のとき、
となる電流である。アンペアの単位に基づいて、
188
(1) 電荷の単位：クーロン、
解答：１アンペアの電流が１秒れた時の電気量
(2) 磁束密度（磁場）の単位：テスラ、
解答： 磁束密度が B であるとき、単位長さの電流に働く力は、F = IB である。１メート
ル当たり１ニュートンの力を１アンペアの電流に与える磁束密度が、１テスラである。
(3) 電位差の単位：ボルト、
解答：１クーロンの電荷を１ボルトの電位差のもとで移動させたときの仕事は、１ジュー
ルである。
(4) 電場の単位 解答：１ボルトの電位差を１メートル当たり与える電場が、ボルト/メーター である。
189
期末テスト解答
1。
１−１。
回路を横切る磁束 ϕ(t) は、磁束密度と面積の積
ϕ(t) = B(t)Sz = B0 cos ωtπa2
(13.65)
であるので、起電力は磁束の時間微分
V (t) = −
∂ϕ(t)
= B0 πa2 ω sin ωt
∂t
(13.66)
と与えられる。
１−２。
起電力が与えられた抵抗に流れる電流は、オームの法則
I(t) =
V (t)
B0 πa2 ω
=
sin ωt
R
R
(13.67)
で決まる。
１−３．
そのため仕事（率）は、
P = V (t)I(t) = RI(t)2 =
(B0 πa2 sin ωt)2
R
(13.68)
である。
2
２−１
コンデンサーの電圧 V 、電荷 Q、と容量 C の関係、並びに電荷 Q と電場 E の関係から
Q(t) = CV (t), ϵSE(t) = Q(t)
(13.69)
が成り立ち、電場は
C
V (t)
ϵS
(13.70)
∂Q(t)
=
∂t
(13.71)
E(t) =
となる。
２−２．
電荷の時間変化が電流であるので
I(t) =
190
である。
２−３．
変位電流は
I(t) = ϵS
∂
E(t)
∂t
(13.72)
である。
3
正弦波の解は、
E(t, x) = E0 sin(ωt − kx)
(13.73)
であり、定数 ω と k は、方程式に代入して
ϵ0 µ0 ω 2 − k 2 = 0
(13.74)
から
ω=
k
(ϵ0 µ0 )1/2
(13.75)
と決定される。
３−２。
速度は、位相が一定である条件
ωt − kx = constant
(13.76)
から
∂x
=0
∂t
∂x
ω
1 1/2
v=
= =(
)
∂t
k
ϵ0 µ0
ω−k
と ϵ0 と µ0 で決まる。値は、k によって変化しない。
３−３
光速度は、
c = 3 × 108 M/s
(13.77)
である。
波長は速度を振動数でわった
λ=
3 × 108 M/s
= 1.5 × 10−1 m
9
2 × 10 /s
191
(13.78)
である。
4.
光速度の測定法。
ラーモアーによる木星の衛星観測、フィゾーによる回転歯車と鏡の組み合わせ、等。授業
ノート参照のこと。
192

ボクの名前はコウシ君。実にベタな名前で嫌なのだ でも、高志塾の

§金沢大学十全医学会雑誌（症例報告などの臨床論文）投稿規定§

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