周波数応答

周波数応答�
正弦波入力に対する出力
y(t)�
x(t)�
0�
Ai�
θ�
x(t) = Ai sin( t
0�
Ao�
θ −φ�
y(t) = Ao sin( t
)
+ )
線
形
システム
入力が正弦波であるとき、同じ周期の正弦波が出力される
ただし、振幅と位相は変わる�
• Ai , Ao : 振幅
•
•
•
•
: 位相角
: 位相差
•
> 0 : 出力が入力より進む
< 0 : 出力が入力より遅れる
= 0 : 同相
1
各種周波数に対する制御系の応答�
x(t) = sin( t
)
y(t)�
ω=2�
入力�
出力�
2
各種周波数に対する制御系の応答�
ω=10�
ω=20�
入力�
出力�
3
周波数応答�
•  線形システムへの入力信号が角周波数ωの�
正弦波であるとき
①  出力信号は各周波数ωの正弦波
②  出力信号の振幅Aoはωによって変化
③  出力信号の位相φもωによって変化
ωに対する振幅比Ao/Ai、位相差φを周波数特性
4
周波数伝達関数�
•  正弦波を複素数で表現することを考える
•  ここで必ず虚部をとると決めて以下のよう
に表す�
複素数の信号が物理的に存在するわけではなく、��
この様に表現すると都合が良いから�
5
周波数伝達関数と周波数応答�
システムの出力はたたみ込み積分によって与え
られる
正弦波が入力信号のときの出力を求める�
6
たたみ込み積分に入力
y(t) =
g( )Ai ej{ (t )
j( t )
=
A
e
g( )e
i
= Ai ej( t ) G(j )
= x(t)G(j )
}
j
d
d
フーリエ変換�
G(j ) : 正弦波入力と出力の関係を表す
周波数伝達関数
G(j ) はある複素数なので G(j ) = A( )ej ( ) と表す
x(t) = Ai ej(
t
複素正弦波�
)
g(t)�
y(t) =
g( )x (t
) d = x(t)G(j )
線形システム�
G( jω )
7
•  入力信号がある単一の周波数成分しか
もたない正弦波入力である場合
出力の周波数は同じ
振幅と位相が変化�
y(t)
Ao j
G(j ) =
=
e
x(t)
Ai
⇒周波数伝達関数�
G(j ) = A( ) + jB( ) と表せば
•  振幅比（ゲイン）
•  位相差�
入力周波数により
変化�
8
伝達関数と周波数伝達関数�
周波数伝達関数
•  ラプラス変換のs = σ + jωのσ = 0としたもの
•  伝達関数G(s)においてs = jωと置き換えたもの
•  伝達関数がG(s)であるとき、周波数伝達関数は
G(jω)
周波数伝達関数を図で表して、周波数ごとの
応答を理解しやすくする�
�
9
ベクトル軌跡（ナイキスト線図）�
•  G(jω) の実部を横軸、虚部を縦軸にとった
複素平面にベクトル(Re[G(jω)],
Im[G(jω)])を描く
•  ωを0から∞まで（または−∞から∞まで）��
変化させたときのベクトルの軌跡�
実軸に対して対称�
10
例題�
次の伝達関数のナイキスト線図を描く
周波数伝達関数は�
制御工学�例題7−6�
11
例題�
ωを変化させながら
G(jω)を求める�
12
例題�
�
ωを変化させながら
G(jω)を求める
�
�
=5
�
=2
�
=1
= 0.5
�
�
�
13
例題�
自分で描くには、特異な点を計算する
� 1. lim Re [G(j )] = 5
0
2. lim Im [G(j )] = 0
0
3. lim Re [G(j )] = lim Re
30
=0
3
j
4. lim Im [G(j )] = lim Im
30
=0
3
j
14
例題�
特異な点を計算する
5.  Im[G(jωπ)]=0であり、Re[G(jωπ)]<0となるωπ
ナイキスト線図が複素平面の負の実軸を横切るときの
角周波数
11
2
= 0 より
=
11
6.  Re[G(jωπ)] (ω=ωπのときの周波数伝達関数の実部)
�
Re [G(j
30
)] =
=
6 11 · 6
0.5
15
例題�
特異な点を計算する
7.  Re[G(jω0)]=0となるときの角周波数は
ナイキスト線図が複素平面の負の虚軸を横切る時の
角周波数
6
6
2
0
= 0 より
0
=1
8.  Im[G(jω0)] (ω=ω0のときの周波数伝達関数の虚部)
�
30
Im [G(j 0 )] = Im
=
j(11 1)
3
16
例題�
のナイキスト線図�
�
=
11
0
�
�
�
=1
�
�
17
周波数特性(ボード線図)�
振幅比と位相の変化を横軸を周波数にして��
表したもの
•  ゲイン（利得）特性
–  縦軸は20 log10|G(jω)|
–  単位はデシベル[dB]
•  位相特性
–  縦軸の単位は[rad]�
18
�
ボード線図では
G(j ) = G1 (j )G2 (j )
で表されるとき、ゲインと位相はそれぞれ加算で表すことができ
る。すなわち、ボード線図上でも足し合わせればよい。
j 1( )
G
(j
)
=
|G
(j
)|
e
1
1
G2 (j ) = |G2 (j )| ej 2 ( )
であるならば、
G(j ) = |G1 (j )| |G2 (j )| ej 1 ( ) ej 2 ( )
= |G1 (j )| |G2 (j )| ej( 1 ( )+ 2 ( ))
であるので、
gdB = 20 log |G(j )| = 20 log |G1 (j )| + 20 log |G2 (j )|
= g1 + g2
( ) = 1( ) +
2(
)
19
比例要素の周波数応答�
•  周波数応答�
G(j ) = K （虚部は0で実部のみ）�
|G(j )| = K,
1 0
G(s)=15の場合のボード線図
= tan
= 0[deg]
K
•  ナイキスト線図
–  (K,0)の一点のみ
•  ボード線図
–  角周波数に依存しないた
め，ゲインはKで一定，
–  位相も常に0 [deg]
20
微分要素の周波数応答�
•  周波数伝達関数
ナイキスト線図�
–  G(jω)= jωなので実部は0、虚部のみ
•  ナイキスト線図
虚軸上を上に(0からj∞へ)
•  ボード線図
–  ゲイン特性は ω=1でゲインが0となり、
単調増加
–  ωが10倍になるとゲインが20増加する
（20dB/dec）
–  位相特性は常に90[deg]�
ボード線図�
20dB�
10倍�
21
積分要素の周波数応答�
ナイキスト線図�
•  周波数伝達関数
1
G(j ) =
=
j
j
1
•  ナイキスト線図
–  実部は0で虚部のみ
–  虚軸上を上に（−∞から0へ）
•  ボード線図
ボード線図�
10倍�
20dB�
–  ゲイン特性はω=1 でゲイン0、�
−20dB/decで単調減少
–  位相特性は常に−90[deg]
22
1次遅れ要素の周波数応答�
•  周波数伝達関数
•  ナイキスト線図
x=Re[G(jω)], y=Im[G(jω)]と
おいて上式のjωを消去する
すなわち ( 12 , 0) を
中心とする半径 12 の円
23
1次遅れ要素のボード線図�
•  ゲイン�
1.
T
1 では 0dB でほぼ一定
3dB
2.
T = 1 のときに
ゲイン |G(j )| は 12 gdB =
遮断周波数 co
3.
T
1 では
20 log 1 + ( T )2
20 log( T )
なので 20dB/dec の傾きで低下
ゲイン曲線は折れ線で近似，
= 1/T を折点周波数．
3dB
T=1の場合�
24
1次遅れ要素のボード線図�
•  位相�
T に対し 0 から
単調減少
90[deg] へ
1 のとき 0[deg]
1.
T
2.
T = 1 のときに 45[deg]
= T1 が折点周波数
3.
T
1 のとき
90[deg]
T=1の場合�
25
1次進み要素のナイキスト線図�
1次進み要素の周波数伝達関数は
�ナイキスト線図は x=1の直線�
26
1次進み要素のボード線図�
•  ゲイン�
1.
2.
T
1 では 0dB でほぼ一定
T
1 では
20 log 1 + ( T )2 20 log( T )
なので 20dB/dec の傾きで増加
3dB
やはりゲインは折れ線で近似でき
= T1 が折点
T=1の場合�
27
1次進み要素のボード線図�
�
•  位相
T に対し 0[deg] から 90[deg] まで
単調増加
1 のとき 0[deg]
1.
T
2.
T = 1 のときに 45[deg]
3.
T
1 のとき 90[deg]
T=1の場合�
28
演習問題4�
伝達関数が次のように与えられている．ボード線
図（ゲイン特性）の概形を描け．
基本伝達関数に分けて描く�
制御工学第6章演習問題4�
29
演習問題4：解答例�
K (1 + sT1 )
G(s) =
s (1 + sT2 )
T1
T2
K (1 + j T1 )
G(j ) =
なので，ゲインと位相は各要素の和
j (1 + j T2 )
gdB = 20 log K + 20 log
1
+ 20 log
2
1 + ( T1 ) + 20 log
1
1 + ( T2 )
=
90 + tan
1
T1 + tan
1
(
2
T2 )
30
演習問題4：解答例(ゲイン)�
gdB = 20 log K + 20 log
1
+ 20 log
2
1 + ( T1 ) + 20 log
1
1 + ( T2 )
20 log
20 log
1
1 + ( T1 )
2
2
20 log K
1
T2
1
T1
20 log
1
1 + ( T2 )
2
31
演習問題4：解答例(ゲイン)�
gdB = 20 log K + 20 log
1
+ 20 log
2
1 + ( T1 ) + 20 log
1
1 + ( T2 )
20 log
20 log
1
1 + ( T1 )
2
2
20 log K
1
T2
1
T1
20 log
1
1 + ( T2 )
2
32
演習問題4：解答例(ゲイン&位相)�
gdB = 20 log K + 20 log
1
+ 20 log
2
1 + ( T1 ) + 20 log
1
1 + ( T2 )
1
T2
2
1
T1
33
むだ時間要素の周波数応答�
•  周波数伝達関数
•  ゲイン
•  位相�
34
周波数応答�
ナイキスト線図�
ボード線図�
35
2次遅れ要素の周波数応答�
•  周波数伝達関数は
•  ナイキスト線図を描くためにいくつかの点を求
める�
lim Re [G(j )] = 1
lim Im [G(j )] = 0
lim |G(j )| = 1
lim ( ) = 0[deg]
0
0
0
0
36
ナイキスト線図�
ζ�
虚軸と交わる点を求めるためにRe[G(jω)] = 0を解くと
よりω=ωn。このとき�
1
G(j ) =
より Im[G(j )] =
j2
1
2
37
2次要素のナイキスト線図�
ωn = 1のとき�
ζ = 0�
ζ=2
ζ=1
ζ = 0.5
38
ボード線図�
•  周波数伝達関数
= 0 の場合には = n において
|G (j n )| =
となることに注意
ゲイン
位相�
ζ = 0�
39
ボード線図（ゲイン）�
n
n
1と
n
1 で分けて近似解を求めると
1 gdB
20 log 1 = 0dBζ = 0�
4
n
1 gdB
20 log
=
= 0�
40ζlog
n
したがってゲイン特性は 0dB 直線と
直線がそれぞれ漸近線．交点は
n
40 log
n
の
= 0dB
40 log
n
より
=ζ = n0�
40
2次要素のボード線図�
ωn = 1
ζ = 1.2
ζ=1
ζ = 0.3
ζ = 0.01�
�
最大の位相遅れは−180[deg]�
41
共振周波数�
ゲインが最大になるωp
n
= u とすると
これをuで微分して0 となるu, ωpを求める�
42
共振周波数ωp�
0 < ζ < 1より第1項は0にならないため、第2項が
0となるup(ωp)を求めると�
2
が実数であるためには
1
2
> 0 であるので，
p
1
=
0.707
のときに極値をもつ．
2
up を代入してゲイン特性の極大値 Gp を求めると
1
Gp =
{1
(1
2
2 )}2
+4
2
(1
2
2)
1
2
=
1
2
1
2
43
共振周波数ωp�
ボード線図を拡大
ζ=0.15�
ζ=0.1�
ζ=0.2�
ζ=0.3�
ζ=0.4�
ζ=0.6�
ζ=0.7�
ζ=1�
(0.501)�
(0.794)�
角周波数�
ζ�
ωp�
0.1�
0.990�
0.15� 0.977�
0.2�
0.959�
0.3�
0.906�
0.4�
0.825�
0.6�
0.529�
0.7�
0.141�
1.0�
---�
44

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