周波数応答� 正弦波入力に対する出力 y(t)� x(t)� 0� Ai� θ� x(t) = Ai sin( t 0� Ao� θ −φ� y(t) = Ao sin( t ) + ) 線 形 システム 入力が正弦波であるとき、同じ周期の正弦波が出力される ただし、振幅と位相は変わる� • Ai , Ao : 振幅 • • • • : 位相角 : 位相差 • > 0 : 出力が入力より進む < 0 : 出力が入力より遅れる = 0 : 同相 1 各種周波数に対する制御系の応答� x(t) = sin( t ) y(t)� ω=2� 入力� 出力� 2 各種周波数に対する制御系の応答� ω=10� ω=20� 入力� 出力� 3 周波数応答� • 線形システムへの入力信号が角周波数ωの� 正弦波であるとき ① 出力信号は各周波数ωの正弦波 ② 出力信号の振幅Aoはωによって変化 ③ 出力信号の位相φもωによって変化 ωに対する振幅比Ao/Ai、位相差φを周波数特性 4 周波数伝達関数� • 正弦波を複素数で表現することを考える • ここで必ず虚部をとると決めて以下のよう に表す� 複素数の信号が物理的に存在するわけではなく、�� この様に表現すると都合が良いから� 5 周波数伝達関数と周波数応答� システムの出力はたたみ込み積分によって与え られる 正弦波が入力信号のときの出力を求める� 6 たたみ込み積分に入力 y(t) = g( )Ai ej{ (t ) j( t ) = A e g( )e i = Ai ej( t ) G(j ) = x(t)G(j ) } j d d フーリエ変換� G(j ) : 正弦波入力と出力の関係を表す 周波数伝達関数 G(j ) はある複素数なので G(j ) = A( )ej ( ) と表す x(t) = Ai ej( t 複素正弦波� ) g(t)� y(t) = g( )x (t ) d = x(t)G(j ) 線形システム� G( jω ) 7 • 入力信号がある単一の周波数成分しか もたない正弦波入力である場合 出力の周波数は同じ 振幅と位相が変化� y(t) Ao j G(j ) = = e x(t) Ai ⇒周波数伝達関数� G(j ) = A( ) + jB( ) と表せば • 振幅比(ゲイン) • 位相差� 入力周波数により 変化� 8 伝達関数と周波数伝達関数� 周波数伝達関数 • ラプラス変換のs = σ + jωのσ = 0としたもの • 伝達関数G(s)においてs = jωと置き換えたもの • 伝達関数がG(s)であるとき、周波数伝達関数は G(jω) 周波数伝達関数を図で表して、周波数ごとの 応答を理解しやすくする� � 9 ベクトル軌跡(ナイキスト線図)� • G(jω) の実部を横軸、虚部を縦軸にとった 複素平面にベクトル(Re[G(jω)], Im[G(jω)])を描く • ωを0から∞まで(または−∞から∞まで)�� 変化させたときのベクトルの軌跡� 実軸に対して対称� 10 例題� 次の伝達関数のナイキスト線図を描く 周波数伝達関数は� 制御工学�例題7−6� 11 例題� ωを変化させながら G(jω)を求める� 12 例題� � ωを変化させながら G(jω)を求める � � =5 � =2 � =1 = 0.5 � � � 13 例題� 自分で描くには、特異な点を計算する � 1. lim Re [G(j )] = 5 0 2. lim Im [G(j )] = 0 0 3. lim Re [G(j )] = lim Re 30 =0 3 j 4. lim Im [G(j )] = lim Im 30 =0 3 j 14 例題� 特異な点を計算する 5. Im[G(jωπ)]=0であり、Re[G(jωπ)]<0となるωπ ナイキスト線図が複素平面の負の実軸を横切るときの 角周波数 11 2 = 0 より = 11 6. Re[G(jωπ)] (ω=ωπのときの周波数伝達関数の実部) � Re [G(j 30 )] = = 6 11 · 6 0.5 15 例題� 特異な点を計算する 7. Re[G(jω0)]=0となるときの角周波数は ナイキスト線図が複素平面の負の虚軸を横切る時の 角周波数 6 6 2 0 = 0 より 0 =1 8. Im[G(jω0)] (ω=ω0のときの周波数伝達関数の虚部) � 30 Im [G(j 0 )] = Im = j(11 1) 3 16 例題� のナイキスト線図� � = 11 0 � � � =1 � � 17 周波数特性(ボード線図)� 振幅比と位相の変化を横軸を周波数にして�� 表したもの • ゲイン(利得)特性 – 縦軸は20 log10|G(jω)| – 単位はデシベル[dB] • 位相特性 – 縦軸の単位は[rad]� 18 � ボード線図では G(j ) = G1 (j )G2 (j ) で表されるとき、ゲインと位相はそれぞれ加算で表すことができ る。すなわち、ボード線図上でも足し合わせればよい。 j 1( ) G (j ) = |G (j )| e 1 1 G2 (j ) = |G2 (j )| ej 2 ( ) であるならば、 G(j ) = |G1 (j )| |G2 (j )| ej 1 ( ) ej 2 ( ) = |G1 (j )| |G2 (j )| ej( 1 ( )+ 2 ( )) であるので、 gdB = 20 log |G(j )| = 20 log |G1 (j )| + 20 log |G2 (j )| = g1 + g2 ( ) = 1( ) + 2( ) 19 比例要素の周波数応答� • 周波数応答� G(j ) = K (虚部は0で実部のみ)� |G(j )| = K, 1 0 G(s)=15の場合のボード線図 = tan = 0[deg] K • ナイキスト線図 – (K,0)の一点のみ • ボード線図 – 角周波数に依存しないた め,ゲインはKで一定, – 位相も常に0 [deg] 20 微分要素の周波数応答� • 周波数伝達関数 ナイキスト線図� – G(jω)= jωなので実部は0、虚部のみ • ナイキスト線図 虚軸上を上に(0からj∞へ) • ボード線図 – ゲイン特性は ω=1でゲインが0となり、 単調増加 – ωが10倍になるとゲインが20増加する (20dB/dec) – 位相特性は常に90[deg]� ボード線図� 20dB� 10倍� 21 積分要素の周波数応答� ナイキスト線図� • 周波数伝達関数 1 G(j ) = = j j 1 • ナイキスト線図 – 実部は0で虚部のみ – 虚軸上を上に(−∞から0へ) • ボード線図 ボード線図� 10倍� 20dB� – ゲイン特性はω=1 でゲイン0、� −20dB/decで単調減少 – 位相特性は常に−90[deg] 22 1次遅れ要素の周波数応答� • 周波数伝達関数 • ナイキスト線図 x=Re[G(jω)], y=Im[G(jω)]と おいて上式のjωを消去する すなわち ( 12 , 0) を 中心とする半径 12 の円 23 1次遅れ要素のボード線図� • ゲイン� 1. T 1 では 0dB でほぼ一定 3dB 2. T = 1 のときに ゲイン |G(j )| は 12 gdB = 遮断周波数 co 3. T 1 では 20 log 1 + ( T )2 20 log( T ) なので 20dB/dec の傾きで低下 ゲイン曲線は折れ線で近似, = 1/T を 折点周波数. 3dB T=1の場合� 24 1次遅れ要素のボード線図� • 位相� T に対し 0 から 単調減少 90[deg] へ 1 のとき 0[deg] 1. T 2. T = 1 のときに 45[deg] = T1 が折点周波数 3. T 1 のとき 90[deg] T=1の場合� 25 1次進み要素のナイキスト線図� 1次進み要素の周波数伝達関数は �ナイキスト線図は x=1の直線� 26 1次進み要素のボード線図� • ゲイン� 1. 2. T 1 では 0dB でほぼ一定 T 1 では 20 log 1 + ( T )2 20 log( T ) なので 20dB/dec の傾きで増加 3dB やはりゲインは折れ線で近似でき = T1 が折点 T=1の場合� 27 1次進み要素のボード線図� � • 位相 T に対し 0[deg] から 90[deg] まで 単調増加 1 のとき 0[deg] 1. T 2. T = 1 のときに 45[deg] 3. T 1 のとき 90[deg] T=1の場合� 28 演習問題4� 伝達関数が次のように与えられている.ボード線 図(ゲイン特性)の概形を描け. 基本伝達関数に分けて描く� 制御工学第6章演習問題4� 29 演習問題4:解答例� K (1 + sT1 ) G(s) = s (1 + sT2 ) T1 T2 K (1 + j T1 ) G(j ) = なので,ゲインと位相は各要素の和 j (1 + j T2 ) gdB = 20 log K + 20 log 1 + 20 log 2 1 + ( T1 ) + 20 log 1 1 + ( T2 ) = 90 + tan 1 T1 + tan 1 ( 2 T2 ) 30 演習問題4:解答例(ゲイン)� gdB = 20 log K + 20 log 1 + 20 log 2 1 + ( T1 ) + 20 log 1 1 + ( T2 ) 20 log 20 log 1 1 + ( T1 ) 2 2 20 log K 1 T2 1 T1 20 log 1 1 + ( T2 ) 2 31 演習問題4:解答例(ゲイン)� gdB = 20 log K + 20 log 1 + 20 log 2 1 + ( T1 ) + 20 log 1 1 + ( T2 ) 20 log 20 log 1 1 + ( T1 ) 2 2 20 log K 1 T2 1 T1 20 log 1 1 + ( T2 ) 2 32 演習問題4:解答例(ゲイン&位相)� gdB = 20 log K + 20 log 1 + 20 log 2 1 + ( T1 ) + 20 log 1 1 + ( T2 ) 1 T2 2 1 T1 33 むだ時間要素の周波数応答� • 周波数伝達関数 • ゲイン • 位相� 34 周波数応答� ナイキスト線図� ボード線図� 35 2次遅れ要素の周波数応答� • 周波数伝達関数は • ナイキスト線図を描くためにいくつかの点を求 める� lim Re [G(j )] = 1 lim Im [G(j )] = 0 lim |G(j )| = 1 lim ( ) = 0[deg] 0 0 0 0 36 ナイキスト線図� ζ� 虚軸と交わる点を求めるためにRe[G(jω)] = 0を解くと よりω=ωn。このとき� 1 G(j ) = より Im[G(j )] = j2 1 2 37 2次要素のナイキスト線図� ωn = 1のとき� ζ = 0� ζ=2 ζ=1 ζ = 0.5 38 ボード線図� • 周波数伝達関数 = 0 の場合には = n において |G (j n )| = となることに注意 ゲイン 位相� ζ = 0� 39 ボード線図(ゲイン)� n n 1と n 1 で分けて近似解を求めると 1 gdB 20 log 1 = 0dBζ = 0� 4 n 1 gdB 20 log = = 0� 40ζlog n したがってゲイン特性は 0dB 直線と 直線がそれぞれ漸近線.交点は n 40 log n の = 0dB 40 log n より =ζ = n0� 40 2次要素のボード線図� ωn = 1 ζ = 1.2 ζ=1 ζ = 0.3 ζ = 0.01� � 最大の位相遅れは−180[deg]� 41 共振周波数� ゲインが最大になるωp n = u とすると これをuで微分して0 となるu, ωpを求める� 42 共振周波数ωp� 0 < ζ < 1より第1項は0にならないため、第2項が 0となるup(ωp)を求めると� 2 が実数であるためには 1 2 > 0 であるので, p 1 = 0.707 のときに極値をもつ. 2 up を代入してゲイン特性の極大値 Gp を求めると 1 Gp = {1 (1 2 2 )}2 +4 2 (1 2 2) 1 2 = 1 2 1 2 43 共振周波数ωp� ボード線図を拡大 ζ=0.15� ζ=0.1� ζ=0.2� ζ=0.3� ζ=0.4� ζ=0.6� ζ=0.7� ζ=1� (0.501)� (0.794)� 角周波数� ζ� ωp� 0.1� 0.990� 0.15� 0.977� 0.2� 0.959� 0.3� 0.906� 0.4� 0.825� 0.6� 0.529� 0.7� 0.141� 1.0� ---� 44
© Copyright 2025 ExpyDoc