東大数学東大灘進学教室８６年数学 http://nadasingaku.com （すべて類題）１ x ≧ 0 , y ≧ 0 , x y ≦1 を満たすような点Ｐ ( x , y ) のつくる集合を D とする。３点Ａ ( a , 0 ) 、Ｂ ( 0 , b ) 、Ｃ c , 1 を頂点とし、 D に含まれる三角形ＡＢＣはどのような c 場合に面積が最大となるか。また、面積の最大値を求めよ。ただし a ≧ 0 , b ≧ 0 , c > 0 とする。 xy 平面において、座標が不等式 (x, y) ２長軸、短軸の長さがそれぞれ４、２である楕円に囲まれた領域をこの楕円の短軸の方向に、このとき A 注：方程式と B A の共通部分を 1( 6 2 C=A B 2 x2 + y = 1 ( a > 0 , b > 0 ) a 2 b2 A とし、だけ平行移動してできる領域を 2) の面積Ｍを求めよ。とする。 1 ( 6 + 2 ) = cos 4 12 ただし、で表される楕円において、 2 a , B 2b である。のうち大きいほうを長軸の長さといい、他方を短軸の長さという。３ (1) xyz 空間において、３点Ａ (2) ２点Ｄ 0, 0, 1 2 ( 1 , 0 , 0 ) 、Ｅ ( 0 , 1 , 0 ) このような平面 S 0, 1 , 1 2 、Ｂを通る直線に垂直で長さ１のベクトル、Ｃ (1, 0 , 1) l を軸として、平面 S 0 n =(x, y, z) の y を通る平面 S0 に垂直で、長さ１のベクトルを回転して得られるすべての平面成分の絶対値 y は S S n0 をすべて求めよ。を考える。とともに変化するが、その最大値および最小値を求めよ。４２次方程式 (1) (2) 2b x + c = 0 a x2 の係数 a, b, c が、それぞれ次の範囲を動くものとする。 0 . 9 ≦ a ≦1 . 1 , 2 . 7 ≦ b ≦ 3 . 3 , 4 . 5 ≦ c ≦ 5 . 4 b c を座標とする点Ｐ ( u , v ) の動く範囲を定め、図示せよ。このとき u = , v = a a 上の２次方程式の２つの解のうち、大きいほうを z とする。 a, b, c ｃが上の範囲を動くときの、 z の最大値、最小値を求めよ。５ベンチが k + 1 個１列に並べてあり、Ａ、Ｂの２人が次のようなゲームをする。最初Ａは左端、Ｂは右端のベンチにおり、ジャンケンをして勝ったほうが他の端に向かって１つ隣りのベンチに進み、負けたほうは動かないとする。また、２人が同じ手を出して引き分けとなったときには、２人とも動かないとする。こうしてジャンケンをくり返して、早く他の端のベンチに着いた者を勝ちとする。１回のジャンケンで、Ａが勝つ確率、負ける確率、引き分けとなる確率はすべて等しいとき、次の確率を求めよ。 (1) n 回ジャンケンをした後に、２人が同じベンチに座っている確率 q (2) n 回ジャンケンをしたとき、Ａ、Ｂの移動回数がそれぞれ x 回、 y (3) k = 3 のとき、 n 回のジャンケンの後に、まだゲームの勝敗が決まらない確率 p 回である確率 p( x , y ) 、ただし、 n≧3 とする。６直円すい形のグラスに水が満ちている。 (1) 水面の円の半径は１、深さも１である。だけ傾けたとき、できる水面は楕円である。このグラスを図のように角度この楕円の中心からグラスのふちを含む平面までの距離楕円の長半径 a および短半径 b を、 m = tan l と、で表せ。ただし、楕円の長半径、短半径とは、それぞれ長軸、短軸の長さの (2) 傾けたときこぼれた水の量が、最初の水の量の 1 のことである。 2 1 であるとき、 m = tan 2 ただし、グラスの円錐の頂点から、新しい水面までの距離をの値を求めよ。 h とするとき、残った水の量は 1 a b h 3 に等しいことを用いよ。