最終日プリント「4次対称群」

次対称群
課題
•
の部分群をすべて求めよ。
とは何か。
を説明せよ。
• | |=
•
の部分群の位数は , , , , , ,
•
は集合 { , , , } に作用する。 ∈
,
のいずれかである。どうしてか。
を , , , のそれぞれに繰り返し作
用させる。 ∈ { , , , } に対して { , ( ), ( ( )), . . . } なる { , , , } の部分
集合を
•
•
•
∈
による一つの軌道と呼ぼう。
に対し、{ , , , } はいくつかの軌道に分割される。
⎛
⎞
⎛
⎞
⎠ の軌道は { , } と { , } である。
=⎝
=⎝
•（ここまでの考察を
⎠と
⎛
=⎝
⎞
⎠ についてはどうか？
についてやってみよ。以下の考察を
についてやって
みよ。）
•
つの数字を選んでそれらを入れ替える置換は位数
の元である。位数
の元
はこれらだけか？
•
つの数字を選んで並べ、右または左に順送りにする置換は位数
る。位数
•
∈
の元であ
の元はこれらだけか？わからなければ次の問に進むこと
の各軌道に含まれる元の個数を大きい順に並べたものを
軌道分解のタイプと呼ぼう。
• 上の
の軌道分解のタイプは ( )( )、
ある。これを確認せよ。
•
の軌道分解のタイプは何か？
の軌道分解のタイプは ( )( )( ) で
•
つの数字を並べ、右または左に順送りにする置換は位数
道分解のタイプは何か？他に位数
の元である。軌
の元はあるか？わからなければ次の問を
先に考えよ。
における軌道分解のタイプをすべて列挙せよ。位数は何か？偶置換か奇置
•
換か？
•
の位数は , , , , , ,
∈
• 位数
の部分群を列挙せよ。
• 位数
の部分群を列挙せよ。
• 位数の部分群を列挙せよ
のうちのどれか。
,
種類または
種類ある！。位数
の元を必ず含
むか？　含まない場合、各元の軌道分解のタイプはどうなっているか？
• 位数
は
の部分群を列挙せよ。| | =
であるが、{ , , } ⊂ { , , , } より
の部分群と思える。{ , , } ⊂ { , , , } 等でも同様。これら以外にあ
るか？たとえば、次交代群
の部分群になっている位数
の部分群があ
るか？
• 位数
の部分群を列挙せよ。位数
置換を含むか？
• 位数
型の位数
の元を含むか？位数
の元を含むか？奇
の元を含むか？
の部分群を列挙せよ。次交代群
以外にあるか？

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