UNIVERSITÄT FREIBURG Naturwissenschaftliche Fakultät Department Mathematik Frühlingssemester 2016 Propädeutische Statistik – Übungsblatt 3 Abzugeben bis Mittwoch 23. März 2016, 8:30 Uhr (Postfach Prop. Statistik Physik 2. Stock) Aufgabe 1. Permutations Rappel : Pour un nombre n ∈ N∗ , on note n! le produit n · (n − 1) · ... · 2 · 1, et on pose 0! = 1. (a) Montrer que le nombre de permutations de n objets est n!. (b) On range 15 livres sur une étagère, mais 3 d’entre eux sont identiques. Combien y a-t-il de possibilités d’agencements différents ? (c) Combien d’anagrammes différents peut-on former à partir du mot MISSISSIPPI ? Aufgabe 2. Ziehungen (a) Man wirft n-mal eine Münze. Zeige, dass die Anzahl der Möglichkeiten genau k-mal Kopf zu werfen gegeben ist durch n(n − 1) . . . (n − k + 1) n n! = . = (n − k)!k! k! k (b) Probiere jetzt dieses Argument an diesen Fall anzupassen : Wie viele verschiedene Ziehungen sind beim Schweizer Lotto möglich ? (Abgabe : eine vollständige Erklärung !) (c) Beim Poker spielt man mit 52 Karten. Jeder Spieler bekommt 5 Karten (eine Hand). (i) Wie viele Kombinationen sind für eine Hand möglich ? (ii) Wie viele Kombinationen mit genau drei Königen gibt es ? (iii) Le joueur tire désormais des cartes l’une après l’autre, mais les remet dans le tas initial après chaque tirage. Il effectue 5 tirages (de une carte), combien y a-t-il de possibilités qu’il ait tiré exactement 3 rois ? Aufgabe 3. Une identité et un problème (a) On veut prouver que le nombre de sous-ensembles d’un ensemble à n éléments est égal à 2n . (i) Donner un argument intuitif direct pour supporter cette affirmation (ne pas donner un exemple !). (ii) Donner une preuve en utilisant le binôme de Newton (a + b)n = n X n k=0 k ak bn−k . (b) On considère un jeu où l’on gagne si on obtient ”pile” au moins une fois en 2 jets d’une pièce de monnaie. D’Alembert proposait le raisonnement suivant : — Si au premier jet j’obtiens pile, alors j’ai déjà gagné et le jeu est terminé. — Si au premier jet j’obtiens face, alors si j’obtiens pile au deuxième jet je gagne, et sinon je perds. En résumé, je gagne dans 2 cas de figure sur 3, et donc la probabilité de gagner à ce jeu est 23 . Que pensez-vous de cet argument ? Aufgabe 4. Loi normale, le retour Öffne die Datei ”WOLF.xls” (für eine Beschreibung, siehe Serie 1 und 2). Wir möchten zeigen, wenn eine besondere Variable normalverteilt ist. Zuerst lösche die unbekannten Daten (die ganze letzte Reihe). (a) A la main : Parmi les quatre boxplot (a) Lequel représenterait le mieux une loi normale ? (b) Pourquoi ? (b) SPSS : Zeichne Boxplots für alle Variablen und unterscheide jedes Mal Wölfe und Hunde (benutze dazu ”Groups”, ”Columns Panel variable”). (a) Welche Variable ist am meisten normalverteilt ? (Abgabe : der beste normalverteilte Graph) (b) Quelle variable possède la plus grande dispersion et dans quelle catégorie ? (A rendre, le graphe concerné) (c) Y a-t-il des variables possédant la même distribution à la fois pour les chiens et pour les loups ? (A rendre, un graphe concerné avec explications ou s’il n’existe pas de variable avec cette propriété, une explication).