基礎数理 I(a) 演習 (B/C クラス) No.15 • 平面の方程式: ◦ n = (a, b, c) に垂直で、A(x0 , y0 , z0 ) を通る平面の方程式: −→ a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0 (AP・n = 0) ◦ ax + by + cz + d = 0 は、n = (a, b, c) に垂直な平面 |ap + bq + cr + d| ◦ 平面 ax + by + cz + d = 0 と B(p, q, r) との距離 = √ 2 a + b2 + c2 • ベクトルの外積: ◦ |a × b| = a, b が作る平行四辺形の面積 (= |a||b| sin θ) ◦ a × b の方向 = a, b に垂直 ◦ a × b の向き= a から b に右ねじを回して進む向き (= a, b, a × b が右手系) ◦ 成分計算: a × b = (a2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1 b3 , a1 b2 − a1 b1 ) ◦ 外積の性質: 内積と同様に展開は可能、 b × a = −a × b, a 6= 0, b 6= 0 のとき、a × b = 0 ⇐⇒ a // b a × a = 0, [1] 次の問いに答えなさい (指定された形で)。 (1) n = (4, 3, −1) に垂直で、点 A(0, 3, 7) を通る平面の方程式を求めなさい (z = の形で)。 (2) 平面 x + 2y − 3z = 0 に平行で、点 B(2, 2, −5) を通る平面の方程式を求めなさい (x = の 形で)。 (3) 3 点 O(0, 0, 0), A(2, 1, −1), B(1, 1, 3) を通る平面の方程式を求めなさい (z = の形で)。 (4) (3) の平面と、点 C(3, −1, 2) との距離を求めなさい。 学籍番号 氏名 [2] 次のベクトル p と q の内積と外積を求めなさい。 (1) p = (1, 1, 3), q = (2, −1, 0) (2) p = (2, 1, −5), q = (1, −2, 7) [3] 3 点 A(1, 4, 3), B(2, 2, −1), C(0, 5, 6) に対して、次のものを求めなさい。 −→ (1) a = AB −→ (2) b = AC (3) a・b (4) a × b (5) cos 6 BAC (6) 4ABC の面積 (7) a, b に垂直な単位ベクトル n [4] a, b の作る三角形の面積が 3 であるとき、次の値を求めなさい。 (1) |a × b| (2) |(a − 2b) × (−3a)|
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