基礎数理 I(a) 演習 (B/C クラス) No.15

基礎数理 I(a) 演習 (B/C クラス) No.15
• 平面の方程式:
◦ n = (a, b, c) に垂直で、A(x0 , y0 , z0 ) を通る平面の方程式:
−→
a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0 (AP・n = 0)
◦ ax + by + cz + d = 0 は、n = (a, b, c) に垂直な平面
|ap + bq + cr + d|
◦ 平面 ax + by + cz + d = 0 と B(p, q, r) との距離 = √ 2
a + b2 + c2
• ベクトルの外積:
◦ |a × b| = a, b が作る平行四辺形の面積 (= |a||b| sin θ)
◦ a × b の方向 = a, b に垂直
◦ a × b の向き= a から b に右ねじを回して進む向き (= a, b, a × b が右手系)
◦ 成分計算:
a × b = (a2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1 b3 , a1 b2 − a1 b1 )
◦ 外積の性質: 内積と同様に展開は可能、 b × a = −a × b,
a 6= 0, b 6= 0 のとき、a × b = 0 ⇐⇒ a // b
a × a = 0,
[1] 次の問いに答えなさい (指定された形で)。
(1) n = (4, 3, −1) に垂直で、点 A(0, 3, 7) を通る平面の方程式を求めなさい (z = の形で)。
(2) 平面 x + 2y − 3z = 0 に平行で、点 B(2, 2, −5) を通る平面の方程式を求めなさい (x = の
形で)。
(3) 3 点 O(0, 0, 0), A(2, 1, −1), B(1, 1, 3) を通る平面の方程式を求めなさい (z = の形で)。
(4) (3) の平面と、点 C(3, −1, 2) との距離を求めなさい。
学籍番号
氏名
[2] 次のベクトル p と q の内積と外積を求めなさい。
(1) p = (1, 1, 3),
q = (2, −1, 0)
(2) p = (2, 1, −5),
q = (1, −2, 7)
[3] 3 点 A(1, 4, 3), B(2, 2, −1), C(0, 5, 6) に対して、次のものを求めなさい。
−→
(1) a = AB
−→
(2) b = AC
(3) a・b
(4) a × b
(5) cos 6 BAC
(6) 4ABC の面積
(7) a, b に垂直な単位ベクトル n
[4] a, b の作る三角形の面積が 3 であるとき、次の値を求めなさい。
(1) |a × b|
(2) |(a − 2b) × (−3a)|

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