数学B 4STEP （演習問題P127~128）平面上のベクトル

数学B　4STEP　（演習問題P127~128）　平面上のベクトル
[改4SB演1]ベクトルa,bの関係から内積,なす角の余弦を決定"改訂版 4STEPＢ００１～０１０#
(1)　EF=AF-AE=
2 つのベクトル a，b は， a + b = U 7 ， a - b = U 3 ， a = t b (t はある正の数) を
満たしている。
(3)　a + b と a - b が垂直であるとき，cos h の値を求めよ。
=
t 2+1
2
s　(1)　1　(2)　cos h =
(3)　5t
5
2
2
+2a･b + b
2
a - b = U 3 から　a - b
よって　a
2
-2a･b + b
2
=7
2
EF ･ AB=
=3 …… ②
1 = 10 よって　a
2
よって　cos h =
a･b
a b
=
a･b
tb
2
2
2
+b
2
8
=5
よって　cos 4BAC =
1
[改4SB演4]ベクトルの等式と実数s,tの決定"改訂版 4STEPＢ００１～０１０#
9
一直線上にない 3 点 O，A，B がある。OP= sOA，OQ= tOB (s，t は正の数) を満た
2
す点 P，Q を考え，線分 BP と AQ の交点を R とする。
OR=
よって　EF ･ EP=
1
9
3
- + t･ 0=3
2
2
8 9
12
10
，t =
5
3
1
OP= sOA 0 s >01 から　OA= OP
s
[改4SB演3]三角形の内角の大きさ(内積利用)"改訂版 4STEPＢ００１～０１０#
2
ゆえに　a = b したがって　t =1
とし，線分 CD，BE の交点を P とする。
12+1
2
=
このとき，③ から　cos h =
5
5･1
(1)　AP を AB，AC を用いて表せ。
[改4SB演2]平行四辺形の辺の分点とベクトル表示,内積" 改訂版 4STEPＢ００１～０１０#
よって　OR=
1
1
AB+ AC　(2)　60,
3
2
解説
(1)　BP：PE= s：0 1 - s1 ，CP：PD= t：0 1 - t1 とすると
A
3
sAC　…… ①
4
D
①，② から
1
3
2
sAC= tAB+ 0 1 - t1 AC
4
3
AB ' 0，AC ' 0，ABTAC から　1- s =
これを解いて　s =
s =
B
2
3
t， s =1- t
3
4
2
1
，t =
3
2
2
1
1
を ① に代入して　AP= AB+ AC
3
3
2
3
2
2
AP= tAD+ 0 1 - t1 AC= tAB+ 0 1 - t1 AC …… ②
3
0 1 - s1 AB+
8
9
4
2
12
+ =1　ゆえに　s =
5s
3
5
4
2 1
4
2
OA+
OQ = OA+ OQ
5
3 t
5
3t
8
9
4
2
10
R は線分 AQ 上にあるから　+ =1　ゆえに　t =
5
3t
3
分する点を E，辺 AD の中点を F とするとき，次の問いに答えよ。
AP= 0 1 - s1 AB+ sAE= 0 1 - s1 AB+
4 1
2
4
2
OP + OB=
OP+ OB
5 s
3
5s
3
1
OQ= tOB 0 t >01 から　OB= OQ
t
(2)　AB=3，AC=4，AP= U 7 のとき，4BAC の大きさを求めよ。
s　(1)　AP=
よって　OR=
R は線分 BP 上にあるから　平行四辺形 ABCD において，AB=3，AD=2，4A=60, とする。辺 AB を 2：1 に内
解説
4
2
OA+ OB であるとき，s，t の値を求めよ。
5
3
s　s =
△ABC において，辺 AB を 2：1 に内分する点を D，辺 AC を 3：1 に内分する点を E
1
2
3
AD- AB　(2)　0　(3)　2
3
2
6
1
=
2
3･4
解説
2
s　(1)　EF=
AB AC
=
1
8 3 AB +tBC9= 3 EF･AB+tEF･BC
(3)　0a + b150a - b1 であるから　0a + b1 ･ 0a - b1 =0　よって　a - b =0
(3)　辺 BC 上の任意の点 P に対して，内積 EF･EP を求めよ。
AB ･ AC
また，(2) から　EF ･ BC=0
1
t 2+1
=
=
…… ③
5
5t
t･ 2
t +1
(1)　EF を AB と AD を用いて表せ。　(2)　内積 EF･BC を求めよ。
1
AB ･ AC+4
3
したがって，0, < 4BAC<180, から　4BAC=60,
1
2
1
2
AD - AB ･ AB= AB ･ AD- AB
2
3
2
3
2
2
ゆえに　AB ･ AC=6
1
2
9
= ･ 3 ･ 2cos 60, - ･ 3 2 =2
3
2
5
これに a = t b を代入して　t b + b =5　ゆえに　b = 2
t +1
2
C
ここで，(1) から
=3
2
B
1 2 2
･ 2 - ･ 3 ･ 2cos 60, =0
2
3
したがって　EF ･ EP=EF ･
①-② から　4a･b =4　したがって　a･b =1
(2)　①＋② から　20 a + b
これに ③ を代入すると　7=1+
1
1
EP=EB+BP= AB+ tBC
3
=7 …… ①
2
E
2
- AB ･ AD
3
2
1
1
1
1
1
2
AB + AC = AB + AB ･ AC+ AC
3
2
9
3
4
2
また　AP =
(3)　BP= tBC 0 0 (t ( 11 とすると
解説
(1)　a + b = U 7 から　a + b
2
(2)　条件から　AB =3， AC =4， AP = U 7 …… ③
2
9
1
= AD
2
u　メネラウスの定理を用いてもよい。
D
60,
(2)　(1) から
8
(2)　a と b のなす角を h とするとき，cos h を t で表せ。
F
A
1
2
EF ･ BC= AD - AB ･ AD
2
3
(1)　a と b の内積を求めよ。
よって　a
1
2
AD- AB
2
3
1- s
1- t
s
E
P
t
1
C
[改4SB演5]内積の等式から,正三角形の証明"改訂版 4STEPＢ００１～０１０#
OA= a，OB= b とすると
平面上の △ABC において，AB･BC=BC･CA=CA･AB が成り立つとき，△ABC は
OC= sa，OD= tb
正三角形であることを示せ。
また，BP= m BC，AP= nAD とすると
A
C
AB･BC=BC･CA から　AB･0AC -AB1 = 0AC -AB1･0-AC1
2
2
ゆえに　AB･AC- AB =- AC +AB･AC
2
2
したがって　AB = AC すなわち　AB = AC
よって　AB=AC　…… ①
また，BC･CA=CA･AB から　BC･0BA -BC1 = 0BA -BC1･0-BA1
2
2
ゆえに　BC･BA- BC =- BA +BC･BA
2
2
したがって　BC = BA すなわち　BC = BA
よって　BC=BA　…… ②
①，② から AB=BC=CA
したがって，△ABC は正三角形である。
OP= sOE+ tOF　また　s + t( 1，s) 0，t) 0
0< s <1，0< t <1 であるから　0< st <1
よって，点 P は △OEF の周および内部を動く。
1-t
1-s
，n =
よって　m =
1 - st
1 - st
2 図3 境界線を含む。
(2)　(ア)　△OAB と △OAD において，
1 - t1 s
1 - s1 t
ゆえに　OP= 0
a+ 0
b
1 - st
1 - st
k+ 2
1-k
よって　AP=
AB+
AC
6
6
点 P が △ABC の内部にあるから
k+ 2
1-k
k+ 2
1-k
>0，
+
>0，
<1
6
6
6
6
第 1 式から　k >-2　第 2 式から　k <1　第 3 式は常に成り立つ。
よって　PR=OR-OP= 0 a + b 1 -OP=
A
F
2a + b
a
-b O
B
b
よって　1 倍
1-s
1-t
a+
b　…… ③
1 - st
1 - st
PQ=OQ-OP= 0sa + tb 1 -OP=
(イ)　OG=2a を満たす点 G をとり，線分 AG と
線分 EF の交点を H とすると
st0 1 - s1
st 1 - t1
a+ 0
b
1 - st
1 - st
G
AH=HG
1-t
8 1-st a+ 1-st b9 …… ④
ゆえに　OH=
よって，△OAB と△OHE は高さが等しいから
したがって，P，Q，R は一直線上にある。
△OAB：△OHE=OA：OH=2：3
3
△OAB　…… ①
2
E
H
3
OA
2
③，④ から　PQ= stPR
F
A
O
B
また，△OAB と△OHF は高さが等しいから
△OAB において OA= a，OB= b とする。
△OAB：△OHF=OA：OH=2：3
A
ゆえに　△OHF=
(1)　実数 s，t が条件 s + t( 1，s ) 0 ，t ) 0 を満たしながら
動くとき，次の条件 (ア)，(イ) を満たす点 P の存在範囲を
それぞれ図示せよ。
したがって　3 倍
(ア)　OP= sa + t0a + b1
O
(イ)　OP= 0 2s + t1 a + 0 s - t1 b
(2)　(1) の (ア)，(イ) それぞれの場合に，点 P の存在範囲の
面積は △OAB の面積の何倍か。
s　(1)　(ア)，(イ)　"図#　境界線を含む
[改4SB演7]条件を満たす3点P,Q,Rが一直線上にある条件" 改訂版 4STEPＢ００１～０１０#
2a
△OAB の辺 OA，OB 上に，それぞれ点 C，D を OC= sOA 0 0< s <11 ，
A
OD= tOB 0 0< t <11 となるようにとり，AD と BC の交点を P とする。また，2 点 Q，
R を四角形 OCQD，四角形 OARB が，それぞれ平行四辺形となるようにとる。この
a
とき，3 点 P，Q，R は一直線上にあることを証明せよ。
O
A
a+b
b
B
(2)　(ア)　1 倍　(イ)　3 倍
解説
2a + b
a-b
a
-b O
b
B
3
△OAB　…… ②
2
①，②から　△OEF= △OHE+ △OHF=
a
(ア)　(イ)
解説
a-b
辺 OAが共通で，OASBD であるから　△OAB= △OAD
ゆえに，求める k の値の範囲は　-2< k<1
s　略
E
2a
a' 0，b' 0，aTb であるから　ms =1- n，1- m = nt
[改4SB演8]ベクトルの終点の存在範囲,図示,面積比" 改訂版 4STEPＢ００１～０１０#
-3AP+20 AB -AP 1 + 0 AC -AP 1 = k0 AC -AB 1
B
b
ると　s　-2< k <1
3PA+2PB+PC= kBC から
O
OE=2a + b，OF= a - b を満たす点 E，F をと
①，② から　msa + 0 1 - m 1 b = 0 1 - n1 a + ntb
1-s
a+b
(イ)　OP= s02a + b1 + t0a - b1
ゆえに　△OHE=
解説
a
2 図3 境界線を含む。
B
D
また　OP=OA+AP= 0 1 - n1 a + ntb　…… ②
[改4SB演6]ベクトルの等式から点Pが△ABC内にある条件決定"改訂版 4STEPＢ００１～０１０#
が △ABC の内部にあるように，k の値の範囲を定めよ。
O
D
よって，点 P は △OAD の周および内部を動く。
ゆえに　OP=OB+BP= msa + 0 1 - m1 b …… ①
= st
△ABC と実数 k に対して，点 P は 3PA+2PB+PC= kBC を満たす。このとき，点 P
A
また　s + t( 1，s) 0，t) 0
Q
P
AP= n0 OD -OA 1 = n0tb - a 1
解説
(1)　(ア)　OD= a + b を満たす点 D をとると
OP= sa + t0a + b1 = sOA+ tOD
BP= m 0 OC -OB 1 = m0sa - b 1，
s　略
R
b
B
3
3
△OAB+ △OAB=3△OAB
2
2

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