20100329 1 pre-mathemarics 目次 1 pre-mathemarics 1.1 1.2 1.1 1.1.1 1 集合 (set) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 和集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.3 共通部分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.4 直積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.5 差集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.6 補集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 写像 (map) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.1 写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.2 全射・単射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.3 逆写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.4 像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.5 逆像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.6 恒等写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.7 包含写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 集合 (set) 集合ものの集まりを集合という。その ‘もの’ はどの集合に属しているかで特徴づけられる。ものを a, b,... としその集まりによる集合を A とする。ものを元といい、元が集合に属していることを a∈A (1.1) と書く。これが元と集合の関係である。ここでは集まりのことえお “全体” と表記することにする。 1.1.2 和集合 1.1.3 共通部分 1.1.4 直積 2 つの集合 A, B が与えられたとき、それぞれの元 a, b を用いて組 (a, b) を作ることができる。この組全体を A × B と書き直積という。つまり A × B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B} 1 (1.2) である。 1.1.5 差集合 A と B の差集合 A − B とは A − B = {x|x ∈ A かつ x ∈ / B} (1.3) という集合である。B は A の部分集合である必要はない。 1.1.6 補集合 A は固定された集合で、B が A の部分集合であるときの A と B の差集合のことを B の補集合という。A は全体集合 (一番大きな集合) で、B ではない部分である。書き方はいろいろあるがここでは A − B と表記し専ら補集合を表すことにする。 1.2 1.2.1 写像 (map) 写像ある集合 A から 1 つ元を選び、別の集合 B の 1 つの元に対応させることを写像という。このとき A の全ての元に対して対応させる B の元が無ければならない。このとき f :A→B (1.4) と書く。f が写像である。A の全ての元に対して写像による行き先があれば、全て異なる元に対応する必要はなく、また B の全ての元に対応する必要もない。 1.2.2 全射・単射写像 f : A → B が、B の元全てが A の元に対応付けられているとき f を全射という。また、任意の A の元 a, a′ に対して f (a) ̸= f (a′ ) ∈ B であるとき f を単射という。つまり別々の行き先に振り分けられるときが単射である。f が全射かつ単射であるとき、全単射という。 1.2.3 逆写像写像 f : A → B が全単射であるとき、その対応を使って B から A への写像を作ることができる (B の全ての元に対して A の元を対応付けることができるため)。これを f −1 と書き f の逆写像という。 f −1 : B → A (1.5) f −1 (b) = a (1.6) f (a) = b に対してである。f が全単射のときのみ定義できる。 2 1.2.4 像像とは写像によって写された先の部分集合のことである。写像 f : A → B に対して A の像 f (A) とは f (A) = {f (a)|a ∈ A} (1.7) Imf (1.8) である。A, B が明確である場合これをとも書く。 1.2.5 逆像像とは写像によって写されえう前の部分集合のことである。写像 f : A → B に対して B の部分集合 C の逆像 f −1 (C) とは f −1 (C) = {a|f (a) ∈ C} (1.9) である。C の全ての元に対して、A の元がある必要はない。対応が付いている A の部分集合だけを見ればよい。逆写像とは異なることに注意。 1.2.6 恒等写像任意の a ∈ A に対して a 自身に対応させる写像を恒等写像という。A における恒等写像を idA とかく。つまり idA : A → A (1.10) idA : a 7→ a (1.11) である。恒等写像は全単射である。 1.2.7 包含写像 X の部分集合 A を考える。X は A の元を含んでいる。包含写像 f : A → X とは f : a 7→ a (1.12) のことである。部分集合 A だけに着目すれば恒等写像に他ならない。ただし、集合としては X のほうが大きいため、単射ではあるが全射ではない。包含写像は特に A ,→ X と表記する。この表記を用いれば恒等写像 idA は A ,→ A であり、包含写像の特別な場合である。 3 (1.13)