演習問題(3)解答例

統計力学演習解答 (3)
[1]
(a)
)
(
p2x + p2y + p2z
p2x + p2y + p2z
1
U ≡ ⟨E⟩ =
dpx
dpy
dpz N
exp −
2m
2mkT
(2πmkT )3/2
−∞
−∞
−∞
(
)
(
)
∫
∫ ∞
∞
p2y
N
p2x
p2x
=
exp
−
dp
exp
−
dp
y
x
2m
2mkT
2mkT
(2πmkT )3/2 −∞
−∞
(
)
∫ ∞
p2
×
dpz exp − z
+ (x ←→ y) + (x ←→ z)
2mkT
−∞
(
)
(
)∫ ∞
∫ ∞
2
2
p
1
1
p
y
= 3N
dpx p2x exp − x
dpy exp −
2m (2πmkT )3/2 −∞
2mkT
2mkT
−∞
(
)
∫ ∞
p2
×
dpz exp − z
2mkT
−∞
1
1
= 3N
× (2π)1/2 (mkT )3/2 × (2πmkT )1/2 × (2πmkT )1/2
2m (2πmkT )3/2
3
= N kT
2
∫
∞
∫
∞
∫
∞
ここで，(x ←→ y) は添字の x と y を入れ替えた項を表し，第１項と同じ寄与をする. また，４番目
の等号は px 項に部分積分，py , pz の項に Gauss 積分を行った.
(b) C =
∂U
3
= Nk
∂T
2
[2]
(a)
x2 + y 2 = r2 cos2 θ + r2 sin2 θ = r2
 ∂x ∂y 


cos
θ
−r
sin
θ
 ∂r ∂r 
drdθ = rdrdθ


dxdy = det 
 drdθ = det
∂x ∂y sin
θ
r
cos
θ
∂θ ∂θ
(b) (a) の結果から
∫
2
∫
∞
I =
∞
dx
∫
−∞
2π
∫
−∞
∞
dye−x
2 −y 2
drre−r
0
0
[
]
1 −r2 ∞
= 2π − e
=π
2
0
=
この結果から，I =
√
dθ
π を得る.
1
2
[3]
(a) Γ(N + 1) の表式について部分積分を実行する．
∫ ∞
Γ(N + 1) =
e−t tN dt
=
[
∫
0
]∞
−e−t tN 0
+N
∞
e−t tN −1 dt = N Γ(N )
0
よって，Γ(N + 1) = N Γ(N ) = · · · = N · (N − 1) · · · 2 · 1Γ(1) となる．Γ(1) は
∫ ∞
[
]∞
Γ(1) =
e−t dt = −e−t 0 = 1
0
であるから，Γ(N + 1) = N ! が示せた．
(b) t についての一階微分と二階微分 f ′ (t) = −1 + N/t，f ′′ (t) = −N/t2 < 0 (t ≥ 0) から t = t0 = N
で f (t) が最大値を取る.
(c) N ≫ 1 の場合において
f (t) ≈ f (t0 ) +
1
f ′′ (t0 )
(t − t0 )2 = −N + N ln N −
(t − N )2
2!
2N
と近似し，積分の下限を −∞ として t ∈ (−∞, ∞) で積分する.
[
]
∫ ∞
1
2
exp[−N + N ln N ] exp −
Γ(N + 1) ≈
(t − N ) dt
2N
]
[
∫0 ∞
1
2
(t − N ) dt
≈
exp[−N + N ln N ] exp −
2N
−∞
[
]
∫ ∞
1
N
2
= (N/e)
exp −
(t − N ) dt
2N
−∞
= (2πN )1/2 (N/e)N
最後の等号は，Gauss 積分を行った.
ここで，積分の下限が −∞ で置き換えることができるのは，t < 0 の領域において係数を除いた被
積分関数は，N ≫ 1 から
[
]
1
2
exp −
(t − N ) < e−N/2 ≪ 1
2N
であるため，積分にほとんど寄与をしないためである。
(d) Γ̃(N + 1) = (2πN )1/2 (N/e)N とおくと，
N = 5 のとき
N ! = 120
Γ̃(N + 1) = 118.019167957590079985239103792
|N ! − Γ̃(N + 1)| = 1.980832042409920014760896208（絶対誤差）
|N ! − Γ̃(N + 1)|
= 0.016506933686749333456340801734（相対誤差）
N!
2
N = 10 のとき
N ! = 3628800
Γ̃(N + 1) = 3598695.61874103592162317593283
|N ! − Γ̃(N + 1)| = 30104.38125896407837682406717（絶対誤差）
|N ! − Γ̃(N + 1)|
= 0.008295960443938513662043669304（相対誤差）
N!
N = 20 のとき
N ! = 2.43290200817664 × 1018
Γ̃(N + 1) = 2.42278684676113339368390753896 × 1018
|N ! − Γ̃(N + 1)| = 1.011516141550660631609246104 × 1016（絶対誤差）
|N ! − Γ̃(N + 1)|
= 0.004157652622880402734571160213（相対誤差）
N!
と計算できる．
3

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