連立方程式とフーリエ級数（4月15日）

連立方程式とフーリエ級数
連立方程式と関数展開


a+b+c+d




 a+b−c−d

a−b−c+d




 a−b+c−d
次の連立方程式を考えよう。
=
5
= −3
=
1
=
5
この連立方程式は解を持ち、それは a = 2, b = −1, c = 3, d = 1 である。
この連立方程式の変数 a, b, c, d の係数および右辺の定数をベクトルと考えて書
き直すと、




a


1
1
1
1








 + b




1
1
−1
−1








+ c




の形に書くことが出来る。
さらに、




f1 = 


1
1
1
1








 , f2 = 




1
1
−1
−1
1
−1
−1
1








 + d












 , f3 = 




と定義すると、最初の連立方程式は、
1
−1
−1
1
1
−1
1
−1












= 









 , f4 = 




1
−1
1
−1
5
−3
1
5















,F = 




5
−3
1
5







af1 + bf2 + cf3 + df4 = F
となる。
これは、ベクトル F, f1 , f2 , f3 , f4 を一種のデジタルな関数であると考えれば、関
数 F を 4 つの関数 f1 , f2 , f3 , f4 の線形結合で表現した、と見なすことが出来る（図
1）。
これは、F = (5, −3, 1, 5) に限った話ではない。あらゆる関数 F に対して、連立方
程式の解 a, b, c, d が存在する。つまり、さまざまな関数 F は、4 つの関数 f1 , f2 , f3 , f4
によって表現可能なのである。
この例ではデコボコが 4 つある矩形関数を扱っているため、合成関数 F の形も
荒っぽいものになっているが、矩形関数はデコボコを増やせばどんどん細かくし
ていくことが出来る。その結果、関数 F は次第に滑らかな連続関数に近づいてい
くだろう。
実際、フーリエ級数とは本質的にはこれと同じようなものである。何も三角関
数を使わなくても、矩形関数であっても同様なことが可能なのである。
1
図 1: 連立方程式の解による分解
関数の直交性ここで使ったベクトル f1 , f2 , f3 , f4 は、きわめて特殊な形をしてい
る。わざわざ選んでこのようにしているのには、もちろん理由がある。
ためしに、どれでもいいので 4 つのベクトルのうちから 2 つを選んで、その内
積を計算してみる。




f1 · f2 = 


1
1
1
1
 
 
 
 
·
 
 
1
1
−1
−1




=1+1−1−1=0


のように、どれを選んでも結果は 0 となる。したがって、この連立方程式を解く
とき、未知数 a を求めたければ、方程式の両辺にベクトル f1 = (1, 1, 1, 1) を掛け
ればよい。すると、未知数 b, c, d に係っているベクトル f2 , f3 , f4 の内積は 0 とな
り、消えてしまう。つまり、




a


1
1
1
1
 
 
 
 
·
 
 
1
1
1
1


 
5
1


 

 −3   1


 
+b·0+c·0+d·0 = 
·

 1   1


 
5
1
4a = 5 − 3 + 1 + 5







a = 2
となって、確実に a を求めることが可能なのである。b, c, d についても同様であ
り、右辺の関数 F がどのような形であれ、問題ではない。よって、あらゆる関数
F は f1 , f2 , f3 , f4 の線形結合に分解可能なのである。
このような方法で方程式の解が求まるのは、方程式の係数ベクトルに、
異なる 2 つを掛け合わせると 0 になる
2
という性質があるからである。
このような性質は直交性と呼ばれる。つまり、上の例では係数ベクトル f1 , f2 , f3 , f4
が互いに直交していたから、任意の関数を分解して表現できたのである。
一般に n 次元ベクトル f = (f (1), f (2), · · · , f (n)) と g = (g(1), g(2), · · · , g(n))
があって、
n
X
f (i)g(i) = 0
i=1
を満たすとき、これらのベクトルは直交する。
ベクトルの次元数が非常に大きくなって、f と g がほとんど連続関数であると
見なせたとすると、
Z
f (x)g(x) dx = 0
となるとき、2 つの関数 f, g はやはり直交するといわれる。
実は、三角関数はこの性質を満たす。ここにフーリエ級数のカラクリが隠れて
いるのである。
3

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