—— 修士論文 ——
原始惑星系円盤外側領域におけるガス進化
京都大学大学院理学研究科 宇宙物理学教室
小野 智弘
2015 年 1 月 30 日
概要
1990 年代初頭に太陽系外惑星が初めて発見されて以後、2015 年 1 月の段階で 1885 個
もの系外惑星が発見されている。これらの中には、太陽系内惑星とは異なった性質を持つ
惑星が多種多様に存在する。このような系外惑星の多様性の成因は未解決な問題である。
この問題を解決する為に、惑星形成の場である原始惑星系円盤の構造や進化をより詳細に
調べることが必要である。
粘性降着円盤のガス面密度分布モデルとして Lynden-Bell & Pringle (1974) の相似解
がある 。相似解は原始惑星系円盤の様々な研究で利用されており、特に原始惑星系円盤
質量やスケールの推定などでも一般的に用いられている。また、現在の観測は原始惑星系
円盤のガス面密度が相似解的な分布を持っていることを示唆している。
我々は相似解の外側領域において、圧力勾配力が重力に比べて無視できなくなることに
着目した。回転円盤内の圧力勾配力が無視できない領域では、回転不安定がおこることが
理論的に知られている (Chandrasekhar, 1961)。そのため、我々は相似解の回転不安定性
について解析的に調べた。その結果、相似解が回転不安定性の為に円盤外側領域で破綻す
ることを発見した (Ono et al., 2014)。さらに破綻する領域でどのような面密度分布とな
るかを予測しすることで、そのような領域の観測可能性についても議論した。結果とし
て、中心星の質量が小さく、比較的円盤の温度が高い天体を対象に高精度電波観測をすれ
ば、観測出来る可能性があることを予測した。また、Ono et al. (2014) の議論は軸対称
モードの不安定性だけを扱ったが、非軸対称モード不安定性を考慮すると、相似解はより
不安定になりやすいという示唆が得られ、より相似解の破綻を観測しやすくなると予測さ
れる。
相似解が破綻する領域が観測できれば、圧力勾配力が強い場所での原始惑星系円盤内物
理をより深く理解することがでるようになる。これを利用することで、円盤内側領域にお
いて圧力勾配力が強くなる密度ギャップやバンプなどの構造研究に応用することができ
る。そのためにも、ALMA 等の高感度電波観測により回転不安定性の観測的検証が期待
される。
i
目次
第1章
イントロダクションと表記法
1
1.1
イントロダクション . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
表記法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
太陽系と系外惑星系の観測事実
5
2.1
系外惑星の観測事実 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2
原始惑星系円盤の観測事実 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.3
太陽系の観測事実
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.4
鉱物学的見地 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
星形成理論
32
3.1
分子雲コア形成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.2
原始星形成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.3
前主系列星の進化
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.4
星形成領域 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
原始惑星系円盤の構造
39
4.1
基礎方程式 (円筒座標系) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
4.2
円盤モデルで用いられる仮定
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4.3
密度分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
4.4
温度分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
4.5
速度分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
4.6
不透明度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
4.7
組成分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
4.8
原始惑星系円盤の電離度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
惑星形成論
70
微惑星形成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
第2章
第3章
第4章
第5章
5.1
ii
5.2
原始惑星形成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
5.3
原始惑星から惑星へ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
原始惑星系円盤のガス散逸
89
6.1
中心星への粘性降着 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
6.2
中心星からの照射で励起された光蒸発散 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
6.3
大質量星からの照射のある場合の光蒸発 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
第6章
第7章
原始惑星系円盤内における固体成分の動径移動
108
7.1
ダスト落下 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.2
I 型惑星移動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.3
II 型惑星移動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.4
スリング・ショット . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
第8章
(研究) 原始惑星系円盤外側領域における回転不安定性
136
8.1
軸対称回転理想流体の不安定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.2
原始惑星系円盤における Rayleigh 条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8.3
回転不安定性における中立不安定面密度分布 . . . . . . . . . . . . . . . 142
8.4
相似解の回転不安定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.5
典型的な温度分布における計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.6
回転速度分布への影響 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
第9章
(研究) 議論と応用
151
9.1
非相似解的な面密度分布の観測可能性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.2
外側領域における幾何学的に薄い近似の破綻 . . . . . . . . . . . . . . . 152
9.3
現実的な円盤外側領域の進化
9.4
ダスト分布への影響 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
9.5
円盤ギャップやバンプへの応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
9.6
今回考慮しなかった効果 < 粘性とエントロピー勾配 > . . . . . . . . . . 155
9.7
今回考慮しなかった効果 < 非軸対称 > . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
第 10 章
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
まとめ
161
謝辞
付録 A
A.1
162
Hill 方程式
163
回転系の運動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
iii
A.2
Hill 方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
A.3
Hill 半径 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
付録 B
潮汐半径・Roche 限界・Roche 密度
168
B.1
系の設定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
B.2
潮汐半径 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
B.3
Roche 限界 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
B.4
Roche 密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
付録 C
二体緩和
171
C.1
二体緩和の表式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
C.2
二体緩和時間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
iv
図目次
2.1
円軌道の場合、視線速度法で考える系 (Armitage , 2010)。 . . . . . . .
6
2.2
トランジット法の概念図 (NASA)。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3
重力マイクロレンズ法で考える系 (Armitage , 2010)。 . . . . . . . . . .
10
2.4
系外惑星の質量・軌道長半径分布 (Exoplanet.eu)。横軸が軌道長半径、
縦軸が惑星質量。
2.5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
系外惑星の離心率・軌道長半径分布 (Exoplanet.eu)。横軸が軌道長半径、
縦軸が軌道離心率。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6
14
15
中心星金属量と巨大ガス惑星コアの相関 (Miller & Fortney, 2011)。中
心星の金属量は鉄の存在量を水素原子の存在量で割った値を用いてる。 .
16
2.7
原始惑星系円盤から出る放射を表した図 (Hartmann, 1998)。 . . . . . .
18
2.8
Spitzer などの観測による円盤保有率をプロットした図 (Apai & Lauretta , 2014)。破線は L バンド観測によって求められた Haisch et al.
(2001) によって求められた円盤寿命線。 . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9
21
アルマ望遠鏡の 890 µm 観測結果 (Fukagawa et al., 2013)。HD142527
周りの非軸対称なダスト放射成分。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.10
コンドライトの変性度による組み分け (Weisberg et al, 2006)。 . . . . .
31
3.1
光学的に厚くなった後の分子雲コア収縮過程における中心密度と温度の
関係 (Inutsuka, 2012)。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.2
前主系列星の HR 図上での進化 (Shu, 1992)。 . . . . . . . . . . . . . .
36
3.3
Orion 星雲内の Trapezium 星団。中心に見える赤い星が大質量星であ
る (credit: Hubble Space Telescope)。 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.1
最小質量円盤モデルの面密度分布 (Hayashi et al., 1985)。 . . . . . . . .
49
4.2
Razor-thin 円盤で考える系 (Armitage , 2010)。 . . . . . . . . . . . . .
51
4.3
フレア円盤で考える系 (Kenyon & Hartmann, 1987)。 . . . . . . . . .
53
4.4
放射平衡円盤の概念図 (Armitage , 2010)。
56
v
. . . . . . . . . . . . . . .
4.5
円盤の理論的 SED(Armitage , 2010)。 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
4.6
Rosseland 平均不透明度の温度分布 (Semenov et al., 2003)。 . . . . . .
62
4.7
26
X 線、宇宙線、 Al による非熱的電離率 ξ と透過した柱密度 ∆Σ の関係
を表した図 (Armitage , 2010)。
5.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
静水圧平衡におけるコア質量と惑星質量の関係 (Stevenson, 1982)。実線
は典型的な値であり、破線は κR Ṁ の値を 1/10 にした時の線。あるコア
質量以上になると静水圧平衡の解がなくなり、そこが臨界コア質量であ
る。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
5.2
Ṁcore = 0 の時の、大気時間進化 (Ikoma et al., 2000)。 . . . . . . . . .
86
5.3
初 期 コ ア 質 量 と 大 気 成 長 に か か る 時 間 tgrow の 関 係 (Hori&Ikoma,
2010)。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1
87
円盤半径ごとの様々なガス散逸におけるタイムスケール比較 (Hollen-
bach et al, 2000)。tν は中心星への粘性降着による散逸時間で、それぞ
れ α = 10−2 , 10−3 の場合である。tSE は恒星の近接遭遇によって円盤
が剥ぎ取られるタイムスケール。tWS は恒星風による散逸時間。恒星風
が強い場合 (下の線) と弱い場合 (上の線) について線が引かれている。
tC(evap) は中心星からの照射で励起された光蒸発散逸時間、tE(evap) は近
傍の大質量星からの照射のある場合の光蒸発散逸時間である。 . . . . . .
6.2
90
Lynden-Bell & Pringle (1974) の面密度進化の式 (6.1.8) の相似解 (Armitage , 2010)。ν ∝ r で、初期条件は定常降着円盤の面密度分布。横軸
は r1 で規格化してあり、縦軸は面密度である。線は r/r1 = 0.1 の場所
で面密度が高い方から T = 1, 2, 4, 8 の時である。 . . . . . . . . . . . .
96
6.3
Liffman (2003) で考えられた光蒸発流の概念図。 . . . . . . . . . . . .
99
6.4
中心星光蒸発を考慮した面密度進化 (Clarke et al., 2001)。 . . . . . . . 102
6.5
円盤と大質量星の距離変化。
6.6
中心星光蒸発と大質量星光蒸発を考慮した面密度進化。d0 = 0.1 pc, t0 =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6 Myr の場合。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.1
τstop とダストの r 方向移動速度の関係 (Armitage , 2010)。 . . . . . . . 110
7.2
τstop とダストの r 方向移動速度の関係 (Armitage , 2010)。 . . . . . . . 111
7.3
各 m のモードに対する Lindblad 共鳴の位置 (Artymowicz, 1993)。 . . 123
vi
7.4
Ψ と惑星からの距離の絶対値の関係を表すグラフ (Ward, 1997)。P si が
大きい方がトルクが大きいことを意味しており、外側トルクの方が内側
トルクより強いことが分かる。さらに、共鳴の位置も内側の方が惑星か
ら遠いため内側トルクが外側トルクに比べ弱くなる。
7.5
. . . . . . . . . . 125
Ψ と惑星からの距離の絶対値の関係を表すグラフ (Artymowicz, 1993)。
P si が大きい方がトルクが大きいことを意味しており、外側トルクの方
が内側トルクより強いことが分かる。さらに、共鳴の位置も内側の方が
惑星から遠いため内側トルクが外側トルクに比べ弱くなる。 . . . . . . . 126
7.6
惑星の重力トルクによるギャップ形成機構の概念図 (Armitage , 2010)。 131
7.7
各惑星質量における惑星移動のタイムスケール (D’Angelo et al, 2002)。 134
8.1
H0 /r0 と ζm の関係を表す図。横軸が H0 /r0 で縦軸が ζm である。各
線種は β の値を示し、赤実線が β = 0、緑破線が β = 3/4、青粗点線
が β = 1/2、桃細点線が β = 2/5 である。これはそれぞれ、等温円盤、
Razor-thin 円盤、フレア円盤、輻射平衡円盤に対応する。β の違いに
よって H0 /r0 が小さい範囲では大きな違いがないことが分かる。 . . . . 144
8.2
等温円盤における相似解と中立安定面密度分布を、H0 /r0 = 0.1, 0.2, 0.3
に対応する ζm で滑らかに接続した図。横軸が ζ 、縦軸が σ である。各線
種は H0 /r0 の値に対応し、赤実線が H0 /r0 = 0.1、緑破線が H0 /r0 = 0.2、
青点線が H0 /r0 = 0.3 にそれぞれ対応する。H0 /r0 が大きいほど、ζm
が小さくなることが分かる。
8.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Razor-thin 円盤における相似解と中立安定面密度分布を、H0 /r0 =
0.1, 0.2, 0.3 に対応する ζm で滑らかに接続した図。各線種は図 8.1 と同
様である。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.4
フ レ ア 円 盤 に お け る 相 似 解 と 中 立 安 定 面 密 度 分 布 を 、H0 /r0 =
0.1, 0.2, 0.3 に対応する ζm で滑らかに接続した図。各線種は図 8.1 と同
様である。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.5
放 射 平 衡 円 盤 に お け る 相 似 解 と 中 立 安 定 面 密 度 分 布 を 、H0 /r0 =
0.1, 0.2, 0.3 に対応する ζm で滑らかに接続した図。各線種は図 8.1 と同
様である。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9.1
r0 でのアスペクト比と rm でのアスペクト比の関係を表すグラフ。各線
種は β の値を示し、赤実線が β = 0、緑破線が β = 3/4、青粗点線が
β = 1/2、桃細点線が β = 2/5 である。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
vii
9.2
横軸を ζ 、縦軸を F にとったグラフ。各線は H0 /r0 の値に対応しており、
赤実線が H0 /r0 = 0.1、緑破線が H0 /r0 = 0.2、青点線が H0 /r0 = 0.3
を表す。軸対称の時とは異なり H0 /r0 が小さい方が F が極値を持ち、不
安定の必要条件を満たす。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
A.1
Hill 方程式導出時に考える系 (Armitage , 2010)。 . . . . . . . . . . . . 164
A.2
Hill 球まわりの粒子の動き (Armitage , 2010)。 . . . . . . . . . . . . . 167
C.1
Appendix C で考える系。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
viii
表目次
2.1
太陽系内惑星軌道の諸量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.2
太陽系内惑星の物理的諸量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.3
太陽系内惑星大気の諸量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.4
太陽系内惑星大気の成分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4.1
(4.6.9) 式の係数の値 (Zhu et al., 2009)。 . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
4.2
Lodders (2003) によって求められた各分子種の凝縮温度。 . . . . . . . .
65
ix
第1章
イントロダクションと表記法
1.1 イントロダクション
『惑星はどのように形成されたのか？』、この問いは地球という惑星に住む我々を昔から
強く惹きつけてきた。1980 年代に林忠四郎 等の研究成果である『京都モデル』が発表さ
れる (e.g., Hayashi et al., 1985)。これによって、いくらか未解決な問題があるものの、
現在の太陽系を説明出来る惑星形成論の大枠は完成したと思われた。
1990 年代になると、太陽系外の惑星が発見されるようになった。現在では 1885 個もの
系外惑星が発見されている。驚くべきことに、発見されている系外惑星の多くは太陽系内
の惑星と軌道長半径大きく性質を異にするものであり、多様であった。主星の極近傍に存
在する巨大ガス惑星である『ホット・ジュピター』や氷惑星である『ホット・ネプチュー
ン』、公転と自転の向きが逆である『逆行惑星』、主星から遠い場所にある『長周期惑星』
などがその最たる例である。このような惑星の多様性は、従来の京都モデルでは説明する
ことはできない。このため、惑星の多様性と太陽系惑星の性質を包括的に説明することが
できる、『普遍的な惑星形成モデル』を構築する必要がある。
近年の観測技術の進展は凄まじく、系外惑星、原始惑星系円盤、太陽系内天体の観測的
理解は年々深まっている。それに伴い、様々な惑星形成モデルが提唱されてきた。しか
し、残念ながらそれらの惑星形成モデルは玉石混淆であり、普遍的な惑星形成モデルを構
築するためには燃犀之明が不可欠である。つまり、観測事実と矛盾せず、基礎物理に則っ
た、説得力のある惑星形成モデルを構築しなくてはならない。惑星の多様性は何によって
引き起こされるのであろうか。その原因を惑星形成の環境である『原始惑星系円盤』に求
めるのは自然な思考の帰着である。
原始惑星系円盤は星の周りに形成され、気体成分である『ガス』と固体成分である『ダ
スト』から構成されている。原始惑星系円盤内のダスト成分が集まることによって地球型
惑星や巨大ガス惑星コアとなり、ガス成分は巨大ガス惑星の大気となると考えられる。こ
1
のことから、一見するとガス成分は一部の惑星にのみに関係し、惑星の多様性の原因はダ
スト成分にあるように思える。しかし、原始惑星系円盤内でのガス成分とダスト成分の質
量は、星間物質観測の類推からガスの方がダストに比べ約 100 倍多いと考えられる。その
ため、原始惑星系円盤中のダスト成分はガス成分の影響を多大に受ける。これより、原始
惑星系円盤のガス成分を調べることは、ガスだけでなくダスト、延いては惑星を理解する
上で極めて重要である。よって、本論文では原始惑星系円盤のガス成分についての理論的
な研究を行い、普遍的な惑星形成モデル構築の為の礎とする。
原始惑星系円盤のガス成分の質量はダストの約 100 倍あるにも関わらず、現在の太陽系
ではガス成分は殆ど残っていない。このことから原始惑星系円盤中のガス成分を散逸させ
る必要がある。ガス散逸の機構としては粘性降着、光蒸発、円盤風 などが考えられてお
り、原始惑星系円盤の殆どの時代のおいて粘性降着が主要機構であると考えられている。
しかし、依然不明な点は多く、特に原始惑星系円盤の寿命を決定するガス散逸の最終段階
に関しては未解明である。本研究ではガス散逸の最終段階における主要機構候補の一つで
ある光蒸発に着目する。光蒸発が惑星の軌道長半径に与える影響を考察し、系外惑星観測
と比較する。
惑星形成において古くからの未解決問題として、
『ダスト落下問題』
、
『惑星落下問題』が
ある。これらはダストや惑星が原始惑星系円盤内のガスと相互作用することによって、動
径方向に移動し、主星上に落下してしまう問題である。しかし、ガスとの相互作用による
ダストや惑星の動径方向の移動は原始惑星系円盤ガスの構造に強く依存する。また、この
構造によって、起こる化学反応なども変化する。このように原始惑星系円盤ガスの構造は
惑星形成に重要である。本研究では回転円盤中の圧力勾配が強い場所で流体不安定が起こ
ることに新たに着目し、原始惑星系円盤ガスの構造への影響と考察し、その結果惑星形成
にどのような影響を与えるのかを議論する。
本論文の構成は以下のとおりである。2 章で系外惑星、原始惑星系円盤、太陽系内天体
の観測手法をそれぞれ簡単にまとめ、説明すべき観測事実を紹介する。3 章で中心星の形
成過程、4 章で原始惑星系円盤の構造、5 章で標準惑星形成理論を概観する。6 章で円盤
の散逸過程、7 章で原始惑星系円盤中の固体成分の動径移動について説明する。以上を踏
まえた上で、本研究の主題である流体不安定性を考慮した原始惑星系円盤の構造を 8 章で
説明し、9 章で議論を行う。最後に 10 章でまとめとする。
1.2 表記法
• デカルト座標系では各軸を x, y, z とする。
• 円筒座標系では各軸を r, ϕ, z とする。
• 特に指定がない限りはは以下のように定数を定義する。
2
重力定数:G
ボルツマン定数:kB
ステファンボルツマン係数:σSB
円周率:π
気体定数:R
水素原子質量:mH
平均分子量:µ
• 速度に関する量を以下のように定義する。
速度場:v = (vi , vj , vk )
(ただし、i, j, k は座標の軸に対応する。)
速度:v ≡ |v|
• 特に指定がない限りは以下のように物理量を記号で表す
M :質量 t:時間 T :温度 ρ:密度
P :流体に関しては圧力、それ以外では軌道周期、
S:エントロピー、cs :音速、H:スケールハイト、tij :粘性ストレステンソル
c:光速、B:磁束密度、J :電流、6 章ではベッセル関数
ν:流体に関しては動粘性係数、それ以外では振動数
ψ:重力ポテンシャル、γ:比熱比、W:粘性力
λ:波長、F :フラックス、τ :光学的厚み
a:軌道長半径、e: 軌道離心率、i:軌道傾斜角
A:アルベド、R:天体半径、rH :Hill 半径
Σ: 面密度、Π: one-zone 近似された圧力
Tij :one-zone 近似された粘性ストレステンソル
• 太陽の物理量は を添字につける。
• 地球の物理量は ⊕ を添字につける。
• 木星の物理量は J を添字につける。
• 中心星の物理量は ∗ を添字につける。
• 惑星の物理量は p を添字につける。
• Kepler ー回転の時
√
回転角速度 ΩK ≡ GM ∗ /r3
√
回転速度 vK = GM ∗ /r
√
比角運動量 jK = GM ∗ r
• ファクターまで合っている関係は ' を用いる。
• オーダーまで合っている関係は ∼ を用いる。
• 同等かそれ以上である時 & を用いる。
3
• 同等かそれ以下である時 . を用いる。
• Re は実部を、Im は虚部を意味する。
4
第2章
太陽系と系外惑星系の観測事実
近年の観測技術の進展によって原始惑星系円盤や系外惑星だけでなく、太陽系内天体に
関してもより詳細で新しい観測結果を得ることが出来るようになった。理論研究は観測結
果を説明し、新たな観測提案することが存在意義である。このため、理論研究者であって
も観測の手法・結果をある程度理解しておく必要がある。この章では、2.1 節で系外惑星
の観測について、2.2 節で原始惑星系円盤の観測について、2.3 節で太陽系内天体の観測に
ついて述べる。また 2.4 節では天文学的見地から考える惑星形成と対をなす鉱物学的見地
から考える惑星形成に関して概観する。
2.1 系外惑星の観測事実
1990 年代に系外惑星が観測されて以後、現在に至るまで 1885 個もの系外惑星が観測さ
れている。この節では系外惑星の観測手法について簡単にまとめ、観測結果も紹介する。
2.1.1 視線速度法
一般的に惑星は中心星の周りを公転していると言われるが、厳密には正しくない。なぜ
なら、惑星は系の重心の周りを公転しているからである。一般的に中心星の質量は惑星に
比べて非常に大きく、系の重心は中心星近傍にあることから、近似的に惑星は中心星の周
りを公転していると言う。このことから分かるように、中心星と系の重心の位置は異な
る。その結果、中心星も系の重心の周りを公転する。中心星を観測した際、中心星の公転
によってスペクトルがドップラーシフトを起こす。このドップラーシフトをミリ秒の単位
で正確に測ることで、惑星を間接的に観測する手法を『視線速度法』と呼ぶ。
まず始めに、円軌道の場合を考える。質量 M∗ の中心星の周りを、質量 Mp 、軌道長半
径 a の惑星が円軌道で回転している時を考える。ここで、Mp M∗ の時、惑星の回転速
5
図 2.1 円軌道の場合、視線速度法で考える系 (Armitage , 2010)。
度は Kepler 回転となるので
√
vp = vK ≡
GM∗
a
(2.1.1)
となる。また、系の運動量保存から M∗ v∗ = Mp vp となる。いま、回転軸から傾斜角 i の
方向に観測者がいる時、見かけ上の中心星の速度の振幅 K は
(
K = v∗ sin i =
Mp
M∗
)√
GM∗
sin i
a
(2.1.2)
となる。また、K の変動周期 P は
√
P = 2π
a3
GM∗
(2.1.3)
となる。この為、観測量から分かるのは M∗ sin i といった質量の下限値であり、i の不定
性を取り除くことはできない。i が完全にランダムだとすると、i の平均値は π/4 となり、
真の質量と下限値は大きくはずれていない。しかし、惑星系の軌道安定の議論をする際に
はその差が重要になる。また観測値 K の表式から、半径が大きく軌道長半径が小さい惑
星ほど視線速度法で見つかりやすいことが分かる。また、図 2.1 に今回考えた系の図を乗
せた (Armitage , 2010)。
一般的な惑星は離心軌道を持つことから、離心軌道を持つ惑星の視線速度法観測につ
いて説明する。惑星の軌道離心率 e、軌道長半径 a、周期 P の時、軌道半径は遠点距離
6
a(1 + e) と近点距離 a(1 − e) の間で変化する。近点を時間 tperi に通過する時、離心近点
角を E とすると、Kepler 方程式は
2π
(t − tperi ) = E − e sin E
P
(2.1.4)
となる。Kepler 方程式は解析的には解けないが、数値的に解くことができる。E が分か
れば、真近点角 f が
f
tan =
2
√
E
1+e
tan
1−e
2
(2.1.5)
より得られる。ここで真近点角とは惑星、中心星、近点が成す角である。最終的に観測さ
れる中心星の視線速度は v∗ (t) は
v∗ (t) = K[cos (f + ω̄) + e cos ω̄]
(2.1.6)
ここで、ω̄ は、軌道面上での近点方向と視線平面から見た昇交点の成す角である。さら
に、K は円軌道と同様に Mp M∗ から
1
K=√
1 − e2
(
Mp
M∗
)√
GM∗
sin i
a
(2.1.7)
となる。このことから、e が大きいほど視線速度の見かけの振幅は大きくなる。しかし、
視線速度の変化に乏しい遠点付近に長くいることから、観測の戦略が重要となる。v∗ (t)
の時間変化を観測すると、e, ω̄ を測定することができる。
2.1.2 トランジット法
観測者から見て、惑星が中心星の前方を横切る (トランジットする) 時、食を起こすた
めに中心星フラックスは減少する。惑星は周期軌道を持つので、周期的な中心星フラック
スの減少を起こす。中心星の光度曲線を観測しトランジットによる光度変動を観測するこ
とで、間接的に惑星を観測する手法を『トランジット法』と呼ぶ。図 2.2 にトランジット
法の概念図を載せる。
トランジットによる中心星フラックスの変動は中心星と惑星の距離とは無関係である。
半径 Rp の惑星が半径 R∗ の中心星をトランジットする時、中心星は一様な光度を持つと
仮定した時の変動率 f は
(
f=
Rp
R∗
)2
(2.1.8)
となる。中心星が太陽、惑星を木星 RJ = 7.142 × 109 cm と仮定すると f ' 0.01、地球
R⊕ w 6.36 × 108 cm と仮定すると f ' 8.4 × 10−5 となる。地上観測では大気の揺らぎ
7
図 2.2 トランジット法の概念図 (NASA)。
によって測光精度は 10−3 に制限される。そのため、地上観測によって巨大ガス惑星のト
ランジットを観測することは可能であるが、地球サイズの岩石惑星を観測するには精度が
足りない。
次にトランジットの観測確立について議論する。軌道長半径 a で円軌道している惑星が
トランジットを起こす時、観測者からみて中心星面を惑星が一部でも隠すための条件は
cos i ≤
(R∗ + Rp )
a
(2.1.9)
である。傾斜角 i はランダムに分布していることを考えると、トランジットが観測できる
確立 Ptransit は
Ptransit =
(R∗ + Rp )
a
(2.1.10)
である。これより、地球と似た惑星のトランジットを観測出来る確立は Ptransit ' 5×10−3
となる。
一回のトランジットで中心星減光を観測できる時間 ttransit は、大まかに ttransit ∼
8
2R∗ /vK で表せる。また、Quirrenbach (2006) によってより正確に求められており、
(√
)
(R∗ + Rp )2 − a2 cos i
P −1
ttransit = sin
(2.1.11)
π
a
である。ここで、P は軌道周期である。これより、地球に似た惑星のトランジットを
edge-on(i = 90◦ ) で観測した時は ttransit ∼ 13 hours となる。以上より、地球に似た惑星
のトランジットを任意の時間で観測できる確立は Ptransit ttransit /P ∼ 10−5 となる。
以上の結果から、トランジット観測は軌道長半径が小さく、半径の大きい惑星ほど観測
確立が高いことが分かる。トランジット法によって測定できるのは惑星半径と軌道周期で
あり、惑星質量は求めることができない。そのため、無関係の天体が星の前方を通過した
時、低質量な星のトランジット、食連星による星の減光などと区別することが困難であ
り、これらを false positive と呼ぶ。つまり、トランジット法で観測された段階では false
positive の可能性から惑星候補であり、後に視線速度法などで追観測し惑星質量を求める
ことで、false positive の可能性を除く。
宇宙空間でのトランジット観測では、考えられる観測制限は以下の 2 つになる。1 つは
ttransit の間に中心星からの光子を十分に受けることができることであり、もう 1 つは中
心星の活動性による光度変動とトランジットによる光度変動を区別できることである。前
者に関しては望遠鏡の口径が 1 m 以上あれば地球半径程度の惑星を観測するには十分な
感度がある。後者に関しても、ttransit の短時間での中心星の活動性による光度変動はトラ
ンジットによる光度変動に比べて無視できるほど小さい。以上から、宇宙空間でのトラン
ジット観測は制限が小さい。実際、ケプラー衛星は 2009 年から現在 2015 年 1 月に至る
まで 4000 個以上の惑星候補を発見し、そのうち 1000 個以上が惑星であることが確認さ
れている。
トランジット法に関していくつかの応用があり、それぞれ簡単に紹介する。
• 複数の惑星が存在する系ではトランジット周期が変動する。この周期変動を利用す
ることでトランジットしない惑星の情報を得ることができる。この手法を Transit
Time Variation (TTV) 法と呼ぶ。
• 惑星が衛星を持つ時、トランジット継続時間 ttransit が変動する。この ttransit の
変動を観測することによって衛星の情報を得ることが出来る。この手法を Transit
duration variation (TDV) と呼ぶ。
• 惑星自体は中心星の光を反射することで光っている。そのため、惑星が中心星の裏
側に隠れると光度が減少し、これを 2 次食と呼ぶ。2 次食による光度変動はトラン
ジットによる光度変動に比べ小さいが、短周期巨大惑星では観測することができ
る。これにより惑星大気の情報を得ることが出来る。
• 惑星がトランジットをしない場合であっても、短周期巨大惑星の反射光の変動を観
9
図 2.3 重力マイクロレンズ法で考える系 (Armitage , 2010)。
測することで、惑星の存在を観測することが出来る。
• 主星は回転しており、光球面には観測者に近づく方向に運動している領域と、遠ざ
かる方向に運動している領域がある。惑星がトランジットする際、中心星の回転
によって光度曲線は非対称になる。この効果を Rossiter-McLaughlin 効果と呼び、
非対称性を観測することで、中心星の自転軸と惑星公転面の傾きを観測することが
できる。
2.1.3 重力マイクロレンズ法
光子が質量 M∗ の星に衝突パラメータ b で近づく時、その軌道は角度 α、
α=
4πGM∗
bc2
(2.1.12)
だけ歪められる。これより、視線上の異なる距離に星がある時、遠くの星 (光源) の光は
手前の星 (レンズ) によって歪められ、リング形状となり観測者に届く。この効果を重力
レンズと呼び、リングのことを Einstein リングと呼ぶ。観測者とレンズの距離 dL 、観測
者と光源の距離 dS 、レンズと光源の距離 dLS とすると、Einstein リングの角半径 θE は、
2
θE =
c
√
GM∗ dLS
dL dS
(2.1.13)
と与えられる。もし、光源天体とレンズ天体が完全に一直線ではない場合は光路の対称性
は破れ、光源からの光は複数の角半径 θE スケールで離れた像として観測される。今回考
える系を図 2.3 で表す (Armitage , 2010)。
銀河バルジ内に光源天体があり (dS = 8 kpc)、銀河円盤内にレンズ天体がある時
(dL ' 4 kpc)、Einstein リングの角半径は θE ∼ 10−3 arcsec となる。この場合、重力レ
10
ンズによって歪められた光源の複数の像を空間的に分解することはできない。しかし、表
面輝度は保存し、重力レンズの影響により像の面積は大きくなるので、光源は増光して見
える。このため、光源天体の光度曲線上で増光が見られると、重力レンズ現象が起こった
ことが分かる。1 回の重力レンズ現象の時間 tE は、レンズ天体の光源天体に対する相対
的な固有運動 µ を用いて、
tE =
√
θE
∝ M∗
µ
(2.1.14)
となる。ここで、M∗ はレンズ天体の質量である。
レンズ天体の周りを質量 Mp の惑星が公転している場合を考える。惑星質量はレンズ
天体に比べてとても小さいと仮定し、質量比を q = Mp /M∗ 1 とする。重力レンズ現
象によって光源天体の増光が起こる時、惑星が Einstein リング周辺に存在すれば、光源
の像の一部が惑星による重力レンズ効果によってさらに増光される。この効果を重力マイ
クロレンズと呼ぶ。この時、重力マイクロレンズ効果によってさらなる増光がみられる時
間 tp は
tp ∼ q 1/2 tE
(2.1.15)
であり、重力マイクロレンズ現象が起こる確率 Pmicro は
Pmicro ∼ Aq 1/2 ∝
√
Mp
(2.1.16)
となる。ここで A は光源天体の天球面上での拡大率である。
重力マイクロレンズによる増光を観測することで、間接的に惑星を発見する手法を『重
力マイクロレンズ法』と呼ぶ。この方法は、中心星に近い惑星ではなく、Eintein リング
近傍にいる惑星に対して最も感度があることが注目すべき点である。光源を銀河バルジ
内の天体であり、レンズ天体は銀河円盤内の天体と仮定すると、Eintein リング半径は数
AU 程度になる。つまり、数 AU 程度の軌道長半径を持つ惑星が重力マイクロレンズ法に
よって発見されやすい。さらに、重力マイクロレンズ現象が起こる確率は惑星質量に対し
て弱い依存性しかなく、低質量の惑星に対しても発見出来る点も重要である。
しかし、重力マイクロレンズ現象が起こることは予測出来ず突発的に起こるため観測が
困難である。MOA や OGLE などのグループはモニター観測をすることなどで、この問
題を克服している。さらに、将来的には WFIRST などの天文衛星を用いた大規模観測も
計画されている。
ただし、重力マイクロレンズ現象は偶発的に起こるものであり、追観測をすることも困
難であることにも注意が必要である。
11
2.1.4 アストロメトリ法
視線速度法でも述べた通り、中心星は系の重心の周りを公転する。中心星の軌道長半径
a∗ は
(
a∗ =
Mp
M∗
)
a
(2.1.17)
となる。観測者から惑星系までの距離を d とした時、中心星軌道の角半径 θ は
(
θ=
Mp
M∗
)
a
d
(
−4
= 5 × 10
Mp
MJ
)(
)−1 (
M∗
M
a )
5 AU
(
d
10 pc
)
arcsec
(2.1.18)
のようになる。この星の惑星によるふらつきを直接観測することで、間接的に惑星を発見
する手法を『アストロメトリ法』と呼ぶ。アストロメトリ法は視線速度法とは異なり、質
量に sin i の不定性はない。しかし、非常に高精度な位置測定が必要であり、アストロメ
トリ法によって発見された惑星は少ない。今後の日本の国立天文台が開発を進める位置天
文衛星である JASMINE などに期待が持たれる。
2.1.5 直接撮像法
惑星観測において最も単純な手法は直接惑星を見ることであり、この手法を『直接撮像
法』と呼ぶ。まず、惑星の反射光について考える。惑星の半径 Rp 、軌道半径 a、アルベ
ド A とすると、惑星に入射する光のうち反射する割合 freflect は、
(
freflect =
πRp2
4πa2
)
A
−10
= 1.4 × 10
(
A
0.3
)(
Rp
R⊕
)2 (
a )−2
1 AU
(2.1.19)
となる。このことから、地球のような惑星では、見かけの等級は中心星と比べて 24-25 等
暗く、惑星の反射光を観測することは不可能である。次に、惑星による熱放射を考える。
惑星の表面温度 T で黒体輻射すると仮定すれば、ある振動数 ν におけるスペクトルはプ
ランク関数となる。そのため、中心星も温度 T∗ で黒体輻射しているとすれば、ν におけ
るフラックスの比 fth は
(
fth =
Rp
R∗
)
exp(hν/kB T∗ ) − 1
−1
exp(hν/kB T )
12
(2.1.20)
となる。地球-太陽のような系を考え時、T = 290 K でフラックスが最大となる波長 λ は
ウィーンの変位則 hνmax = 2.8kB T より λmax ' 20 µm である。この振動数でのフラッ
クス比は fth ∼ 10−6 となり、反射光の時に比べで 4 桁改善されている。望遠鏡の口径 D
とすると、波長 λ での分解能 θ は
θ ∼ 1.22
λ
D
(2.1.21)
となり、λ = 20 µm で、θ = 0.1 arcsec を達成するためには D ' 50 m が必要となる。し
かし、このような大きな直径を持つ宇宙望遠鏡を建造することは不可能に近い。
この困難を克服する一つの手法として、補償光学を用いた地上からの直接撮像法があ
る。宇宙空間で口径が数十 m の望遠鏡を作ることは出来ないが、地上では建設可能であ
る。しかし、地上観測では大気中を透過する際に波面が乱されてしまう。そこで、大気に
よる波面の乱れを補正する手法を補償光学と呼ぶ。補償光学を施した上で中心星の光をコ
ロナグラフで隠すことで、地上から惑星を直接撮像することが可能である。直接撮像法は
惑星の半径が大きく、軌道長半径が大きいほど観測が容易になる。そのため、いくつかの
長周期巨大惑星が Subaru/HiCIAO や Keck、VLT/NACO によって直接撮像法で観測さ
れている (e.g. Lagrange et al., 2008; Thalmann et al., 2009; Marois et al., 2010)。一
方で、地球のように半径 Rp ∼ M⊕ で、軌道長半径が数 AU の惑星を直接撮像法で観測す
るのは現状困難である。これらを観測するためには、より高精度でリアルタイムで補償を
行う極限補償光学が必要となる。
2.1.6 系外惑星の観測結果
系外惑星の観測結果について紹介する。図 2.4 は系外惑星の質量・軌道長半径分布、図
2.5 は離心率・軌道長半径分布で、2015 年 1 月までに系外惑星と確認された 1885 天体が
プロットされている。
まず質量・軌道長半径分布図 2.4 について見る。これまで発見されている惑星は軌道長
半径が小さく、質量が大きい物が多い。これは、系外惑星の多くは Kepler 衛星によって
トランジット観測された後に、視線速度法によって追観測されているためであり、観測
的制限から来るものである。また、1-10 AU 辺りの低質量惑星は重力マイクロレンズ法、
100-1000 AU 辺りの大質量惑星は直接撮像によって観測されたものである。
系外惑星には太陽系内では見られないような惑星が多く見られる。軌道長半径が
a < 0.1 AU と中心星に近い場所にある巨大ガス惑星程度の質量を持つ惑星を『ホット・
ジュピター』、a < 1 AU に存在し氷惑星程度の質量を持つ惑星を『ホット・ネプチュー
ン』と呼ぶ。これらをまとめて『短周期惑星』と呼ぶことも多い。一方で、100-1000 AU
といった中心星からかなり遠い位置にある巨大惑星を『長周期巨大惑星』と呼ぶ。
13
図 2.4
系外惑星の質量・軌道長半径分布 (Exoplanet.eu)。横軸が軌道長半径、縦軸が惑星質量。
また、離心率・軌道長半径分布図 2.5 を見ると、太陽系内惑星の殆どは離心率 e ' 0 程
度であり、ほぼ円軌道しているのに対し、系外惑星の中には離心率が高い惑星も多い。離
心率が e > 0.1 と高い惑星を『エキセントリック・プラネット』と呼ぶ。
短周期惑星は惑星形成論を鑑みると、このような中心星近傍で形成されるとは考えにく
く、過去に中心星に向かって惑星移動してきた結果と考えられている。この惑星移動に関
しては円盤ガスとの重力相互作用によるものと、惑星同士の軌道不安定によるものが考え
られている。詳細には分かっていないが、円盤との重力相互作用による移動では離心率は
e ' 0 に保たれるのに対して、惑星同士の軌道不安定では離心率が上昇することが示唆さ
れている。そのため一般的に、エキセントリック・プラネットである短周期惑星は軌道不
安定で移動し、e ∼ 0 の短周期惑星は円盤との重力相互作用によって移動してきたと考え
られている。惑星移動に関しては 7 章で取り扱う。
長周期巨大惑星形成について現在提案されているモデルは、円盤初期の円盤質量が重い
時期に重力不安定で形成するものと、内側で作った後に外側領域に軌道不安定などで弾き
飛ばすものがある。しかし、どちらも理論的困難を克服できていない。
構成が持つ金属量と巨大ガス惑星コアに相関があることがしられている。図 2.6 は中心
星の鉄存在量を横軸に、巨大ガス惑星の固体成分の質量を縦軸に表したものである Miller
14
図 2.5 系外惑星の離心率・軌道長半径分布 (Exoplanet.eu)。横軸が軌道長半径、縦軸
が軌道離心率。
& Fortney (2011)。図より、中心星の金属量が高くなると、巨大ガス惑星の固体成分の質
量が増加していることが見て取れる。惑星コアを形成する物質が増えるため大きい惑星コ
アができ、その結果巨大ガス惑星質量が直感的には理解できる。しかし、その正の相関の
具体的な説明は研究途中である。
2.2 原始惑星系円盤の観測事実
原始惑星系円盤は惑星形成の場であり、原始惑星系円盤の性質を詳細に知ることは系外
惑星の多様性を理解する上で不可欠である。原始惑星系円盤の理解は理論、観測両面から
勧められており、ここでは原始惑星系円盤観測を概観する。
2.2.1 YSO の分類
前主系列段階の若い天体 (YSO) のスペクトルエネルギー分布 (SED) は主に 2 つの成
分がある。1 つは中心星由来の放射であり、可視領域をピークとする黒体輻射的な SED
を持つ。もう 1 つは円盤由来の放射であり、赤外・電波領域に広がった SED を持つ。円
15
図 2.6
中心星金属量と巨大ガス惑星コアの相関 (Miller & Fortney, 2011)。中心星の
金属量は鉄の存在量を水素原子の存在量で割った値を用いてる。
盤由来の放射の寄与によって、SED は中心星の黒体輻射と比べて赤外以上の波長領域で
フラックスが超過する。特に赤外領域における超過を『赤外超過』と呼ぶ。このことか
ら、中心星由来の放射と円盤由来の放射の放射強度の関係によって SED の形状は変化す
る。SED の形状によって YSO は分類されており、近赤外領域での SED 勾配 α、
α≡
dln (λFλ )
dln λ
(2.2.1)
を用いて、以下のように 4 つのクラスに分けられている。
• Class 0 …λ ≤ 10 µm の波長でフラックスが観測されない
• Class I…α > 0.3
• Class II…0.3 > α > −1.6
• Class III…−1.6 > α
Class 0、Class I は原始星段階だと考えられており、原始星は周りのエンベロープに覆わ
れている。原始星が光学的に厚いエンベロープによって完全に隠されている時が Class 0
であり、原始星からの一部の放射が観測される時が Class I である。Class II、Class III
は T タウリ型星段階であると考えられており、星周円盤が形成されている。Class II 段階
16
は円盤は光学的に厚く、ガスとダストで構成された原始惑星系円盤を持ち、ClassIII 段階
は原始惑星系円盤からガス散逸した状態である。その結果、ClassIII 段階はダスト成分の
みの円盤となっている。
2.2.2 T タウリ型星の分類
T タウリ型星は G 型晩期から M 型にかけて分布する前主系列星段階にある低質量星
(0.5 − 2.0M ) である。一般的に T タウリ型星は Hα 輝線の等価幅が 10 Å 以上の星を古
典的 T タウリ型星 (CTTS) と呼び、10 Å 以下の星を弱輝線 T タウリ型星 (WTTS) と呼
ぶ。ただし、この境界は星のスペクトル型にも依存し、晩期型星ほど境界となる Hα 等価
幅は大きくなる傾向がある。Hα 輝線は降着円盤最内縁の電離領域で形成され、輝線強度
の違いは円盤から中心星への降着率によると考えられる。初期は降着率が高く、強い Hα
輝線を示すことで CTTS となる。円盤進化と共に、降着率が下がり Hα 輝線を減少させ
ながら WTTS に至る。その後、最終的に主系列星に至ると考えられている。
Spitzer 赤外衛星による分光観測 (λ = 5 − 36 µm) が Furlan et al. (2006) によってな
されている。その結果、85 個の Class II 天体のうち、4 個が WTTS、6 個が CTTS と
WTTS の連星であるものの、大部分は CTTS である。また、観測された 26 個の Class
III 天体全てが WTTS であった。この結果は T タウリ型星の進化に沿って、円盤の降着
率も減少し CTTS から WTTS に遷移するという従来の考え方と合う結果である。
一方で、ISO 衛星による分光観測 (λ = 4.8 − 100 µm) が Gras-Velázquez& Ray (2005)
によってなされている。へびつかい座、へび座などの星形成領域から 12 個の WTTS、6
個の CTTS を赤外観測した結果、Hα 輝線と赤外超過の有意な相関は見られなかった。こ
のように一概に CTTS と WTTS の分類と YSO の分類が対応しているわけではないこと
に注意が必要である。
2.2.3 Herbig Ae/Fe 型星
Herbig Ae/Fe 型星は前主系列星段階にある中質量の A 型星と F 型星である。星の質
量は 2 M 以上であり、有効温度は 6000 − 10000 K で、T タウリ型星に比べ重く、明
るい。Herbig Ae/Fe 天体の周りにも T タウリ型星と同様に、原始惑星系円盤や系外惑星
が発見されている。本論文中では Herbig Ae/Fe 型星は T タウリ型星の相似形として扱
う。そのため、T タウリ型星における議論はそのまま Herbig Ae/Fe 型星にも適用できる
とする。
17
図 2.7 原始惑星系円盤から出る放射を表した図 (Hartmann, 1998)。
2.2.4 原始惑星系円盤から出る放射
原始惑星系円盤は各領域によって異なる放射をだし、それをまとめたものが図 2.7 であ
る (Hartmann, 1998)。
連続光として観測される成分は以下である。
• 電波・遠赤外領域
円盤外側領域 (r ∼ 100 AU) の赤道面ダストの熱放射。
• 中間赤外領域
円盤中間領域 (r ∼ 数 10 AU) のダストの熱放射。
• 近赤外領域
中心星近傍の高温領域 (r . 1 AU) からの熱放射と、円盤表面での散乱光。
• 可視領域
中心星の熱放射。
• 紫外線領域
円盤内縁の電離圏から中心星への降着によって、高温となった降着物の熱放射。
• X 線領域
中心星内の磁気活動による放射。
18
次に、観測されるダストのフィーチャーについて考える。ダストの成分は主にシリケー
トである。シリケートは結晶構造由来のフィーチャーを赤外領域に持ち、最も強いのが
Si-O 結合の振動遷移 10µm で、続いて 18µm である。ここで、結晶質なシリケートから
は鋭いフィーチャーがでるが、非晶質のシリケートは結晶構造が壊れているので輝線が
鈍ってしまうことに注意が必要である。宇宙空間のシリケートは宇宙線により結晶構造を
壊されるので、シリケートフィーチャーは鈍っている。
次に、輝線として観測される成分を考える。ガスから出る輝線を考える。ガスの中で最
も主要な組成は水素分子である。水素分子を考えると、中心星からの紫外線や X 線によ
り非熱的に励起された分子が、紫外線領域で電子遷移線を放射する。また、電子励起した
分子のカスケードにより、あるいは熱的に励起された分子から近赤外線領域で振動回転遷
移線が放射される。また主に熱的に励起された分子から中間赤外線領域で純回転遷移線が
放射される
また、水素分子以外のガスでは CO の分子輝線がミリ波領域で出される。しかし、CO
分子は低温になるとダスト表面に凍結してしまい、分子輝線を出さなくなる。さらに、円
盤表面の中心星からの紫外線や X 線が当たる場所では CO 分子は解離される。一般的に、
存在量が少ない分子の輝線強度は円盤内の物理状態に強く依存する。
2.2.5 観測から得られる原始惑星系円盤の情報
原始惑星系円盤の分光観測から得られる SED からいくつかの円盤物理量を得ることが
出来る。円盤の大部分は赤外領域で光学的に厚い。そのため、SED の赤外超過を観測す
ることで円盤表面温度分布が求まる。SED と円盤表面温度の対応は 4.4.5 節で議論する。
電波領域では円盤外側は光学的に薄くなる。また、円盤外側領域のダストは電波領域で
熱放射をしている。よって SED の電波領域を用いることで円盤外側領域の面密度分布を
求めることができる。このことは 4.6.2 節で議論する。ただし、SED の電波領域から分か
る面密度分布は、電波領域で光学的に薄い円盤外側領域だけであることに注意が必要であ
る。そのため、円盤内側領域の面密度分布や、その積分量である円盤質量を求めるために
は円盤外側の面密度分布から円盤面密度分布モデルを用いて円盤内側領域を外挿する。こ
の時、一般的に円盤面密度分布モデルとして Lynden-Bell & Pringle (1974) の相似解が
用いられる (Hughes et al. , 2008)。Lynden-Bell & Pringle (1974) の相似解については
6.1 節で取り扱う。
また、CO の分子輝線も電波領域で出る。円盤が観測者から見て完全な face on になっ
ていなければ、円盤の回転によって視線方向への速度が速くなる場所と遅くなる場所が
ある。この結果、分子輝線はドップラー効果によって波長がずれる。この時、観測者に向
かって進む時は青方偏移、観測者から遠ざかるように進む時は赤方偏移する。ドップラー
19
効果は速度が速いほど強いため、青方偏移と赤方偏移の波長のずれから円盤の回転分布を
求めることができる。
さらに、CO の分子輝線の強さを観測することで連続成分の観測同様、円盤外側領域の
面密度分布を求めることが出来る。輝線の場合は連続光と違い、視線速度の違いによっ
て波長が変わるので、円盤の裏側も観測できることが利点である (de Gregorio-Monsalvo
et al. , 2013)。先ほど述べたように CO 分子がダストに凍結してしまうほど低温では輝
線が弱くなり、観測することができなくなることに注意が必要である。
紫外線の連続成分は降着による温度上昇で熱的に発生する放射である。また、水素原始
の Hα 線も降着によって発生する輝線である。この為、連続成分の紫外領域での中心星黒
体輻射からの超過や、Hα 線の強度を測ることで中心星への降着率を求められる。
原始惑星系円盤の寿命は個々の天体だけでなく、観測結果を統計的に扱うことで得られ
る。円盤を持つ T タウリ型星の SED は赤外超過を示す。そのため、T タウリ型星のうち
赤外超過を観測できる割合を知り、星の進化のモデルを用いることで原始惑星系円盤の寿
命を統計的に知ることが出来る。この円盤寿命決定法には 2 つの不定性があることに注意
が必要である。1 つは観測エラーであり、特にある明るさの天体の何 % 程度が検出でき
ているかを表す completeness が重要になる。もう 1 つは、星の進化のモデルを使うため
であり、2-3 倍の不定性を持つ。
図 2.8 は年齢ごとの T タウリ型星が円盤を持つ割合を表したものである (Apai &
Lauretta , 2014)。これは、L バンド (3.4 µm) 観測によって求められた円盤寿命を表す線
を破線で表し (Haisch et al., 2001)、José et al. (2004) の Spitzer 宇宙望遠鏡の Infrared
Array Camera(IRAC) での観測と、Weinberger et al (2004) による TW Hyr 天体の観
測、そして Silverstone et al.
(2006) による Formation and Evolution of Planetary
Systems (FEPS) Spitzer Legacy survey sample の結果が表示されている。この図より、
原始惑星系円盤の寿命は 10 Myr 以内であることが分かる。
2.2.6 遷移円盤
原始惑星系円盤の中には近赤外での赤外超過はないが、遠赤外で強い赤外超過は見られ
るものが存在する。このような円盤を『遷移円盤』と呼び、円盤内側に光学的に薄い領域
がある円盤である。遷移円盤は原始惑星系円盤からガスが散逸した円盤への遷移状態にあ
る天体だと考えられている。
しかし、遷移円盤を形成する円盤散逸過程はよく分かっておらず、以下のような候補が
挙げられている。
• ダスト成長速度の違いによって生じる光学的に薄い領域
20
図 2.8
Spitzer などの観測による円盤保有率をプロットした図 (Apai & Lauretta ,
2014)。破線は L バンド観測によって求められた Haisch et al. (2001) によって求めら
れた円盤寿命線。
• 磁気回転不安定性の影響の違いにより生じる密度ギャップ
• 光蒸発過程によって生じる密度ギャップ
• 巨大ガス惑星による重力トルクによる密度ギャップ
原始惑星系円盤の不透明度を支配しているのは約 0.1 µm サイズの小さなダストであり
(4.6 節参照)、ダストが成長することで円盤が光学的に薄くなると考えられる。円盤内側
は回転のタイムスケールが短く、ダストが外側に比べて速く成長する。その結果、円盤内
側に光学的に薄い領域できると考えられている。
磁気回転不安定性は差動回転円盤内で起こる磁場の不安定性であり、原始惑星系円盤内
で角運動量輸送を担う粘性の起源だと考えられている。磁気回転不安定性の影響を受ける
ためには電離している必要があり、その影響は円盤ガスの電離度に強く依存する。円盤内
の電離度は場所によって異なり、電離度が低く磁気回転不安定性の影響をあまり受けない
デッドゾーンと、電離度が高く磁気回転不安定性の影響を受ける領域がある。それぞれの
領域において各運動量輸送の効率が異なり、円盤内側が速く進化した結果として円盤内側
に穴が空くと考えられている。
21
図 2.9
アルマ望遠鏡の 890 µm 観測結果 (Fukagawa et al., 2013)。HD142527 周り
の非軸対称なダスト放射成分。
光蒸発過程は、原始惑星系円盤表層ガスが中心星や近傍の大質量星からの放射を受ける
ことで中心星の重力ポテンシャルから脱出することによる円盤ガス散逸である。この過程
に関しては 6.2 節で説明する。また、巨大ガス惑星の重力トルクによって出来る円盤内の
密度ギャップに関しては 7.3 節で取り扱う。
観測されている原始惑星系円盤のうち、遷移円盤であるものは約 10% である。そのた
め、原始惑星系円盤の寿命が約 10 Myr であるとすると、遷移円盤の寿命は 1 Myr 程度
である。
2.2.7 円盤の非軸対称性
原始惑星系円盤を理論的に取り扱う際、簡単のために軸対称を仮定することが多い。し
かし、Herbig Fe 型星 HD142527 の周りには非軸対称構造を持つ遷移円盤が存在するこ
とが観測されている (Casassus et al., 2013; Fukagawa et al., 2013)。
図 2.9 は ALMA 望遠鏡によって波長 890 µm で観測された HD142527 周りの遷移円
22
盤が持つダスト連続光分布である。南北で明るさコントラスト約 30 倍の強い非軸対称性
が見られている。
このような非軸対称構造を持つ天体は現在のところ遷移円盤のみで観測されている。遷
移円盤は原始惑星系円盤の進化が進んでいる状態だと考えられており、円盤進化過程で非
軸対称の効果が効く可能性を示唆する。
2.3 太陽系の観測事実
現在多様な系外惑星が観測されており、その系外惑星の多様性を説明できる汎惑星形成
論が必要とされている。太陽系は特別な系ではなくありふれたものであるとすると、汎惑
星形成論は現在の太陽系内の観測事実を再現できるものである必要がある。太陽系内天体
に関して系外惑星系に比べ膨大な観測事実があり、それらを知ることは重要である。
2.3.1 太陽系内惑星
太陽系内には 7 個の惑星がある。水星、金星、地球、火星は『岩石惑星』、木星、土星
は『巨大ガス惑星』、天王星、海王星は『氷惑星』と呼ぶ。太陽系内惑星の情報を表にま
とめる。今回は傾向を見るために表の値は 2 桁の数字で表す。表 2.1 には惑星の軌道に関
する諸量、表 2.2 には惑星自体の諸量、図 2.3 には惑星大気の諸量、図 2.4 には惑星大気
の組成をまとめた。水星の大気量は非常に小さいため、水星の大気の諸量は省いた。これ
らは、理科年表と Matsuda (2014) から引用している。
表 2.1
軌道長半径 (AU)
離心率
軌道傾斜角 (度)
昇交点黄経 (度)
公転周期 (年)
軌道平均速度 (km/s)
太陽系内惑星軌道の諸量
水星
金星
地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
3.9E-1
2.1E-1
7.0
4.8E1
2.4E-1
4.7E1
7.2E-1
6.8E-3
3.4
7.7E1
6.2E-1
3.5E1
1
1.7E-2
2e-3
1.7E2
1.0
3.0E1
1.5
9.3E-2
1.8
5.0E1
1.9
2.4E1
5.2
4.9E-2
1.3
1.0E2
1.2E1
1.3E1
9.6
5.6E-2
2.5
1.1E2
2.9E1
9.7
1.9E1
4.6E-2
7.7e-1
7.4E1
8.4E1
6.8
3.0E1
9E-3
1.8
1.3E2
1.6E2
5.4
それぞれの惑星について、未解決問題がある。ここではそれぞれ惑星の特徴と未解決問
題を簡単に紹介する。
• 水星
水星は最も太陽系内側にある惑星であり、公転周期と自転周期がほぼ等しい。これ
23
表 2.2 太陽系内惑星の物理的諸量
水星
質量 (M⊕ )
赤道半径 (km)
密度 (g/cm3 )
自転時間 (日)
赤道傾斜角 (度)
扁平率
重力加速度 (m/s2 )
太陽輻射# 3
反射能
衛星の数 (個)
金星
地球
5.5E-2 8.1E-1
1
2.4E3
6.1E3
6.4E3
5.4
5.2
5.5
# 1
5.9E1
2.4E2
1.0
# 2
2.7E-2
1.8E2
2.3E1
0
0
3.4E-3
3.6
8.6
9.8
6.7
1.9
1
6E-2
7.8E-1
3E-1
0
0
1
火星
木星
土星
1.1E-1
3.4E3
3.9
1.0
2.5E1
5.2E-3
3.7
4.3E-1
1.6E-1
2
3.2E2
7.1E4
1.3
4.1E-1
3.1
6.5E-2
2.3E1
3.7E-2
7.3E-1
63
9.5E1
6.0E4
7.0E-1
4.4
2.7E1
1.1E-1
1.1E1
1.1E-2
7.7E-1
64
天王星
海王星
1.5E1
1.7E1
2.6E4
2.5E4
1.3
1.6
# 1
7.2E-1 6.7E-1
9.8E1
3.0E1
2.3E-2 1.7E-2
1.2E1
1.2E1
27E-3 1.1E-3
8.2E-1 6.5E-1
27
13
# 1
逆行自転となっている。
上限値である。
# 3 地球の値で規格化する。
# 2
表 2.3
金星
地表面気圧 (hPa)
平均分子量
低圧比熱 (1000J/K kg)
有効放射温度 (K)
9.2E4
44
1.2
224
太陽系内惑星大気の諸量
地球
1.0E3
29
1
225
火星
# 4
6.0
44
0.8
210
木星
土星
# 5
天王星
# 5
海王星
# 5
7.0E2 1.0E3 1.0E3
1.0E3# 5
2.2
2.1
2.3
2.4
11
11
10
10
# 6
# 6
# 6
124
95
59
59# 6
# 4
火星の地表面気圧の変動は大きい。
地表面がなく、地表面気圧として雲の存在するおおよその気圧を示されている。
# 6 内部熱源も考慮されて有効放射温度が求められている。
# 5
は太陽の潮汐力によって公転と自転が同期しているためである。このため、水星表
面は太陽光が常に当たる側と当たらない側ができ、地表面上で強い温度差が生じて
いる。
水星を接近観測したのは 2015 年の段階でマリナー 10 号とメッセンジャーの 2 例
だけである。慣性モーメントの観測から、水星の組成は他の岩石惑星に比べて鉄が
約 2 倍多いことが示唆されており、全質量の 70% にのぼる鉄とニッケルでできた、
月程の大きさを持つコアが中心に存在していると考えられる。何故水星はこのよう
に大きな金属コアを持つのかは未だ解明されていない。
• 金星
金星は物理的性質に関して地球と非常に似ている惑星である。しかし、自転と大気
の二面で地球とは大きく異なる。
24
表 2.4
太陽系内惑星大気の成分
惑星名
大気組成 (主成分)
金星
CO2
N2
N2
O2
H2 O
CO2
N2
Ar
O2
H2
He
CH4
H2
He
CH4
H2
He
CH4
H2
He
地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
#7
存在比 (%)
96.5
3.5
78.1#7
20.9#7
0-2
95.3
2.7
1.6
0.13
90
10
0.2
96
3
0.4
83
15
2
81
19
微量成分
H2 O
Ar
CO2
CH4
CO
H2 O
NH3
H2 O
NH3
NH3
CH4
NH3
乾燥大気の場合の値。
金星の自転は非常に遅く、さらに公転の向きと逆回転している。金星の自転が遅く
逆行回転している原因は分かっていない。
金星は地球に比べ約 100 倍の大気を持ち、その組成はほぼ二酸化炭素である。そ
のため、地表面では温室効果のために約 500 K にも達すると考えられている。さ
らに金星大気は自転方向に自転の約 60 倍の速さで回転が観測されており、これを
『スーパーローテーション』という。スーパーローテーションのメカニズムも未解
決問題である。
• 地球
地球に関して他の惑星と最も異なる点は、水がたくさんあることと、生命の存在で
ある。
一般的な原始惑星系円盤モデルにおいて、地球の位置は水が凍る雪線より内側にあ
り、水蒸気として存在する。その為、地球に現在のような沢山の水をどのように持
たせるかが問題であった。最新の研究では原始惑星系円盤内で雪線が移動し、雪線
が地球より円盤内側に至ると示唆されている。しかし、この時は逆に地球が水を持
25
ち過ぎてしまい、どのように水を捨てるのかという問題が発生している。また、水
の獲得については、氷を成分に持つ微惑星が降り積もることによって獲得すること
も出来ると考えられており、地球の水保有についての研究は現在過渡期である。
さらに、何故地球にだけ生命が存在するのかという問題は我々人類の起源に関わる
重大な問題である。この問いに答えることは惑星研究の最も重要な使命のうちの一
つである。この研究が進むことで、地球以外の系内天体、さらに系外の天体におい
て生命の存在可能性を知ることができる可能性がある。
• 火星
火星は地球以外の系内惑星のうち、生命存在可能性を最も有力視されている惑星で
ある。火星探査によって火星表面には水が流れた形成が残されていることが分かっ
ている。さらに、火星の北極付近に氷が集中的に存在していることも発見されてい
る。しかし、何故、現在水が流れておらず、北極付近に集中的に分布しているのか
が未解決である。
• 木星
木星は太陽系内天体において、太陽に次いで大きい天体である。そのため、木星は
重力源として惑星形成や微惑星軌道に重大な影響を与えてきたと考えられている。
ボイジャーや探査機ガリレオによって慣性モーメント等が測定されており、内部構
造の推定が行われている。それにより木星の固体コアは小さいと推定されるが、モ
デルの不定性から 0 − 10 M⊕ の間で定まっていない。
さらに、木星表面には『大赤斑』と呼ばれる地球約 3 個程度の大きさの渦が存在す
る。一般的に渦は散逸するが、大赤斑は約 350 年にも渡り存在し続けており、その
発生機構及び、維持機構は不明である。現在大赤斑は年々収縮していることが明ら
かになっている。
• 土星
土星は探査機カッシーニによって詳細に調べられており、固体コアも慣性モーメン
トの観測からモデルの不定性はあるものの 10 − 20 M ⊕ であると分かっている。
さらに、土星の環は土星の衛星と重力相互作用しており、力学的な理論の検証に役
だっている。
土星は木星の外側にあるにも関わらず、質量が木星より小さい。これは 5 章で述べ
る定常円盤を仮定した惑星形成論とは矛盾する。そのため、土星の質量は原始惑星
系円盤の散逸過程によって決まっていると考えられる。そのため、原始惑星系円盤
寿命への制限を与える。
• 天王星
天王星の接近観測は未だボイジャー 2 号によってのみであり、多くのことがよく分
かっていない。得られている情報の中で最も特異なのは、自転軸が公転面に対して
26
90◦ 傾いていることである。さらに、海王星の衛星も、海王星公転面に対して 90◦
傾いている。これは未解決問題である。
• 海王星
海王星に関しても天王星と同様、ボイジャー 2 号によってのみ接近観測されてい
る。そのため多くのことは謎に包まれている。しかし、惑星形成論から海王星は現
在の位置より内側で形成されたことが示唆されている。つまり、海王星は内側で形
成され外側に移動したと考えられているが、その移動機構に関しては緒論あり未解
決である。また、海王星の外側に存在する太陽系外縁天体の多くは海王星と軌道共
鳴しており、これは海王星の外側移動が起こったことを示唆する。
2.3.2 太陽系内衛星
太陽系内には表 2.2 にあるように多くの衛星が存在する。その大半は巨大ガス惑星や氷
惑星の周りを公転するものである。しかし、それらの惑星は地球から遠く、観測が十分に
されていない。そのため得られる衛星の情報が限定的である。一方で地球に最も近い月の
形成に関しては古くから研究されている。
現在の月形成の標準モデルでは、巨大衝突段階において地球への最後の巨大衝突によっ
て月が形成されると考えられている。これらは数値計算を用いて活発に研究されている
が、計算時間の問題によって巨大衝突から月形成まで一貫した数値計算は未だされていな
い。そのため、月形成はどのような巨大衝突によって引き起こされたのかは未だ未解決な
問題である。
2.3.3 太陽系内小天体
小天体とは、小惑星、太陽系外縁天体、オールトの雲といった低質量天体の総称である。
また、ガスを噴出する小天体である彗星も小天体に含まれる。
小惑星とは火星と木星の間の領域に存在する惑星群に含まれる小天体の総称であり、こ
の領域を小惑星帯と呼ぶ。小惑星は微惑星の生き残りや、巨大衝突による破片であると考
えられる。小惑星の軌道は木星や火星との軌道共鳴にる影響を大きく受けており、軌道不
安定となる軌道共鳴の場所には小惑星が存在せず、逆に軌道安定となる軌道共鳴の場所に
は小惑星が集中して存在する。この領域で摂動を受けた小惑星の一部が地球に到達したも
のを隕石と呼ぶ。
小惑星について性質を知る手法は一般的に 3 通り存在する。1 つは隕石を鉱物学的に調
べる手法である。さらに、天体力学から軌道計算することで隕石が元にいた領域を求め
ると、その領域の小惑星が持つ鉱物学的性質を知ることができる。また、小惑星の反射
27
光を分光観測する手法が有る。反射光の SED には小惑星表面組成に対応した特徴が出る
ため、小惑星表面組成を推定することが出来る。最後に、実際小惑星まで行って、物質を
取ってくるという方法がある。小惑星探査機はやぶさによって初めて小惑星物質のサンプ
ルリターンが達成されている。
太陽系外縁天体は海王星の外側から存在する小天体群の総称である。太陽系外縁天体
の場所は遠く観測が非常に困難であり、よく分かっていない。その中でも、太陽系外縁
天体のうち海王星に近い領域に存在する天体は観測されており、TNO(Trans-Neptunian
Objects) と呼ばれる。TNO の軌道は海王星との軌道共鳴に入っている天体が多く観測さ
れており、TNO が海王星と共進化してきたことを示唆する。TNO は原始惑星系円盤モ
デルから予想される値に比べて質量が少ないことが知られており、これは原始惑星系円盤
進化と関連する重要な問題だと考えられている。一方、現在観測されていない、より遠く
の太陽系外縁天体の観測も精力的に試みられている。
小天体内部に存在する物質が、太陽に近づくことで加熱されることで蒸発し、コマと呼
ばれる希薄大気を纏う。さらに、太陽からの放射圧や太陽風によって物質が流されて尾が
できる。このようなコマと尾を持つ小天体を彗星と呼ぶ。彗星のコマや尾は小惑星等と比
べ大きく、観測・発見が比較的容易である。そのため、彗星の分光観測によってコマや尾
の組成が調べられている。さらに、彗星からのサンプルリターンも行われており、スター
ダストミッションは Wild II 彗星からサンプルリターンを成功させている。
非常に離心率が大きい彗星の存在から、銀河円盤内における太陽の潮汐半径 (∼ 105 AU)
程度の位置に存在する天体が示唆されている。これらの天体を総称してオールトの雲と呼
ぶ。オールトの雲は、重力場の等方性から球殻状に存在していると考えられている。距離
が非常に遠いため、彗星以外の直接的な観測は不可能である。
2.4 鉱物学的見地
系外惑星や原始惑星系円盤観測結果から始めて、現在の太陽系内天体観測結果を説明す
るシナリオを時間順に構築するのが惑星形成理論の仕事である。一方で鉱物学によって、
太陽系内天体観測結果から始めて、時間を遡って太陽系が過去どのような原始惑星系円盤
を持っていたかが調べられている。鉱物学的な研究を知ることは惑星形成理論の初期条件
に制限をつけることであり、重要である。ここでは太陽系について鉱物学的に知られてい
る事実をいくつか紹介する。
28
2.4.1 隕石
隕石は鉱物学的に最も調べやすい地球外物質である。隕石研究において重要な観点は、
その隕石が『どのような組成』であり、『どれだけの時間』を『どのような影響を受けて』
きたかを知ることである。これによって隕石の元になった天体が『いつ』、『どのような環
境』で形成されたかを知ることができる。
隕石物質に関する時間の情報は『放射年代測定』によって得る。放射年代測定とは、放
射壊変を起こす放射性同位体について、親核種と娘核種の現在の存在比と初期存在比、放
射壊変の半減期を知ることで、隕石物質の形成時期を知る手法である。当然であるが、初
期存在比は知ることはできない。そのため、娘核種が初期には存在していない、もしくは
存在量が推定できる放射性同位体を用いる必要がある。また、半減期が太陽系形成のタイ
ムスケールと同程度で、なおかつ半減期が精度良く求められている放射同位体を用いる必
要がある。さらに、放射性年代測定を行う上で、初期から現在まで放射壊変以外の組成変
化を受けていないことを仮定する。このことから、熱による溶融や、変性作用による元素
の再分配が起こっていない、化学的閉鎖系を保つ物質について測定する必要がある。
隕石は『コンドリュール』と言われる球状の珪酸塩物質を持っているかどうかで大別さ
れる。コンドリュールを持っているものを『コンドライト』、持っていないものを『エコ
ンドライト』と呼ぶ。コンドリュールは 650 K 以下の前駆物質が局所的な加熱イベント
を経験した結果約 2000 K まで加熱された後に、数時間から数日で急冷されて形成された
と考えられている。コンドリュールの放射性年代測定から求めたコンドリュール形成時期
は太陽形成と同じくらいの時期であることが分かっている。つまり、太陽形成が成された
頃に加熱イベントが起こったことを示唆している。しかし、そのような加熱イベントは何
かは未解明の問題である。
コンドリュールは太陽系形成初期に形成されたと考えられるので、コンドライトは太陽
系形成初期からコンドリュールを破壊するほどの変性を受けずに現在まで至っていること
が分かる。一方でエコンドライトはコンドリュールを破壊するような変性、つまり天体内
に入った結果として熱変性を経験していることが分かる。エコンドライトを調べると熱変
性を受けたのがいつごろで、どのような熱変性だったかを知ることができる。その意味で
エコンドライトを調べることは惑星形成において重要であるが、ここでは省略する。
コンドライトはコンドリュールを含み、太陽系形成初期から生き残っている始原的な物
質である。また、コンドライトの相対組成は太陽組成とほぼ一致していることも、コンド
ライトが始原的であることを示唆する。コンドライトは化学組成、酸化還元度から 15 種
類に分類される。
コンドライトの組成による分類として大きく分けて 3 種類ある。1 つが普通コンドライ
29
トと呼ばれる石質隕石のグループである。隕石全体の 90% が普通コンドライトであり、
ここからさらに酸化還元度から H、L、LL の 3 種類に分けられる。
2 つ目のグループが炭素質コンドライトである。炭素質コンドライトは炭素質な有機
物や炭酸塩を多く含み、化学組成やコンドリュールサイズなどに応じて CI、CM、CO、
CV、CK、CR、CH、CB の 8 種類に分けられる。またこのうち CI コンドライトは組成
が太陽組成と同じであることが知られている。そのため、太陽組成を求める時に CI コン
ドライトを補助的に用いることがある。
最後のグループがエンスタタイトコンドライトである。これは頑火輝石を多く含むグ
ループである。これは還元的な環境で形成されたコンドライトであり、アルカリ金属の硫
化物が含まれることが特徴である。このグループも EH、EL の 2 種類に分けられる。ま
た、例外として非常に強く酸化された R コンドライトと Kakanagari 隕石や LEW 87232
隕石を表す K コンドライトが存在する。
多くのコンドライトはコンドリュールを破壊する程の変性は受けていないまでも、様々
な変性を経験してきている。変性として熱を受けることによる熱変性と水による水質変性
が考えられる。コンドライトは変性度合いによって 7 組に分類されている。3 組が変性
を受けていない分類であり、水質変性が強くなるに従って 2 組、1 組と分ける。また、熱
変性についても、熱変性が強くなるに従って 4 組、5 組、6 組、7 組と分ける。それぞれ
の種類のコンドライトに対して組み分けをすると図 2.10 のようになる (Weisberg et al,
2006)。
コンドライトはコンドリュールの他に、難揮発性物質と細粒な基質を組成に持つ。難
揮発性物質は CAI と呼ばれるカルシウムとアルミニウムを多く含む物質である。CAI は
太陽組成のガスが平衡凝縮してできる鉱物の組み合わせと一致し、約 1700 K で形成し、
約 1300 K に冷えるまで部分蒸発や再凝縮を経験して形成されたと考えられている。CAI
はガスの平衡凝縮過程で最初に出てくる物質であり、逆に最も蒸発しにくい物質である。
CAI は太陽系内で出来た最古の物質としてしられており、CAI の放射年代測定から太陽
の年齢を求めている。また、CAI を形成するために必要な高温状況がどのように達成さ
れるのかは未解決問題である。
さらに、細粒な基質のなかには太陽系形成以前から存在していたと思われる粒子があ
り、プレソーラー粒子と呼ばれる。プレソーラー粒子を調べることで、太陽系形成が起
こった環境についての情報を得ることができる。
2.4.2 惑星間塵・彗星
隕石以外にも鉱物学的に調べることが出来る物質がいくつかある。惑星間塵は太陽系内
をただよう塵であり、地球高層大気中などで採取することができる。この中には原始惑星
30
図 2.10 コンドライトの変性度による組み分け (Weisberg et al, 2006)。
系円盤のダスト由来の物も存在すると考えられており、これらを調べることは原始惑星系
円盤研究に対して重要である。
また、彗星に関してサンプルリターンが成功している。そのため彗星物質を鉱物学的
に調べることが出来る。彗星中のシリケートは宇宙線によって結晶構造が破壊されると
考えられており、非晶質なシリケートのみで構成されていると考えられていた。しかし、
彗星中には結晶質なシリケートが存在することが鉱物学的解析によって知られている
(Brownlee et al., 2006; Zolensky et al. , 2006; Westphal et al., 2009)。結晶質の物質を
形成するためには高温領域で、非晶質物質を加熱する必要がある。原始惑星系円盤中でこ
のような加熱が起こるのは円盤内側であるが、彗星は低温な原始惑星系円盤外側で形成さ
れると考えられている。このことから、いかにして彗星内に原始惑星系円盤内側にあった
物質を取り込ませるかが現在問題となっている。
31
第3章
星形成理論
原始惑星系円盤や惑星形成は中心星の進化に付随するものであり、中心星の進化を理解
することは重要である。この章では非常に簡単ではあるが、星が形成し主系列星段階まで
進化する様子を概観する。
3.1 分子雲コア形成
星は『分子雲』と呼ばれるガスのかたまりの中で、分子雲内にある密度が高く『分子雲
コア』と呼ばれるガスのかたまりが収縮することによって形成されることが観測的に知ら
れている。分子雲の温度は 数 10 K であり、分子の個数密度は 103 個 cm−3 、スケール
は 106 AU である。一方で分子雲コアの温度は約 10 K であり、分子の個数密度は 105
個 cm−3 以上で、スケールは 104 AU である。
分子雲コアは分子雲内の密度が高い領域が、自己重力によって収縮したものだと考えら
れている。無限一様に広がっている定常なガス雲を考え、等方かつ等温で、回転や磁場を
考慮しないとする。このような流体の基礎方程式は以下のようになり、
連続の式:
∂ρ
+ ∇ · (ρv) = 0
∂t
(3.1.1)
1
∂v
+ v · ∇v = − ∇P + ∇ψ
∂t
ρ
(3.1.2)
P = c2s ρ
(3.1.3)
運動方程式:
状態方程式:
32
Poisson 方程式
∇2 ψ = 4πGρ
(3.1.4)
である。ここで、ρ は密度、v は速度場、ψ はガス雲の自己重力によるポテンシャル、P
は圧力である。物理量 A → A0 + A1 のように非摂動量と摂動量に分け、1 次の摂動まで
展開する。この時摂動方程式は、非摂動状態の仮定を考慮すると、
∂ρ1
+ ∇ · (ρ0 v1 ) = 0
∂t
∂v1
1
= − ∇p1 + ∇ψ1
∂t
ρ0
2
P1 = cs ρ1
∇ ψ1 = 4πGρ1
2
(3.1.5)
(3.1.6)
(3.1.7)
(3.1.8)
となる。等方なので、x 方向の摂動にのみ着目し、短波長近似の元に摂動量 A1 ∝
exp[i(ωt − kx)] とすると、
ω 2 = c2s k 2 − 4πGρ0
(3.1.9)
のように分散関係式を得ることができる。
これより、ω 2 < 0 の時不安定となる。不安定となると重力が圧力勾配力によって支え
ることが出来なくなり収縮する。この時、不安定となる波長の条件は
(
λ ≥ λJ ≡ cs
π
Gρ0
)1/2
(3.1.10)
で、λJ は Jeans 波長と呼ばれる。非摂動状態に分子雲の典型的な値を入れると λJ は分子
雲コアのサイズと一致する。
実際、分子雲コアはフィラメント状のガス雲が収縮して起こることが観測から示唆され
ている。これは等方的に Jeans 不安定が成長するのではなく、1 方向の不安定が優先的に
成長することを意味する。不安定の成長の方向は磁場の方向が影響していると考えられて
いる。
3.2 原始星形成
不安定が起こると分子雲コアは圧力勾配力で支えることはできず、自己重力によって収
縮する。この時、等方収縮を考え、分子雲コアの半径を r とすると、運動方程式は
GM∗
dv
=− 2
dt
r
33
(3.2.1)
となる。初期の速度 v(0) = 0 とすると、収縮は自由落下のタイムスケールでおこり
1
tff = √
Gρ
(3.2.2)
となる。初期の分子雲コアは密度が低く光学的に薄いため、収縮によって開放された重力
エネルギーは放射により散逸する。放射による冷却のタイムスケールは十分短く、分子雲
コアは温度を少し下げながらもほぼ等温で収縮する。
(3.2.2) 式にあるように、分子雲コアの収縮は密度が高いほど収縮のタイムスケールが
短い。つまり、分子雲コア中心部は周囲に比べて密度が高くなるため、中心星は周囲を取
り残して暴走的に収縮する。その結果、中心部の自由落下で収縮する領域と、収縮してい
ない外層に分かれる。収縮するという情報は外に向かって音速で伝わるため、中心部と外
層の境界は
rc = cs tc
(3.2.3)
となる。ここで tc は収縮のタイムスケールである。
Larson (1969) では、暴走的収縮が起こる時の中心部と外層の密度分布を
{
const. (r < cs tc )
ρ(r) ∝
r−2 (r > cs tc )
(3.2.4)
と得ており、これを暴走的収縮における自己相似解と呼ぶ。ここで、tc = tff =
√
4πGρc
で、ρc は中心部の密度である。
一方で、Shu (1977) は分子雲コアが準静的にその中心密度上昇させながら収縮する時を
考え、これを inside-out 収縮と呼ぶ。この時、降着のタイムスケールは tc '
√
r3 /2GMr
となり、Mr は半径 r より内部に存在する質量
∫
r
Mr =
4πρr0 dr0
(3.2.5)
0
である。この時の密度分布は
{
r−3/2 (r < cs tc )
ρ(r) ∝
r−2 (r > cs tc )
(3.2.6)
と得られており、これを inside-out 収縮における自己相似解と呼ぶ。外層の密度分布は中
心部では密度が発散するが、力学的釣り合いとなる解を求めることで得られ。中心部の密
度分布は中心部に一定の降着率を仮定することで得られる。
Larson (1969) と Shu (1977) どちらの解も時間によってスケールは変化するが、半径
を cs tc で規格化すると常に一定の形状を保つため、自己相似解と呼ぶ。また、この収縮段
階を第一収縮期と呼ぶ。
34
図 3.1
光学的に厚くなった後の分子雲コア収縮過程における中心密度と温度の関係
(Inutsuka, 2012)。
分子雲コア中心部の収縮が進むと、密度が上昇し光学的に厚くなる。この時、降着に
よって開放された重力エネルギーが輻射で散逸できなくなり、温度が断熱的に上昇する。
この段階を第一コアと呼ばれ、分子の個数密度は 1010 個 cm−3 、スケールは 1 AU、質量
はジーンズ質量 0.01M 程度である。第一コアは断熱的に温度が上昇し、水素分子が解
離する温度 (∼ 103 K) まで上昇する。
水素分子が解離する温度まで達すると、収縮によって開放される重力エネルギーを水素
分子の解離に使うことができる。この時収縮が起こり、第二収縮期と呼ばれる。水素分
子が解離し終わると、また断熱的に温度が上昇し始め、これを原始星 (第二コア) と呼ぶ。
初期原始星の水素原子の個数密度は 1021 個 cm−3 、半径 0.01 AU、質量はジーンズ質量
0.001M 程度である。この後も水素原子の電離する温度で小さな収縮期が見られる。
以上のように原始星は形成される。しかし、原始星の周囲はまだ降着しきれていないガ
スが存在する。周囲のガスの降着が終了した段階で星の質量が決定し、そこから主系列星
に向けて進化し、この段階を前主系列星と呼ぶ。初期の分子雲コアが回転していれば、角
運動量の保存から周囲の物質は原始星に降着出来ず、回転軸方向の原始星重力によって円
盤を形成する。その後、円盤内で角運動量の輸送が起こり、原始星に物質が降着していく。
図 3.1 は星の形成の分子雲コア収縮期のうち光学的に厚くなってからの中心密度と中心
温度の関係を表している Inutsuka (2012)。γeff は有効比熱比である。中心温度と中心密
35
図 3.2
前主系列星の HR 図上での進化 (Shu, 1992)。
度は単調増加していくので、収縮は図の左下から右上に進化する。
3.3 前主系列星の進化
周りからの降着が落ち着き、前主系列星に至ると主系列星に向かって収縮しながら進化
していく。前主系列星初期は密度があまり高くないため、輻射拡散のタイムスケールが収
縮のタイムスケールより遅く、中心部と外層部でエントロピー勾配を生み出す。その結
果、星全域で対流が発生しエネルギーを外層に運ぶ。このように星全体が完全対流になっ
ている段階を林トラックと呼ぶ。
その後、降着が進み中心部の密度が高くなると、輻射拡散のタイムスケールが十分短く
なる。その結果、中心部は輻射拡散によってエネルギーを運び、密度の低い外層は対流に
よってエネルギーを運ぶ段階になる。これを Henyey トラックと呼ぶ。
収縮が進み、中心部の温度が十分高くなると、水素の燃焼が始まり主系列星に至る。こ
うなると、燃焼によるエネルギーによって星を支えられるので、収縮は止まる。
図 3.2 は前主系列星の HR 図上での進化である (Shu, 1992)。横軸は星の有効温度を表
36
しているが、左が正であることに注意が必要である。縦軸は星の光度を表している。HR
図上の林トラックの右側領域は禁止領域と呼ばれており、この領域に摂動によって侵入
すると対流不安定によって林トラック上に戻る。また、図 3.2 の二本の線は原始星質量を
表しており上が 1.5 M 、下が 1 M である。1 M の方は Henyey トラック後、その
まま主系列星に至るのに対し、1.5 M の方は Henyey トラック後に一回変化があること
が分かる。これは低質量星は水素燃焼が p-p chain のみであるのに対し、大質量星は p-p
chain 後に CNO cycle の水素燃焼が始まることを意味する。
3.4 星形成領域
星の約 70-90% が星団内で形成されていることが観測的に知られている (Lada & Lada,
2003)。星形成が起こる場を『星形成領域』と呼び、太陽系近傍にいくつかある。
オリオン座分子雲は 420 pc の場所にある星形成領域であり、その中でも Trapezium 星
団と呼ばれる比較的若い散開星団は大質量星が局所的に集まっており、オリオン大星雲を
明るく照らしている。さらに、星団内の半分の星には原始惑星系円盤が確認されている。
図 3.3 は Hubble 宇宙望遠鏡で観測された Trapezium 星団である。中心に見える赤い星
が大質量星である。
さらに近傍の星形成領域としては、140 pc の距離にあるおうし座分子雲やぎょしゃ座
分子雲、125 pc の距離にあるへびつかい座分子雲などがある。これらの内部は大質量星
はおらず、小質量星が主である。近傍にあるため、原始惑星系円盤の観測は主にこれらの
領域を対称としている。
37
図 3.3
Orion 星雲内の Trapezium 星団。中心に見える赤い星が大質量星である
(credit: Hubble Space Telescope)。
38
第4章
原始惑星系円盤の構造
星形成過程でエンベロープが原始星に降着する時、球対称に降着するわけではない。収
縮の元である分子雲コアは初期に少しでも回転していれば、エンベロープは角運動量を
持っていることになる。ここでエンベロープ内で全角運動量が保存されている孤立系を考
える。エンベロープ内の粒子を考えると、粒子は角運動量保存のため回転軸からある半径
rrot 以内には近づけない。ここで、この粒子が初期比角運動量 J0 を持っている時、粒子
は Kepler 回転に至るまで回転軸に近づけるので、rrot
J0 = JK (rrot ) =
√
GM∗ rrot
(4.0.1)
を満たす。これより、
rrot =
J02
GM∗
(4.0.2)
であるこのことからエンベロープ物質はそれぞれの初期比角運動量に対して、回転軸から
rg の距離で Kepler 回転する。
一方で、回転軸に平行な方向の運動を考えると、粒子には重力のみがかかる。その結
果、回転軸に垂直で星の中心を通る面である『赤道面』上にエンベロープ物質は降着し、
星周円盤を形成する。この円盤は何らかの機構よって各運動量を外側に輸送し、質量を中
心星に降着させる『降着円盤』になっている。何が各運動量輸送を引き起こすかは緒論あ
るが、一般的には円盤内で発生する粘性トルクが原因となる。粘性の起源は何であるかに
ついても様々な説があるが、一般的には円盤内にある磁場の不安定性が起源であると考え
られている。円盤内の磁場が磁気回転不安定になることで磁気乱流が生じる。円盤内の電
離粒子が磁場に凍結しているので、乱流粘性を引き起こす。
中心星が原始星の時期は円盤にエンベロープからの降着があり、円盤質量も重い。こ
のような円盤では自己重力が強いため重力不安定が引き起こされたり、中心星極方向に
39
ジェットやアウトフローが出たりする。この段階の円盤の物理も面白いが、本論文では扱
わないこととする。
中心星が前主系列星に至ると円盤への降着は終わり、円盤質量も Md ∼ 0.01 M∗ と低
質量になる。この時期の円盤内で惑星形成が起こると考えられており、そのためこのよう
な円盤を『原始惑星系円盤』と呼ぶ。系外惑星観測や太陽系内惑星より、惑星には多様性
がある。この多様性は、その形成の場である原始惑星系円盤の物理構造や進化に起因する
物も多いと考えられる。
そのため、この章では原始惑星系円盤の物理構造について概観する。まず、4.1 節で基
礎方程式を示し、4.2 節で原始惑星系円盤を考える上でなされる様々な仮定を紹介する。
その後、4.3 節で密度分布、4.4 節で温度分布、4.5 節で速度分布、4.6 節で不透明度、4.7 節
で組成分布、4.8 節で電離度について取り扱う。この章は、Kato et al. (2008); Armitage
(2010) を参考にする。
4.1 基礎方程式 (円筒座標系)
円筒座標系における圧縮性粘性磁気流体の基礎方程式を記述する。
4.1.1 連続の式 (質量保存)
∂ρ 1 ∂
1 ∂
∂
+
(rρvr ) +
(ρvϕ ) +
(ρvz ) = 0
∂t
r ∂r
r ∂ϕ
∂z
(4.1.1)
4.1.2 運動方程式 (運動量保存)
r 方向：
vϕ2
∂vr
vϕ ∂vr
∂vr
∂ψ
1 ∂P
1
∂vr
+ vr
+
+ vz
−
=−
−
+ Wr + [J × B]r (4.1.2)
∂t
∂r
r ∂ϕ
∂z
r
∂r
ρ ∂r
c
ϕ 方向：
∂vϕ
∂vϕ vϕ ∂vϕ
∂vϕ vr vϕ
1 ∂ψ 1 ∂P
1
+vr
+
+vz
+
=−
−
+Wϕ + [J ×B]ϕ (4.1.3)
∂t
∂r
r ∂ϕ
∂z
r
r ∂ϕ rρ ∂ϕ
c
z 方向：
∂vz
∂vz
vϕ ∂vz
∂vz
∂ψ
1 ∂P
1
+ vr
+
+ vz
=−
−
+ Wz + [J × B]z
∂t
∂r
r ∂ϕ
∂z
∂z
ρ ∂z
c
40
(4.1.4)
(Wr , Wϕ , Wz ) は粘性力 W の各成分であり、
1 ∂
1 ∂trϕ
(rtrr ) +
−
r ∂r
r ∂ϕ
1 ∂
1 ∂tϕϕ
ρWϕ = 2 (r2 tϕr ) +
r ∂r
r ∂ϕ
1 ∂
1 ∂tzϕ
ρWz =
(rtzr ) +
+
r ∂r
r ∂ϕ
ρWr =
tϕϕ
∂trz
+
r
∂z
∂tϕz
+
∂z
∂tzz
∂z
(4.1.5)
(4.1.6)
(4.1.7)
と表せる。tik は粘性ストレステンソルであり、対称テンソルであることに注意すると
(
)
∂vr
2
trr = 2ν
+ ζ − ν div v
∂r
3
[
]
(
∂ vϕ ) 1 ∂vr
trϕ = tϕr = ν r
+
∂r r
r ∂ϕ
(
)
∂vr
∂vz
trz = tzr = ν
+
∂r
∂z
) (
(
)
1 ∂vϕ
vr
2
tϕϕ = 2ν
+
+ ζ − ν div v
r ∂ϕ
r
r
(
)
∂vϕ
1 ∂vz
tϕz = tzϕ = ν
+
∂z
r ∂ϕ
(
)
∂vz
2
tzz = 2ν
+ ζ − ν div v
∂z
3
1 ∂
1 ∂vϕ
∂vz
div v =
(rvr ) +
+
r ∂r
r ∂ϕ
∂z
(4.1.8)
(4.1.9)
(4.1.10)
(4.1.11)
(4.1.12)
(4.1.13)
(4.1.14)
のように表される。ここで ν は動粘性係数、ζ は第二粘性である。B は磁束密度で、B 2
は以下の表式で表される。
B 2 = Br2 + Bϕ2 + Bz2
(4.1.15)
また、J は電流、c は光速である。電磁気力の項は
[(
)
(
)
]
1
1
∂Br
∂Bz
1 ∂
1 ∂Br
[J × B]r =
−
Bz −
rBϕ −
Bϕ
c
4π
∂z
∂r
r ∂r
r ∂ϕ
[(
)
(
) ]
1
1
1 ∂
1 ∂Br
1 ∂Bz
∂Bϕ
[J × B]ϕ =
rBϕ −
Br −
−
Bz
c
4π
r ∂r
r ∂ϕ
r ∂ϕ
∂z
(
[(
)
) ]
1
1
1 ∂Bz
∂Bϕ
∂Br
∂Bz
[J × B]z =
−
Bϕ −
−
Br
c
4π
r ∂ϕ
∂z
∂z
∂r
(4.1.16)
(4.1.17)
(4.1.18)
重力ポテンシャル ψ の表式は、以下のように表される。
ψ = ψ∗ + ψd
41
(4.1.19)
ψ∗ は中心星重力ポテンシャルなので、
GM∗
ψ∗ = − √
r2 + z 2
(4.1.20)
と表される。また、ψd は円盤重力ポテンシャルで Poisson 方程式を満たす。
∇2 ψd = 4πGρ
(4.1.21)
4.1.3 エネルギー方程式 (エネルギー保存則)
原始惑星系円盤は輻射圧に比べてガス圧が十分優勢であるので、エネルギー方程式は、
)
∂
∂
vϕ ∂
∂
+ vr
+
+ vz
P
∂t
∂r
r ∂ϕ
∂z
(
) ]
P ∂
∂
vϕ ∂
∂
−γ
+ vr
+
+ vz
ρ
ρ ∂t
∂r
r ∂ϕ
∂z
(
)
1 ∂
∂T
=Φ + ρ +
rK
r ∂r
∂r
(
)
(
)
1 ∂
K ∂T
∂
∂T
+
+
K
r ∂ϕ r ∂ϕ
∂z
∂z
[(
)2 (
)2 (
)2 ]
1 ∂Bz
∂Bϕ
∂Br
∂Bz
1 ∂
1 ∂Br
+
−
+
−
+
rBϕ −
/σe
r ∂ϕ
∂z
∂z
∂r
r ∂r
r ∂ϕ
(4.1.22)
1
γ−1
[(
となる。ここで γ は比熱比、K は熱伝導度、 はエネルギー生成率、σe は電気伝導度で
ある。また、Φ は粘性によるエネルギー散逸項であり、表式は
[ (
)2
(
)2 (
)2
∂vr
1 ∂vϕ
∂vr
∂vz
Φ =ν 2
+2
+
+
∂r
r ∂ϕ
∂r
∂z
(
)2 (
)2 (
)2 ]
1 ∂vϕ
∂vϕ
vϕ
∂vϕ
1 ∂vz
∂vz
∂vr
+
+
−
+
+
+
+
r ∂ϕ
∂r
r
∂z
r ∂ϕ
∂r
∂z
(
)[
]2
2
1 ∂(rvr ) 1 ∂vϕ
∂vz
+ ζ−
+
+
(4.1.23)
3
r ∂r
r ∂ϕ
∂z
となる。
4.1.4 状態方程式
理想気体を仮定すると、状態方程式は
p=
R
ρT
µ̄
となる。ここで R は気体定数。
42
(4.1.24)
4.1.5 誘導方程式
マクスウェル方程式
div B = 0
1 ∂B
c ∂t
4π
rot B =
J
c
rot E = −
(4.1.25)
(4.1.26)
(4.1.27)
と、オームの法則
(
J = σe
)
1
E+ v×B
c
(4.1.28)
はこのようになる。ここで E は電場である。磁気拡散係数 η を
η≡
c2
4πσe
(4.1.29)
とする。これより、誘導方程式は以下のようになる。
r 方向：
∂Br
1 ∂
∂
=
(vr Bϕ − vϕ Br ) −
(vz Br − vr Bz ) + η(∆B)r
∂t
r ∂ϕ
∂z
(4.1.30)
∂Bϕ
∂
∂
1
=
(vϕ Bz − vz Bϕ ) −
(vr Bϕ − vϕ Br ) +
+ η(∆B)ϕ
∂t
∂z
∂r
σe
(4.1.31)
ϕ 方向：
z 方向：
∂Bz
1 ∂
1 ∂
=
[r(vz Br − vr Bz )] −
(vϕ Bz − vz Bϕ ) + η(∆B)z
∂t
r ∂z
r ∂ϕ
(4.1.32)
ここで、
∂ 2 Br
1 ∂Br
1 ∂ 2 Br
∂ 2 Br
2 ∂Bϕ
Br
+
+
+
− 2
− 2
2
2
2
2
∂r
r ∂r
r ∂ϕ
∂z
r ∂ϕ
r
2
2
2
∂ Bϕ
1 ∂Bϕ
1 ∂ Bϕ
∂ Bϕ
2 ∂Br
Bϕ
(∆B)ϕ =
+
+
+
+
−
∂r2
r ∂r
r2 ∂ϕ2
∂z 2
r2 ∂ϕ
r2
∂ 2 Bz
1 ∂Bz
1 ∂ 2 Bz
∂ 2 Bz
(∆B)z =
+
+
+
∂r2
r ∂r
r2 ∂ϕ2
∂z 2
(∆B)r =
である。
43
(4.1.33)
(4.1.34)
(4.1.35)
4.2 円盤モデルで用いられる仮定
前節で示したように、円盤の基礎方程式は複雑で解析的に扱うのは困難である。その
為、調べたい物理に従って、最適な仮定をを課すことが必要となる。以下に原始惑星系円
盤研究で良く用いられる仮定紹介する。また、それぞれの仮定は常に適用できるわけでは
ないため、仮定が適用出来ない場合も同時に記述する。
(1) 重力場は中心天体によって決定し、円盤の自己重力は無視する。
この仮定では、|ψ∗ | |ψd | より ψd を無視する。
円盤質量が一般的な値に比べ重い時や、密度バンプなどで物が集積している領域では円盤
の自己重力を無視出来なくなる可能性がある。
(2) 円盤は中心星の赤道面に存在し、円盤面に対して対称。
円盤赤道面は z = 0 上に存在し、z, −z での物理量は等しい。
中心星の自転軸が円盤面とずれている時、この仮定は使えない。
(3) 円盤は定常である。
見たい物理現象に対してタイムスケールの十分に短いものについて定常を仮定し、時
間微分の項を落とし、∂/∂t = 0 とする。
見たい物理現象のタイムスケールによって定常を仮定するものが変わる。また、進化の過
程でタイムスケールが長かった物理が、短いタイムスケールに変化することがあることに
注意する。
(4) 円盤は軸対称である。
基本方程式における ∂/∂ϕ = 0 とする。
非軸対称なモードが物理を決める時は使えない。
(5) 幾何学的に薄く、H/r 1 となる。
どの r でも z r が成り立つ時用いる。r 方向の物理は z 方向に積分した値を用い、
z 方向の物理から z 方向の分布を求める。つまり、従属であった r 方向と z 方向の運
動を独立と仮定する。
高温な円盤かつ、外側領域を考える時は、H ∼ r となりこの仮定が破綻することがある。
44
(6) 回転運動はケプラー回転が優勢である。
vϕ = vK 、|vr | vϕ となる。
動径方向に中心星重力以外の項が重要になる時、回転速度は Kepler 回転からずれる。ま
た、動径方向の流体不安定などが起こり、中心星重力もしくは遠心力のどちらかが卓越す
ると vr が無視できなくなる。また、非常に小さいスケールを考える時も vr が無視できな
くなる
(7)z 方向について、静水圧平衡が成り立っている。
z 方向の運動方程式が
∂ψc
1 ∂p
=−
∂z
ρ ∂z
(4.2.1)
となる。
円盤面からアウトフローなどが吹き、非定常である時は不適である。
(8)z 方向に関して光学的に厚い。
原始惑星系円盤の後期段階の大半の質量が散逸した時や、密度が薄い外側領域では光学的
に薄くなる。
(9) 粘性ストレステンソルの rϕ 成分は圧力 P に比例し、その比例定数を α とする。
また、粘性ストレステンソルのその他の成分は非常に小さいとして無視する。
原始惑星系円盤は差動回転が非常に強いので、rϕ 成分以外の粘性が効くことはない。α
を定数として取ることが一般的であるが、これはを簡単にするためであり物理的な根拠は
ない。実際は空間的な α 値の分布を考える必要がある。
(10) 大局的な磁場は無視する。
原始惑星系円盤への磁場の影響を考える際は無視できない。
さらによく用いられる仮定として、以下の仮定がある。
45
(11) 局所等温である。
この時、ある r における状態方程式が
P (r) = cs (r)2 ρ(r)
(4.2.2)
と表される。
r 方向の運動のタイムスケールが熱平衡のタイムスケールより十分長い場合良い近似と
なる。
(12) 局所断熱である。
この時、ある r における状態方程式が
P (r) = γcs (r)2 ρ(r)
(4.2.3)
と表される。ここで、γ は比熱比。
r 方向の運動のタイムスケールが熱平衡のタイムスケールより十分短い場合良い近似と
なる。
(13) 原始惑星系円盤の組成は太陽系元素存在度と同じである。
系全体でこの仮定は大半の場合満たされるが、局所的には用いることはできない。
(13) 物質は r 方向に最小移動しかせず、全固体成分が惑星になる。
この仮定は京都モデルにおいて重要な構成原理の一つである。
特に (1)-(10) の仮定を与えたモデルを標準円盤 (α 円盤とも言う) と呼ぶ。標準円盤モ
デルは Shakura & Sunyaev (1973) によって提唱された降着円盤の標準モデルであり、原
始惑星系だけでなく降着円盤全般の広い領域で利用されている。
この章ではこれらの仮定のうち一部を行うことで、原始惑星系の構造を解析する。基本
的に仮定 (1), (2), (4), (5), (7), (9)-(10), (13) は特に言及が無い限り、仮定するものと
する。
4.3 密度分布
原始惑星系円盤の密度分布が高い領域では惑星形成が起こりやすく、低い領域では起こ
りにくい。また、密度勾配は回転速度分布に影響を与える。そのため、密度分布は原始惑
星系円盤の構造の中で最も重要な情報のひとつである。
46
4.3.1 節で z 方向の密度分布、京都モデルで求められた r 方向の密度分布である最小質
量円盤モデルを紹介する。また、4.3.2 節では定常降着円盤を紹介する。
4.3.1 z 方向の密度分布
定常な円盤を考え、局所等温であるとする。この時、z 方向の運動方程式は
∂
∂z
(
GM∗
z
r3
)
=−
1 ∂c2s ρ
ρ ∂z
(4.3.1)
となる。z = 0 での密度を ρ0 とすると、
(
)
z 2 Ω2K
ρ = ρ0 exp −
2c2s
(
)
z2
= ρ0 exp −
2H 2
(4.3.2)
となる。ただし、H はスケールハイトで、
H≡
cs
ΩK
(4.3.3)
と定義される。
ここで、前節仮定 (5) の幾何学的に薄い仮定が成立している時有効な one-zone 近似に
ついて言及する。one-zone-近似は z 方向と r 方向の運動を分けるために、物理量を z 方
向に積分する量を用いて r 方向の物理を考える手法である。one-zone 近似ではスケール
ハイト H を用いて物理量を表し、それは以下のようである。
∫
Σ≡
∞
ρ dz
∞
√
2πHρ0
∫ ∞
Π≡
P dz
=
=
Trϕ ≡
∞
2
cs Σ
∫ ∞
∞
= νΣr
(4.3.4)
(4.3.5)
trϕ dz
dΩ
dr
(4.3.6)
この時、Σ, Π, Trϕ はそれぞれ、ρ, P, trϕ の z 方向積分量であり、次元は元の物理量に長
さの次元を 1 回かけたものになっている。また、Σ を面密度と呼ぶ。今後 Σ と共に用い
る時は Π, Trϕ を元の物理量と同様に『圧力』、『粘性トルク』と呼ぶ。
47
また、断熱的な場合の Π は、
Π = γc2s Σ
(4.3.7)
とする。
4.3.2 最小質量円盤モデル
最小質量円盤モデルは Hayashi et al. (1981) によって提案された原始惑星系円盤であ
り、標準惑星形成モデルである京都モデルにおける原始惑星系円盤である (Hayashi et
al., 1985)。京都モデルでは、物質は r 方向に最小移動しかせず、全固体成分が惑星にな
ると仮定する。この仮定の下、現在太陽系にある惑星の固体成分をすり潰し、円盤内にば
らまく。この際以下の規則を採用する。
• それぞれの惑星の固体成分をばらまく領域は惑星間の相乗平均で求める。
• ガス惑星、氷惑星の固体成分は 15 M⊕ とする。
• 火星について、ばらまく領域の外側は雪線とする。
• 1.55 AU-7 AU のダストは木星起源とする。
• ガス面密度をダスト面密度から求め、雪線の内側ではダストの約 230 倍、外側では
約 73 倍とする。
図 4.1 は Hayashi et al. (1985) による面密度分布である。これによってダストの面密度
分布とガス面密度分布が求まり、
{ (
)−3/2
a
g cm−2 (a < asnow )
7.1 1 AU
Σdust '
( a )−3/2
2.7 5 AU
g cm−2 (a > asnow )
( a )−3/2
Σgas ' 1.7 × 103
g cm−2
1 AU
(4.3.8)
(4.3.9)
となる。
4.3.3 定常降着円盤
円盤が幾何学的に薄いと仮定し、one-zone 近似を行う。さらに、軸対称を仮定するこ
とで、動径座標方向のみの進化を取り扱う。また、円盤質量は非常に軽いと仮定し円盤の
自己重力は無視し、圧力勾配力も非常に小さいとする。
ここで、円盤降着率を Ṁ ≡ −2πrvr Σ、比較運動量を J ≡ r2 Ω と定義する。この時、
比較運動量 J の保存の式は
1
∂J
=
∂t
2πrΣ
(
∂J
∂(2πr2 Trϕ )
Ṁ
+
∂r
∂r
48
)
(4.3.10)
図 4.1 最小質量円盤モデルの面密度分布 (Hayashi et al., 1985)。
49
となる。ただし、Trϕ は one-zone 近似した粘性トルクであり、
Trϕ = νΣr
dΩ
dr
(4.3.11)
である。ここで、ΣṀ , J が定常であるとすると、(4.3.10)-(4.3.11) 式より、
Ṁ J = 2πr3 νΣ
dΩ
dr
√
rGM∗ ならば、
√ )
(
Ṁ
rin
Σ=−
1−
3πν
r
(4.3.12)
となる。さらに、Kepler 回転 JK =
となる。ここで、rin は内側境界であり
dΩ =0
dr rin
(4.3.13)
(4.3.14)
を満たす。このような円盤を『定常降着円盤』と呼ぶ。
4.4 温度分布
原始惑星系円盤内において、熱平衡にかかるタイムスケールは星や円盤の進化タイムス
ケールと比べて非常に小さい。つまり、常に熱平衡であると近似できる。熱平衡の場合、
平衡温度は加熱と冷却の釣り合いによって決定する。原始惑星系円盤内の加熱源として中
心星からの輻射と粘性加熱の 2 つがある。中心星輻射は円盤によって吸収・再放射を繰り
返しながら伝わり、フラックスは円盤表面で強く、赤道面では弱い。また、粘性加熱は円
盤物質が中心星に落ちる際に重力エネルギーを開放することによる加熱であり、フラック
スは赤道面程強く、円盤表面では弱い。どちらの加熱機構も中心星から遠ざかると弱くな
る。これらの 2 つの機構で加熱できない程大きな円盤半径においては、円盤が存在する環
境の温度である 10-30 K に落ち着く。
中心星輻射と粘性加熱どちらの効果が強いかは中心星への降着率 Ṁ と中心星輻射をど
れだけ円盤が吸収したかに依存する。これらは簡単な評価によって比較できる。中心星輻
射が円盤内で吸収される正味の割合を f とすると、２つの加熱機構の強さが同程度になる
臨界値が満たす式は
GM∗ Ṁ
= f L∗
R∗
(4.4.1)
である。(4.4.1) 式に T Tauri 型星の典型的な値である L∗ = L 、R∗ = 2R を入れると
降着率の臨界値は
−8
Ṁ ≈ 2 × 10
(
×
f
1/4
50
)
M yr−1
(4.4.2)
図 4.2
Razor-thin 円盤で考える系 (Armitage , 2010)。
となる。よって、降着率が (4.4.2) 式より大きくなると粘性降着が優勢となり、小さくな
ると中心星輻射が優勢となる。この降着率の臨界値は T Tauri 星段階にしては 2 桁程大
きい値である。これから、円盤形成直後の降着が非常に強い円盤では粘性加熱が優勢であ
るが、後期の原始惑星系円盤段階では中心星輻射が優勢である。そのため、粘性加熱に
よって決まる温度分布は本論文では扱わない。しかし、円盤の中心星近傍では降着加熱が
重要になってくることを言及しておく。
また、冷却源は円盤表面からの熱放射である。円盤中の主な不透明度 κ の源はダストで
あり、可視-赤外領域の波長において κ ∼ 10 cm2 /g である。この節では様々な場合の仮
定の下での r 方向熱平衡温度分布を調べる。
4.4.1 Razor-thin 円盤
赤道面にのみ円盤が存在している Razor-thin 円盤を球座標 (r, θ, φ) で考える。中心星
からの輻射を赤道面上で全て吸収し、その場所で黒体輻射で放射すると仮定する。また、
円盤からの照り返しによって中心星の温度は変化しないとする。ここで Razor-thin 円盤
を表したものが図 4.2 である。
半径 R∗ 、強度 I∗ の中心星から r の距離にある領域に角度 θ で輻射が入射するとする。
この領域に当たるフラックス F は
∫
F =
I∗ sinθ cosφ dΩ
(4.4.3)
となる。dΩ は立体角要素である。中心星上半分からくる輻射が円盤上側に当たり、上方
への円盤放射と釣り合うとする。そのため、
π
π
<φ≤
2
2( )
R∗
0 < θ < sin−1
r
−
51
(4.4.4)
(4.4.5)
の領域を考える。dΩ = sinθ dθ dφ なので、
∫
F = I∗
∫
π/2
sin−1 (R∗ /r)
cosφ dφ
−π/2
0

= I∗ sin−1
(
R∗
r
)
(
−
R∗
r
sin2 θ dθ
)√
(
1−
R∗
r
)2


(4.4.6)
となる。中心星の有効温度を T∗ とすると、I∗ = (1/π)σSB T∗4 となる。また、上方への円
盤放射 σSB Td4 はフラックス F と釣り合うので、温度分布は
(
Td
T∗

)4
=
1  −1
sin
π
(
R∗
r
)
(
−

)√
( )2
R∗
R∗ 
1−
r
r
(4.4.7)
となる。円盤全体で積分することで円盤光度が
∫
Ld = 2 ×
∞
2πrσSB Td4 dr
R∗
=
1
L∗
4
(4.4.8)
となる。このことから、(4.4.2) 式の f の典型的な値として 1/4 を採用した。
(R∗ /r) 1 として、(4.4.7) 式をテイラー展開すると、
Td ∝ r−3/4
(4.4.9)
となる。Razor-thin 円盤仮定では H = 0 となっているが、(4.4.9) 式から
H
∝ r1/8
r
(4.4.10)
となり、円盤外側ではこの仮定は破綻する。円盤がフレアアップしていれば円盤外側は中
心星輻射をより効率的に吸収できることから、β = 3/4 はもっとも温度分布が急である場
合であると考えられる。
4.4.2 フレア円盤
ここでは Kenyon & Hartmann (1987) によって考えられたフレアアップする円盤を考
える。球座標 (r, θ, φ) で半径 R∗ 、表面温度 T∗ の中心星から出る輻射が、円盤各 r におい
て赤道面から Hd (r) の高さで吸収されるとする。また、Hd の変化を dHd /dr とする。図
4.3 のように角度、距離を置いた時、点 P で吸収するフラックスを求める。
52
図 4.3
フレア円盤で考える系 (Kenyon & Hartmann, 1987)。
まず、図 4.3 から得られる関係式として、
Hd
R
Hd
sin(α + γ) =
d
d2 = h2d R2
tan(α + γ) =
(4.4.11)
(4.4.12)
(4.4.13)
R∗ sinβ = c sinφ
(4.4.14)
c2 = R∗2 + d2 − 2dR∗ cosβ
(
)
(
)
Hd (R)
Hd (R∗ )
−1
−1
α = tan
− tan
r
R∗


[
(
)2 ]1/2 
d
d sinφ
β = sin−1
sinφ cosφ − sinφ 1 −
R

R
(4.4.15)
(4.4.16)
(4.4.17)
が得られる。点 P が受けるフラックスは
∫
φmax
∫
θmax
F =2
0
sinθ dθ dφ I(θ, φ, )ŝ · n̂
(4.4.18)
0
となる。ここで I は強度、 は周辺減光パラメータである。θ の最大値 φmax は
−1
φmax = sin
53
(
R∗
d
)
(4.4.19)
となり、θ の最大値 θmax は
{
θmax =
π (β < α)
π − tan α × tan β (β > α)
(4.4.20)
となる。n̂ は円盤表面の単位法線ベクトルで、
n̂ =
−{dHd (R)/dR}î + k̂
[1 + {dHd (R)/dR}2 ]1/2
(4.4.21)
のように表される。ŝ は中心星からの光の単位ベクトルで、
[
]
R
Hd (R)
ŝ =
cos φ +
sin φ cos θ î − sin φ sin θ ĵ
d
d
[
]
Hd (R)
R
+
cos φ − sin φ cos θ k̂
d
d
(4.4.22)
と表される。ここで
[
]
dHd (R)
c1 (R) ≡ R + Hd (R)
dR
[
]
dHd (R)
c2 (R) ≡ R
− Hd (R)
dR
{
[
]2 } 2
dHd (R)
c3 (R) ≡ 1 +
dR
(4.4.23)
(4.4.24)
(4.4.25)
とすると、フラックス F は
∫
∫
sin−1 (R∗ /d)
F (R) = 2
θmax
sin φ dφ
0
dθ I(φ, θ, )
0
c1 sin φ cos θ + c2 cos φ
c3
(4.4.26)
となる。ここで、標準周辺減光則
I(φ, θ, ) = I0 (1 − + cos φ)
(4.4.27)
を適用し、さらに星の表面温度 T∗ を
[
T∗ = [πIσSB ]
1/4
πI0 (1 − /3)
=
σSB
]1/4
(4.4.28)
とし、点 P でのフラックスは F = σSB Td4 となることから、
[
Td (R)
T∗
]4
2
=
π(1 − /3)
∫
∫
sin−1 (R∗ /d)
θmax
dθ
sin φ dφ
0
0
54
c1 sin φ cos θ + c2 cos φ
(1 − + cos φ)
c3
(4.4.29)
となる。ここで、Hd (R) R、 = 0 と仮定すると、c1 = c3 = R、c2 = 0 より、
[
Td (R)
T∗
]4
2
=
π
=
∫
∫
sin−1 (R∗ /d)
π/2
2
sin φ dφ
0

1  −1
sin
π
1
≈
2π
(
R∗
R
となる。よって、
(
R∗
R
)
(
−
cos θdθ
0

)√
( )2
R∗
R∗ 
1−
R
R
)2
(4.4.30)
Td ∝ r−1/2
(4.4.31)
となる。
4.4.3 放射平衡円盤
今までは円盤再放射によって円盤自身が暖まる効果や、波長による不透明度の違いを考
慮していなかった。実際に原始惑星系円盤の不透明度を支配しているのは、円盤中のダス
トである。ダストは短波長 (∼ 1 µm) では長波長に比べて不透明度が高く、短波長を吸収
したら長波長を再放射する。つまり、中心星輻射は短波長の光にとって光学的厚み τ ∼ 1
となる円盤表面層で吸収され、その場で上下方向に長波長で再放射される。上方向への再
放射は宇宙空間に散逸するが、下方向への再放射は長波長の光にのって光学的厚み τ ∼ 1
となる熱光球面で再吸収される。
半径 s のダスト粒子を考える。この粒子へ光が照射された時、放射率を とする。ここ
で、ダスト不透明度 κν ∝ λ−1 とすると、 は
{
=
1 (λ ≤ 2πs)
(λ ≥ 2πs)
(4.4.32)
となる。中心星から距離 r の位置のダスト粒子が受けるフラックス F∗ = L∗ /(4πr 2 ) で、
ダストの平衡温度 Tdust は
4
4πs2 ∗ F ∗ = 4πs2 σSB Tdust
dust
(4.4.33)
の関係式を満たす。ここで、∗ は中心星輻射に対するダスト粒子の放射率、dust はダス
ト再放射に対するダスト粒子の放射率である。これから、
Tdust
=
T∗
(
∗
)1/4 (
dust
55
R∗
2r
)1/2
(4.4.34)
図 4.4 放射平衡円盤の概念図 (Armitage , 2010)。
となる。ここで、 ∝ λ−1 ∝ T とすると、∗ /dust = T∗ /Tdsut となるので、
Tdust
=
T∗
(
R∗
2r
)2/5
(4.4.35)
となる。ただし、ここで放射率の波長依存性に関する近似は円盤外側においては破綻する
ことに注意が必要である。
上ではダストのみを考えていたが、実際の原始惑星系円盤ではダストの周囲にガスがあ
る。もし Tgas < Tdust であるならば、気体分子とダストの衝突によってダストは冷却され
る。この冷却が効率的に効くかどうかは以下の方法で簡単に見積もることができる。ガス
は理想気体を仮定し、ガス分子の数密度 ngas とすると、
(
)1/2
8kB Tgas
cs =
πµmH
kB Tdust ngas cs < dust σSB Tdust
(4.4.36)
(4.4.37)
の不等式が満たされるならば、ガス分子とダスト粒子の衝突は無視できる。変形すると、
ngas <
( π )1/2 (µm )1/2
H
5/2
dust σSB Tdust
3/2
8
k
(4.4.38)
B
となる。1 AU での典型的な値 T = 470 K、dust ∼ 0.1 を代入すると、ngas の臨界値は
2 × 1013 cm−3 となる。京都モデルの最小質量太陽系円盤モデルから 1 AU の赤道面にお
56
ける数密度は 数 ×1014 cm−3 となる。このことから、円盤赤道面付近ではガスとダスト
の衝突は効率的に効く。一方で、z ≥ 2.5H ではガスがほとんどなく、ダスト温度は中心
星輻射によって決定される。
4.4.4 Chiang-Goldreich のモデル
Chiang& Goldreich (1997) によって円盤温度分布の数値計算結果が解析的に近似され
ており、広く利用されている。ここでは Chiang& Goldreich (1997) の円盤モデルを紹介
する。
中心星の質量 M∗ = 0.5 M 、半径 R∗ = 2.5 R 、有効温度 T∗ = 4000K、原始惑星系
円盤の面密度分布を
( r )−2/5
Σ(R) = 10 ×
K
1 AU
3
(4.4.39)
とし、ダスト-ガス比を 10−2 とする。
結果として、円盤表面のダスト温度は
Tdust = 550
( r )−2/5
K
1 AU
(4.4.40)
となる。また、円盤赤道面での温度と可視光における光球の高さ Hp は、
0.4 AU < r < 84 AU:
( r )−3/7
K
1 AU
( r )2/7
Hp
= 0.17
r
1 AU
Tm = 150
(4.4.41)
(4.4.42)
84 AU < r < 209 AU:
Tm = 21 K
( r )1/2
Hp
= 0.064
r
1 AU
(4.4.43)
(4.4.44)
209 AU < r < 270 AU:
( r )−19/45
K
1 AU
( r )13/45
Hp
= 0.20
r
1 AU
Tm = 200
(4.4.45)
(4.4.46)
のようになる。この円盤モデルでは降着加熱の効果を考慮していないので、温度に関し
て過小評価していることに注意が必要である。それを考慮した研究として Garaud& Lin
(2007) などがある。
57
4.4.5 原始惑星系円盤のスペクトルエネルギー分布 (SED)
原始惑星系円盤のスペクトルエネルギー分布 (SED) は各半径での円盤放射を面積の重
み付けをした上で足し合わせれば求まる。ここでは、円環が温度 Td で黒体輻射している
とする。円環の内側半径 rin 、外側半径 rout とすると、
∫
rout
Fλ ∝
2πrBλ [Td (r)]dr
(4.4.47)
rin
となる。ここで Bλ はプランク関数であり、
Bλ (T ) =
2hc2
1
5
λ exp[hc/λkB T ] − 1
(4.4.48)
と表される。(4.4.47)-(4.4.48) 式より、長波長極限、短波長極限、中間波長における λFλ
をそれぞれ考える。
長波長 (λ hc/kB Td (rout )) の時、Rayleigh-Jeans の法則より
λFλ ∝ λ−3
(4.4.49)
となる。
短波長 (λ hc/kB Td (rin )) の時、Wien の公式より
−4
λFλ ∝ λ
[
−hc
exp
λkB Td (rin )
]
(4.4.50)
となる。
中間波長
hc
hc
λ
kB Td (rin )
kB Td (rin )
(4.4.51)
の時、razor-thin 円盤の温度分布 Td ∝ r −3/4 を用いると、
∫
∞
x5/3 dx
∝ λ−7/3
x−1
e
0
( )3/4
r
hc
x≡
λkB Td (rin ) rin
−7/3
Fλ ∝ λ
(4.4.52)
(4.4.53)
となる。これより、
λFλ ∝ λ−4/3
となる。
58
(4.4.54)
図 4.5
円盤の理論的 SED(Armitage , 2010)。
以上の結果から、円盤 SED は図 4.5 のようになり、黒体輻射の SED を引き伸ばした形
になる。円盤の SED に対して中心星の黒体輻射を足しあわせた物が実際観測される SED
になる。中心星が円盤や周りのエンベロープに覆われている Class 0、Class I 段階ではエ
ンベロープからのフラックスが中心星からのフラックスに比べ強く、Class II 段階では中
心星と円盤からのフラックスが同程度、Class III 段階では中心星からのフラックスの方
が強い様子が見られる。
4.5 速度分布
原始惑星系円盤内での運動を考えると、典型的には中心星と粒子の二体問題であり、ケ
プラー回転をする。ただし、r 方向にはケプラー回転のタイムスケールに比べて長いタイ
ムスケールで中心星に降着が起こっており、z 方向には最大サイズ H 程度の乱流が存在
する。
4.5.1 円盤ガスの ϕ 方向速度分布
ガスの速度は分布はほぼケプラー回転であり、動径方向の降着のタイムスケールはケプ
ラー回転のタイムスケールにくらべ非常に長い。そのためここでは理想圧縮流体の動径方
59
向の運動量保存の式
∂v
1
+ (v · ∇)v = − ∇Π − ∇ψc
∂t
ρ
(4.5.1)
∂
について、定常 ( ∂r
= 0) かつ、vr vϕ とすると、
vϕ2
GM∗
1 ∂Π
=
+
2
r
r
ρ ∂r
となる。(4.5.2) 式を vK =
√
(4.5.2)
GM∗ /r であることを利用し、局所等温 Π = c2s ρ を仮定し
た上で変形すると
(
)
c2s ∂ln P
vϕ = vK 1 + 2
vK ∂ln r
)
(
H2
≈ vK 1 + 2
R
(4.5.3)
のようになる。円盤ガスは凡そケプラー回転であるが、圧力勾配が正であるならケプラー
回転より高速なスーパーケプラー回転であり、圧力勾配が負であるならば、ケプラー回転
より低速なサブケプラー回転をしている。一般的に圧力勾配は負であるので、円盤ガスは
サブケプラー回転をしている。
4.5.2 r 方向の速度分布
回転しているガス粒子が r 方向に移動する時は、粘性トルクが働く必要がある。粘性ト
ルクが働くタイムスケールは、円盤進化のタイムスケールであり、約 106 yr である。こ
れはケプラー回転のタイムスケールに比べ非常に長く、vr vϕ である。
降着率の定義 Ṁ ≡ −2πrvr Σ から、
vr = −
Ṁ
2πrΣ
(4.5.4)
のようになる。ただし、降着率 Ṁ は中心星方向を正に取る。
4.6 不透明度
原始惑星系円盤の不透明度の主な原因は内側 (T & 1500 K) 以外ではダストである。内
側では高温のためにダストが昇華し、分子による効果が卓越する。1 つのダストによる不
透明度はダストのサイズ、形、組成に依存する。このことから、円盤の各半径における全
体の不透明度は温度、化学組成、ダストのサイズ分布に依存する。これらから、ダストと
分子を考慮した円盤の不透明度について議論する。
60
4.6.1 光学的に厚い領域での不透明度
光学的に厚い、円盤内側領域などでは輻射場は等方な黒体輻射であり、フラックスはエ
ネルギー密度に比例し、
Frad = −
c∇(aT 4 )
3κR ρ
(4.6.1)
となる。ここで、κR は Rosseland 平均不透明度であり、
1
=
κR
∫∞
(1/κν )(∂ Bν /∂ T )dν
0 ∫
∞
(∂ Bν /∂ T )dν
0
(4.6.2)
となる。ここで Bν はプランク関数である。
Pollack et al. (1985) で求められたサイズ分布

1 (s < 0.005 µm)



)−3.5
(


s

(0.005 µm ≤ s ≤ 1 µm)
0.005 µm
(
)−5.5
n(s) =

s
4

4
×
10
(1 µm ≤ s ≤ 5 µm)

0.005 µm



0 (s ≥ 5 µm)
(4.6.3)
を用いて、ダスト密度 ρd = 10−9 g cm−3 の時の κR は図 4.6 のようになる (Semenov et
al., 2003)。Pollack et al. (1985) のサイズ分布は、Mathis et al. (1977) によって星によ
る減光の波長依存性観測結果を修正して得られている。この際、ダストの形状を一様球に
仮定していることに注意が必要である。
図 4.6 の特徴について説明する。低温領域 (T < 150 K) は円盤の雪線より外側と対応
しており、水氷、揮発性有機物質が不透明度を決めており、κR ∝ T 2 となる。中間温度領
域 (150 K < T < 1500 K) は雪線の内側領域を表しており、温度上昇に伴って水氷、有
機物、硫化鉄、鉄、シリケイトの順で次々と昇華していくために κR は鋸歯状になってい
る。高温領域 (T > 1500 K) では、ダストは完全に昇華しており、分子によって不透明度
が決まっている。さらに高温になると、不透明度は水素原子による散乱、自由-自由放射、
自由-束縛放射、電子散乱などによって上昇する。
4.6.2 光学的に薄い領域での不透明度
原始惑星系円盤の外側領域は光学的厚みが小さくなる。これを Chiang-Goldreich 円盤
の値から見積もる。100 AU あたりでの、赤道面の温度分布 Ti ∝ r −3/7 、面密度 Σ ∝ r −3/2
より、光学的厚みは
τ∼
κR (Ti )Σ
∝ r−33/14
2
61
(4.6.4)
図 4.6
Rosseland 平均不透明度の温度分布 (Semenov et al., 2003)。
となり、外側へ行くほど小さくなる。光学的に薄くなると、スペクトルは波長のダスト不
透明度 κν への依存性に依存する。円盤外側では λ ≥ 1 mm の時、光学的に薄くなる。こ
の時、Kirchoff の法則から、質量 Md のダストから出る放射が距離 d で観測されるフラッ
クスは
Fν =
Md
κν Bν (Ti )
d2
(4.6.5)
となる。十分長波長 (hν kB Ti ) を考えると、Rayleigh-Jeans の法則から Bν (T ) ≈
2kB T ν 2 /c2 なので、
Fν ∼
2kB Md Ti
κν ν 2
2
2
c
d
(4.6.6)
となる。(4.6.6) 式より 2 つの重要なことが分かる。
1 つは、円盤の外側を mm 波などの長波長で観測すれば、ダストの面密度を求めるこ
とが出来るということである。光学的に厚い場合は観測の SED から温度は求めることが
62
できるが、面密度分布を求めることは出来ない。さらに、面密度分布の形モデルから推測
し、組成を仮定することで、円盤全体の質量を見積もることができる。
2 つは、Fν の波長依存性を見ることで、κν の波長依存性を求めることができる。(4.6.6)
式より、κν ∝ ν β の時、
Fν = ν β+2
(4.6.7)
となる。原始惑星系円盤の観測から β ≈ 1 であることが分かっている (Beckwith &
Sargent, 1991)。この値は星間物質の観測 (Finkbeiner et al., 1999) や分子雲観測 (Goldsmith et al., 1997) で得られる βISM ∼ 2 に比べて小さい。β の値が小さいことは円盤内
でダストが成長していることを示している (Draine, 2006)。さらに、Draine (2006) はダ
ストのサイズ分布 dn/ds ∝ s−q で、smax & 3λ の時、
β ' (q − 3)βISM
(4.6.8)
であることを発見した。この式は p ' 3.5, βISM ∼ 2 の時 β ' 1 となっており、観測と一
致している。
4.6.3 不透明度の解析的表式
不透明の数値計算結果は広く利用されている。102 K < T < 105 K における Rosseland
平均不透明度の数値計算結果を解析的にフィッティングした式が Zhu et al. (2009) に
よって得られている。表式は
log10 κR = Alog10 T + Blog10 P + C
(4.6.9)
のようになり、定数 A, B, C は表のようになる。適用領域の境界では κR が滑らかに繋が
るようにする。この近似表式は便利であるが、元々の数値計算がダストの構造やサイズ分
布を仮定した物になっており、実際どのようになっているかは未解明であることに注意が
必要である。
各係数 A, B, C は表 4.1 である (Zhu et al., 2009)。
4.7 組成分布
原始惑星系円盤は中心星形成の過程で形成される。そのため、原始惑星系円盤の組成は
中心星と同様、もしくはとても似た組成を持っていると考えられる。太陽組成は太陽表面
観測と、太陽組成と良く似た組成を持つ CI コンドライトの解析から得られる。太陽系星
雲組成は太陽組成と同じだと考えると、太陽系星雲全体の組成を得ることができる。
63
表 4.1 (4.6.9) 式の係数の値 (Zhu et al., 2009)。
A
B
C
不透明度を決めるもの
0.738
0
-1.277
ダスト粒子
-42.98
1.312
135.1
ダスト蒸発
4.063
0
-15.013
(経験則)
2.905
0.498
-13.995
分子
10.19
0.382
-40.936
水素原子による散乱
-3.36
0.928
12.026
束縛-自由放射、自由-自由放射
0
0
-0.48
電子散乱
原始惑星系円盤全体の組成だけでなく、原始惑星系円盤内の組成分布とその進化を得
たい。組成分布は円盤の不透明度、円盤質量の見積もり、原始惑星系円盤内で形成され
る天体の組成に影響を与える。しかし、組成分布を得るのは難しい。例えば、酸素原子は
CO, H2 Ovaper , H2 Oice 、酸化物 (Fe3 O4 )、シリケイト (X2 SiO4 : X = (Mg, Fe)) などとし
て円盤内に存在する。各元素それぞれが様々な形で円盤内に存在していることが円盤内の
組成分布を明らかにすることを困難にしている。
円盤組成分布を求める最も自然な手法としては、円盤の初期組成分布を与え、円盤の温
度 T 、圧力 p と化学反応の進化を同時に解くものである。しかし、この手法は煩雑であ
り、数値計算コストも非常に大きいため、現時点では困難である。困難性の解決のため、
円盤の物理進化タイムスケールに比べ、化学的平衡に至るまでのタイムスケールが短いと
仮定する。この仮定をすることで、円盤の温度 T と圧力 p 分布を与え、その円盤物理状
態における化学的平衡状態を求める。化学的平衡状態はギブスの自由エネルギー G、
G ≡ H − TS
(4.7.1)
の極小値である。ここで H はエンタルピー、S はエントロピーである。化学系がいくつ
かの均質な相にある時を考える。それぞれの相をそれぞれ i = 1, 2, ..., , N と名付けると、
G=
N
∑
µ i fi
(4.7.2)
i=1
となる。ここで fi はそれぞれの相の割合で、µi は化学ポテンシャルである。この時、G
が最小になるような f1 の組を見つければ良い。
実際は複数の成分からなる固体混合物内でエントロピーの交換とエンタルピーの混合が
64
起こるため複雑になる。このことを考慮するために、
G=
N
∑
µi ai
(4.7.3)
i=1
を考える。ここで、ai は活量であり、G を最小とするような活量の組を見つければ良い。
この計算はシステム的には容易であるが、詳細な熱力学的データが必要なことと、係る分
子種が多いために実際の計算は困難である。
4.7.1 Lodders (2003) の結果
Lodders (2003) では 2000 種類の気体分子種と 1600 種類の固体分子種を考慮して、各
分子種の凝縮温度を求めた。p = 10−4 bar で計算をしており、この値は一般的な原始惑
星系円盤の赤道面に比べて高い。特に、一般的な原始惑星系円盤における H2 O の凝縮温
度は T ∼ 150 − 170 K であり、Lodders (2003) の計算結果は少し高い温度になってい
る。結果は表 4.2 のようになっており、凝縮温度は温度の関数として近似的に得られる。
また、固体成分の割合は全体の 1.3 − 1.9% であり、そのうち 0.44 − 0.49% は岩石であっ
た。これは雪線の場所で固体面密度分布がジャンプすることを示しているが、京都モデル
(Hayashi et al., 1981) の約 4 倍に比べるとジャンプは小さい。また、この結果からもコ
ンドライト中の CAI は高温で出来たことが分かる。
表 4.2
Lodders (2003) によって求められた各分子種の凝縮温度。
分子種
凝縮温度 (K)
CH4
Ar.6H2 O
CH4 .7H2 O
NH3 .H2 O
H2 O
Fe3 O4
FeS
Mg2 SiO4
CaTiO3
Al2 O3
41
48
78
131
182
371
704
1354
1441
1677
4.7.2 原始惑星系円盤内での化学反応計算
Gibbs エネルギーの最小値を求める計算では途中の化学反応が分からない。また、熱的
な化学反応については考えられているが、宇宙線などの影響による非熱的な化学反応は考
65
慮されていない。これらを解決するために、最近の研究においては円盤内の化学反応計算
を実際解いていく数値計算が試みられている。
しかし、円盤の物理状態と化学反応を共に時間進化させることは計算時間の問題上、難
しい。そのため、Walsh et al. (2012); Heinzeller et al. (2011) などでは輻射を考慮した
定常円盤物理モデル上での、太陽組成から各領域が化学平衡になるまで化学反応が計算さ
れている
4.8 原始惑星系円盤の電離度
原始惑星系円盤の温度について、内側は数千 K、外側は数十 K である。これらの温度
はガスを完全電離するほど高くはない。電離が始まる温度は、電離ポテンシャル χ を用い
て経験的に
T ∼
χ
10kB
(4.8.1)
となる。水素原子の場合は ∼ 104 K である。イオン化ポテンシャルが低く、電離しやす
いアルカリ金属のうちカリウムに着目すると、χK = 4.34 eV であり、電離が始まる温度
は T > 5000 K である。このことから原始惑星系円盤ガスはほぼ中性であると言える。
しかし、原始惑星系円盤ガスは割合としては微小であるが、電離している。この微小な
イオンは磁場によくカップルし、角運動量を十分輸送することができる。そのため、電離
度の分布を知ることは円盤進化にとって重要である。電離度は電離する効果と再結合の平
衡によって決まる。電離する効果は温度による熱的なものと、短寿命放射性核種、X 線、
宇宙線などによる非熱的なものがある。また、再結合もガス中で起こるものと、ダスト表
面で起こるものがある。より現実的なモデルではもう少し複雑であり、電離された後に乱
流によって中性粒子が存在する領域と十分に混ざるタイムスケールと再結合のタイムス
ケールを比較する必要がある。
4.8.1 熱的電離
温度が高いことによる熱的電離は 1AU 以内において、アルカリ金属で起こる。電離度
の計算には Saha の式
2U ion
nion ne
=
n
U
(
2πme kB T
h2
)3/2
exp[−χ/kB T ]
(4.8.2)
を用いる。ここで nion , n, ne はそれぞれイオン、中性粒子である。また、電子の数密度、
U ion , U はイオン、中性粒子の分配関数で、me は電子質量である。全体として電気的に中
性なので nion = ne である。
66
カリウムについて考える。電離ポテンシャル χK = 4.34 eV である。また、カリウムの
存在比 f ≡
x ≈ 10
nK
nn 、電子の存在比
−12
(
f
10−7
)(
x≡
ne
nn
とすると、
)−1/2
nn
1015 cm−3
(
T
103 K
)3/4
×
exp[−2.52 × 104 /T ]
1.14 × 10−11
(4.8.3)
のようになる。ここで式の最後の要素の分母は T = 1000 K の時の exp 内の値である。
電離度は 10−12 と微小であるが、十分に角運動量を輸送できる。
4.8.2 非熱的電離
熱的電離領域の外側では非熱的過程 (X 線、宇宙線、短寿命放射性核種の放射壊変) に
よって電離する。それぞれの電離過程についてはよく分かっているが、イオン平衡を求め
るために必要な再結合率は過程が煩雑で、不定性がある。
T タウリ型星は同質量の主系列星に比べ X 線が強く、クラシカル T タウリ型星 (CTTS)
における X 線光度は LX = 1028.5 − 1030.5 erg s−1 である。フレアがあるとさらに高い光
度が出る。X 線のバンドには複雑な輝線成分と、光学的に薄い場所での制動放射による
連続成分がある。もっとも高エネルギーな成分は TX ∼ 数 keV の輝線であり、輝線のテ
イルは 10 keV 以上に至る。この高エネルギー成分は磁気活動によって出ていると考えら
れ、観測することで磁場の強さを見積もることができる。ここで求まる磁場は、Zeeman
効果を用いて可視光輝線や非熱的な電波輝線から求まる磁場と矛盾がない。
中心星から出る X 線の一部は円盤によって直接、もしくは円盤大気や恒星風によって
散乱された結果吸収され、円盤を電離させる。ガス内の重元素がダストに取り込まれてお
り、ガス中には存在しない時、X 線による電離断面積は
−23
σ(E) = 8.5 × 10
(
E
1 keV
)−2.81
cm2
(4.8.4)
となる。この断面積はエネルギーの急な冪であり、これは X 線の透過率はエネルギーに
強く依存することを意味する。X 線が透過する柱密度 ∆Σ とする時、E = 1 keV なら
∆Σ 1 g cm−2 であるが、E = 5 keV なら ∆Σ ∼ 数 g cm−2 となる。このことから、軟
X 線は円盤表面に吸収され、硬 X 線は円盤内部まで透過される。どのように電離される
かは数値計算によって求められている (Krolik & Kallman, 1983; Fromang et al., 2002)。
数値計算結果をフィッティングすることで電離率の式が得られている (Igea & Glassgold,
1999; Turner & Sano, 2008)。X 線光度 LX = 2 × 1030 erg s−1 で、5 keV の熱的スペク
トルの時、電離率のプロファイルは Turner & Sano (2008) より
−15
ξX = 2.6 × 10
( r )−2
exp[−∆Σ/Σstop ] s−1
1 AU
67
(4.8.5)
となる。Σstop は X 線が止まる深さでの面密度であり、この場合は Σstop = 8 g cm−2 と
なる。
最も高エネルギーな X 線を考えても、内側領域では赤道面まで透過することはできな
い。しかし、宇宙線は X 線よりも高いエネルギーを持っている。星間宇宙線フラックス
の値 (Spitzer & tomasko, 1968) を採用すると、宇宙線による電離率は
ξCR = 10−17 exp[−∆Σ/Σstop ] s−1
(4.8.6)
であり、Σstop = 102 g cm−2 となる。しかし、太陽系内では太陽風によって宇宙線フラッ
クスが減少することが分かっている。T タウリ型星の恒星風は太陽風に比べて強いため
に、宇宙線フラックスはより減少すると考えられる。そのため (4.8.6) 式の電離率は上限
であり、実際は無視できるほど小さい可能性がある。
もう一つの非熱的電離過程は、短寿命放射性核種の放射壊変により出る放射による電離
である。水素原子を電離するのに必要なエネルギーは ∆ = 36 eV であるので、放射壊変
によって出るエネルギーを E とすると、放射壊変による電離率は
ξR =
λf E
∆
(4.8.7)
となる。ここで、f は短寿命放射性核種の存在比、λ は壊変定数である。26 Al は半
減期 0.72 Myr、壊変定数 λ ∼ 3 × 10−14 s−1 の短寿命放射性核種である。この時、
E = 3.16 MeV、f ∼ 10−10 なので、ξR = 2.6 × 10−19 s−1 となる。ただし、放射壊変に
よって短寿命放射性核種は減少することに注意が必要である。また、太陽系の形成初期に
近傍の超新星爆発から短寿命放射性核種が注入されたかどうかは議論中である。
図 4.7 は X 線、宇宙線、26 Al による非熱的電離率 ξ と透過した柱密度 ∆Σ の関係を表し
たものである。図 4.7 より ∆Σ < 10 − 100 g cm−2 の時は表面に近いので X 線が優勢な
電離過程であり、電離率は高い。100 g cm−2 < ∆Σ < 103 g cm−2 では、X 線が透過して
これないので宇宙線が優勢な電離過程であり、電離率は中程度である。∆Σ > 103 g cm−2
では、宇宙線も透過してこれず放射壊変が優勢な電離過程であり、電離率は低い。
平衡な電離度 x を求めるために、再結合率を求める必要がある。例として
e− + HCO+ → H + CO
(4.8.8)
の反応を考える。分子イオンの数密度を nm+ とすると、電離平衡の式は
dne
= ξnn − βne nm+ = 0
dt
(4.8.9)
となる。β は再結合係数でる。このことから、
√
x=
ξ
βnn
68
(4.8.10)
図 4.7 X 線、宇宙線、26 Al による非熱的電離率 ξ と透過した柱密度 ∆Σ の関係を表
した図 (Armitage , 2010)。
となる。一般的に β は温度の関数となっており、
β = 3 × 10−6 T −1/2 cm3 s−1
(4.8.11)
と 表 さ れ る 。円 盤 内 側 の 円 盤 面 で は 放 射 壊 変 に よ る 電 離 が 優 勢 で あ る の で ξR ∼
10−19 s−1 、nn = 1015 cm−3 、T = 3000 K であるので、x ≈ 2.4 × 10−14 となる。また、
円盤表面では X 線による電離が優勢であるので、ξX ∼ 10−15 s−1 、nn = 1010 cm−3 であ
るので、x ≈ 10−15 s−1 である。どちらも電離度は非常に小さいが、円盤表面では磁場と
十分にカップルしており、赤道面では不十分である。また、円盤外側では宇宙線が赤道面
まで透過できるため、全体的に磁場と十分カップルしている。磁場と十分カップルしてい
る領域は、磁気乱流による角運動量輸送が効率的であり磁場活動領域と呼ぶ。逆に磁場と
のカップルが不十分な領域は、磁気乱流によってあまり角運動量を輸送できず、磁場デッ
ドゾーンと呼ぶ。
上では簡単な見積もりをしたが、実際はもっと複雑である。複雑性の 1 つとして、金属
イオンの存在がある。金属電離は再結合に比べタイムスケールが非常に遅く、電子の数密
度が減少する。また、もう一つの複雑性として、ダスト表面で再結合が効率的に起こるこ
とがある。化学計算にはこれらの効果を考慮する必要がある。
69
第5章
惑星形成論
この章では原始惑星系円盤から惑星形成までの流れを紹介する。惑星形成論の現在の標
準モデルは Hayashi et al. (1985) の京都モデルである。そのため、概ね Hayashi et al.
(1985) の内容に沿うが、最新の研究成果も取り入れる。
また、京都モデルと異なる手法で巨大ガス惑星を作る手法が Cameron (1978) によっ
て提案されており、最近になって注目され始めていることについて触れる。Cameron
(1978) の巨大ガス惑星形成モデルは、京都モデルのように惑星コア形成後に大気を獲得
するモデルではなく、重い原始惑星系円盤内でその自己重力により重力不安定を起こし
た結果、円盤物質が収縮し形成されるというものである。この巨大ガス惑星形成モデル
は実際に重力不安定によって収縮した円盤物質が惑星になれるのかという問題がある。
しかし、惑星になれたとするなら、重力不安定は円盤外側ほど起こりやすく、現在観測
されている長周期巨大惑星の形成を説明しうる可能性がある。これらの長周期巨大ガス
惑星は京都モデルでは説明できない。この理由は本章を読めば自ずと分かる。Cameron
(1978) のモデルについては本論文では取り扱わないが、基本的には微惑星形成における
Goldreich-Ward 機構と同じである。
この章は Hayashi et al. (1985); Armitage (2010) と小久保英一郎氏の授業ノートを参
考にする。
5.1 微惑星形成
ダスト (s ∼ 0.1 µm) から微惑星 (s ∼ 1 km) までの成長を考える。
70
5.1.1 ダストの運動方程式
ダストの運動はダスト粒子と中心星の二体問題にガス抵抗を考慮した形となる。ダスト
粒子の質量 m とすると、ダストの運動方程式は
dv
r
Fgas
= −GM∗ 3 −
(5.1.1)
dt
r
m
のようになる。ここで、ガス抵抗 Fgas の表式はダストの半径 s と、ガスの平均自由行程
` の関係性によって 2 種類ある。
s < ` の時、ダストから見るとガスは粒子的に働く。個数密度 N のガス粒子の速度
u = (ux , uy , uz ) とした時、u と u + du の間の速度空間に存在する粒子数 Nu は Maxwell
分布より
( )3/2
h
Nu dux duy duz = N
exp[−hu2 ]dux duy duz
π
(5.1.2)
となる。ここで、
h≡
µmH
2kB T
、µ は平均分子量、mH は水素原子質量であり、u ≡
(5.1.3)
√
u2x + u2y + u2z 。
ここで、ダスト粒子が速度 v = (αvx , βvy , γvz ) であるならば、ダストから見て u と
u + du の間の速度空間に存在する粒子数 Nu を考えると、
( )3/2
h
Nu = N
exp[−h(ux + αv)2 + (uy + βv)2 + (uz + γv)2 ]
π
(5.1.4)
となる。ここで v u であると仮定し、2 次以下の項は無視すると、
( )3/2
h
Nu = N
{1 − 2hv(αux + βuy + γuz )} exp[−hu2 ]
π
(5.1.5)
となる。次に、x 軸に垂直な面積 dS の面に u と u + du の間の速度空間に存在するガ
ス粒子が衝突する頻度 fu を考える。単位時間にこの面に衝突する粒子が存在する体積は
−uz dS となるので、衝突頻度は
fu dS = −Nu ux dS
(5.1.6)
となる。一回の衝突で x 軸に垂直な面積 dS の面が受ける運動量が m(α0 ux +β 0 uy +γ 0 uz )
となるように α0 , β 0 , γ 0 を決めた時、この面に与えられる全運動量は
∫
∫
0
m
∞
dux
∫
+∞
+∞
(α0 ux + β 0 vy + γ 0 uz )fu dux dS =
−∞
−∞
}
{ 0
v
1 0 1 0
α
0
+ √ (αα + ββ + γγ ) dS
−N m
4h
2
2
πh
duy
71
(5.1.7)
となる。ダストにガス粒子が与える力 Fgas を求める。ガス粒子の平均速度 cs の時、
√
2
πh =
cs
(5.1.8)
と表される。また、α = α0 = cosθ、β = β 0 = sinθ、γ = 0 となるように方向を選ぶと、
Fgas は dS = s2 sin θ dθ dφ より、
∫
2π
∫
{
π
−N m
Fgas =
0
0
v
α0
1
1
+ √ (αα0 + ββ 0 + γγ 0 )
4h
2
2
πh
}
sin θ dθ dφ
4π
N µmH cs s2 v
3
4π
= − ρcs s2 v
3
=−
(5.1.9)
となる。このように表されるガス抵抗を『Epstein 抵抗』と呼ぶ (Epstein , 1924)。
Epstein 抵抗の依存性はもっと簡単に求めることも出来る。ガス粒子の音速は
√
8kB
cs =
(5.1.10)
πµmH
のように書ける。ガス温度 T 、密度 ρ とし、ガスの流れに対してダストが速度 v で運動し
ている時、ダストが進行方向前面でガス粒子と衝突する頻度 f+ は
f+ ' πs2 (cs + v)
ρ
mH
(5.1.11)
である。同様に、ダストが進行方向後面でガス粒子と衝突する頻度 f− は
f− ' πs2 (cs − v)
ρ
mH
(5.1.12)
ここで、ガス粒子との一回の衝突でダストが受け取る運動量は −2µmH cs とすると、ダス
トがガス粒子から受ける力 Fgas は、
Fgas ∝ s−2 ρcs v
(5.1.13)
となり、(5.1.9) 式と同様の依存性が見られる。
s > ` の時、ダストから見るとガスは流体的に働く。この時のガス抵抗 Fgas は
Fgas = −
CD 2
πs ρvv
2
(5.1.14)
と表わされる。この時。ここで、CD は抵抗係数である。このように表されるガス抵抗を
『Stokes 抵抗』と呼ぶ。CD は Reynolds 数
Re ≡
2sv
ν
72
(5.1.15)
に依存する。ここで ν は動粘性である。Weidenschilling (1977) で得られている CD の表
式は

−1

24Re (Re < 1)
CD ' 24Re−0.6 (1 < Re < 800)


0.44 (800 < Re )
(5.1.16)
である。Epstein 則と Stokes 則によるガス抵抗が等しくなるのは s = 9λ/4 であり、この
時 2 つの抵抗則が遷移すると考えられる。
5.1.2 ダスト成長の方程式
質量 m のダストの成長を表す方程式は
dm
= Sρdust σvrel
dt
(5.1.17)
となる。ここで、S はダスト衝突による付着確率、σ は衝突断面積、vrel は衝突物質との
相対速度である。等サイズ粒子の場合
σ = π(2s)2
(5.1.18)
である。
5.1.3 ダストの赤道面への沈殿と成長
ダストが r 方向に移動するにはトルクを受ける必要があり、z 方向の移動は r 方向の移
動に比べてタイムスケールが短い。ダストの z 方向の運動は終端速度で等速運動するとす
ると、
dvz
z
Fgas
= −GM∗ 3 −
=0
dt
r
m
(5.1.19)
を満たす。ガス抵抗は Epstein 則だとすると落下速度 vsettle は、
(
vsettle = −
ρmat
ρgas
)(
s
cs
)
GM∗
z
r3
(5.1.20)
となり、ρmat はダスト粒子の内部密度。
この時ガスとの相対速度 v = vsettle なので、成長の方程式は等サイズ粒子による合体成
長を考えて、
dm
= Sρdust πs2
dz
73
(5.1.21)
となる。これより、ダスト粒子の初期サイズ s0 、初期の赤道面からの高さ z0 とすると、z
の位置にある時のダスト粒子のサイズは
s = s0 +
Sρdust
(z0 − z)
4ρmat
(5.1.22)
となる。1 AU では、z = 0 に至るまでに cm サイズまで成長する。
5.1.4 ダストから微惑星への成長
ダストは赤道面への成長によって cm まで至った後、赤道面付近で合体成長した結果、
微惑星まで成長すると考えるのは自然な考えである。しかし、7.1 章で述べるようにダス
トはガス抵抗を受けることによって動径方向に成長速度に比べ速いタイムスケールで移動
する。その結果、ダストが成長する前に中心星に落下してしまうと考えられており、こ
れを『ダスト落下問題』と呼ぶ。ダスト落下問題を克服する方法として現在 2 種類の方
法が提案されおり、1 つが古典的な重力不安定によりダストを微惑星まで急成長させる
Goldreich-Ward 機構、もう 1 つがダストが高い空隙率を持って成長していくモデルで
ある。
Goldreich-Ward 機構は Safronov (1969) と Goldreich & Ward (1973) によってそれ
ぞれ独立に提案された機構であり、赤道面上でダストが重力不安定を起こした結果急成長
するモデルである。ダストが系のスケールに比べて小さい時、ダストを流体近似すること
が可能となる。その結果、ダストが十分に密集できれば流体不安定の 1 つである重力不
安定が起こる。円盤内の重力不安定に関しては 9.1.4 節で詳しく議論するが、軸対称ケプ
ラー回転円盤において重力不安定性が起こる条件は Toomre の Q 値
Q≡
σ2 Ω
πGΣd
(5.1.23)
を用いて、Q 値がある臨界値より小さくなる時
Q < Qcrit
(5.1.24)
である。ここで Qcrit は重力不安定が起こる Q 値の臨界値、σ はダストの速度分散。ま
た、この不安定の最大成長波長は
λ'
2σ 2
GΣd
(5.1.25)
である。もし重力不安定が起こった時、出来る微惑星の質量 Mp は
Mp ∼ πλ2 Σd ∼ 4π 5 G2 Qcrit
74
Σd
Ω4
(5.1.26)
となる。これは 1 AU で Σd = 10 g cm−2 、Qcrit = 1 の時、
Mp ∼ 3 × 1018 g
(5.1.27)
となり、シリケイト組成を考えると、サイズは 5-10 km となる。
Goldreich-Ward 機構の問題として、ダストが重力不安定が起こる程密集できないとい
うものである。ダストが赤道面に落下する際、乱流による巻き上げを受ける。ダストがガ
スから受ける摩擦のタイムスケール tfric を
tfric =
mv
|Fgas |
(5.1.28)
とする。ここで簡単のためにダストがガスと良くカップルしている状況 (Ωtfric 1) を考
える。ダストが赤道面に落下するタイムスケール tsettle は
z
tsettle =
vsettle
[
]
z2
2 Σ
exp −
=
π ρmat sΩ
2H 2
(5.1.29)
となる。また、乱流によるダスト巻き上げのタイムスケール tdiffuse を
z2
D
(5.1.30)
αc2s
Ω
(5.1.31)
tdiffuse =
とする。ここで D は拡散係数である。一般的に
D∼ν=
となる。この D を用いて、ダストの鉛直拡散方程式は
[
( )]
∂
∂ ρd
∂
∂ρd
=D
ρ
+
(Ω2 tfric ρd z)
∂t
∂z ∂z ρ
∂z
(5.1.32)
となる (Dubrulle et al., 1995; Fromang & Papaloizou, 2006)。このダストの鉛直拡散の
式の定常を仮定すると、
ρd
=
ρ
(
ρd
ρ
)
[
z2
exp −
2Hd2
z=0
]
(5.1.33)
となる。ここで、Hd はダストのスケールハイトで
√
Hd ≡
D
Ω2 t
(5.1.34)
fric
となる。ここで、(5.1.31) 式より、
Hd
∼
H
√
α
Ωtfric
75
(5.1.35)
となる。
拡散だけでなく、ダストが z 方向にシアーを持つことにより Kelvin-Helmholtz 不安定
性を起こす。Kelvin-Helmholtz 不安定性が起こる条件は Richardson 数
Ri ≡ −
gz d ln ρd /dz
(dvϕ /dz)2
(5.1.36)
を用いて、
Ri < 0.25
(5.1.37)
の時である。ここで、赤道面での圧力 p ∝ r−n であり、中心星重力の z 成分 gz が十分つ
よく成層していたら、
gz = Ω2 Hd
(5.1.38)
dln ρd
1
=−
dz
Hd
(
)2
( )4 2 2
2
dvϕ
n
H
Ω r
=
dz
4
r
Hd2
(5.1.39)
(5.1.40)
となる。ここで、n = 3 とすると、
(
Ri ' 0.25
H/r
0.05
)−2 (
Hd /H
0.0375
)2
(5.1.41)
となる。
重力不安定が起こるために必要な Hd /H は、1 AU で、Σd = 10 g cm−2 、σ ∼ 10 cms−1 、
Q = 1、H/r = 0.05 の時、
Hd
∼ 10−4
H
(5.1.42)
となる。この値を (5.1.41) 式に代入すると、Ri 0.25 となり Kelvin-Helmholtz 不安定
が起こる。このことから、重力不安定が起こるほどダストが赤道面に密集することは難し
く、何らかの工夫が必要である。
ダストが高い空隙率を持って成長していくモデルは Okuzumi et al. (2009); Kataoka
et al. (2013) によって提唱されたモデルである。従来はダストはコンパクトな球状を常
に保って成長していくと仮定していた。しかし、数値シミュレーションからダストが合
体成長していく際は高空隙の構造を持って成長していくことが発見された (Wada et al.,
2007)。高空隙の構造を持つ時、同質量のコンパクト構造のダストに比べてガス抵抗が強
く効く。その為、コンパクト構造に比べて良くガスとカップルし、中心星落下せずに高い
質量まで成長することができる。その後、高空隙なダストはガス圧による圧縮、自己重力
による圧縮を経験してコンパクト構造の微惑星となる。このモデルは正しいことを確認す
76
るためには、実際に高空隙なダストが形成されるのか、高空隙なダストが合体によって破
壊されないかなどの問題を解決する必要がある。
5.2 原始惑星形成
微惑星形成に関しては上記のようにいくつかの困難がある。しかし、ここでは微惑星が
形成されたと仮定し、微惑星同士が合体成長することにより原始惑星になるまでの過程を
追う。
5.2.1 微惑星の運動
微惑星が N 個存在する時、運動方程式は
∑
dvi
xi
xj − xi
= −GM∗ 3 +
Gmj
+ Fgas
dt
|x|
|xj − xi |3
N
(5.2.1)
j6=i
となる。ここで、ガス抵抗 Fgas は
Fgas = −
1
CD πri2 ρgas |vi − vgas |(vi − vgas )
2mi
(5.2.2)
となる。このガス抵抗の表式をニュートン則と呼ぶ。微惑星の運動方程式とダストの運動
方程式の最大の違いは微惑星の自己重力を考慮に入れる点である。
微惑星は概ね基準面で円運動している。しかし、赤道面円運動からずれた時の速度のず
れをランダム速度 vran と呼び、
vran ' (e2 + i2 )1/2 vK
(5.2.3)
で近似的に表せる。ここで、e は離心率、i は傾斜角、vK はケプラー速度であり、基準面
は中心星の赤道面である。e, i < rH /a の時、シアー卓越領域と呼び、三体効果が重要と
なる。一方で、e, i > rH /a の時、ランダム速度卓越領域と呼び、自遊空間近似が可能であ
る。また、時間変化の平均を h i で表すと、経験的に
he2 i1/2 ' 2hi2 i1/2
(5.2.4)
の関係があることが分かっている。右辺の係数 2 はシアーに起因する項である (Ida,
1993)。
微惑星のスケールは軌道長半径に比べて小さく rH a、微惑星はランダム速度卓越領
域に存在していると考えられる。そのため、微惑星同士の重力相互作用により粘性加熱が
起こりランダム速度が上昇する。ここでの粘性加熱は 4 章で議論したものとは違い、円盤
77
系での二体緩和を指すことに注意が必要である。二体緩和に感しては Appendix C で記
述する。粘性加熱のタイムスケール tvs は
tvs ≈
σ4
4πG2 mf Σd Ω ln Λ
(5.2.5)
となる。ここで、n は微惑星の個数密度であり
n=
Σd
2a < i2 >1/2 m
(5.2.6)
となる。また、ln Λ は Coulomb 対数、σ は微惑星の速度分散である。
質量の大きな (M ) 微惑星と質量 (m) の小さな微惑星がある時、力学的摩擦によって質
量の多きい方の微惑星の e, i は減少する。これはエネルギー等分配の法則から
1
1
2
2
mσm
= M σM
2
2
(5.2.7)
の関係が満たされるからである。ここで、σM , σm はそれぞれの速度分散である。力学的
摩擦についても Appendix C で少し触れる。
大質量微惑星が 2 つが近くにあり、小質量微惑星がたくさんある時を考える。大質量微
惑星同士の粘性加熱と、大質量微惑星と小質量微惑星の間の力学的摩擦が起こる。その結
果、大質量微惑星同士の軌道間隔は大きくなる (∼ 5rH )。この現象を軌道反発と呼ぶ。
微惑星同士は粘性加熱によりランダム速度を上昇させるが、ランダム速度があまりに高
くなるとガス抵抗によってランダム速度が減少する。微惑星のガス抵抗則は Stokes 則な
ので、ガス抵抗のタイムスケール tgas は
tgas =
vran
2m
'
|Fgas |
CD πr2 ρgas vran
(5.2.8)
となる。粘性加熱とガス抵抗のタイムスケールが等しくなる時 tvs = tgas が平衡状態とな
る。平衡ランダム速度は
vran
( √
)1/5
2 2G2 m2 Σd ΩlnΛ
'
CD r2 ρ
(5.2.9)
となる。この時の離心率は
(
)2/15 (
)−1/5
rH ( m )−1/15
ρp
ρ
e ' 20
a 1023 g
2 g cm−3
2 × 10−9 g cm−3
)1/5 (
)−1/5 (
)1/5
(
(
CD
Σd
a )1/5 ln Λ
×
10 g cm−2
1
1 AU
3
(5.2.10)
となる。原始惑星形成過程では tvs tgrow となっており、常に微惑星は平衡ランダム速
度になっていると考えられる。
78
5.2.2 惑星集積過程
2 つの微惑星が存在し、質量がそれぞれ M1 , M2 とする。ただし、M1 > M2 とする。
ここで微惑星質量の比 M1 /M2 の時間進化は
d(M1 /M2 )
M1
=
dt
M2
(
dM2
1 dM1
−
M1 dt
dt
)
(5.2.11)
とかける。ここで、(dM/dt)/M は相対成長率と呼び、
1 dM
∝ Mα
M dt
(5.2.12)
とかけるとする。
α > 0 の時、(5.2.11) 式より d(M1 /M2 )/dt > 0 となり、重い微惑星が軽い微惑星に比
べ速く成長する。その結果、一つの重い微惑星だけが暴走的に成長し、周りの微惑星は成
長が遅い。このような微惑星成長を『暴走的成長』と呼ぶ。一方で、α < 0 の時、(５.2.11)
式より d(M1 /M2 )/dt < 0 となり、軽い微惑星が重い微惑星に比べ速く成長する。その結
果、微惑星は周りの微惑星と揃って成長する。このような微惑星成長を『秩序的成長』と
呼ぶ。微惑星成長が暴走的成長か秩序的成長かを以下から見積もる。
質量 M の微惑星についての成長方程式を求める。この微惑星に、質量 m で個数密度 n
の微惑星が合体する状況を考える。その時、微惑星成長方程式は
dM
= Snσvrel m
dm
(5.2.13)
となる。ここで S は衝突時の付着確率、σ は衝突断面積、vrel は質量 M の微惑星と質量
m の微惑星の相対速度である。
衝突断面積 σ は、重力二体系の計算から求まる。質量 M1 、半径 R の球体 1 に、質量
m、半径 r の球体 2 が衝突する時を考える。初期の球体 2 の位置は球体 1 にからみて無限
遠に存在し、初期衝突パラメータ b、初期相対速度 vrel とする。また、衝突時の相対速度
vcol とすると、角運動量保存則は
µbvrel = µ(R + r)vcol
Mm
µ=
M +m
(5.2.14)
(5.2.15)
となる。ここで、µ は慣性質量である。さらに、エネルギー保存則は
1 2
GM
1
µm2rel = µvcol
−
2
2
(R + r)
79
(5.2.16)
となる。(5.2.14)-(5.2.16) 式より、衝突することが出来る衝突パラメータ b は
)1/2
(
2
vesc
b = (R + r) 1 + 2
vrel
√
2G(M + m)
vesc =
(R + r)
(5.2.17)
(5.2.18)
となる。ここで、vesc は脱出速度である。これより、衝突断面積 σ が求められ、
σ = πb2
= π(R + r)
(
2
v2
1 + esc
2
vrel
)
(5.2.19)
のようになる。ここで、右辺括弧内第二項は重力によって衝突断面積が増える項であり、
重力フォーカシング項、もしくは Safronov 数と呼ぶ。
ここで、成長微惑星は衝突してくる微惑星に比べて非常に大きいと仮定する、M m、
R r。また、成長微惑星の速度 vM は衝突微惑星の速度 vm に比べ無視出来るほど小さ
いとすると
vrel = vm − vM ' vm
(5.2.20)
のようになる。さらに、完全合体を仮定 (S = 1) すると、(5.2.13) 式は
(
)
2
dM
vesc
2
' nπR 1 + 2
vm m
dt
vm
v2
' nπR2 esc m
vm
(5.2.21)
のようになる。ここで、
n=
Σd
−1
∝ vm
2a < i >1/2 m
(5.2.22)
となる。また、R ∝ M 1/3 より vesc ∝ M 1/3 なので、相対成長率は
1 dM
−2
∝ M 1/3 vm
M dt
(5.2.23)
となる。微惑星成長によって周囲の微惑星への反作用が無視できる (vm は M に依存しな
い) 時、微惑星は暴走成長となる。
微惑星は暴走成長の結果として原始惑星となる。原始惑星の成長は、周りの微惑星と衝
突合体し尽くした時止まる。この境界は、微惑星速度 vm が Hill 速度 vH =
√
GM/rH と
等しい状況となる。この時、
vm = vH ∝ M 1/3
(5.2.24)
1 dM
∝ M −1/3
M dt
(5.2.25)
80
となり、秩序的成長になる。この段階を寡占成長段階と呼ぶ。ここで、暴走成長段階であ
る vm > vH の時を『速度分散卓越衝突』、逆に vm < vH の時を『シアー卓越衝突』と呼
ぶ。原始惑星成長がシアー卓越衝突段階まで至ると原始惑星成長は激減し、周りに同等の
原始惑星が秩序的に形成される。この時、原始惑星間の軌道間隔 ` は軌道反発によって決
まり、` ∼ 10rH となる。
形成される原始惑星の質量は、原始惑星周りにあった円盤ダスト成分の質量と同等にな
ると考えられ、その質量を孤立質量 Miso と呼ぶ。軌道間隔 ` の時、孤立質量は
Miso = 2πa`Σd
=
(
3/2
0.16ice
`
10rH
)3/2 (
a )3/4
M⊕
1 AU
(5.2.26)
となる。ただし、ここで、
(
Σd = 10ice
1
1 AU
)−3/2
g cm−2
(5.2.27)
かつ、
ice
{
1 (a < asnow )
'
4.7 (a > asnow )
(5.2.28)
とする。また、孤立質量まで成長する時間 tgrow は成長方程式から
tgrow ' 0.7 ×
−1/2
105 ice
(
ρp
2 g cm−3
)3/5 (
`
10rH
)1/10 (
a )59/20
1 AU
(
m
1018 g
)2/15
yr
(5.2.29)
となる。
これより、孤立質量は円盤外側に行くほど大きくなるが、形成時間も大きくなることが
分かる。
5.3 原始惑星から惑星へ
孤立質量に至った後、どのように岩石惑星、巨大ガス惑星、氷惑星が形成されるのかに
ついて説明する。
5.3.1 岩石惑星
軌道長半径が 1 AU 以内で形成される原始惑星は、孤立質量より Mp ∼ 0.1M⊕ となる。
ここから金星や地球のといった Mp ∼ 1M⊕ に至る道筋として、原始惑星同士の衝突合体
81
である『巨大衝突』が考えられている。円盤ガスが十分にある時、ガスの効果によって原
始惑星軌道が不安定になることはない。円盤ガス散逸が進むと、ガスによる軌道安定化が
働かなくなり軌道が不安定となる。その結果、として巨大衝突が起こる。
軌道不安定になるまでの時間 tinst は数値計算から経験的に得られており、
ln tinst ' C1
`
+ C2
rH
(5.3.1)
のような表式となる。ここで、C1 , C2 は he2 i1/2 , hi2 i1/2 の関数である。何故このような
表式になっているのかは明らかにはなっていない。
N 体数値計算の結果から金星、地球は巨大衝突の結果 108 yr で形成され、水星、火星
は原始惑星の生き残りであると考えられている。ただし、数値計算の結果では e, i ∼ 0.1
程度となり、現在の値の e, i ∼ 0.01 までどのように落とすのかは明らかになっていない。
5.3.2 巨大ガス惑星形成
巨大ガス惑星は原始惑星をコアとして、その周りに大質量のガスが降着することによっ
て形成される。原始惑星が大気を持つには、惑星表面での重力エネルギーが熱エネルギー
より大きい必要があり、
kB T
GMcore
>
R
µmH
(5.3.2)
つまり、
R < RB ≡
GMcore µmH
kB T
(5.3.3)
となる。この時 RB を Bondi 半径と呼ぶ。大気は原始惑星重力圏内にある必要があるこ
とを考慮すると、大気を持つ条件は、
R < min(RB , rH )
(5.3.4)
のようになる。
微惑星集積期で、大気が獲得できるまで原始惑星が成長した後の大気成長を考える。
大気が収縮しようとする重力を、支えるエネルギー源は 2 種類ある。1 つは微惑星降着
による位置エネルギーの開放であり、もう 1 つが大気収縮による重力エネルギーの開放
である。微惑星降着による位置エネルギーの開放によってのみ大気を支える時、Mizuno
(1980) によって静水圧平衡を満たすような惑星質量に上限があることが知られており、そ
の臨界質量を『臨界コア質量』と呼ぶ。
臨界コア質量の存在は簡単な見積もりによって確認できる。Mizuno (1980), Pollack
(1986) で行われた仮定を採用する。
82
• 固体コアとガス大気の二層構造を考える。
• 原始惑星は対称球構造をしており、大気は常に静水圧平衡 (もしくは準静水圧平
衡)、コアは密度 5.5 g cm−3 で一様。
• 大気は一様な化学組成をしており、太陽組成である。つまり、水素 0.74、ヘリウム
0.24、その他の重元素 0.02 の割合を持つ。
• 大気は理想気体の状態方程式を満たし、水素分子の解離や水素原子の電離を考慮
する。
• 微惑星降着によって開放される重力エネルギーはコア表面でのみ起こるとする。
• 大気は RB で滑らかに円盤ガスと接続し、円盤ガスは京都モデルを仮定する。この
時、ガスの散逸は考慮しない。
• 大気中の放射層と対流層は Schwarzschild 条件によって区別する。
• 不透明度はガスとダスト両方によるものを考慮する。Mizuno (1980) より、ダスト
不透明度はダスト蒸発温度以下であるなら一定を仮定する。
これらの仮定の下、大気の基礎方程式は以下のようになる。
∂P
GMR
=−
∂MR
4πR2
∂R
1
=
∂MR
4πR2 ρ
∂T
=
∂MR
{
LR
κR
3
− 16πa
R2 T 3 4πR2 (放射層)
( ∂T
) s c ∂P
∂P S ∂MR (対流層)
∂LR
dS
= ac − T
∂MR
dt
kB
P =
ρT
µmH
(5.3.5)
(5.3.6)
(5.3.7)
(5.3.8)
(5.3.9)
ここで、MR は半径 R 内の質量、P は圧力、ρ は密度、T は温度、S は比エントロピー、
LR は半径 R の球面を通るエネルギーフラックス、κR は Rosseland 平均不透明度、ac
は微惑星降着によるエネルギー生成率、µ は平均分子量、as 輻射エネルギー密度である。
この時、微惑星降着率 Ṁcore を用いて ac は
ac
δ(R − Rcore )
=
Ṁcore
4πR2 ρ
∫
Rout
Rcore
GMR0
dR0
R02
(5.3.10)
のようにかける。この時 Rout = min(RB , rH ) であり、Bondi 半径は
RB =
GMp
c2s
(5.3.11)
となり、Mp は原始惑星全体の質量である。ここで、微惑星衝突による質量変化を考慮す
83
ると、
dMR
= Ṁcore
dt
(
)
dMp
dRB
2
= 4πRB ρneb
− vout + Ṁcore
dt
dt
(5.3.12)
(5.3.13)
となる。この時 vout は最外縁大気の収縮速度、ρneb は円盤中のガス密度であり、Mcore , Mp
が微惑星衝突によって増加する。境界条件として、MR = Mcore となる内側境界では
(
R=
3Mcore
4πρcore
)1/3
, Lr = 0
(5.3.14)
で、MR = Mp となる外側境界では、
T = Tneb , ρ = ρneb
(5.3.15)
となる。ここで、ρcore はコア平均密度、Tneb は円盤ガスの温度である。
簡単の為に、Menv Mcore 、κR 一定、T Tneb 、ρ ρneb 、大気は全て放射層と仮
定する。この時、大気の基礎方程式は
GMcore
∂P
=−
ρ
∂R
R2
16σB T 3 dT
LR
=−
3κR ρ dR
4πR2
kB
P =
ρT
µmH
LR '
(5.3.16)
(5.3.17)
(5.3.18)
GMcore Ṁcore
Rout
(5.3.19)
となる。これより、
(
ρ=
GMp µmH
kB
)4
π σB 1
12 κR LR R3
(5.3.20)
となる。密度より、大気質量が計算でき、
∫
Rout
4πR2 ρ dr
Menv =
Rin
(
'
GMp µmH
kB
)4
π 2 σB
ln
3κR LR
(5.3.21)
(
Rout
Rin
)
(5.3.22)
となる。ここで、rout = rH とする時、
L=
GMcore Ṁcore
2/3
∝ Mcore
Ṁcore
rH
84
(5.3.23)
図 5.1
静水圧平衡におけるコア質量と惑星質量の関係 (Stevenson, 1982)。実線は典
型的な値であり、破線は κR Ṁ の値を 1/10 にした時の線。あるコア質量以上になると
静水圧平衡の解がなくなり、そこが臨界コア質量である。
となるので、Mcore = Mp − Menv から、
(
Mcore = Mp −
C
κR Ṁcore
)
Mp4
(5.3.24)
2/3
Mcore
となる。ここで、C は定数。
図 5.1 は静水圧平衡におけるコア質量と惑星質量の関係である (Stevenson, 1982)。実
線は典型的な値であり、破線は κR Ṁ の値を 1/10 にした時の線。あるコア質量以上にな
ると静水圧平衡の解がなくなり、そこが臨界コア質量である。図 5.1 より、典型的な臨界
コア質量は Mcrit ∼ 10M⊕ であることが分かる。
さらに、Ikoma et al. (2000) は (5.3.5)-(5.3.15) 式を解くことで、κR ≥ 10−2 cm2 s−1
の時の臨界コア質量が Ṁcore と κR の関数としてえており、
(
Mcrit ∼ 7
Ṁcore
−7
10 M⊕ yr−1
)q (
κR
1 cm2 g−1
)s
M⊕
(5.3.25)
となる。ここで、q, s は 0.2-0.3 の間の定数となる。
しかし、Mcrit > Miso であることから、惑星コアは微惑星集積によって臨界コア質量
に至る前に孤立質量に至る。その為、孤立質量に至った後は Ṁcore ∼ 0 となる。微惑星
85
図 5.2 Ṁcore = 0 の時の、大気時間進化 (Ikoma et al., 2000)。
降着が止まると大気を支えるのは大気降着によって開放された重力エネルギーである。
この時、開放された重力エネルギーが惑星放射によって散逸するタイムスケールである
Kelvin-Helmholtz 時間 tKH 、
tKH =
GMcore Menv
Rcore LR
(5.3.26)
で収縮する。Ikoma et al. (2000) によって、孤立質量に至った後に微惑星降着がなくな
る場合の大気成長計算もなされており、その様子は図 5.2 である。Menv << Mcore では
大気成長は遅く、Menv ∼ Mcore あたりで急激に大気成長が速くなることが分かる。大気
成長時間 tgrow 、
(
tgrow ≡
1 dMenv
Menv dt
86
)−1
(5.3.27)
図 5.3
初期コア質量と大気成長にかかる時間 tgrow の関係 (Hori&Ikoma, 2010)。
は、Hori&Ikoma (2010) によって計算されており、図 5.3 である。この段階は大気成長
時間の大半を占める。
大気成長が進み、惑星周辺の円盤ガスが散逸や惑星トルクの効果で希薄になると、円盤
からのガス供給が大気成長に間に合わなくなる。この時、惑星質量は円盤からのガス供給
で律速されるようになる。この段階により巨大ガス惑星の質量は決定する。回転円盤内の
ガスが天体の Hill 圏に入り、大気となれる領域をフィーディングゾーンと呼ぶ。フィー
ディングゾーンの幅 ∆afeed は Lissauer (1993) にによって求められており、
√
∆afeed = 2 3rH
(5.3.28)
である。巨大ガス惑星では、コア質量は大気質量に比べて無視できるので、最終的に形成
される巨大ガス惑星の質量は、
Mp ' 4πa∆afeed Σ
√
' 8 3πarH Σ
( a )
∼ 10−3
M
5 AU
(5.3.29)
となる。ここで、ガス分布は京都モデルを用いた。土星が木星に比べ太陽からの距離が遠
87
いにも関わらず、質量が小さいことは (5.2.29) 式と矛盾する。これは、土星の形成時期が
木星に比べて遅く円盤ガスが散逸してしまっていたためだと考えられる。その後、円盤が
散逸大気成長が止まると巨大ガス惑星は放射によって冷え続ける。
5.3.3 氷惑星形成
太陽系内の天王星、海王星は半径が R > RB であり、大気を持つことが可能である。現
に質量の 1 割が大気である。このことから、氷惑星は円盤の散逸がかなり進んだ時点で
形成されたため、ガス惑星になりそこねた惑星だと考えられる。しかしながら、氷惑星形
成には大きな問題点がある。問題点とは、その場で作るには時間がかかりすぎることであ
る。(5.2.29) 式から、現在の天王星や海王星の場所で孤立質量まで成長するには、太陽系
年齢以上の時間が必要であり、現実的ではない。この問題を解決する方法として、元は現
在より円盤内側で形成し、その後円盤外側にある微惑星と重力相互作用をすることによっ
て現在の位置まで移動したというものがある。この説をサポートする観測事実として、カ
イパーベルト小天体が海王星の各平均自由共鳴に局在していることが挙げられる。しか
し、実際に海王星が微惑星との重力相互作用によって動けるのかなど、緒論ある。
88
第6章
原始惑星系円盤のガス散逸
5 章で見たように、原始惑星系円盤の散逸過程や寿命は形成される惑星に大きな影響を
与える。また、2 章で述べたように観測的に、遷移円盤とよばれる円盤中心部が光学的に
薄くなっている原始惑星系円盤が観測されている。これは円盤ガス散逸によるものである
という説があるが、実際はよく分かっていない。
本章では原始惑星系円盤中のガス散逸について議論する。原始惑星系円盤のガス散逸機
構に関してはいくつか考えられている。図 6.1 は円盤半径ごとに様々なガス散逸における
タイムスケール比較をしたものである Hollenbach et al (2000)。 tν は中心星への粘性降
着による散逸時間で、それぞれ α = 10−2 , 10−3 の場合である。tSE は恒星の近接遭遇に
よって円盤が剥ぎ取られるタイムスケール。tWS は恒星風による散逸時間。恒星風が強い
場合 (下の線) と弱い場合 (上の線) について線が引かれている。tC(evap) は中心星からの
照射で励起された光蒸発散逸時間、tE(evap) は近傍の大質量星からの照射のある場合の光
蒸発散逸時間である。
図 6.1 より、散逸のタイムスケールが短く、主要な散逸機構になりえる
• 中心星への粘性降着
• 中心星からの照射で励起された光蒸発
• 大質量星からの照射のある場合の光蒸発
の 3 過程であると考えられている。以後、中心星からの照射で励起された光蒸発散を” 中
心星光蒸発”、大質量星からの照射のある場合の光蒸発を” 大質量星光蒸発” と呼ぶことに
する。また、中心星光蒸発は遷移円盤形成過程の候補でもある。
本章の構成は以下の通りである。6.1 節で中心星への粘性降着、6.2 節で中心星光蒸発、
6.3 節で大質量星光蒸発について説明する。
89
図 6.1
円盤半径ごとの様々なガス散逸におけるタイムスケール比較 (Hollenbach et
al, 2000)。tν は中心星への粘性降着による散逸時間で、それぞれ α = 10−2 , 10−3 の
場合である。tSE は恒星の近接遭遇によって円盤が剥ぎ取られるタイムスケール。tWS
は恒星風による散逸時間。恒星風が強い場合 (下の線) と弱い場合 (上の線) について線
が引かれている。tC(evap) は中心星からの照射で励起された光蒸発散逸時間、tE(evap)
は近傍の大質量星からの照射のある場合の光蒸発散逸時間である。
6.1 中心星への粘性降着
中心星による粘性降着は Lynden-Bell & Pringle (1974) によって調べられている。こ
こでは Lynden-Bell & Pringle (1974) で調べられた円盤面密度の粘性進化について紹介
する。
6.1.1 定式
円盤が幾何学的に薄いと仮定し、one-zone 近似を行う。さらに、軸対称を仮定するこ
とで、動径座標方向のみの進化を取り扱う。また、円盤質量は非常に軽いと仮定し円盤の
自己重力は無視する。
90
ここで、円盤降着率を Ṁ ≡= −2πrvr Σ、比較運動量を J ≡ r2 Ω と定義する。この時、
面密度 Σ、降着率 Ṁ 、比較運動量 J の保存の式は
∂Σ
1 ∂ Ṁ
=
∂t
2πr ∂r
( 2
)
J
∂ Ṁ
GM∗
1 ∂Π
= −2πrΣ
− 2 −
∂t
r3
r
Σ ∂r
(
)
2
1
∂(2πr Trϕ )
∂J
∂J
=
+
Ṁ
∂t
2πrΣ
∂r
∂r
(6.1.1)
(6.1.2)
(6.1.3)
となる。ただし、Trϕ は one-zone 近似した粘性トルクであり、
∫
Trϕ ≡
∞
−∞
trϕ dz = νΣr
dΩ
dr
(6.1.4)
である。これらは、面密度 Σ の保存の式は連続の式、降着率 Ṁ の保存の式は r 方向の運
動方程式、比較運動量 J の保存の式は ϕ 方向の運動方程式にそれぞれ対応する
Lynden-Bell & Pringle (1974) では、圧力勾配力は常に中心星重力に比べて無視できる
ほど小さいと仮定して、(6.1.2) 式の右辺第 3 項を落とす。また、Ṁ , J の定常を仮定し、
(6.1.2) 式、(6.1.3) 式の左辺をそれぞれ落とす。この時、(6.1.1)-(6.1.3) 式は、
∂Σ
1 ∂ Ṁ
=
∂t
2πr ∂r
2
J = GM∗ r
(6.1.5)
(6.1.6)
2
Ṁ
∂J
∂(2πr Trϕ )
=−
∂r
∂r
(6.1.7)
となる。(6.1.4) 式は回転速度分布が Kepler 回転であることを意味する。(6.1.5)-(6.1.6)
式を (6.1.4) 式に代入すると、
[
]
∂Σ
3 ∂
1/2 ∂
1/2
=
r
(r νΣ)
∂t
r ∂r
∂r
(6.1.8)
となる。これを Lynden-Bell & Pringle (1974) で導かれた『面密度進化の式』と呼ぶ。
面密度進化の式は面密度に関する拡散方程式になっており、拡散を引き起こすのは粘性で
ある。
6.1.2 面密度進化の式の厳密解
動粘性係数 ν が ν ∝ rχ のようにかける時、面密度進化の式の厳密解を解析的に解け
る。ここで、粘性トルク g とすると、
g(r) = 2πr2 Trϕ
= −3πJνΣ
91
(6.1.9)
となるので、
∂J
1J
=
∂r
2r
∂g
Ṁ =
∂J
g
Σ=−
3πJν
(6.1.10)
(6.1.11)
(6.1.12)
を満たす。これらを面密度進化の式 (6.1.8) に代入すると、
∂2g
∂
=
2
∂J
∂t
(
g
[3(GM∗ )2 ν/4J 2 ]
)
(6.1.13)
となる。ここで、ν = ν1 (r/r1 )χ とすると、
3 (GM∗ )2 ν
3
(2−γ) ν1 2(γ−1)
=
(GM
)
J
∗
4
J2
4
r1γ
(6.1.14)
とかける。この時、r1 はある典型的な半径であり、ν1 = ν(r1 ) である。この表式は
3
ν1
(GM∗ )(2−γ) γ J 2(γ−1) = 4l2 h−2 J (2−1/l)
4
r1
(6.1.15)
となるように定数 l, h を取ることが出来る。今回の場合は
1
(4 − 2χ)
ν1
3
h−2 = (2 − χ)2 (GM∗ )(2−χ) χ
4
r1
l=
(6.1.16)
(6.1.17)
である。この時、(6.1.13) 式は
∂2g
1
=
∂J 2
4
( )2
h
∂g
J (1/l−2)
l
∂t
(6.1.18)
と変形できる。今回トルクは t → ∞ で g → 0 となると考えられるので、g ∝ e−st と表
わせ、k 2 = h2 s のようにすると、
∂2g
1
=
2
∂J
4
( )2
k
J (1/l−2) g = 0
l
(6.1.19)
となる。ここで x ≡ J 1/2l 、g1 ≡ x−l g と定義して変数変換すると
(
)
∂ 2 g1
l2
−1 ∂g1
2
+x
+ k − 2 g1 = 0
∂x2
∂x
x
(6.1.20)
となり、これはベッセル方程式である。そのため、解は、
g = e−st (kx)l [A(k)Jl (kx) + B(k)J−l (kx)]
92
(6.1.21)
のように書ける。
一般解は全てのモードの重ねあわせで表されるので、
∫
∞
g=
0
( 2 )
k
exp − 2 t (kx)l [A(k)Jl + B(k)J−l (kx)] dk
h
(6.1.22)
となる。今、境界条件として g(x∗ ) = 0 をどのモードでも成立すると仮定する。この時、
A(k)J+ (kx∗ ) = −B(k)J− (kx∗ )
(6.1.23)
の関係を満たし、x∗ → 0 の時、任意の k において B(k) = 0 となる。
また、フーリエ変換の定理から
∫
∞
∫
0
∞
A(k)Jν (kx)(kx)1/2 dk Jν (k 0 x)(k 0 x)1/2 dx = A(k 0 )
(6.1.24)
0
であるので、t = 0 における初期値 g(J, 0) は
∫
∞
g(J, 0) Jl (k 0 x)(k 0 x)1−l dx = A(k 0 )
(6.1.25)
0
を満たす。これより、トルクの初期値 g(J, 0) が分かれば、A(k) が求まりそれを
∫
∞
g(J, t) =
0
( 2 )
k
exp − 2 t (kx)l A(k)Jl dk
h
(6.1.26)
代入すれば任意の時間のトルク g(J, t) が求まる。
ここで、トルクの初期値を,
g(J, 0) = −CJ exp[−aJ 1/l ] = Cx2l exp[−ax2 ]
(6.1.27)
と書ける時を考える。初期条件を (6.1.24) 式に代入すると、
∫
∞
A(k) = −
2
C exp(−ax )Jl (kx)k
(1−l) (1+l)
x
dx = −Ck(2a)
0
−(l+1)
( 2)
k
exp −
4a
(6.1.28)
となる。これを、(6.1.25) 式に代入すると、
∫
∞
g(J, t) = −
0
[
]
1 −1
2
−2
exp −k (th + a ) k (l+1) xl Jl (kx)dk C(2a)−(l+1)
4
(6.1.29)
となるので、これを積分すると、
g(h, t) = −CT
)
(
ax2
x exp −
T
−(l+1) 2l
τ1 ≡ 4ah−2 t + 1
93
(6.1.30)
(6.1.31)
これより、
g = −CT
−(l+1)
)
(
J 1/l
J exp −a
T
(6.1.32)
なので (6.1.12) 式に代入すると、(6.1.34)-(6.1.34) 式より、
[
]
(r/r1 )(2−χ)
Cr1
−(5/2−χ)/(2−χ)
T
exp −
Σ=
3πν1 (r/r1 )χ
τ1
τ1 ≡ t/tν + 1
tν =
1
r12
3(2 − χ)2 ν1
(6.1.33)
(6.1.34)
(6.1.35)
となる。
ここで、半径の無次元量 ζ を以下のように定義する、
ζ≡
r
r0
(6.1.36)
また、r0 の定義は下で述べる。温度分布を r の冪 β で与えると
T = T0 ζ −β
(6.1.37)
となり、これから音速 cs とスケールハイト H の r 分布は
cs = c0 ζ −β/2
(6.1.38)
H = H0 ζ (3−β)/2
(6.1.39)
ν = αcs H = ν0 ζ (3/2−β)
(6.1.40)
動粘性係数 ν の温度依存性は、
となる。よって、
χ=
3
−β
2
(6.1.41)
である。後のために (6.1.33) 式の χ を β に置き換えると、これを面密度進化の式に代入
して解くと、
[
]
C −2(1+β)/(1+2β) (β− 3 )
(β+1/2)
2
Σ=
τ
ζ
exp −ζ
3πν1 0
2/(1+2β)
r0 ≡ τ0
r1
t
τ0 ≡
+1
tν
4
r12
tν =
3(1 + 2β) ν1
(6.1.42)
(6.1.43)
(6.1.44)
(6.1.45)
94
である。(6.1.42) 式は時間に関連する項 τ0 と位置に関する項 ζ が分かれていることが分
かる。そのため、
Σ0 =
C −2(1+β)/(1+2β)
τ
3πν1 0
(6.1.46)
で Σ を規格化すると、
σ≡
Σ
Σ0
≡ζ
(β− 32 )
[
]
(β+1/2)
exp −ζ
(6.1.47)
のようになり面密度の ζ 依存性は時間によらない。ただし、(6.1.43)-(6.1.44) 式より規格
化定数 r0 は t に関する増加関数である。よって、(6.1.42) 式の面密度分布は規格化半径 ζ
に関して時間によらず、相似的に進化するので、『相似解』と呼ぶ。また、r0 を『相似解
の典型的な半径』と呼ぶことにする。式から明らかなように、相似解の典型的な半径は時
間と共に増加する。
6.1.3 動粘性の表式
円盤内で角運動量を輸送する粘性の起源については、磁気回転不安定を起源とする乱流
粘性がもっとも一般的だと考えられている (Balbus & Hawley, 1991)。乱流粘性の動粘性
係数 ν は簡単な次元解析によって、
ν ∼ vturb `turb
(6.1.48)
と書くことができる。ここで vturb は乱流の速度、`turb は最も大きな乱流のスケールであ
る。乱流の速度が音速を超えてしまった場合、ショックによって乱流は散逸する。そのた
め乱流の速度は
vturb < cs
(6.1.49)
を満たす。また、スケールのスケールが円盤の厚みより大きくなることはなく、
lturb < H
(6.1.50)
が満たされる。以上から、円盤内に存在できる最大の乱流に対する割合をパラメータ α と
すると、乱流粘性による動粘性係数は
ν = αcs H
(6.1.51)
となる。ただし α < 1 である (e.g., Shakura & Sunyaev, 1973)。原始惑星系円盤におけ
る α の典型的な値は磁気流体シミュレーションによって α ∼ 0.001 − 0.01 程度であると
考えられている (e.g., Sano et al., 2004)。
95
図 6.2
Lynden-Bell & Pringle (1974) の面密度進化の式 (6.1.8) の相似解 (Armitage
, 2010)。ν ∝ r で、初期条件は定常降着円盤の面密度分布。横軸は r1 で規格化してあ
り、縦軸は面密度である。線は r/r1 = 0.1 の場所で面密度が高い方から T = 1, 2, 4, 8
の時である。
6.1.4 中心星への粘性降着の様子
中心星への粘性降着の様子を見てみる。先ほど求めた (6.1.8) の厳密解である相似解は、
図 6.2 のようになる (Armitage , 2010)。この時 ν ∝ r で、初期条件は定常降着円盤の面
密度分布。横軸は r1 で規格化してあり、縦軸は面密度である。線は r/r1 = 0.1 の場所で
面密度が高い方から T = 1, 2, 4, 8 の時である。
図 6.2 を見ると、面密度分布は r/r1 . 1 では冪の形をしており、r/r1 & 1 では指数関
数的に現象している。それぞれ r/r1 . 1 を『冪領域』
、r/r1 & 1 を『指数関数的減少領域』
と呼ぶ。実際には、この 2 領域の境界は相似解の典型的な半径 r0 である。Lynden-Bell
& Pringle (1974) では常に圧力勾配力は中心星重力に比べて小さいとしていたが、実際は
指数関数的減少領域で圧力勾配力が大きくなり、相似解からずれることがあることを我々
が示している (Ono et al., 2014)。これが本論文の主題であり、8, 9 章で詳しく議論する。
また、図 6.2 より時間進化についての情報も分かる。内側に冪領域があり、外側に指数
関数的減少領域があることは変わらず、形状は相似的に変化していることが分かる。ま
た、冪領域を見ると時間変化に対して面密度が減少している。一方で指数関数的減少領域
を見るとガスが円盤外側に拡散していくことが分かる。
96
これより、原始惑星系円盤は粘性進化によって、内側領域は中心星に降着し、外側領域
は拡散しながら散逸していくことが分かる。
6.2 中心星からの照射で励起された光蒸発散
原始惑星系円盤表層ガスは紫外線や X 線からエネルギーを受け取り、中心星ポテンシャ
ルから脱出することで散逸する。この散逸仮定を『光蒸発』という。光蒸発を起こすため
の紫外線や X 線の源として最も容易に考えつくのが中心星である。この時、光蒸発は円
盤内部にギャップを開けることが示唆されており、遷移円盤形成過程の有力な候補の一つ
である。この節では中心星光蒸発について概観する。
光蒸発を考慮する上で重要なのは
• 極端紫外線 (EUV):> 13.6 eV
(Clarke et al., 2001; Alexander et al., 2006a,b)
• 遠紫外線 (FUV): < 13.6 eV
(Gorti et al., 2009)
• X 線:
(Owen et al., 2010, 2011, 2012)
である。EUV は水素原子の第一イオン化エネルギーを超えており、水素原子をイオン化
させるため水素原子に吸収されやすい。円盤のガスの大半が水素分子であることを考える
と、円盤は EUV に対して光学的に厚い。そのため、EUV は円盤表層の浅く密度が薄い
領域までしか到達できない。一方で、FUV は EUV よりエネルギーが弱いく水素原子に
よって吸収されず、ダストによって吸収される。円盤は FUV に対して EUV よりは光学
的に薄くなる。そのため、FUV は円盤表層のある程度深く密度が高い領域まで到達でき
る。EUV と FUV、それぞれによる光蒸発は同程度くらいの蒸発率を示すことが Gorti et
al. (2009) によって示唆されている。
また、紫外線は円盤から星への降着によって放射されると考えられている。そのため、
降着がなくなると紫外線フラックスは弱くなり、十分に光蒸発を起こすことができない。
つまり、一度内部にギャップが開くと紫外線が弱くなり、光蒸発率が弱くなるため、ギャッ
プが十分に広がらない。そのために X 線放射による光蒸発過程も考えられている。X 線
は中心星内の磁場活動によって出されるため、中心星への降着がなくなっても X 線は放
射され続ける。さらに、YSO が出す放射線フラックスは主系列星に比べ非常に大きいこ
とが観測的に知られている。しかし、観測されるような X 線で原始惑星系円盤の光蒸発
が優勢的に起こされるかどうかは緒論あり、よく分かっていない。
97
6.2.1 重力半径
本論文では Hollenbach et al (1994); Clarke et al. (2001) で取り扱われた中心星 EUV
による光蒸発過程を取り扱う。ここで、円盤質量は中心星に比べ非常に小さいと仮定して
中心星重力のみを考える。円盤内のガスの軌道半径 r における重力ポテンシャル ψ∗ は
GM∗
≈ 1013
ψ∗ =
r
(
M∗
M
)(
r )−1
cm2 s−2
1 AU
となり、EUV を受けた水素原子の運動エネルギー E は
1
3kB T
≈ 1.25 × 1012
E = c2s.II =
2
2mH
(
T
104 K
)
cm2 s−2
(6.2.1)
(6.2.2)
となる。ここで、cs.II は EUV 光子を受けた水素原子の音速である。
ψ = E となる時、水素原子は中心星の重力を振り切り散逸するための臨界値となって
いる。この臨界値を満たす半径を重力半径 rg と呼び、
rg =
GM∗
c2s.II
(6.2.3)
で与えられる。典型的な値を代入すると rg ∼ 数 − 10 AU となる (Clarke et al., 2001)。
つまり、r > rg の領域は EUV による光蒸発によって散逸することができ、散逸速度は音
速である。
重力半径は Liffman (2003) によってより詳細に考えられている。定常軸対称な断熱円
盤を仮定し、円盤の自己重力も無視して考える。この時の基礎方程式は、
∇ · (ρv) = 0
(6.2.4)
ρ(v · ∇)v = −∇P + ρ∇ψ∗
[ (
)]
1 2
∇ · v P + u + ρv + ρψ∗
=0
2
(6.2.5)
(6.2.6)
となる。ここで、v はガスの速度場、u は内部エネルギー、p は圧力、ρ は密度、ψ∗ は重
力ポテンシャルで、
GM∗
ψ∗ = − √
r2 + z 2
(6.2.7)
と表される。断熱条件より p は、比熱比 γ を用いて
P = (γ − 1)u
(6.2.8)
[ ((
)
)]
γ
1 2
∇· v
P + ρv + ρψ∗
=0
γ−1
2
(6.2.9)
となるので、(6.2.6) 式に代入して、
98
図 6.3
Liffman (2003) で考えられた光蒸発流の概念図。
である。
ϕ 方向の運動は、軸対称を考えているので (6.2.5) 式より
vr
∂vϕ
∂vϕ
vr vϕ
+ vz
+
=0
∂r
∂z
r
(6.2.10)
となる。ここで、vϕ が z 方向に一様だとすると、
vϕ (r) =
L
r
(6.2.11)
である。ここで、比較運動量 L は光蒸発流の根本における円盤半径 r0 を用いて
L≈
√
GM∗ r0
(6.2.12)
と表せる。比角運動量は保存されるので L は定数である。
ここで図 6.3 のような光蒸発流を考える (Liffman, 2003)。z = 0 で r0 の半径から光蒸
発するガス粒子について調べる。ガス粒子は図のように比較運動量を保存しながら z 方向
に上昇しながら散逸していく。このガス粒子が通る線が含まれる軸対称な面 S に関して、
99
(6.2.9) 式からガウスの法則より、
)
)]
∫ [ ((
γ
1 2
v
P + ρv + ρψ∗ v · dS = 0
γ−1
2
S
(6.2.13)
が成り立つ。この時、積分の値に寄与するのは光蒸発流先端と根本だけであり、根本と先
端の動径座標の変化を ∆r とすると、
[ ((
)
)]
γ
1 2
v
P + ρv + ρψ∗ vz r∆r = const
γ−1
2
(6.2.14)
である。ここで z = 0 において dS = dSez と仮定し、vz > 0 とする。同様に、(6.2.4) 式
から
ρvz r∆r = const ≡ N1
(6.2.15)
が得られる。(6.2.14) 式を (6.2.15) 式で割れば、
1 2
v +
2
(
γ
γ−1
)
P
+ ψ∗ = const ≡ E
ρ
(6.2.16)
となる。ここで E は単位質量当たりの熱エネルギー、運動エネルギー、重力エネルギー
の和であり、光蒸発流の流れに沿って保存される。回転速度の式 (6.2.11) より、
2
v =
vp2
L2
+ 2
r
(6.2.17)
となる。ここで、vp は速度のポロイダル成分である (vp2 = vr2 + vz2 )。これを (6.2.16) 式
に代入すると、
1 2
v +
2 p
(
γ
γ−1
)
P
GM∗
L2
−√
+ 2 =E
ρ
2r
r2 + z 2
(6.2.18)
が与えられる。
ここで、vp = 0、z r を仮定しすると
(
E≈
γ
γ−1
)
P
GM∗
−
ρ
2r0
(6.2.19)
となる。この E > 0 であれば光蒸発流は中心星の重力を振りきって散逸することができ
る。よって散逸することが出来る臨界値 E = 0 の時の条件は
(
γ
γ−1
)
P
GM∗
=
ρ
2r0
(6.2.20)
ρkB T
µmH
(6.2.21)
である。理想気体の状態方程式を仮定し、
P =
100
であるので、重力半径は
γ − 1 GM∗ µmH
2γ
kB T0
rg =
(6.2.22)
と与えられる。ここで T0 光蒸発流の根本における円盤ガス温度。典型的な値を代入す
ると、
(
rg ∼ 1.4
M∗
M
)(
T0
104 K
)−1
AU
(6.2.23)
となる。ここで比熱比は水素原子の γ = 5/3 とした。これは、(6.2.3) 式の値より 1 桁小
さくなり、光蒸発による散逸が起こりやすくなっている。これは数値計算の結果と一致す
る (e.g., Woods et al., 1996)。
この重力半径の条件を音速で表すと、
c2s =
γ − 1 GM∗
2
r
(6.2.24)
となる。
6.2.2 中心星光蒸発による蒸発率
光蒸発により散逸するためには r > rg である必要であった。一方で、EUV のフラック
ス FEUV ∝ r −2 であるため、中心星に近い方が多くの水素原子にエネルギーを与えられ
る。以上より光蒸発による散逸率 Σ̇c は、
Σ̇c = 2cs.II n0 mH
(6.2.25)
である。ここで、係数の 2 は円盤の両面を表している。また、光蒸発流の根本の密度 n0
は、
1/2
n0 ≈ 10 (FEUV )
6
( r )−3/2 ( r )−5/2
g
cm−3
1 AU
rg
(6.2.26)
で与えられる (Hollenbach et al, 1994)。この光蒸発率を面密度進化の式 (6.1.8) に
]
[
∂Σ
3 ∂
1/2 ∂
1/2
=
r
(r νΣ) − Σ̇c
∂t
r ∂r
∂r
(6.2.27)
のように組み込むことで、中心星光蒸発を考慮した面密度進化を知ることができる。
Hollenbach et al (1994) では、光蒸発率をモデル仮定し、準解析に光蒸発率を求めてい
た。現在では、円盤の輻射流体シミュレーションを解くことで円盤からの光蒸発率を計算
できる。ただし、輻射のタイムスケールに比べて、円盤の進化のタイムスケールは非常に
101
図 6.4
中心星光蒸発を考慮した面密度進化 (Clarke et al., 2001)。
短く、長時間の時間進化を追うことはできない。そのため、定常円盤において、輻射流体
シュミレーションから光蒸発率を計算し、その光蒸発率を (6.2.27) 式に代入することで中
心星光蒸発を考慮した面密度進化を追う。
図 6.4 に Clarke et al. (2001) によって計算された、中心星光蒸発を考慮した面密度進
化の図を載せる。中心星光蒸発を考慮した面密度進化は以下のようになる。円盤は初期か
ら相似解的粘性進化していくが、r ∼ rg において Σ の大きさが Σ̇c と同程度まで下がる
と、中心星光蒸発の効果が効き始める。まず、rg 近傍のガスが散逸する。r < rg の領域
にあるガスは中心星に降着するが、r > rg から降着してきたガスは rg で散逸してしまう
ので、中心に密度ギャップを開ける。
遷移円盤の円盤内側で光学的に薄い領域は、この中心星光蒸発により形成される密度
ギャップではないかと考えられる。しかし、開ける密度ギャップの大きさが遷移円盤の
102
ギャップに対して小さいことと、遷移円盤から考えられる散逸タイムスケールをが中心星
光蒸発のタイムスケールに比べ短いことから十分に説明できているとは言えない。
中心星光蒸発で考慮する EUV は円盤に対して光学的に厚くなりやすいため、円盤を二
通りの手法で加熱する。1 つは当然、直接 EUV 光子を吸収することによる加熱である。
一方で円盤表面で EUV 光子を吸収した水素原子が吸収再放射することで円盤を温める
ことができる。前者による光蒸発を” 直接光蒸発”、後者を” 間接光蒸発” と言うことに
する。
数値計算によると直接光蒸発と間接光蒸発における光蒸発散逸率は異なり、直接光蒸発
は Alexander et al. (2006a,b) によって、間接光蒸発は Font et al. (2004) によって光蒸
発率が計算されている。それぞれの表式は Alexander & Armitage (2007) によって紹介
されている。より詳細な中心星光蒸発を考慮した面密度分布は散逸のタイムスケールや仕
方は変わるが、大まかな進化の流れは図 6.4 と変わらないことに言及しておく。
6.3 大質量星からの照射のある場合の光蒸発
星の大部分は星団内で形成されることが知られている (Lada & Lada, 2003)。さらに、
オリオン座 Trapezium 星団内では、大質量星放射を浴びてショック面を形成している原
始惑星系円盤が観測されている。
そこで、大質量星からの放射がある時の光蒸発を考える。大質量星から円盤までの距離
d のスケールは sub pc 程度であり、星間空間は密度が薄いとはいえ EUV 光子は光学的
に厚くなってしまい円盤まで届くことができない。そのため、近傍大質量星放射による光
蒸発では、水素原子に吸収されない FUV が重要になる。
6.3.1 大質量星光蒸発の光蒸発率
光蒸発率の表式は Tamura et al. (2011) によって大質量星放射による光蒸発率が求め
られている。散逸ガスの速度は音速に等しく、大質量星放射にによる光蒸発率 Σ̇E は、光
蒸発流根本でのガス数密度 npe (r) を用いて、
Σ̇E = 2cs npe (r)mH
(6.3.1)
と書ける。この式において、散逸するガスの音速は (6.2.24) 式より、
(
cs ≈ 1.3 × 10
6
M∗
M
)1/2 (
103
r )−1/2
cm s−1
1 AU
(6.3.2)
となる。これに相当する温度 T は、
µmH 2
T =
c ≈ 3.6 × 103
γkB s
(
M∗
M
)(
r )−1
K
1 AU
(6.3.3)
である。円盤ガスの内 (6.3.3) 式を超える温度を持つものは、円盤から散逸していく。
残る未知数は光蒸発流の根本の数密度 npe (r) であるが、Tamura et al. (2011) は以下
の方法でこれを求めた。大質量星から円盤までの距離 d は一定とし、円盤は局所熱平衡、
z 方向の静水圧平衡を仮定する。解くべき式は
z 方向の静水圧平衡の式
−
∂P
∂ψ∗
−ρ
=0
∂z
∂z
(6.3.4)
局所熱平衡の式
ΓX + Γpe + Lgr − Λline = 0
(6.3.5)
である。ここで考慮されているガスの加熱・冷却機構は、
• ΓX : 中心星からの X 線加熱
• Γpe : 中心星と、円盤近傍にある大質量星からの紫外線輻射によるダスト表面の光
電加熱
• Λgr : [OI], [CII], CO の回転遷移による放射冷却
• Lgr : ダストとガスの衝突によるエネルギー交換
である。この時、ダストと温度は中心星と大質量星からの照射加熱と粘性加熱に対してダ
ストの熱放射による冷却が釣り合うとして求められている。
計算結果として得られた式は、
[
(
npe = 3.4 log10
GFUV 0
G0
)
]
− 3.6 × 106 cm−3
(6.3.6)
である。GFUV は円盤に届く FUV フラックスであり、
GFUV =
ψ∗,FUV
exp(−nbc σbc d)
4πd2
(6.3.7)
で、大質量星から出る FUV 光子数 ψ∗,FUV = 104 個 s−1 、大質量星と円盤の間のダスト個
数密度 nbc = 4.0 × 103 cm−3 、ダストの FUV に対する吸収断面積 σbc = 1.6 × 10−21 cm2
である。また、G00 は Störzer & Hollenbach (1999) で定義される典型的な EUV フラッ
クスから求めた FUV フラックス
G00 =
ψ∗,EUV
4π1.2 × 107 f d2
104
(6.3.8)
図 6.5
円盤と大質量星の距離変化。
であり、ψ∗,EUV は大質量星から出る EUV 光子数、f は典型的な EUV と FUV の比で
f = 1.6。
また、大質量星を持つ Trapezium 星団内の原始惑星系円盤はおよそ 3 km s−1 で固有運
動していることが知られており (Hillenbrand & Hartmann, 1998)、強い放射源である大
質量星からの距離は変化するために放射も増減する。この時、運動のタイムスケール tp
は
tp ∼
0.1 pc
∼ 3 × 104 yr
−1
3 km s
(6.3.9)
であり、熱平衡のタイムスケール tcool は
3 nKB T
2 Γ (
)(
)
T
n
−3
∼ 3 × 10
yr
102 K
108 g cm−3
tcool ∼
(6.3.10)
となる。tp tcool なので、固有運動中は円盤は常に熱平衡にあるとみなすことができる。
6.3.2 大質量星光蒸発も考慮した面密度進化
中心星光蒸発と大質量星光蒸発の光蒸発率を、面密度進化の式 (6.1.8) に
[
]
3 ∂
∂Σ
1/2 ∂
1/2
=
r
(r νΣ) − Σ̇c − Σ̇E
∂t
r ∂r
∂r
(6.3.11)
のように組み込むことで、中心星光蒸発と大質量星光蒸発を考慮した面密度進化を知るこ
とができる。
105
図 6.6
中心星光蒸発と大質量星光蒸発を考慮した面密度進化。d0 = 0.1 pc, t0 = 6 Myr の場合。
今、円盤が大質量に対て図 6.5 のように移動している時を考える。d0 は大質量星へ
の最接近距離である。また、最接近する時間を t0 とする。図 6.6 はこの時の中心星光
蒸発と大質量星光蒸発を考慮した面密度進化の図である。最接近距離と最接近時間は
d0 = 0.1 pc, t0 = 6 Myr とした。図 6.6 から大質量星光蒸発の面密度進化への影響を考
える。
大質量星が接近すると、円盤外側から効率良く光蒸発していくことが分かる。これは、
大質量星の距離が遠いことから大質量星から受ける FUV フラックスは半径によらず一定
であるのに対し、円盤外側ほど重力ポテンシャルが浅く、散逸しやすいためである。ま
た、大質量星光蒸発を経験したことにより、円盤質量が下がる。その結果、大質量星接近
後すぐに中心星光蒸発が効き始めることも分かった。また、d0 を変化させて計算したと
ころ、d0 = 0.1 pc では大質量星光蒸発の影響があるが、d0 = 0.15 pc では大質量星光蒸
発の影響がほぼないことが分かった。
本章で示したように、長期的な円盤ガス散逸過程を考える際には、中心星からの照射で
励起された光蒸発を考える必要がある。また若い星団内のような、近傍に大質量星が存在
する環境では、大質量星からの照射による光蒸発が円盤ガス進化に影響を及ぼす場合があ
る。ただし８章では、簡単のため、光蒸発が円盤ガス進化に及ぼす影響は考慮せず、乱流
106
粘性による角運動量輸送のみにより円盤ガス面密度分布が決まる場合の流体不安定性につ
いて考える。将来的には、光蒸発および流体不安定性を考慮した円盤ガス進化を調べる必
要がある
107
第7章
原始惑星系円盤内における固体成分
の動径移動
現在発見されている系外惑星の中には短周期惑星が多い。それらは惑星系論から考える
と、短周期の巨大惑星に関してはその場で作られたとは考えにくく、円盤外側領域で形成
された後に円盤内側まで移動してきたのであろうとかんがえるのが自然である。原始惑星
系円盤内の固体物質はガスとの相互作用や、固体同士の重力相互作用によって円盤内 r 方
向に移動する。この章では原始惑星系円盤内における固体成分の r 方向移動に関して取り
扱う。
この章は 7.1 節はダスト落下、7.2 節は I 型惑星移動、7.3 節は II 型惑星移動、7.4 節は
スリング・ショットについて説明する。ここでは Armitage (2010) と武藤恭之氏の修士
論文を参考にする。
7.1 ダスト落下
4.5.1 節で述べたように原始惑星系円盤内のガスは圧力勾配力によって Kepler 回転に
くらべ遅い回転になっている。圧力勾配が Π ∝ R−n のように半径の冪で表される時、ガ
スの回転速度分布はケプラー回転速度 vK =
√
GM∗ /R を用いて、
vϕ = vK (1 − η)1/2
(7.1.1)
c2s
2
vK
(7.1.2)
η≡n
108
のようになる。ダストがガスから受ける摩擦のタイムスケール tfric を用いると、ダストの
運動方程式は
2
vϕ.d
∂vr.d
1
=
− Ω2K r −
(vr.d − vr )
∂t
r
tfric
∂(rvϕ.d )
r
=
(vϕ.d − vϕ )
∂t
tfric
(7.1.3)
(7.1.4)
となる。ここで、ダストの比角運動量は Kepler の時と同じと近似でき、
1
∂
∂
(rvϕ.d ) ' vr.d (rvK ) = vr.d vK
∂t
∂r
2
(7.1.5)
となるので、(7.1.4) 式に代入すると、
vϕ.d − vϕ ' −
1 tfric vr.d vK
2
r
(7.1.6)
と表せる。これを (7.1.3) 式に代入すると、
2
∂vr.d
vK
2vK
1
= −ηvK
+
(vϕ.d − vϕ ) −
(vr.d − vr )
∂t
r
r
tfric
(7.1.7)
のようになる。ここで、終端速度を求める為に (7.1.7) 式の時間微分項を無視すると、
vr.d =
(r/vK )t−1
fric vr − ηvK
(vK /r)tfric + (r/vK )t−1
fric
(7.1.8)
となる。ここで、無次元ストッピングタイム τstop ≡ tfric ΩK を用いると、
vr.d =
−1
τstop
vr − ηvK
−1
τstop + τstop
(7.1.9)
となる。
ダストが十分小さく、ガスと非常にカップルする時 (τstop 1)、
vr.d ' vr − ητstop vK
(7.1.10)
となり、τstop にダストの動径速度は比例する。一方で、ダストが非常に大きく、ガスから
の抵抗が無視できる時 (τstop 1)、
vr.d ' −η
vK
τstop
(7.1.11)
より、τstop にダストの動径速度は反比例する。(7.1.9) 式を横軸 τstop 、縦軸ダストの動径
速度に取ったものが図 7.1 である。ダストの動径速度が最大となるのは τstop ∼ 1 の時で
109
図 7.1
τstop とダストの r 方向移動速度の関係 (Armitage , 2010)。
あり、その時のダスト動径速度は、
1
vr.d:peak ' − ηvK
2
(7.1.12)
となる。
ダストにかかるガス抵抗が Epstein 則の時、τstop ∼ 1 に対応するダストサイズを求め
ると、
s(τstop = 1) =
ρcs
ρd ΩK
(7.1.13)
となり、典型的な原始惑星系円盤の値を入れると s(τstop = 1) = 10 cm − 数 m となる。
各半径におけるダストがガス抵抗によって中心星まで落ちるまでにかかるタイムスケール
tdrift ≡ r/|vr.d:peak | を表したものが図 7.2 である。微惑星形成にかかるタイムスケールは
ダスト落下のタイムスケールに比べ長く、s(τstop ) まで成長するとすぐに中心星に落下し
てしまうと考えられ、微惑星を形成することができない。この問題が『ダスト落下問題』
であり、現在考えられている解決案に関しては 5.1.4 節に記述した。
(7.1.12) 式より、ダストの動径速度は圧力分布の勾配の正負に敏感であることがわか
る。圧力勾配が負であればダストは内側方向へ移動し、圧力勾配が正であればダストは外
側方向に移動する。これより、圧力分布に極大値 (圧力バンプ) があれば、バンプ内でダ
スト密度は増加する。逆に、圧力分布に極小値 (圧力ギャップ) があれば、ギャップ内で
110
図 7.2
τstop とダストの r 方向移動速度の関係 (Armitage , 2010)。
はダスト密度は減少する。このような現象は MRI デッド・ゾーンと MRI 活動領域の境
界、惑星近傍、円盤内縁などで重要になると考えられる。
7.2 I 型惑星移動
惑星の動径方向の移動のうち、惑星質量が円盤ガス質量に比べて十分に小さい時
(Mp /Mdisk ∼ 10−5 )、惑星の周囲に密度ギャップができない場合を『I 型惑星移動』と呼
ぶ。I 型惑星移動を取り扱う方法は Lin&Papaloizou (1979) によるインパルス近似を行う
手法と、Goldreich & Tremaine (1979, 1980) による密度波理論を用いる手法がある。
7.2.1 Lin&Papaloizou (1979) の表式
始めに Lin&Papaloizou (1979) でのインパルス近似による I 型惑星移動の取り扱いを
紹介する。インパルス近似とは多重散乱理論において惑星が持つエネルギーがガス粒子に
比べて十分大きく、相互作用する時間が非常に短いので、惑星とガス粒子が１回だけ相互
作用し、他のガス粒子の影響を受けないとする近似のことである。惑星とともに移動する
系を考える。惑星と相対速度 ∆v 、衝突パラメータ b のガス粒子の二体散乱の理論から、
111
ガス粒子の進行方向に垂直な速度変化 δv⊥ は
|δv⊥ | =
2GMp
b∆v
(7.2.1)
となる。2 体散乱ではエネルギーは保存するので、
∆v 2 = |δv⊥ |2 + (∆v − δvk )2
(7.2.2)
より、
1
δvk '
2∆v
(
2GMp
b∆v
)2
(7.2.3)
となる。惑星の軌道長半径 a とすると、一回の二体散乱でガス粒子の単位質量辺りの角運
動量変化 |∆j| は、
|∆j| = |δk a|
2G2 M 2 a p = 2 3 b ∆v となる。Kepler 回転速度 vK =
(7.2.4)
√
GM∗ /a を考えると、惑星軌道内側のガス粒子は惑星よ
り回転回転が速く、二体散乱によってガス粒子が受けるトルクは負であり、惑星に与える
トルクは正となる。この結果、ガス粒子は内側へ移動し、惑星は外側へ移動する。一方、
惑星軌道外側のガス粒子は惑星より回転速度が遅く、二体散乱によってガス粒子が受ける
トルクは正であり、惑星に与えるトルクは負となる。その結果、ガス粒子は内側へ移動
し、惑星は外側へ移動する。今考えている座標系では惑星周りの局所座標系であり、曲率
の効果は無視している。そのため、惑星が軌道内側ガス粒子から受ける正のトルクと、軌
道外側ガス粒子から受ける負のトルクは等しくなり、惑星は移動しない。実際は、曲率の
効果を考えると典型的な原始惑星系円盤では軌道外側ガス粒子から受けるトルクの絶対値
は軌道内側ガス粒子から受けるトルクの絶対値に比べ大きくなり、その結果惑星は内側移
動する。今回は簡単のために、インパルス近似では外側軌道のガス粒子から惑星が受ける
トルクのみを考える。惑星移動のタイムスケールは内側と外側のガス粒子からうけるトル
クの差であるので求まらないが、依存性は得られる。惑星移動のタイムスケールは密度波
理論を用いる手法で導出する。
惑星から衝突パラメータ b と b + db の間に存在するガス粒子質量 dm は
dm ' 2πaΣdb
(7.2.5)
となる。ここでガス面密度 Σ は一定であるとする。ガス粒子が惑星と一回二体散乱して
から次に二体散乱するまでの時間 ∆t は惑星角速度 Ωp を用いて、
∆t =
2π
|Ω − Ωp |
112
(7.2.6)
となる。ここで、b a とすると、|Ω − Ωp | は近似的に
|Ω − Ωp | '
3Ωp
b
2a
(7.2.7)
となる。これより、外側軌道のガス粒子が惑星に与えるトルク dJ/dt は、
dJ
=−
dt
∫
∞
bmin
2
8G2 Mp2 aΣ db
9Ω2p
b4
8 G Mp2 aΣ
=−
27 Ω2p b3min
(7.2.8)
となる。ここで計算の発散を避けるために最小衝突パラメータ bmin を導入した。bmin ∼
H 、とすると、惑星が受けるトルク Γ の依存性は、
(
)2 ( )−3
Mp
H
Γ∝
Σa4 Ω2K
M
a
(7.2.9)
となる。
7.2.2 Goldreich & Tremaine (1979, 1980) の表式
次に Goldreich & Tremaine (1979, 1980) で密度波理論を用いて求められた、惑星にか
かるトルクの公式を導く。彼らは円盤の自己重力まで考慮されているが、Meyer-Vernet
& Sicardy (1987) によって粘性や自己重力を考慮してもトルクの公式に影響がないこと
が確かめられているために、今回は自己重力を無視した理想流体を取り扱う。中心星を中
心とした円筒座標系において、
連続の式
∂Σ
+ ∇ · (Σv) = 0
∂t
(7.2.10)
∂v
+ v · ∇v = −∇Φ − ∇ψ + Fext
∂t
(7.2.11)
運動方程式
である。ここで、v は円盤ガスの速度場、Φ はエンタルピー、ψ 重力ポテンシャル、Fext
は中心星重力などの外部の力とする。非摂動状態として、惑星がない軸対称定常で角速度
Ω(r) の回転円盤を考える。物理量 A → A0 + A1 のように非摂動量と摂動量に分け、1 次
の摂動まで展開する。このとき摂動方程式は
∂Σ1
+ ∇ · (Σ0 v1 ) + ∇ · (Σ0 v0 ) = 0
∂t
∂v1
+ (v0 · ∇)v1 + (v1 · ∇)v0 = −∇(Φ1 + ψ)
∂t
113
(7.2.12)
(7.2.13)
となる。ここで、状態方程式は簡単のため、
Φ1 = c2s
Σ1
Σ0
(7.2.14)
とする。非摂動状態が軸対称定常なので、摂動量 A1 = A1 (R) exp[−i(ωt − mϕ)] のよう
な依存性を持つと仮定する。今回取り扱う現象は惑星の公転周期に比べタイムスケールが
十分長いので、惑星ポテンシャルは惑星の角速度で回転していると仮定し ω = mΩp とす
る。このとき、運動方程式の摂動方程式は
d
(ψ + Φ1 )
dr
r dΩ
im
2(Ω +
)vr1 + i(mΩ − ω)vϕ1 = − (ψ + Φ1 )
2 dr
r
i(mΩ − ω)vr1 − 2Ωvϕ1 = −
(7.2.15)
(7.2.16)
となる。(7.2.15)-(7.2.16) 式を解くと、
[
]
i
2mΩ
d
vr1 = −
(mΩ − ω) +
(ψ + Φ1 )
D
dr
r
[
]
1
r dΩ d
m
vϕ1 =
2(Ω +
) + (mΩ − ω) (ψ + Φ1 )
D
2 dr dr
r
(7.2.17)
(7.2.18)
となる。ここで、D は
D ≡ κ2 − (mΩ − ω)2
(7.2.19)
r dΩ
)Ω
2 dr
(7.2.20)
κ2 = 4(Ω +
である。ここで κ は epicyclic 振動数である。(7.2.17)-(7.2.18) 式を (7.2.12) 式に代入す
ると、密度ゆらぎ (エンタルピー摂動)Φ1 に関する摂動方程式が得られる。
[
d2
+
dr2
(
))
rΣ
d
D
dr
(
(
))
]
2mΩ
d
ΩΣ
m2
D
+
ln
− 2 (ψ + Φ1 ) = 2 Φ1
r(mΩ − ω) dr
D
r
cs
d
ln
dr
(
(7.2.21)
また、惑星によって円盤ガスにかけられるトルクの z 成分 Γ は、
∫
Γ=−
∫
∞
2π
dϕ Σ1 (r, ϕ) (r × ∇ψ(r)) · ez
r dr
−∞
(7.2.22)
0
となる。ここで、Φ1 = Φ( r) exp[i(ωt − mϕ)] を代入すると、
∫
Γ = −πm
∞
−∞
dr rψ Im(Σ1 )
となり、密度揺らぎがわかれば Γ が計算できる。
114
(7.2.23)
(7.2.21) 式は D(rL ) = 0 となる点 r = rL と、ω = mΩ(rc ) となる点 r = rc を特異点と
して持つ。前者を Lindblad 共鳴、後者を共回転共鳴と呼ばれる。各 m に対して、共回転
共鳴が 1 つ存在し、その内側と外側に 1 つずつ Lindblad 共鳴が存在する。理由は後述す
るが、これらの点はトルクを計算する上で重要となる。
7.2.3 Lindblad 共鳴におけるトルク
まず Lindblad 共鳴近傍で円盤にかかるトルクを計算する。簡単のため、共回転点のま
あわりで局所近似 (d/dr, m/r 1/r) を行う。これは摂動量に比べて非摂動料の変化を
無視する近似である。ただし、差動回転の効果だけは残す。つまり、dΩ/dr は無視しな
い。インパルス近似と同様に局所近似を行うと曲率の効果が無視され、惑星の内側と外側
が完全に対称になる。この時、惑星が円盤内側から受けるトルクと外側からうけるトルク
は打ち消し合い、惑星移動は起こらない。曲率の効果を取り入れる方法は後述する。
さらなる簡単化のために WKB 近似
d
m
dr
r
(7.2.24)
cs
1
rΩ
(7.2.25)
と、円盤が幾何学的に薄い近似
を仮定する。ここで、WKB 近似が適用できるためには d/dr ∼ 1/H より、
m
cs
1
rΩ
(7.2.26)
でなければならない。
Lindblad 共鳴 D(rL ) = 0 付近を調べるため、方程式を rL の周りで展開する。動径座
標を x = (r − rL )/rL にとり、1 次まで展開すると、(7.2.17)-(7.2.18) 式は
[
]
iκ
dΦ1
vr1 = −
Ψ+
|D|rL x
dx
κ
vϕ1 = i sgn(D) vr1
2Ω
(7.2.27)
(7.2.28)
となる。ここで、
(
)
dD
D≡ r
dr r=rL
]
[
2mΩ
dψ
−
ψ
Ψ= r
dr
ω − mΩ r=rL
115
(7.2.29)
(7.2.30)
である。また、連続の式 (7.2.12) 式は、
Σ1 =
mΣ
Σ
d
vϕ1 − i
vr1
r(ω − mΩ)
ω − mΩ dr
(7.2.31)
であるため、トルク ΓL は、
Σ
ΓL = πm sgn(D) rL Ψ
κ
∫
∞
κ
dx
Im
|D|rL x
−∞
(
dΦ1
dx
)
(7.2.32)
となる。これより、Φ1 を求めることでトルクが求まる。
この時、(7.2.21) 式を Lindblad 共鳴周りで展開すると
[
d2
1 d
−
+
2
dx
x dx
(
2mΩ
ω − mΩ
)
rL
]
2
1
Dr
Ψ
− m2 − 2L x Φ1 =
x
cs
x
(7.2.33)
となる。ここで WKB 近似、円盤が幾何学的に薄い近似を行う。ただし、D ∼ 0 である
ため、(7.2.21) 式の左辺第 2 項、3 項は安易に無視することができない。しかし、左辺第
1 項に比べ第 4 項、第 2 項に比べ第 3 項は無視できるほど小さいため、
[ 2
]
d
1
1
− − βx Φ1 = Ψ
2
dx
x
x
(7.2.34)
のようになる。ここで、
β≡D
rL2
c2s
(7.2.35)
である。ただし
sgn(β) = ±1
(7.2.36)
となり、正の時が内側の Lindblad 共鳴、負の時が外側の Lindblad 共鳴に対応する。
(7.2.34) 式を解くことで Φ1 を求めることが出来る。この時境界条件は Lindblad 共鳴か
ら惑星側は波の減衰領域であり、逆側は波の伝播領域である。この境界条件を満たす解は
Φ1 = π sgn(β)
Ψ
[Gi0 (z) ∓ iAi0 (z)]
1/3
|β|
(7.2.37)
となる。ここで、z は
x = ±|β|−1/3 z
(7.2.38)
である。Ai(z) は Airy 函数であり、微分方程式
d2
Ai(z) − zAi(z) = 0
dz 2
116
(7.2.39)
を満たす。また、Gi(z) は微分方程式
d2
1
Gi(z)
−
zGi(z)
=
−
dz 2
π
(7.2.40)
を満たす。この時、トルクの表式は
ΓL = −π 2 Σm
1 2
Ψ
D
(7.2.41)
となる。これが Goldreich & Tremaine (1979) によって導かれた Lindblad 共鳴における
トルクの公式である。
7.2.4 共回転共鳴におけるトルク
次に、共回転共鳴付近を調べるため、rc の周りで展開する。動径座標 x = (r − rc )/rc に
とり、1 次まで展開する。Lindblad 共鳴の場合と同様に WKEB 近似によって d2 /dx2 d/dx とすることで、(7.2.21) 式は
[ 2
]
d
p
p
2
+
−
q
Φ
=
−
ψ(rc )
1
dx2
x
x
(7.2.42)
となる。ここで
[
2Ω d ΣΩ
p≡
ln
dΩ/dr dr
D
( )
κr
q≡
cs r=rc
]
(7.2.43)
r=rc
(7.2.44)
と定義する。オーダー評価すると p ∼ m q ∼ rΩ/cs であり、q −1 x 1 の範囲を
考える時、(7.2.42) 式の左辺第 2 項は第 3 項に比べ無視できる。共回転点周辺は波の減衰
領域なので、共回転点の両側で Φ1 → 0 となる境界条件を課して (7.2.42) 式を解けば
[
]
∫ ∞
∫ x
p
dt q t
dt qt
qx
−qt
Φ1 =
ψ(rc ) e
e +e
e
2q
t + i
x
−∞ t + i
(7.2.45)
となる。ここで、 は t = 0 での発散を回避するために導入した正の定数である。この 導入の妥当性は粘性を考慮することで説明できる。粘性があると、振動を減衰させる項が
振動数の虚部に入るため、ω → ω + iγ のようになる (γ > 0)。ω − mΩ(r) を共回転点周
りで展開すると定数 A を用いて、
ω − mΩ(r) ∼ +2mAx
(7.2.46)
となる。通常の円盤では A > 0 なので、粘性を考慮した時 x に正の虚部が入る。それを
と考えれば良い。
117
積分指数関数の漸近公式
∫
∞
x
et
ex
dt ∼
t
x
(7.2.47)
より、(7.2.45) 式を qx 1 の仮定を利用して
Φ1 =
p
q2 x
ψ(rc ) − iπ
p −|qx|
e
2q
(7.2.48)
となる。したがって、
In(Φ1 ) = −π
p −|qx|
e
2q
(7.2.49)
であるので、共回転点にかかるトルクの公式は (7.2.23) 式より
[
]
ψ2 d Σ
π2 m
Γc =
2
dΩ/dr dr B rc
B ≡Ω+
r dΩ
2 dr
(7.2.50)
(7.2.51)
となる。
Lindblad 共鳴にかかるトルク ΓL と共回転共鳴にかかるトルク Γc のオーダーを比べ
ると、
ΓL
∼ m2
Γc
(7.2.52)
となり、m 1 のモードでは Lindblad 共鳴にかかるトルクの方が強い。これは Ko-
rycansky& Pollack (1993) の数値計算で確認されている。全ての m のモードについて足
し上げた時、Lindblad 共鳴だけで求めたトルクは共回転共鳴だけで求めたトルクに比べ
2 倍程度大きくなる。そのため、惑星移動の時間スケールを見積もるためには、Lindblad
共鳴にかかるトルクだけを計算すれば良い。
共回転共鳴にかかるトルク公式 (7.2.50) は ψ 2 への依存性を示しているが、Korycan-
sky& Pollack (1993) の数値計算ではそのような依存性は見られない。これは、実際は音
速の効果が入るためである。Tanaka et al. (2002) ではこれを考慮し、(7.2.21) 式を共回
転周りで
p
d2
(ψ + Φ1 ) + (ψ + Φ1 ) = 0
2
dx
x
(7.2.53)
と近似し、共回転共鳴におけるトルク公式を
[
(
)]
π 2 m |Φ1 + ψ|2 d Σ
Γc =
2
dΩ/dr
dr B
(7.2.54)
と修正している。これは Korycansky& Pollack (1993) の数値計算とよく一致する。
118
7.2.5 円盤上の波の伝播と角運動量フラックス
円盤上でどのようにしてトルクがかかるかについて理解する。まず、Lindblad 共鳴の
理解のために円盤上での波の伝播について調べる。WKB 近似と幾何学的に薄い円盤を仮
定し、惑星も存在しない時、(7.2.21) 式は共鳴点以外では、
[
]
d2
D
− 2 Φ1 = 0
dr2
cs
(7.2.55)
となる。これは、Schrödinger 方程式型の方程式なので、左辺第二項はポテンシャルに対
応する。その為、D < 0 では振動型の解を持つ領域であり、D > 0 では指数関数的に減
衰する解を持つ領域である。言い換えれば、D = 0 は転移点となっており、D < 0 は波
が伝播する領域で、D > 0 は波が伝播しない領域である。このことから、Lindblad 共鳴
間の領域では波が伝搬せず、Lindblad 共鳴外側では波が伝搬できる。
回転円盤内の波の伝播は、leading の波と trailing の波が存在する。波が外側へ進行す
る時、円盤回転と逆方向に波が曲がるのが trailing であり、円盤回転方向に波が曲がるの
が leading である。Kepler 回転を考えると円盤外側ほど回転速度が遅いため、円盤内で
発生する波は trailing 波となる。trailing 波が Lindblad 共鳴点や、円盤の内側や外側境
界で反射した時に leading 波が発生する。
WKB 近似が適用できる範囲を示した (7.2.26) より、m が大きくなると WKB 近似が
破れることが分かる。また、転移点では波長が長くなり、WKB 近似が適用できない。さ
らに、(7.2.21) 式より波の式に発散項が入ると d2 /dr2 の項が小さくなってしまうので、
WKB 近似が適用できない。つまり、m 1 の時、Lindblad 共鳴、共回転共鳴では WKB
近似が破綻する。
Lindblad 共鳴で波が反射する時を考える。古典的粒子の描像では Lindblad 共鳴間の
波が伝播しない領域には立ち入ることが出来ないので、Lindblad 共鳴で完全反射する。
量子力学的にはトンネル効果によって、この領域を指数関数的に波が減衰しながら伝播す
る。m が大きいほどポテンシャル壁は低くなり、トンネル効果の影響が大きくなる。
円盤内で励起された波は角運動量を運ぶ。ガス粒子の移流によって円盤内の半径 r にあ
る幅 dr の円環を単位時間当たりに抜ける z 方向の角運動量フラックス FA は、
∫
2π
2
dϕ Re(vr (t, r, ϕ)) Re(vϕ (t, r, ϕ))
FA = r Σ
(7.2.56)
0
のように計算される。(7.2.17)-(7.2.18) 式を代入すると、
[
]
πmrΣ
d
d
FA =
Im(Φ1 )Re (ψ + Φ1 ) − Re(ψ + Φ1 ) Im (Φ1 )
D
dr
dr
119
(7.2.57)
となる。
WKB 近似が成立する時、波長は十分短波長であるために Φ1 の正負が狭い場所で激し
く変化し、円盤の各半径で波に与えられるトルクの正負も激しく振動する。その結果、波
に与えられる角運動量の合計は差し引き 0 となる。そのため、円盤に与えるトルクを考え
る時、WKB 近似が成立しない Lindblad 共鳴と共回転共鳴が重要になる。
Lindblad 共鳴で励起された波による角運動量輸送を考える。外側の Lindblad 共鳴に
ついて考えると、Lindblad 共鳴は転移点なのでここで励起された波は外側に伝播する。
円盤がケプラー回転することを考えると、この波は正の角運動量を持つ。この波が円盤
中を進む過程で粘性や衝撃波によって散逸され、波が持つ角運動量は円盤に受け渡され
る。この角運動量は惑星から来たものであり、惑星はその反作用である負のトルクを受け
る。逆に内側の Lindblad 共鳴で励起される波は内側に負の角運動量を持って伝播し、散
逸する。その結果惑星はその反作用である正のトルクを受け取る。惑星が受ける全体の
トルクは、この 2 つのトルクの差し引きによってきまる。Lindblad 共鳴で励起された波
がどの程度角運動量を運ぶか調べる。Lindblad 共鳴近傍での密度揺らぎの式 (7.2.37) を
(7.2.57) 式に代入すると、
(
[
)
πmΣ 2 Ψ2
1
0
0
FA =
π
Ai(z) + z(Gi (z)Ai(z)) − Ai Gi(z)
D
|β|1/3 π
(
)]
dψ 0
+ π sgn(β)Ψ zψAi(z) −
Ai (z)
dx
(7.2.58)
となる。Lindblad 共形近傍では D ∼ Dx である。惑星の重力ポテンシャルは十分遠方で
消えることに注意して、惑星から遠ざかる極限 z → −∞ で残る項を調べる。Airy 函数は
z → −∞ の時、
0
Ai (z) ∼ −
1
π 1/2
(
|z|
1/4
cos
2 3/2 π
|z| +
3
4
)
(7.2.59)
となり、
Gi0 (z)Ai(z) − Ai0 (z)Gi(z) ∼
1
π
(7.2.60)
であることに注意すると、
FA ∼
π 2 mΣ 2
Ψ
|D|
(7.2.61)
となる。これは (7.2.41) 式と一致しており、Lindblad 共鳴にかかったトルクが円盤状を
伝わる波に受け渡され、惑星から離れた点まで運ばれることを示している。符号について
も、惑星の外側で正の角運動量が運ばれ、惑星の内側では負の角運動量が運ばれるので上
の議論と一致している。
120
共回転共鳴での描像は若干複雑である。共回転共鳴で起こっていることを理解するため
に共回転共鳴で励起される波の角運動量フラックスを計算する。共回転共鳴近傍での密度
揺らぎの式 (7.2.45) を (7.2.57) 式に代入 cs /rΩ の最低次をとると、
π2 m 1
FA ∼ −sgn(x)
4 dΩ/dr
(
d Σ
dr B
)
ψ 2 (rc )e−|qx|
(7.2.62)
となる。これより、|x| → ∞ では、FA → 0 となる。これは、共回転共鳴近傍は波が伝
播出来ない領域であることと対応している。ここで共回転点でのフラックスの流れを考え
ると、
π2 m 1
FA (−0) − FA (+0) =
2 dΩ/dr
(
d Σ
dr B
)
ψ2
(7.2.63)
となり、共回転点で角運動量フラックスが不連続となる。この角運動量フラックスの不連
続性はガスを粒子的に扱うと理解できる。惑星周りの horseshoe 軌道上のガス粒子を考え
ると、ガス粒子は horseshoe 軌道の惑星より内側から外側へ遷移する際に正の角運動量を
惑星から受ける。一方で、ガス粒子は horseshoe 軌道の惑星より外側から内側へ遷移する
際には負の角運動量を受け取る。つまり、horseshoe 軌道の内側から外側へ遷移する場所
で惑星は負のトルクを、外側から内側へ遷移する場所で惑星は正のトルクを受ける。この
時、それぞれの遷移するガス粒子数に非対称性があれば惑星に正味のトルクがかかる。こ
れが共回転共鳴でトルクがかかる原因である。しかし、horseshoe 軌道は閉じた軌道であ
るために、長時間平均すると horseshoe 軌道の内側と外側の非対称性はなくなり、共回転
共鳴での惑星にかかるトルクは 0 になり、これは共回転共鳴の飽和と呼ばれる。粘性があ
る時、horseshoe 軌道は閉じず、非対称性が維持されるので共回転点にトルクがかかり続
ける。horseshoe 軌道に関しては Appendix A で簡単に取り扱う。
7.2.6 高い m のモードの取り扱い
Lindblad 共鳴は D = Ω2 − (ω − mΩ) = 0 となる場所であり、惑星の角速度 ω = mΩp
であるので、Lindblad 共鳴では
Ωp =
m∓1
ΩL
m
(7.2.64)
が成立する。ここで、添字 L は Lindblad 共鳴での値を表し、複合は − が惑星の内側
の Lindblad 共鳴、+ が惑星の外側の Lindblad 共鳴に対応する。WKB 近似の適用範囲
(1 m rΩ/cs ) では、Lindblad 共鳴が波の転移点となっていた。高い m の場合、ト
ルクが小さくなることが Artymowicz (1993) によって示された。任意の m について、
波の転移点は Lindblad 共鳴の位置 rL からずれる。この時、転移点の位置を実効的な
121
Lindblad 共鳴 rp.eff として、
|rp.eff
√
1 + ξ2
ξ
cs
ξ≡m
rL ΩL
2
− rp | = H
3
(7.2.65)
(7.2.66)
となる (Artymowicz, 1993)。ここで H はスケールハイトである。これより、実効的な
Lindblad 共鳴は Lindblad 共鳴に比べ、共回転点より遠い位置にあることが分かる。これ
は、与えられる惑星からの振動数は一定にかかわらず、m が高いモードでは ϕ 方向に波
が伝わりやすくなり、その結果動径方向に波を伝えにくくなるためである。これにより、
より大きな振動数を与えられる共回転点から離れた場所に転移点が移る。音波の分散関係
式を動径方向の波数 kr を用いると、
ω 2 = c2s (kr2 +
m2
)
r2
(7.2.67)
となり、このことから ξ → ∞ における Lindblad 共鳴の位置は
|ω − mΩ| = cs
m
r
(7.2.68)
となる。
Goldreich & Tremaine (1979) での解析は ξ → 0 の極限に対応し、
|rp.eff − rp | →
2
3m
(7.2.69)
2
H
3
(7.2.70)
となる。また、高い m の極限 ξ → ∞ では,
|rp.eff − rp | →
となる。図 7.3 に実効的な Lindblad 共鳴と Lindblad 共鳴の位置関係のを示した。
低い m の時、(7.2.41) 式よりトルクは m に比例して大きくなる。一方で、高い m の時
を考える。実効的な Lindblad 共鳴を考えることで、m が高いほど Lindblad 共鳴より遠
くなる。また、惑星の重力ポテンシャルは惑星から等距離の場所で m が高くなるほど小
さくなる。これらの効果によって、高い m の時は惑星から与えられるトルクは m が増え
るほど小さくなる。これより、トルクの値は m の値によって変化し、最も寄与が大きい
のは m ∼ r/H 程度のモードとなる。
7.2.7 Lindblad 共鳴にかかるトルクの差分
局所近似した時のトルクの公式 (7.2.41) は局所近似したために、惑星の内側の Lindblad
共鳴と外側の Lindblad 共鳴にかかるトルクが等しくなっている。実際には Lindblad 共
122
図 7.3
各 m のモードに対する Lindblad 共鳴の位置 (Artymowicz, 1993)。
鳴にかかるトルクには惑星の内側と外側で非対称性が存在しており、惑星にかかる正味の
トルクは 0 にならない。この非対称性には 3 つの原因がある。
第 1 の原因は、Lindblad 共鳴の位置の非対称性である。ケプラー回転の時、κ = Ω と
なるので、
Ω(rL ) =
m
Ωp
m∓1
(7.2.71)
が Lindblad 共鳴の位置である。この時、複合 − が惑星内側の Lindblad 共鳴、+ が惑星
外側の Lindblad 共鳴である。同じ m を考えた時、惑星の外側の Lindblad 共鳴は内側の
123
Lindblad 共鳴に比べて常に惑星に近い位置にある。
第 2 の原因は、D の大きさの非対称性である。Kepler 回転円盤の場合の D を計算す
ると、
dD = 3Ωp 1
|D| = r
dr m∓1
(7.2.72)
となる。これより、D は惑星の内側の Lindblad 共鳴の時のほうが、外側の Lindblad 共
鳴の場合より大きくなる。
第 3 に、惑星ポテンシャル Ψ の値が非対称になることである。これは Ward (1997) に
よって計算されており、図 7.4 に表す。この図 7.4 は横軸が規格化された半径、縦軸が Ψ
のグラフである。
これら 3 つの効果は、全て惑星の外側トルクを強くする効果であり、その結果惑星は内
側移動する。
さらに、非摂動状態の影響として、圧力バッファと呼ばれる効果がある。(7.2.41) 式
より面密度が大きい方がトルクが強くなり、一般的に円盤内側の方が面密度が大きくな
るので、惑星内側の Lindblad トルクが大きくなると考えられる。しかし、実際は圧力勾
配の効果によって回転速度が Kepler 回転からずれ、外側、内側両方の Lindblad 共鳴が
円盤内側へずれる。これにより、惑星外側 Lindblad 共鳴のトルクは強められ、惑星内側
Lindblad 共鳴のトルクは弱められる。この効果を『圧力バッファ』と呼び、結果的に外
側 Lindblad 共鳴のトルクがより強くなる。図 7.5 は圧力バッファの効果を表す。
内側と外側の Lindblad 共鳴にかかるトルクの差がどの程度になるのかを簡単に計算す
る。ここでは、Ward (1986) で行われたように、内側と外側の Lindblad 共鳴の位置のず
れの効果のみを考慮する。各モードで Lindblad 共鳴にかかるトルクの公式は Goldreich
& Tremaine (1979) で求められた (7.2.41) 式を用いる。Kepler 回転円盤を仮定すると、
Lindblad 共鳴の位置は、
rL
γ≡
=
rp
(
)2/3
1
1∓
m
(7.2.73)
となる。以後、内側 Lindblad 共鳴の値に関しては −、外側 Lindblad 共鳴の値に関して
は’+ といった添字をつけて表す。ある m のモードに関して、内側と外側の Lindblad 共
鳴を合わせた時惑星にかかる合計のトルク Γm は、
[
Γm
Ψ2
Ψ2−
+ +
= mπ Σ
D−
D+
2
]
(7.2.74)
となる。ここで、
D=±
3m2 2
Ω
m∓1 p
124
(7.2.75)
図 7.4 Ψ と惑星からの距離の絶対値の関係を表すグラフ (Ward, 1997)。P si が大き
い方がトルクが大きいことを意味しており、外側トルクの方が内側トルクより強いこと
が分かる。さらに、共鳴の位置も内側の方が惑星から遠いため内側トルクが外側トルク
に比べ弱くなる。
より、
Γm
[
]
π2 Σ
1 2
2
2
2
=
(Ψ− − Ψ+ ) − (Ψ− + Ψ+ )
3Ω2p
m
(7.2.76)
とかける。ここで重力ポテンシャル ψ は Laplace 係数を用いて、
ψ=−
GMp m
b
rp 1/2
(7.2.77)
とかける。ただし、Laplace 係数は
∫
bm
1/2 (γ)
≡ f rac2π
0
π
cos m ϕ dϕ
[1 − 2γ cos ϕ + γ 2 ]
125
(7.2.78)
図 7.5
Ψ と惑星からの距離の絶対値の関係を表すグラフ (Artymowicz, 1993)。P si
が大きい方がトルクが大きいことを意味しており、外側トルクの方が内側トルクより強
いことが分かる。さらに、共鳴の位置も内側の方が惑星から遠いため内側トルクが外側
トルクに比べ弱くなる。
126
である。ここで、
−1 m
bm
b1/2 (γ −1 )
1/2 (γ) = γ
γ
(7.2.79)
d m
d
−1
−1
b1/2 (γ) = −γ −1 bm
) − γ −2 −1 bm
)
1/2 (−γ
1/2 (γ
dr
dγ
(7.2.80)
の関係が成立する。これより、Ψ∓ はそれぞれ、
]
[
dbm
GMp
1/2
m
± 2mb 1/2
Ψ∓ = −
γ
rp
dγ
(7.2.81)
とあらわされるので、(7.2.79)-(7.2.80) 式を利用して
[
]
dbm
GMp
1/2 (γ)
Ψ− = −
γ
+ 2mbm 1/2(γ)
rp
dγ
γ=(1−1/m)1/3
[
]
dbm
GMp
1/2 (γ̃)
Ψ+ =
γ̃
+ (2m + 1)γ̃bm 1/2(γ̃)
rp
dγ̃
(7.2.82)
(7.2.83)
γ̃=(1+1/m)1/3
となる。惑星の周りで局所近似するときは m 1 とおいてよく、γ, γ̃ を 1/m で展開す
ると、
(
1
1∓
m
)±2/3
2
1
∼1−
+
3m 3
(
)
2
1
∓1
3
m2
(7.2.84)
となる。γ, γ̃ は 1/m のオーダーまでは同じなので、違いを見るために γm = 1 − 2/3m の
周りで Ψ∓ を展開すると、
( )
m
2
1 db1/2 (γm )
∓ 1/m)
)∼
3 m2
dγ
(
)
m
2 m
m
db1/2
db1/2
1 2
1 d b1/2
±2/3
((1 ∓ 1/m)
)∼
(γm ) +
∓1
(γm )
dγ
dγ
3 3
m2 dγ 2
bm
1/2 ((1
±2/3
bm
1/2 (γm )
1
+
3
(7.2.85)
(7.2.86)
より、
[ m
]
m
2 m
db
d
b
GMp db1/2
8
1
1/2
1/2
Ψ− ∼ −
+ 2mbm
−
1/2 −
rp
dγ
9m dγ
9m2 dγ 2
γm
[ m (
]
)
m
2 m
db
db
d
b
GMp
1 m
2
5
1/2
1/2
1/2
Ψ+ ∼
2m −
b1/2 −
+
2
rp
dγ
3
9m dγ
9m dγ 2
(7.2.87)
(7.2.88)
γm
となる。惑星近傍で Laplace 係数は変形 Bessel 函数 K0 による近似式
bm
1/2 (x) ∼
2
K0 (m|x|)
π
127
(7.2.89)
m
を満たすので、mbm
1/2 と db1/2 /dx が同じオーダーであることに注意する必要がある。
1/m の最低次を見るので、
1 2
1
(Ψ− + Ψ2+ ) ∼ 2Ψ0 [Ψ− + Ψ+ − Ψ0 ]
m
m
( m
)
db
GMp
1/2
+ 2mbm
Ψ0 ≡= −
1/2
rp
dγ
γm
Ψ2− − Ψ2+ −
(7.2.90)
(7.2.91)
を用いて、今までの式を (7.2.76) に代入すると、x = (r − rp )/rp より
Γm
)
(
)2 ( m
db1/2
π 2 Σ GMp
m
2
+ 2mb1/2
=− 2
3Ωp
rp
dγ
[
]
m
2 m
5 m
5 db1/2
2 d b1/2
× b1/2 +
+
3
3m dγ
3m2 dγ 2
(7.2.92)
γm
となる。惑星にかかるトルクは負となり、惑星は円盤内側に移動する。また、Γm /ΓL ∼
1/m より、内側と外側の Lindblad 共鳴におけるトルクのの差し引きは、片側トルクの
1/m 倍程度になる。
7.2.8 I 型惑星移動の時間スケール
I 型惑星移動の時間スケールを計算するために、惑星にかかる全トルクを計算する。こ
こで、Goldreich & Tremaine (1980) の方法で (7.2.92) 式を全てのモード m で足し上
げる。
まず、惑星の片側の円盤からかかるトルクを足し上げる。ここで、簡単のためにトルク
は Lindblad 共鳴だけを考える。また、トルクの符号も無視し、大きさだけで議論する。
Goldreich & Tremaine (1979) のトルクの適用範囲で計算を行い、ケプラー円盤を仮定す
る。この時、考えるモードは 1 m rΩ/cs であるので、考える最大のモードを mmax
とする。Laplace 係数を変形 Bessel 函数で近似すると、
[
( )
( )]2
2
2
(7.2.93)
m 2K0
+ K1
3
3
∑
となる。これを 1 ≤ m ≤ mmax の範囲で足し上げる。 m2 ∼ (1/3)m3max であり、7.2.6
4 Σ
ΓL ∼
3 ΩL
(
GMp
rp
)2
2
節の議論から mmax ∼ r/H であるので、惑星にかかる円盤片側からのトルクは
Γside
4 Σ
∼
9 ΩL
(
GMp
rp
)2 (
H
r
)−3 [
( )
( )]2
2
2
2K0
+ K1
3
3
となる。ただし |D| ∼ 3mΩ2 を利用した。
128
(7.2.94)
ここで、7.2.7 節の議論より、内側と外側のトルクの差分は 1/m ∼ H/r だけ小さくな
るので、Γ の依存性は、
(
Γ∝
Mp
M
)2 (
H
r
)−2
Σrp4 4
Ω
Ω2L p
(7.2.95)
Σrp4 Ω2K
(7.2.96)
となる。ここで、Ωp , ΩL ∼ ΩK とすると、
(
Γ∝
Mp
M
)2 (
H
r
)−2
となる。これはインパルス近似で求めたトルクの式 (7.2.9) と比べると H/r 倍大きくなっ
ているが、これはインパルス近似では片側トルクしかかんがえていないためである。その
ため、正味のトルクは片側トルクの H/r 倍となることから、インパルス近似で求めたト
ルクと一致する。
次に、I 型惑星移動のタイムスケールを見積もる。惑星の角運動量 Lp は
Lp = Mp Ωp rp2
(7.2.97)
なので、惑星の軌道が変化する時間スケール τmig.I は、
(
τmig.I
)−1 ( )
1 dLp
Γ
=
=
Lp dt
Lp
(
)
2
M2
H
∝
Ω−1
K
Mp Σrp2 r
(7.2.98)
となる。典型的な値として、太陽サイズの星の周りを軌道長半径 5 AU で公転する地球サ
イズの惑星を考え、京都モデルを仮定すると、τmig.I ∼ 2 × 105 yr 程度となる。である。I
型惑星移動のタイムスケールは 20 万年程度であるが、これは観測されている原始惑星系
円盤の寿命より短い。これは惑星ができたとしても周囲のガスとの相互作用によって中心
星に落下してしまうことを意味する。そのため、惑星が原始惑星系円盤が散逸するまで存
在するためには、この問題を解決する必要があり、これを『惑星落下問題』と呼ぶ。
7.2.9 3 次元の効果と非摂動状態の影響
より詳しい計算は Tanaka et al. (2002) によってなされている。Tanaka et al. (2002)
では、共回転共鳴、非摂動状態の動径方向の構造、z 方向の影響を考慮に入れた線形解析
を行った。ただし、状態方程式は等温を仮定している。この時、Lindblad 共鳴での全ト
129
ルク ΓLR 、共回転共鳴での全トルク ΓCR 、全トルク Γ は、
(
)2 ( )−2
Mp
H
ΓLR = −(2.34 − 0.10α)
Σrp4 Ω2K
M
r
(
)2 ( )−2
Mp
H
ΓCR = (0.98 − 0.64α)
Σrp4 Ω2K
M
r
(
)2 ( )−2
Mp
H
Γ = −(1.36 − 0.54α)
Σrp4 Ω2K
M
r
(7.2.99)
(7.2.100)
(7.2.101)
となる。ここで Σ(r) ∝ r−α である。この結果、I 型惑星移動のタイムスケールは、
−1
τmig.I = (2.7 + 1.1α)
M2
Mp Σrp2
(
H
r
)2
Ω−1
K
(7.2.102)
であった。典型的な値を入れると、
(
τmig.I ' 1.4 × 10
6
Mp
5 M⊕
)−1 (
rp )−1/2
5 AU
(
Σ
20 g cm−2
)−1 (
H/r
0.05
)
yr
(7.2.103)
となる。これは線形領域で詳細に計算され求められた式であるが、やはり惑星落下問題は
発生することが分かった。また、Paardekooper et al. (2011) が非等温円盤にも適用でき
るトルク公式を数値計算で求めている。
7.3 II 型惑星移動
惑星の動径方向の移動のうち、惑星質量が惑星周囲に密度ギャップを作るほど大きく
なった場合を『II 型惑星移動』と呼ぶ。I 型惑星移動での議論より、質量が大きくなると
Mp2 でトルクは増加する。しかし、惑星質量が大きくなると、惑星からのトルクにより円
盤ガスが影響を受け密度ギャップを形成する。一度ギャップが開くと非摂動状態の時間進
化も考える必要があり、問題が非線形になる。そのため、矛盾のない議論をするためには
線形解析は使えず、数値計算が必要となる。ここではオーダーでの議論を行い II 型惑星
移動を定性的に調べる。
7.3.1 ギャップ形成条件
ギャップが形成するのに必要な条件を求める。ギャップを形成しようとする力は惑星ト
ルクであり、ギャップを埋めようとする力は粘性拡散である。そのため、惑星トルクに
よってギャップを開けようとするタイムスケール topen と粘性によりギャップを埋めよう
とするタイムスケール tclose を比較し、topen < tclose の時ギャップは形成される。図 7.6
は惑星によるギャップ形成機構の概念図である (Armitage , 2010)。
130
図 7.6
惑星の重力トルクによるギャップ形成機構の概念図 (Armitage , 2010)。
(7.2.6) 節から、惑星トルクが最も強くなるのは惑星からスケールハイト程度離れた場
所であった。これより、ギャップは rp − H から rp + H 程度までの間の領域に出来ると
考えられる。ギャップの領域に存在するガスが持つ角運動量は、ケプラー回転を考える。
惑星から見て外側でギャップにあったガスが持つ角運動量 ∆J は、
∫
a+H
2πaΣ · a2 ΩK
∆J =
a
∼ 2πa3 ΣΩK H
(7.3.1)
となる。ここで、惑星が円盤外側に与えるトルク Γ を (7.2.94) 式より、
(
Γ∼
Mp
M
)2 (
H
r
)−3
Σrp4 Ω2K
(7.3.2)
とすると、
topen =
∆J
Γ
∼ 2π
q≡
H4
q 2 a4 ΩK
Mp
M
のようになる。
131
(7.3.3)
(7.3.4)
一方で、幅 H の領域が粘性によって埋まるタイムスケールは,
tclose
H2
=
ν
(7.3.5)
となる。ここで、動粘性 ν は標準円盤モデルの ν = αcs H を用いると、
tclose =
1
αΩK
(7.3.6)
となる。
これより、ギャップ形成形成条件は topen < tclose より、
q > qcrit '
√
(
2πα
1/2
H
a
)2
(7.3.7)
となる。ここで、H/r = 0.05、α = 0.01 とすると、qcrit ∼ 5 × 10−4 となり、この時
Mp ∼ MJ である。
また、惑星の Hill 圏がスケールハイトより大きい場合 (rH > H) でも、Hill 圏の内部の
ガスは惑星に降着するため、ギャップを開けることができる。この時の qcrit は、
(
qcrit = 3
H
a
)3
(7.3.8)
となる。この時、H/r = 0.05 なら、qcrit ' 4 × 10−4 となる。以上より、惑星にギャップ
が開くのは木星ほどの質量になった時であり、その時の惑星の Hill 圏はスケールハイト
程度になる。
また、Crida et al. (2006) によってギャップ形成の条件が数値計算から求められてい
る。その時の条件は、Reynolds 数 R を用いて
3 H
50
+
≤1
4 RH
qR
(7.3.9)
である。
7.3.2 円盤降着速度と同程度の II 型惑星移動
惑星がギャップをあける程の質量を持つ時を考える。
Mp > Mp.crit ≡ qcrit M
(7.3.10)
惑星は周囲に幅 ∼ H のギャップを形成する。この時、共回転共鳴と殆どの主要な
Lindblad 共鳴の位置にガスがない、もしくはガスが希薄である。そのため、惑星が円盤か
ら受けるトルクは非常に小さく、惑星は殆ど移動できない。一方、円盤ガスは粘性降着に
132
よって中心星に向かって流れ、ギャップも粘性降着の速度で中心方向へ移動する。その結
果、ギャップ外壁が惑星に近づき、ギャップ内壁が惑星より離れる。その結果、惑星が外
側 Lindblad 共鳴から受けるトルクが、内側 Lindblad 共鳴から受けるトルクに比べ卓越
し、内側へ移動する。逆に、惑星が移動しすぎギャップ内壁が惑星に近づき、ギャップ外
壁が惑星から離れる時は、惑星が内側 Lindblad 共鳴から受けるトルクが、外側 Lindblad
共鳴から受けるトルクに比べ卓越し、外側へ移動する。このように惑星はギャップの中心
付近にいながら、ギャップの降着と共に内側へ移動する。これが II 型惑星移動の描像で
ある。
定常降着円盤を考える時、ガスの降着速度 vnominal は、
vnominal = −
3ν
2r
(7.3.11)
となる。α 粘性を仮定すると、
vnominal
3
=− α
2
(
H
r
)2
vK
(7.3.12)
である。そのため、惑星もこの速度で中心方向へ移動する。
7.3.3 円盤より重い惑星の II 型移動
円盤の降着速度と同じ速度で移動できるのは、惑星が円盤からのトルクで十分に動ける
時である。その条件は、粗く見積もると惑星質量が円盤質量より小さい時なので、
f≡
Mp
<1
πa2 Σ
(7.3.13)
となる。面密度分布を
Σ(r) = 1.5 × 103
( r )−1
g cm−2
1 AU
(7.3.14)
を仮定すると、円盤の降着速度と同じ速度で移動できるのは、
Mp < 0.6
( a )
MJ
1 AU
(7.3.15)
の時となる。
惑星が円盤より重い時 (f > 1)、惑星の移動速度は簡単に見積もると vnominal /f にな
る。ただし、ギャップの外壁付近には圧力バンプができ、惑星への負のトルクが増加する
と考えられるので、vnominal /f は惑星移動の下限値である。
133
図 7.7 各惑星質量における惑星移動のタイムスケール (D’Angelo et al, 2002)。
7.3.4 惑星質量変化による惑星移動のタイムスケール
今まで、惑星質量の変化によって惑星移動のタイムスケールが変化することを議論して
きた。D’Angelo et al (2002) は数値計算によって各惑星質量における惑星移動のタイム
スケールを求めている。その結果が図 7.7 である。I 型移動と II 型移動の境界質量におけ
る惑星移動は未だよく分かっていない。
7.4 スリング・ショット
I 型惑星移動や II 型惑星移動のような円盤と惑星の相互作用による惑星移動では、軌道
離心率 e や軌道傾斜角 i は上昇しない。それは、ランダム速度が上がったとしても、すぐ
134
に円盤との相互作用で減衰してしまうからである。それにもかかわらず、軌道離心率が高
い短周期巨大惑星が観測されている。この形成は円盤ガスとの相互作用では説明できず、
他の惑星移動機構が必要である。
系内に惑星が複数存在しており、それらの軌道が近く惑星相互重力の影響が強いなら、
軌道離心率が増大して起動交差が起こる可能性がある。軌道交差が起これば近接散乱が起
こり、惑星が動径方向に移動できる。このように惑星相互重力による軌道の変化を『軌道
不安定』と呼ぶ。
一般的に惑星が 3 個以上あれば、軌道不安定は起こり、2 個の時は軌道間隔 ` が
√
` < 2 3rH の時のみ不安定になる。軌道不安定によって惑星がどれほど内側にこれるの
かを見積もる。簡単のために 2 個の惑星を考え、それぞれの質量を M1 、M2 、軌道長半
径はもそれぞれ a1 , a2 だと仮定する。ここで惑星相互重力によって軌道不安定が起こり、
M1 の質量を持つ惑星が内側に飛ばされて軌道長半径 ak に、M2 の質量を持つ惑星が無限
遠に飛んで行くとする。この時エネルギー保存の式から
−
GM∗ M1
GM∗ M2
GM∗ M1
−
=
2a1
2a2
2ak
(7.4.1)
となる。これより、
ak =
a1 a2
a2 + (M2 /M1 )a1
(7.4.2)
となる。M1 ∼ M2 かつ a1 ∼ a2 の時、ak ∼ 1/2a1 となる。これより惑星は軌道不安定
が起こっても、最大で軌道長半径が半分程度にしかならない。これより、観測されている
短周期巨大惑星のうち、a ∼ 0.1 AU のものも多いので、軌道不安定だけではこれらの惑
星は形成できないことが分かる。
軌道不安定が起こると軌道離心率が高くなる。そこで、軌道不安定が起こった上で軌道
離心率が上昇し、近点距離が極めて近くなった時を考える。この時、中心星からの潮汐相
互作用により惑星の軌道は近点を保ったまま軌道離心率を下げることができる。つまり、
結果的に短周期の惑星を形成することができるのである。このように軌道不安定と、中心
星との潮汐相互作用によって短周期惑星を作る方法を『スリング・ショットモデル』とい
う (Rasio& Ford , 1996)。スリング・ショットモデルで作られた短周期惑星は、潮汐作用
によって軌道離心率をある程度下げられるが、十分高い軌道離心率のためエキセントリッ
ク・プラネットになると考えられる。
135
第8章
(研究) 原始惑星系円盤外側領域にお
ける回転不安定性
6 章で見たように一般的に原始惑星系円盤の構造・進化を決める主な角運動量輸送機構
は磁気回転不安定性によって生じる乱流粘性であると考えられている。しかし、円盤内で
流体不安定性が起こる時も乱流粘性が発生し、角運動量を輸送する。
円盤内の圧力勾配が急な場所で流体不安定が起こることは理論的に知られている
(Chandrasekhar, 1961)。我々は、Lynden-Bell & Pringle (1974) の相似解は外側の指数
関数的減少領域は圧力勾配が急であることに着目し、この領域で、流体不安定の一種であ
る回転不安定が起こることを発見した (Ono et al., 2014)。
本章では Ono et al. (2014) の内容を説明する。まず 8.1 節において軸対称回転流体の
不安定性について紹介する。8.2 節で円盤における回転不安定性の条件式を求め、8.3 節
で回転不安定性に関して中立安定な面密度分布を求める。8.4 節では相似解上で回転不安
定なる点を調べ、中立安定面密度分布に接続する。
8.1 軸対称回転理想流体の不安定性
軸対称回転理想流体の不安定性について考える。また、円盤が断熱的であることを考え
る時、基礎方程式は以下のようになる。
質量保存の式:
∂Σ 1 ∂
+
(rΣvr ) = 0
∂t
r ∂r
(8.1.1)
vϕ2
∂vr
∂vr
∂(ψ∗ + ψd )
1 ∂Π
+ vr
−
=
−
∂t
∂r
r
∂r
Σ ∂r
(8.1.2)
運動量保存の式 (r 方向):
136
運動量保存の式 (ϕ 方向):
∂vϕ
∂vϕ
vr vϕ
+ vr
−
=0
∂t
∂r
r
(8.1.3)
断熱の式:
∂S
∂S
+ vr
=0
∂t
∂r
Π
S≡ γ
Σ
(8.1.4)
(8.1.5)
Poisson 方程式
∇2 ψd = 4πGρ
(8.1.6)
となる。ここで、S はエントロピー、γ は比熱比である。
これらの基礎方程式について、局所安定性解析を行う。vr , vϕ , Σ, P, ψd に関して以下の
ように 1 次まで摂動展開すると以下のようになる。






Σ
Π
ψd
vr
vϕ


 
 
=
 
 
Σ0
Π0
ψd0
0
vϕ0


 
 
+
 
 
Σ1
Π1
ψd1
vr1
vϕ1






添字 1 が 1 次の摂動項で、添字 0 が非摂動項である。また、Σ1 , vr1 , vϕ1 ∝ exp[−iωt] と
する。これを (8.1.1)-(8.1.6) 式に代入すると、1 次の摂動方程式が得られ、
(
)
1
iωΣ1 = vr1 Σ0
+ ikr
r
∂ψd1
1 ∂Π1
Σ1 ∂Π0
iωvr1 + 2Ωvϕ1 =
+
− 2
∂r
Σ0 ∂r
Σ0 ∂r
2
κ
iωvϕ1 −
vr1 = 0
2Ω
i
∂lnS0
Π1 = c2s Σ1 − vr Π0
ω
∂r
2
∇ ψd1 = 4πGΣ1 δ(z)
(8.1.7)
(8.1.8)
(8.1.9)
(8.1.10)
(8.1.11)
のようになる。ここで、κ は epicyclic 振動数で、
[
2Ω d 2
κ≡
(r Ω)
r dr
]1/2
(8.1.12)
となる。ここで、短波長近似 kr r 1 を行うと、Σ1 , vr1 , vϕ1 ∝ exp[ikr] なので (8.1.11)
式より、
d2 ψd1
= kr2 ψd1 + 4πGΣ1 δ(z)
2
dz
137
(8.1.13)
となる。これより、ψd1 は z 6= 0 において
ψd1 = C exp[−|kr z|]
(8.1.14)
とかける。ここで C は積分定数である。C を決定するために Poisson 方程式を −s ≤
z ≤ +s で積分すると
∫
∫
+s
∇ ψd1 dz =
+s
2
−s
−s
4πGΣ1 δ(z) dz
つまり、
+s
dψd1 = 4πGΣ1
dz −s
(8.1.15)
となる。ここで s → 0 とすると、C = −2πGΣ1 /|kr | となり、z = 0 での ψd1 は
ψd1 = −
2πGΣ1
|k|
(8.1.16)
となる。摂動方程式から分散関係式を求めると
ω 2 = c2s kr2 + κ2 + Nr2 − 2πGΣ0 |kr |
(8.1.17)
となる。ここで、Nr は Brunt-Väisälä 振動数で、
Nr2
1 dΠ
≡
Σ dr
(
1
1 dP
−
Σ γP dr
)
(8.1.18)
である。(8.1.17) 式の分散関係式の右辺について、第 2 項は回転不安定性、第 3 項は対流
不安定性、第 4 項は自己重力不安定性に関連している。今回は局所断熱を仮定したが、局
所等温の時は分散関係式の第 3 項は消えるだけである。
8.1.1 回転不安定性と Rayleigh 条件
(8.1.17) 式の分散関係式について、局所等温円盤内の長波長の波を考える。右辺第 2 項
以外は無視でき、
ω 2 = κ2
(8.1.19)
となる。この時、ω 2 = κ2 < 0 となると不安定である。これは差動回転に起因する不安定
性であり、『回転不安定性』と呼ぶ。回転不安定となる条件は、
κ2 =
2Ω dJ
2Ω d 2
(r Ω) =
<0
r dr
r dr
138
(8.1.20)
よって、
dJ
<0
dr
(8.1.21)
となる。つまり、比角運動量が動径方向に単調増加する時は回転安定であり、減少に転ず
ると回転不安定となる。この安定条件のことを『Rayleigh 条件』と呼ぶ。
回転不安定が起こると比角運動量を保存したまま、ガスが動径方向の移動ができるよう
になる。その結果、比角運動量が動径方向に減少する領域を解消するように Kepler 回転
のタイムスケールで進化する。つまり、円盤内で回転不安定が起きると、負の比角運動
量勾配を持つ領域が、Kepler 回転のタイムスケールで動径方向に一定な比角運動量を持
つように進化する。角運動量が動径方向に一定である状態を回転不安定性の中立安定と
呼ぶ。
8.1.2 対流不安定と Schwarzschild 条件
(8.1.17) 式の分散関係式について、円盤が回転していないとする。右辺第 3 項以外は無
視でき、
ω 2 = Nr2
(8.1.22)
となる。この時、ω 2 = Nr2 < 0 となると不安定である。これは浮力とに起因する不安定
性であり、『対流不安定性』と呼ぶ。対流不安定となる条件は、
Nr2
1 dΠ
=
Σ dr
(
1
1 dΠ
−
Σ γΠ dr
)
=−
1 ∂Π ∂ln S
<0
γΣ ∂r ∂r
(8.1.23)
となり、一般的に円盤では ∂P/∂r < 0 であるので、
dS
<0
dr
(8.1.24)
となる。つまり、エントロピーが動径方向に単調増加する時は対流安定であり、減少に転
ずると対流不安定となる。この安定条件のことを『Schwarzschild 条件』と呼ぶ。
対流不安定が起こると、ガスがエントロピーを保存したまま動径方向に移動できるよう
になる。その結果、エントロピーが動径方向に減少する領域を解消するように Kepler 回
転のタイムスケールで進化する。つまり、円盤内で対流不安定が起きると、負のエントロ
ピー勾配を持つ領域が、Kepler 回転のタイムスケールで動径方向に一定なエントロピー
を持つように進化する。エントロピーが動径方向に一定である状態を対流不安定性の中立
安定と呼ぶ。
139
8.1.3 Solberg-Hoiland 条件
差動回転円盤中に動径方向のエントロピー勾配がある場合、分散関係式は
ω 2 = κ2 + Nr2
(8.1.25)
となる。この時、不安定となる条件は
κ2 + Nr2 < 0
(8.1.26)
であり、この安定条件のことを『Solberg-Hoiland 条件』と呼ぶ。この条件については軸
対称の摂動のみに対して有効であることに注意が必要である。Cowling (1951) では、一
様回転流体について、κ2 + Nr2 > 0 であっても、Nr2 < 0 であればいつでも非軸対称の摂
動に対して対流不安定になることを報告している。
8.1.4 Toomre 条件
自己重力を考慮する等温回転円盤における分散関係式は、(8.1.17) 式の右辺第 3 項を消
して、
ω 2 = c2s kr2 − πGΣ0 |kr | + κ2
(8.1.27)
となる。この時、ω 2 < 0 となると不安定である。これは自己重力に起因する不安定性で
あり、
『重力不安定性』と呼ぶ。kr についての 2 次方程式 c2s kr2 − πGΣ0 |kr | + κ2 = 0 の判
別式を D/4 ≡ π 2 G2 Σ20 − c2s κ2 とすると、D/4 ≥ 0 の時重力不安定となる kr が存在し、
D/4 < 0 の時常に重力安定であることが分かる。よって、重力不安定となる条件は
Q≡
c2s κ
<1
πGΣ0
(8.1.28)
となり、Q を Toomre の Q 値、この安定条件を Toomre 条件と呼ぶ。
また、もっとも不安定になりやすい波数 kmin 、波長 λmax は
πGΣ0
c2s
2c2s
=
GΣ0
kmin =
(8.1.29)
λmax
(8.1.30)
となる。
回転円盤中の物体が自己重力で収縮する時、圧力勾配力とコリオリ力が収縮を阻害す
る。重力不安定が起こると、自己重力が圧力勾配力とコリオリ力に打ち勝ち、収縮するこ
とが出来る。
140
8.2 原始惑星系円盤における Rayleigh 条件
原始惑星系円盤について動径方向の運動量は定常であり、局所等温
Π = c2s Σ
(8.2.1)
とする。この時、力のつり合いの式は
J2
GM∗
1 ∂Π
=
+
3
2
r
r
Σ ∂r
1 ∂ 2
GM∗
=
+
(c Σ)
2
r
Σ ∂r s
(8.2.2)
となる。以下のように無次元化する。
r = r0 ζ
(8.2.3)
Σ = Σ0 σ
(8.2.4)
J = J0 j
(8.2.5)
T = T0 ζ −β
(8.2.6)
cs = c0 ζ −β/2
(8.2.7)
H = H0 ζ (3−β)/2
(8.2.8)
添字 0 が着く文字はそれぞれ r = r0 での面密度 Σ0 、比角運動量 J0 、温度 T0 、音速 c0 、
スケールハイト H0 である。β は温度分布の冪指数である。また、H0 は z 方向の静水圧
平行より、
H0 = √
c0 ζ
(8.2.9)
GM∗ /r03
である。(8.2.2) 式より、
(
2
j =ζ+
H0
r0
)2
[
ζ
(2−β)
∂ln σ
−β
∂ln ζ
]
(8.2.10)
となる。ここで、Rayleigh 条件は比角運動量の動径方向微分が負であれば不安定だった
ので、
∂j 2
<0
∂ζ
(8.2.11)
であれば回転不安定となる。(8.2.10)-(8.2.11) 式より、原始惑星系円盤における Rayleigh
条件は
∂ 2 (ln σ)
∂(ln σ)
∂j 2
=
+
(2
−
β)
+
∂ζ
∂(ln ζ)2
∂(ln ζ)
(
r0
H0
となる。
141
)2
ζ β−1 − β(2 − β) < 0
(8.2.12)
8.3 回転不安定性における中立不安定面密度分布
回転不安定性について中立安定である条件は比角運動量が動径方向について一定である
場合
∂j 2
=0
∂ζ
(8.3.1)
となる。(8.2.12) 式より (8.3.1) 式を書き換えると、
∂(ln σ)
∂ 2 (ln σ)
+
+ (2 − β)
2
∂(ln ζ)
∂(ln ζ)
(
r0
H0
)2
ζ β−1 − β(2 − β) = 0
(8.3.2)
となる。この方程式は解析的に解くことができる。これを回転不安性における中立面密度
分布と呼び、その表式を (8.3.2) 式を解いて求める。
X ≡ ln ζ
(8.3.3)
Y ≡ ln σ
(8.3.4)
とし、X による Y の 1 階微分を Y 0 で表すと、(8.3.2) 式は
00
(
0
Y + (2 − β)Y +
r0
H0
)2
e(β−1)X − β(2 − β) = 0
(8.3.5)
となる。ここで、
Y 0 = A(X)e(β−1)X + β
(8.3.6)
Y 00 = [A0 (X) + (β − 1)A]e(β−1)X
(8.3.7)
とすると、
となる。(8.3.6)-(8.3.7) 式を (8.3.5) 式に代入して、両辺 e(β−1)X で割ると、
0
(
A +A+
r0
H0
)2
=0
(8.3.8)
なので、積分定数 C1 を用いて、
A = C1 e
−X
(
−
r0
H0
)2
(8.3.9)
である。これを (8.3.6) 式に代入することで、Y が解ける。Y は積分定数 C2 を用いて、
1
C1
e(β−2)X −
Y =
(β − 2)
(β − 1)
(
r0
H0
)2
142
e(β−1)X + βX + C2
(8.3.10)
と表される。このことから (8.3.2) 式を満たす中立安定面密度分布 σms は
[
σms
∂(ln σ)
∂(ln ζ)
∂ 2 (ln σ)
∂(ln ζ)2
]
(
)2
C1
1
r
0
= exp
ζ (β−2) −
ζ (β−1) + β ln ζ + C2
(β − 2)
(β − 1) H0
(
)2
r0
= C1 ζ (β−2) −
ζ (β−1) + β
H0
(
)2
r0
(β−2)
= (β − 2)C1 ζ
− (β − 1)
ζ (β−1)
H0
(8.3.11)
(8.3.12)
(8.3.13)
と得られる。
8.4 相似解の回転不安定性
6 章で求めた相似解について回転不安定な場所があるか、回転不安定になるなら中立安
定となる半径 ζm を調べる。ここで、半径を規格化する値 r0 を相似解の典型的な半径に
取り直す。相似解 σs は
σs = ζ (β−3/2) exp[−ζ (β+1/2) ]
(8.4.1)
であり、
(
)
(
)
1
3
∂(ln σs )
(β+1/2)
=− β+
ζ
+ β−
∂(ln rζ)
2
2
(
)
2
∂ 2 (ln σs )
1
=− β+
ζ (β+1/2)
2
∂(ln rζ)
2
(8.4.2)
(8.4.3)
となる。(8.4.2) 式を (8.3.2) 式に代入した方程式の解が r = ζm となり、ζm は
(
r0
H0
)2
=
5
1 3/2 3
(1−β)
(β + )ζm
− (β − 2)ζm
2
2
2
(8.4.4)
の関係を満たす。Rayleigh 条件より、相似解の ζ > ζm では回転不安定となる。図 8.1 は
H0 /r0 と ζm の関係を表し、横軸が H0 /r0 で縦軸が ζm である。各線種は β の値を示し、
赤実線が β = 0、緑破線が β = 3/4、青粗点線が β = 1/2、桃細点線が β = 2/5 である。
これはそれぞれ、等温円盤、Razor-thin 円盤、フレア円盤、輻射平衡円盤に対応する。等
温円盤に関しては 8.5.1 節で説明する。図 8.1 より、r0 /H0 < 1 では必ず解 ζm が存在し、
相似解は ζ 1 の時かならず回転不安定となることが分かる。また、 β の違いによって
H0 /r0 が小さい範囲では ζm の値に大きな違いがないことが分かる。
ζ > ζm の領域では回転不安定の為、相似解の形状を持つことが出来ない。ここで、
ζ > ζm では回転不安定性について中立安定面密度分布になっていると仮定する。さらに、
143
100
beta =0
beta =3/4
beta =1/2
beta =2/5
ζm
10
1
0.1
0
0.2
0.4 0.6
H0/R0
0.8
1
図 8.1
H0 /r0 と ζm の関係を表す図。横軸が H0 /r0 で縦軸が ζm である。各線種は
β の値を示し、赤実線が β = 0、緑破線が β = 3/4、青粗点線が β = 1/2、桃細点線が
β = 2/5 である。これはそれぞれ、等温円盤、Razor-thin 円盤、フレア円盤、輻射平
衡円盤に対応する。β の違いによって H0 /r0 が小さい範囲では大きな違いがないこと
が分かる。
ζ = ζm で相似解と中立安定面密度分布が滑らかに接続していると仮定する。つまり、接
続条件は、
(
)
(
)2
3
C1 (β−2)
1
r0
(β+1/2)
(β−1)
β−
=
−
+ β ln ζm + C2
ln ζm − ζm
ζ
ζm
2
β−2 m
(β − 1) H0
(8.4.5)
(
(
) (
)
)2
r0
3
1
(β+1/2)
(β−2)
(β−1)
−
β−
− β+
ζ
= C1 ζm
ζm
+β
(8.4.6)
2
2 m
H0
(8.4.3) 式より、
[(
)
]
3
1
5/2
2−β
C1 =
β+
ζ
+ (1 − β) ζm
2
2 m
[
]
3
5
(2β − 3)
(β+1/2)
C2 =
−
ζ
+
− ln ζm
2
2(β − 1)(β − 2) m
(β − 1)(β − 2)
となる。
この仮定の妥当性については 9 章で議論する。
144
(8.4.7)
(8.4.8)
8.5 典型的な温度分布における計算
4.4 節で見たように様々な円盤モデルに対して温度分布が半径の冪で与えられる。この
節ではそれぞれの β に対応する、相似解 σs 、中立安定半径 ζm 、中立安定面密度分布 σms
そして接続条件 C1 , C2 を求める。
8.5.1 等温円盤
まず、円盤が動径方向に温度勾配を持たず、等温な円盤を考える。そのため β = 0 であ
る。(8.4.1) 式より相似解は σs 、
σs = ζ −3/2 exp[−ζ 1/2 ]
(8.5.1)
となる。
(8.4.3) 式より ζm は
(
r0
H0
)2
=
5 3/2
ζ
+ 3ζm
4 m
(8.5.2)
を満たす。
(8.3.11) 式より、中立安定面密度分布 σms は、
[
]
(
)2
C1 −2
r0
σms = exp − ζ +
ζ −1 + C2
2
H0
(8.5.3)
また、接続条件は (8.4.6)-(8.4.7) 式より
3 5/2 3 2
+ ζm
ζ
4 m
2
15 1/2 9 3
C2 = − ζm − − ln ζm
8
4 2
C1 =
(8.5.4)
(8.5.5)
となる。
これより、等温円盤において、H0 /r0 = 0.1, 0.2, 0.3 に対応する ζm で相似解と中立安
定面密度分布を接続したものが図 8.2 である。
8.5.2 Razor-thin 円盤
4.4.1 節で取り扱った Razor-thin 円盤について考える。この時、β = 3/4 である。
(8.4.1) 式より相似解は σs 、
σs = ζ −3/4 exp[−ζ 5/4 ]
145
(8.5.6)
Initialized surface density
1.0e+002
1.0e+000
1.0e-002
1.0e-004
1.0e-006
1.0e-008
1.0e-010
0.01
0.1
1
Initialized radius
10
100
図 8.2 等温円盤における相似解と中立安定面密度分布を、H0 /r0 = 0.1, 0.2, 0.3 に対
応する ζm で滑らかに接続した図。横軸が ζ 、縦軸が σ である。各線種は H0 /r0 の値
に対応し、赤実線が H0 /r0 = 0.1、緑破線が H0 /r0 = 0.2、青点線が H0 /r0 = 0.3 に
それぞれ対応する。H0 /r0 が大きいほど、ζm が小さくなることが分かる。
となる。
(8.4.3) 式より ζm は
(
r0
H0
)2
=
25 3/2 15 1/4
ζ
+ ζm
8 m
8
(8.5.7)
を満たす。
(8.3.11) 式より、中立安定面密度分布 σms は、
[
]
(
)2
4
r0
3
−5/4
−1/4
σms = exp − C1 ζ
+4
ζ
+ ln ζ + C2
5
H0
4
(8.5.8)
また、接続条件は (8.4.6)-(8.4.7) 式より
15 5/2 3 5/4
ζ
+ ζm
8 m
8
72 3
5/4
− ln ζm
C2 = −12ζm
−
10 2
C1 =
となる。
146
(8.5.9)
(8.5.10)
Initialized surface density
1.0e+002
1.0e+000
1.0e-002
1.0e-004
1.0e-006
1.0e-008
1.0e-010
0.01
0.1
1
Initialized radius
10
100
図 8.3
Razor-thin 円 盤 に お け る 相 似 解 と 中 立 安 定 面 密 度 分 布 を 、H0 /r0 =
0.1, 0.2, 0.3 に対応する ζm で滑らかに接続した図。各線種は図 8.1 と同様である。
これより、Razor-thin 円盤において、H0 /r0 = 0.1, 0.2, 0.3 に対応する ζm で相似解と
中立安定面密度分布を接続したものが図 8.3 である。
8.5.3 フレア円盤
4.4.2 節で取り扱ったフレア円盤について考える。この時、β = 1/2 である。(8.4.1) 式
より相似解は σs 、
σs = ζ −1 exp[−ζ]
(8.5.11)
となる。
(8.4.3) 式より ζm は
(
r0
H0
)2
=
5 3/2 9 1/2
ζ
+ ζm
2 m
4
を満たす。
147
(8.5.12)
Initialized surface density
1.0e+002
1.0e+000
1.0e-002
1.0e-004
1.0e-006
1.0e-008
1.0e-010
0.01
0.1
1
Initialized radius
10
100
図 8.4 フレア円盤における相似解と中立安定面密度分布を、H0 /r0 = 0.1, 0.2, 0.3 に
対応する ζm で滑らかに接続した図。各線種は図 8.1 と同様である。
(8.3.11) 式より、中立安定面密度分布 σms は、
[
]
(
)2
2
r
1
0
σms = exp − C1 ζ −3/2 + 2
ζ −1/2 + ln ζ + C2
3
H0
2
(8.5.13)
また、接続条件は (8.4.6)-(8.4.7) 式より
3 5/2 3 3/2
ζ
+ ζm
2 m
4
3
C2 = −5ζm − 4 − ln ζm
2
C1 =
(8.5.14)
(8.5.15)
となる。
これより、フレア円盤において、H0 /r0 = 0.1, 0.2, 0.3 に対応する ζm で相似解と中立
安定面密度分布を接続したものが図 8.3 である。
148
8.5.4 放射平衡円盤
4.4.3 節で取り扱った放射平衡円盤について考える。この時、β = 2/5 である。(8.4.1)
式より相似解は σs 、
σs = ζ −11/10 exp[−ζ 9/10 ]
(8.5.16)
となる。
(8.4.3) 式より ζm は
(
r0
H0
)2
=
9 3/2 12 3/5
ζ
+ ζm
4 m
5
(8.5.17)
を満たす。
(8.3.11) 式より、中立安定面密度分布 σms は、
[
]
(
)2
5
5
r
2
0
σms = exp − C1 ζ −8/5 +
ζ −3/5 + ln ζ + C2
8
3 H0
5
(8.5.18)
また、接続条件は (8.4.6)-(8.4.7) 式より
27 5/2 3 8/5
ζ
+ ζm
20 m
5
125 9/10 55 3
ζ
−
− ln ζm
C2 = −
32 m
16 2
C1 =
(8.5.19)
(8.5.20)
となる。
これより、放射平衡円盤において、H0 /r0 = 0.1, 0.2, 0.3 に対応する ζm で相似解と中
立安定面密度分布を接続したものが図 8.3 である。
8.6 回転速度分布への影響
次に中立安定面密度分布になった時の回転速度分布がどのようになるかを考える。回転
不安定性に対して中立安定であるため、∂j/∂ζ = 0 の条件を満たす。そのため、中立安定
になると仮定した ζ > ζm では、比角運動量は j(ζ) = j(ζm ) となる。ζm ではケ Kepler
回転を仮定すると、ζ > ζrm における回転速度分布は
J
vϕ = =
r
√
GM∗ ζm −1
ζ
r0
(8.6.1)
となる。Kepler 回転速度が vK ∝ ζ −1/2 であることを考えると、中立安定領域での速度
分布は Kepler 回転の速度分布の勾配が大きくなる。
149
Initialized surface density
1.0e+002
1.0e+000
1.0e-002
1.0e-004
1.0e-006
1.0e-008
1.0e-010
0.01
0.1
1
Initialized radius
10
100
図 8.5 放射平衡円盤における相似解と中立安定面密度分布を、H0 /r0 = 0.1, 0.2, 0.3
に対応する ζm で滑らかに接続した図。各線種は図 8.1 と同様である。
もし、中立安定状態からずれていたらどうなるかについて調べる。比角運動量の勾配が
負の時、j(ζ) < j(ζm ) となるので、(8.5.21) 式から回転速度分布の勾配は ζ −1 より大き
くなる。逆に、比角運動量の勾配が正の時、回転速度分布の勾配は ζ −1 より小さくなる。
しかし、どちらにしろ大きく中立安定面密度からずれない限り、Kepler 回転の ζ −1/2 よ
り勾配が急になる。
150
第9章
(研究) 議論と応用
ここでは、Ono et al. (2014) によって示された、Lynden-Bell & Pringle (1974) の相
似解外側領域における不安定性に関する議論を行い、その応用についても述べる。
9.1 非相似解的な面密度分布の観測可能性
この節では内側領域で相似解の面密度分布を持つ原始惑星系円盤が外側領域 (ζ > ζm )
で非相似解的な面密度分布を持つ時、非相似解的な面密度分布を観測することができるか
について議論する。ここで中立安定となる実際の半径を rm ≡ r0 ζm とする。
先の議論の通り、円盤の回転不安定性において r = r0 でのアスペクト比 H0 /r0 の値が
重要であった。典型的な T タウリ型星周りの原始惑星系円盤におけるアスペクト比を見
積もると
H
' 0.1
r
(
T
28 K
)1/2 (
M
M
)−1/2 (
r )1/4
100 AU
(9.1.1)
となる。ここで r = 1 AU で T = 280 K であり、β = 1/2 のフレアー円盤を仮定した。つ
まり、温度分布は中心星の加熱によって決まっている。また、r0 は観測的に 15 − 200 AU
である (Andrews et al., 2009, 2010)。実際の原始惑星系円盤の外側領域は周囲の分子雲
の温度 (T ∼ 10 − 30 K) と同等であり、β ∼ 0 の等温円盤に近くなっていると考えられ
る。しかし、重要なのは r0 での温度なので、β = 1/2 は悪い近似ではない。
ここで中心星 M = 0.5M とすると、(9.1.1) 式より H0 /r0 ∼ 0.1 − 0.18 となる。こ
の時、(8.5.12) 式より ζm ∼ 3 − 10 である。図 8.4 より、中心星が比較的低質量かつ円盤
温度が高く、H0 /r0 ∼ 0.2 となる時、r0 の場所の 10−4 程度の面密度分布に感度があれば
非相似解的な面密度分布を観測することができることが分かった。一方、H0 /r0 ∼ 0.1 と
なる時、図 8.4 より非相似解的な面密度分布を観測することは困難であることが分かる。
Andrews & Williams (2007) は原始惑星系円盤の電波観測によって、いくつかの天体に
151
おいて非相似解的な面密度分布を報告していることに言及しておく。
Herbig Ae/Fe 型星まわりの原始惑星系円盤については、中心星の温度が高いため円盤
中の温度が r = 10 AU で T ' 100 AU と高くなる。しかし、中心星の質量が大きくなる
結果 H0 /r0 の値が T タウリ型円盤周りの円盤に比べ小さくなり、面密度分布の相似解か
らのずれを観測することは困難である。
次に星が大質量星を含む星団内で生まれ、近傍に大質量星がある場合を考える。この
時、大質量星からの放射によって円盤周辺が加熱されるため、高温かつ等温円盤に近づ
く。そのような環境であるオリオン座 Trapezium 星団中の原始惑星系円盤の観測から、
円盤のアスペクト比を見積もると以下となる (e.g., Robberto et al., 2002; Walsh et al.,
2013)。
H
' 0.2
r
(
T
60 K
)1/2 (
M
0.5M
)−1/2 (
r )1/2
100 AU
(9.1.2)
ここで、T = 60 K、β = 0、M ∼ 0.2 M を仮定すると、H0 /r0 ∼ 0.3 となる (Hillenbrand
& Hartmann, 1998)。この時、(8.5.2) 式より ζm ∼ 1.5 となる。そのため、図 8.2 より r0
の場所の 10−2 程度の面密度分布に感度があれば非相似快適な面密度分布を観測すること
ができる。よって、近傍に大質量星がある円盤では非相似解的な面密度分布が観測しやす
いと考えられる。
ただし、6.3 節で述べたように近傍大質量星があると円盤ガスは光蒸発する可能性があ
る (Johnstone et al., 1998; Richling & Yorke, 2000)。そのため、実際は近傍大質量星放
射による光蒸発も考慮に入れる必要がある。逆に考えると、我々の結果は円盤の圧力勾配
力は、近傍大質量星放射による光蒸発過程に影響を与える可能性を示唆する。
現在の電波観測を用いた円盤質量推定は、電波観測領域が相似解的であることを仮定し
ていた。我々の結果から、近傍に大質量星がある環境にない限り、現在の電波観測領域で
は相似解的でいられることが分かった。一方近い将来、ALMA 望遠鏡などで原始惑星系
円盤の高感度電波観測がなされ、低質量で円盤の温度が高い T タウリ型星や、近傍に大質
量星がある環境の原始惑星系円盤を観測した際は非相似解的な面密度分布が観測されるこ
とが期待される。
9.2 外側領域における幾何学的に薄い近似の破綻
中立安定面密度分布の式 (8.3.11) を見ると、0 < β < 1 であるので ζ が十分に大きい
時、中立安定面密度分布指数内第 3 項の効果によって上昇に転じる。これは円盤の幾何学
的に薄い近似が破れることによる非現実的な効果であり、中立安定面密度分布の極小値に
おけるアスペクト比は H/r ∼ 1 となる。つまり、中立面密度分布は幾何学的に薄い仮定
の時しか適用できない。
152
0.7
beta =0
beta =3/4
beta =1/2
beta =2/5
0.6
Hm/rm
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
H0/r0
0.3
0.4
図 9.1
r0 でのアスペクト比と rm でのアスペクト比の関係を表すグラフ。各線種は β
の値を示し、赤実線が β = 0、緑破線が β = 3/4、青粗点線が β = 1/2、桃細点線が
β = 2/5 である。
今回は r = rm 近傍を考えるので、rm におけるアスペクト比を求め、H0 /r0 = 0.1 − 0.3
において rm でのアスペクト比が小さいことを確認する。
(8.2.8)、(8.4.4) 式より、r でのアスペクト比は
H
H0 (1−β)/2
=
ζ
r
r0
(9.2.1)
となる。ここで r = rm でのスケールハイトは Hm とする。
この時、(8.4.4) 式より r0 でのアスペクト比と rm でのアスペクト比の関係を表したの
が図 9.1 である。各線種は β の値を示し、赤実線が β = 0、緑破線が β = 3/4、青粗点線
が β = 1/2、桃細点線が β = 2/5 である。図 9.1 より、今回考えた範囲では Hm /rm は
最大でも 0.4 である。実際、幾何学的に薄い近似はアスペクト比の 2 乗で効いてくるので
(Hm /rm )2 ≤ 0.16 となり、十分幾何学的に薄いと近似できる。
一方で、r rm の領域について調べる時は、(Hm /rm )2 ∼ 1 となるので幾何学的に薄
い近似は破綻し、鉛直方向についても解かなくてはならない。
153
9.3 現実的な円盤外側領域の進化
Lynden-Bell & Pringle (1974) の相似解が外側領域で回転不安定になった原因は、
Lynden-Bell & Pringle (1974) において圧力勾配力は常に中心星重力に比べて小さいと
したからである。実際どのような面密度分布になるかを求める時は、(6.1.1)-(6.1.3) 式を
解く必要がある。
再度式を表すと、
∂Σ
1 ∂ Ṁ
=
∂t
2πr ∂r
( 2
)
j
GM
1 ∂Π
∂ Ṁ
= −2πrΣ
− 2 −
∂t
r3
r
Σ ∂r
(
)
2
1
∂(2πr Trϕ )
∂j
∂j
=
+
Ṁ
∂r
2πrΣ
∂r
∂r
(9.3.1)
(9.3.2)
(9.3.3)
である。特に (9.3.2) 式の右辺第 3 項を無視したことが回転不安定の原因であった。そこ
でそれを無視せずに、降着率 Ṁ と比角運動量 J の定常のみ仮定すると、
{
(
)}]
∂ln J
νJΣ 2 −
∂ln r
[
{
(
)}]2
r3 ∂Π
1
∂
∂ln J
2
J =GM r +
−
νJΣ 2 −
( )2
ρ ∂r
∂r
∂ln r
Σ2 ∂J
∂r
)
(
∂ln Σ
∂ln Ṁ
× 1+
−2
∂ln r
∂ln r
{
(
)}
2π ∂
∂ln J
Ṁ = ( ∂J )
νJΣ 2 −
∂r
∂ln r
∂r
∂Σ 1 ∂
=
∂t r ∂r
[
1
∂
( ∂J )
∂r
∂r
(9.3.4)
(9.3.5)
(9.3.6)
のように面密度進化の式が得られる。
回転不安定性の中立安定の条件は ∂J/∂r = 0 であったこと思い出すと、この時 (9.3.4)、
(9.3.6) 式が発散する。つまり、比角運動量勾配が 0 に近づくと降着率 Ṁ が非常に大きく
なることで、比角運動量が 0 にならないようにする。この効果が Lynden-Bell & Pringle
(1974) では考慮されていなかったのである。
ここで、r = rm において ∂J/∂r = 0 とした近似が正しいかどうかをオーダー計算で確
かめる。実際には回転不安定性が始まる前に |Ṁ | が大きくなり、回転不安定性が起こる
のを防ぐ。この時降着は最大でも音速程度であると考えられる。そのため、r = rm にお
いて |Ṁ | が最大となっている、つまり
|Ṁ | ≤ 2πrΣcs
154
(9.3.7)
である場合を考える。(9.3.6) 式からオーダー計算すると、
∂J
1 1
∼
(2αcs HJΣ)
∂r
rΣcs r
( )
H
∼ 2α
vϕ
r
(9.3.8)
となる。今、α, H/r 1、vϕ ∼ vK より、r = rm で
∂J
vK
∂r
(9.3.9)
となっている。そのため r = rm において ∂J/∂r = 0 とした近似は悪くないと考えら
れる。
また、実際の面密度進化を求めるためには (9.3.1)-(9.3.3) 式を数値的に解く必要がああ
り、それは今後の課題とする。
9.4 ダスト分布への影響
回転不安定性が起こると、回転速度分布が変化することについては 8.6 節で述べた。中
立安定面密度分布の時の速度分布は vϕ ∝ r−1 であり、ケプラー回転の vK ∝ r−1/2 なの
で、回転速度はケプラー速度から大きくずれていく。その結果、7.1 節で述べたダスト落
下が強く起こり、ダストの面密度分布を変化させると考えられる。
9.5 円盤ギャップやバンプへの応用
巨大ガス惑星の重力トルクや光蒸発などによって円盤内に密度ギャップやバンプを形成
すると考えられている。しかし、惑星存在領域は円盤内側領域であり、観測で空間的に分
解することは難しい。しかし、密度ギャップやバンプも圧力勾配力が強くなっており、回
転不安定が起こっていると考えられる。このことから円盤外側領域で非相解的な面密度分
布を観測することができれば、回転不安定性の回転円盤への影響を理解することができ、
密度ギャップやバンプ研究に応用することが期待される。
9.6 今回考慮しなかった効果 < 粘性とエントロピー勾配 >
今まで考えてきたのは、理想流体、等エントロピーを満たす軸対称回転円盤あった。つ
まり、粘性、エントロピー勾配、非軸対称の効果を全て無視している。これらを考慮して
議論することは不可欠である。ここでは粘性、エントロピー勾配についてどのような影響
があるか簡単に述べる。
155
9.6.1 粘性の効果
粘性回転流体における回転不安定性は実験的に調べられており、無次元量 T がある臨
界量 Tcrit より大きい時不安定になる。
T ≡
Ω2 L4
> Tcrit
ν2
(9.6.1)
この T を Taylor 数と呼び、L は系のスケールである。この条件は理想流体における回
転不安定の条件である Rayleigh 条件より不安定が起こりにくいものとなっている。それ
は、粘性によって不安定が減衰されるため、不安定が起きにくくなると考えると理解しや
すい。
原始惑星系円盤は粘性によって降着するので考慮にいれなくては行けない効果である。
9.6.2 エントロピー勾配の効果
エントロピー勾配があり、Schwarzschild 条件を満たすと対流不安定になることは 8.1.3
節で既に述べた。一般的な円盤中では Schwarzschild 条件が満たされており対流不安定が
起こる。そのため、エントロピー勾配を考えることは、回転不安定性と対流不安定性の両
方を考えた時の不安定の条件である Solberg-Hoiland 条件を満たしやすくする。つまり、
エントロピー勾配を考えることは不安定を起きやすくする。
9.7 今回考慮しなかった効果 < 非軸対称 >
今まで考えられてきた回転不安定性は軸対称の運動であった。不安定が起きない時は
epycyclic 振動数で円環が動径方向に振動しており、不安定が起きると円環が動径方向に
広がる描像を追っていた。
しかし、円盤流体が円環状を保ちながら運動するとは考えにくく、各 ϕ ごとに動径方向
の運動が異なるのが自然である。つまり、円盤中で非軸対称モードの不安定が発達すると
ϕ 方向にいくつかの渦が出来る。これを非軸対称の回転不安定性と呼び、軸対称の回転不
安定性より起こりやすいと考えられる。
Lovelace et al. (1999); Li et al. (2000) では円盤内に人工的な密度バンプや密度ジャン
プを考え、それを非摂動状態にして線形解析することで非軸対称モードの不安定性を議論
している。この手法と同様に相似解を非摂動状態にして線形解析することで、相似解にお
ける非軸対称モードの不安定性を調べることができる。しかし、この研究は現在進行中で
あるため、Lovelace et al. (1999) によって示された、非軸対称モードの不安定が起こる必
要条件を用いて簡単に議論する。
156
9.7.1 Lovelace et al. (1999) の定式化
今回、非摂動状態として軸対称定常で断熱的な自己重力を無視できる円盤を考える。こ
の時の基礎方程式は
DΣ
+ Σ∇ · v = 0
Dt
Dv
1
= − ∇Π − ∇ψ∗
Dt
Σ
D
(S) = 0
Dt
(9.7.1)
(9.7.2)
(9.7.3)
である。ここで D/Dt ≡ ∂/∂t + v · ∇ である。また、S はエントロピーで
S=
Π
Σγ
(9.7.4)
で、最後の式は断熱の式である。ここで γ は比熱比、ψ∗ は中心星ポテンシャル。
これらの基礎方程式について、局所安定性解析を行う。vr , vϕ , Σ, Π に関して以下のよ
うに 1 次まで摂動展開すると以下のようになる。

 
Σ
Σ0
 Π   Π0

 
 vr  =  0
vϕ0
vϕ



Σ1
  Π1 
+

  vr1 
vϕ1
添字 1 が 1 次の摂動項で、添字 0 が非摂動項である。非摂動状態が定常軸対称なので、
Σ1 , vr1 , vϕ1 ∝ exp[i(mϕ − ωt)] となる。これより、1 次の摂動方程式は
i∆ωΣ1 = ∇ · (Σv1 )
Σ1 ∂Π0
1 ∂Π1
− 2
Σ ∂r
Σ0 ∂r
2
κ
Π1
i∆ωvϕ1 −
vr1 = ikϕ
2Ω
Σ
2
iΣcs
Π1 = c2s Σ1 −
vr1
∆ωLs
i∆ωvr1 + 2Ωvϕ1 =
(9.7.5)
(9.7.6)
(9.7.7)
(9.7.8)
ただし、
∆ω(r) ≡ ω − mΩ(r)
1 d(r4 Ω2 )
r3 dr
m
kϕ =
r
Π0
c2s = γ
Σ0
κ2 ≡
157
(9.7.9)
(9.7.10)
(9.7.11)
(9.7.12)
であり、κ は epicyclic 振動数、kϕ は ϕ 方向の波数である。また、Ω = vϕ0 ' (GM∗ /r3 )1/2
とし、Ls はエントロピーの変動スケールで
[
d
Ls ≡ γ/
ln
dr
(
P0
Σγ0
)]
(9.7.13)
である。もし、Π がバロトロピック出会った場合は Ls → ∞ となる。ここで、表示の簡
単化のために r の微分を 0 で表す。また、圧力の変動スケールを
[
d
LΠ ≡ γ/
ln (Π)
dr
]
(9.7.14)
であり、定義から H < (|Ls |, |L|Π| ) . r である。
ここでエンタルピー摂動を Φ ≡ Π1 /Σ0 とすると、(9.7.6)-(9.7.7) 式は
(
i ∆ω +
c2s
∆ωLs LΠ
)
vr1 + 2Ωvϕ1 =
i∆ωvϕ1 −
∂Φ
Φ
−
∂r
Ls
κ2
vr1 = ikϕ Φ
2Ω
(9.7.15)
(9.7.16)
となり、(9.7.15)-(9.7.16) 式を vr1 , vϕ1 について解くと、
[
(
)
]
∆ω
Φ
0
Σ0 vr1 = iF
Φ −
− 2kϕ Φ
Ω
Ls
[
(
)
(
)]
∆ω
c2s
κ2
Φ
0
Σ0 vϕ1 = F −kϕ
+
Φ+
Φ −
Ω
∆ωΩLs LΠ
2Ω2
Ls
(9.7.17)
(9.7.18)
となる。ここで F は、
F≡
κ2
−
Σ0 Ω
− c2s /(Ls LΠ )
∆ω 2
(9.7.19)
である。
ここで、F の理解のために共回転共鳴に非常に近い領域でのモードを考える。つまり、
|∆ω|2 は κ2 や c2s /|Ls LΠ | より十分小さいと仮定する。この時、
Σ0 Ω
Σ0
=
2
κ
2ωz
ωs ≡ ẑ · (∇ × v)
F'
(9.7.20)
(9.7.21)
である。ここで ωz は絶対渦度であり、ωz /Σ0 ' 1/(2F) はポテンシャル渦度である。
よって F はポテンシャル渦度の逆数のような量であることが分かる。
(9.7.5) 式、(9.7.8) 式、(9.7.17)-(9.7.18) 式より、エントロピー摂動 Φ の摂動方程式は
)0
(
kϕ2 F
1 rF 0
ΣΦ 2kϕ F 0
Φ
−
Φ= 2 +
Φ
r Ω
Ω
cs
∆ω
[
]
(
)0
kϕ2 c2s F
F
4kϕ F
1 rF
+
+
+
Φ (9.7.22)
+
ΩL2s
r ΩLs
∆ωLs
∆ω 2 ΩLs LΠ
158
となる。ここで、Σ0 → Σ と置き換えている。
非摂動状態を相似解として、(9.7.22) 式を解けば非軸対称成分の不安定性を調べること
が出来る。(9.7.22) 式は Φ に関する r の二階微分方程式であるので、固有値問題に帰着す
る。しかし、これは固有値に関して非線型になっているので解くのは労力がいる。
9.7.2 Lovelace et al. (1999) の非軸対称モード不安定の必要条件
Lovelace et al. (1999) によって、扱いやすい非軸対称モード不安定の必要条件が求め
られている。(9.7.22) 式の両辺 Φ∗ をかけて円盤全領域で積分する。この時、r → 0 なら
ば、Φ∗ Φ0 rF/Ω → 0 と仮定する。この時、(9.7.22) 式は
∫
−
d2 r
F
(|Φ0 |2 + kϕ2 |Φ|2 )
Ω
[
(
)0 ]
∫
∫
Σ
F
1
rF
= d2 r 2 |Φ|2 + d2 r
+
|Φ|2
cs
ΩL2s
r ΩLs
(
)
∫
∫
kϕ2 c2s F
kϕ F 0
2kϕ F
2
2
+2 d r
+
|Φ| + d2 r
|Φ|2
∆ω
∆ωLs
∆ω 2 ΩLs LΠ
(9.7.23)
となる。この時、実数でない項は ∆ω が入っている右辺第 3 項と第 4 項だけである。
ここで、簡単のために Ω/|∆ω| は有限であり cs /vϕ 1 とすると、(9.7.23) 式の ∆ω 2
を含む右辺第 4 項は ∆ω を含む右辺第 3 項に比べて小さく無視できる。さらに、共回転共
鳴に非常に近い領域でのモードを考え (|∆ω|2 /Ω2 1)、圧力勾配が r 方向正である時、
F は正の実数となる。
この時 (9.7.32) 式で実数でない項は右辺第 3 項だけとなり、これを書き換えると
∫
2
d2 r
kϕ F
[ln(FS 2/γ )]0 |Φ|2
∆ω
(9.7.24)
となる。元の等式 (9.7.23) が成立するためには (9.7.24) 式が全ての固有値 ∆ω で実数で
ある必要がある。(9.7.24) 式を見ると虚部が 0 になり得るのは [ln(FS 2/γ )]0 しかない。こ
れから、不安定が起こるのには [ln(FS 2/γ )]0 = 0 となる r が存在することが必要である。
つまり、不安定がおこるための必要条件は
L ≡ FS 2/γ '
ΣΩS 2/γ
κ2
(9.7.25)
が極値を持つことである。これが Lovelace et al. (1999) によって求まった非軸対称不安
定が起こる必要条件である。
F がポテンシャル渦度の逆数のような量であったことを思い出すと、これはシアー不安
定の必要条件である Rayleigh-Kuo の定理と対応がつくことが分かる。
159
図 9.2
横軸を ζ 、縦軸を F にとったグラフ。各線は H0 /r0 の値に対応しており、赤
実線が H0 /r0 = 0.1、緑破線が H0 /r0 = 0.2、青点線が H0 /r0 = 0.3 を表す。軸対称
の時とは異なり H0 /r0 が小さい方が F が極値を持ち、不安定の必要条件を満たす。
9.7.3 相似解と非軸対称不安定の必要条件
求まった非軸対称不安定の必要条件を用いて、相似解は必要条件を満たしているかを調
べる。ただ、今回は簡単のため、(9.7.25) 式のうち F ' ΣΩ/κ2 が極値を持つかどうかを
調べる。F が極値を持てば L も極値を持つと考えられる。
相似解の面密度分布から動径方向の力の釣り合いを仮定して求めた回転速を用いて、F
を計算したものが図 9.2 である。横軸を ζ 、縦軸を F にとったグラフ。各線は H0 /r0 の値
に対応しており、赤実線が H0 /r0 = 0.1、緑破線が H0 /r0 = 0.2、青点線が H0 /r0 = 0.3
を表す。図 9.2 を見ると軸対称の時とは異なり H0 /r0 が小さい方が F が極値を持ち、不
安定の必要条件を満たす。そのために、低温な円盤では非軸対称な不安定が起こりやすい
可能性があり、解析的に調べる必要がある。
160
第 10 章
まとめ
本論文では、原始惑星系円盤の外側領域の面密度分布について議論した。我々は、
Lynden-Bell & Pringle (1974) の相似解が円盤外側領域では回転不安定が起こるのため
に実現されないことを発見した。さらに、回転不安定が起こった結果、相似解のような指
数関数的減少よりも緩やかに面密度分布が減少するようになることを示し、それは回転不
安定性の中立安定面密度分布に近づくことを予測した。
相似解からの面密度分布の逸脱は、円盤の典型的な半径 r0 におけるアスペクト比 H0 /r0
が大きくなるほど、つまり温度分布の勾配が小さくなるほど顕著になる。相似解からの面
密度分布の逸脱を観測するために我々は中心星が質量が小さく、円盤の温度が比較的高温
な天体を対称に観測するべきだと提案する。これが観測されることで、原始惑星系円盤に
おける基礎研究が進むことになる。また、それだけでなく円盤内のダスト分布への影響
や、円盤ギャップやバンプへの応用を考えることで惑星形成理論発展のための寄与もでき
ると考えられる。
本論文では定性的振る舞いを扱うため面密度分布は中立安定点で連続かつ滑らかに中立
安定面密度分布に接続することを仮定した。しかし、定量的な議論をするためには数値計
算によって 9.3 節で記述した式を解かなければならない。さらに、より現実的な原始惑星
系円盤を考慮するために、今回行った仮定をいくつか外して調べることも必要である。特
に非軸対称性は、軸対称で不安定にならなかった場合でも不安定となることが大いに期待
されるため、調べなくてはならない課題である。
161
謝辞
提出期限ギリギリではあるが、修士論文を無事書きあげることが出来た。この修士論文
は、大学 4 年後期から学んできた惑星形成論についての私の識っている全てであるといっ
ても過言ではない。限られた時間の中でベストを尽くせたと思う。つまり、私はこの修士
論文に満足している。
このような満足行くものを作れたのは、これはひとえにこの 2 年間支えてくれた家族、
先生方、学友のおかげである。世間で言ったら働いている者も多い中、まだ勉強がしたり
ないと言う私に環境を与えて続けてくれている両親には感謝してもしきれない。辛い時も
常に支えてくれる彼女にも心から感謝している。指導教員の先生方には感謝と共に申し訳
無さがくる。このように理解も悪く、仕事のスピードに斑がある私に対して態々議論の時
間を取って頂き、丁寧に指導してくださる先生方である。特に野村英子先生には、京都に
残るという選択をしたにも拘らず、変わらず指導を尽くしてくださっていることに最大限
の感謝を述べたい。学友には私は喧しい存在だったかもしれないが、様々な議論を交わせ
たことは私の宝となっていると思う。
私が学んでいる惑星形成論は、テレビ番組でやっていた惑星形成についての番組を見て
以来、ずっと私の興味惹き続けて止まない。学べば学ぶ程奥が深く、面白い。このような
楽しいことをこの先も続けていきたいと思う。それなので周りの皆様にはまだまだご迷惑
をかけると思いますが、これからもよろしくお願いします。
162
付録 A
Hill 方程式
太陽を中心に回転する惑星の周囲の粒子の運動を記述する上で良く用いられるのが Hill
方程式である。ここでは、Hill 方程式の導出と Hill 半径の導出を行う。ここでは Murray
& Dermott (1999); Armitage (2010) を参考にする。
A.1 回転系の運動方程式
質量 M の中心星の周りを、質量 Mp 惑星が円軌道で公転している系を考える。ここで、
座標を中心星と惑星の重心に取り、右手系のデカルト座標を置く。ただし、常に x 軸上に
惑星があるように系は回転する。この時、制限三体問題を考え、質量 m のテスト粒子の
挙動を考える (m Mp , M∗ )。制限三体問題とは 3 体のうち 1 体は他の 2 体に比べ質量
が軽く、軽い粒子との重力相互作用を重い 2 体に関して無視する近似である。原点からテ
スト粒子の位置を r、惑星からの距離を rp 、中心星からの距離を r∗ とする。さらに、惑
星の座標を (xp , 0)、中心星の座標を (x∗ , 0) とする。
回転系での運動方程式を考える。今系が角速度 Ω で回転しているとする。静止系の座
標を (ξ, η, ζ)、回転座標系を (x, y, z) で表す。時刻 t = 0 で両座標系が一致している時、
êξ = êx cos Ωt − êy sin Ωt
(A.1.1)
êη = êx sin Ωt + êy cos Ωt
(A.1.2)
êζ = êz
(A.1.3)
である。
これより、
êx = êξ cos Ωt + êη sin Ωt
(A.1.4)
êy = −êξ sin Ωt + êη cos Ωt
(A.1.5)
êz = êζ
(A.1.6)
163
図 A.1
Hill 方程式導出時に考える系 (Armitage , 2010)。
となるので、それぞれ時間微分すると、
ê˙ x = Ω(−êξ sin Ωt + êη cos Ωt)
= Ωêy
(A.1.7)
ê˙ y = −Ω(êξ cos Ωt − êη sin Ωt)
= −Ωêx
(A.1.8)
ê˙ z = êζ
(A.1.9)
である。これより、ê = êx + êy + êz の時間微分は、
dê
= Ω × ê
dt
(A.1.10)
となる。
一般のベクトル A について調べる。静止系での時間微分を Ȧ0 、回転計での時間微分を
Ȧ とする。ベクトル A の時間微分は、
Ȧ0 = Ȧ + Ω × A
(A.1.11)
である。ここで、A = Ω とすると、Ω × Ω = 0 より、
Ω̇0 = Ω̇
から、系の違いによる角速度変化率の違いはないことが分かる。
164
(A.1.12)
ベクトル A に関する 2 回微分を考えると、
Ä0 = Ä + Ω × Ȧ0 + Ω̇0 × A
(A.1.13)
であり、(A.0.11) 式の A を Ȧ0 に変えたものを代入すると、
Ä0 = Ä + 2Ω × Ȧ + Ω × (Ω × A) + Ω̇ × A
(A.1.14)
となる。
ここで A に位置ベクトル r を代入すると、コリオリの定理
r̈0 = r̈ + 2Ω × ṙ + Ω × (Ω × r) + Ω̇ × r
(A.1.15)
が得られる。右辺第 2 項は遠心力、第 3 項はコリオリ力、第 4 項は角速度変化に伴う項で
ある。
今回、静止系でテスト粒子の単位質量当たりにかかる力は −∇Φ であり、Φ は惑星と中
心星によっって作られる重力ポテンシャル
Φ=−
GM∗
GMp
−
r∗
rp
(A.1.16)
である。このため、静止系での運動方程式は
r̈0 = −∇Φ
(A.1.17)
となる。ここで角速度は一定 Ω̇ = 0 とすると、(A.0.15) 式から回転系での運動方程式は
r̈0 = −∇Φ − 2Ω × ṙ − Ω × (Ω × r)
(A.1.18)
のように得られる。
A.2 Hill 方程式
運動方程式の各成分を書くと、
[
M∗ (x + x∗ ) Mp (x + xp )
+
ẍ − 2Ωẏ − Ω x = −G
r∗3
rp3
[
]
M∗
Mp
ÿ + 2Ωẋ − Ω2 y = −G
+
y
r∗3
rp3
]
[
M∗
Mp
z̈ = −G
+ 3 z
r∗3
rp
2
となる。
165
]
(A.2.1)
(A.2.2)
(A.2.3)
ここで、中心星は惑星に比べて非常に軽く、Mp M∗ と仮定する。これより、
|x∗ | |xp |、Ω2 = GM∗ /x3p となる。ここで、系の原点が惑星となるように座標を平行移
√
動させた時、新たに惑星からテスト粒子までの距離を ∆ ≡ x2 + y 2 と定義すると、運
動量方程式は
)
(
GMp
2
x
ẍ − 2Ωẏ = 3Ω −
∆3
GMp
y
ÿ + 2Ωẋ =
∆(3
)
GMp
2
z̈ = − Ω +
z
∆3
(A.2.4)
(A.2.5)
(A.2.6)
となる。これを『Hill 方程式』と呼び、回転系における天体近傍の運動を調べる際に有用
である。
A.3 Hill 半径
Hill 方程式の x, y 成分の左辺第 2 項は epicyclic 運動を表しており、惑星周りを回転す
る運動である。また、x 成分の右辺を見ると、
3Ω2 =
GMp
∆3
(A.3.1)
の時 0 となる。この条件を満たす惑星からの距離を、『Hill 半径』rH と呼ぶ。Hill 半径の
表式は惑星の軌道半径 a を用いて
(
rH =
Mp
3M∗
)1/3
a
(A.3.2)
と表される。また、Hill 半径の内側の領域を『Hill 圏』と呼び、Hill 圏の境界を『Hill 球』
と言う。
Hill 半径は惑星と主星の重力場が拮抗する場所であり、r < rH では惑星重力場が、
r > rH では中心星重力場が優勢になる。その結果、惑星に近い軌道半径を持つガス粒子
は、Hill 半径になるまで近づく前に中心星重力場による epicyclic 運動の結果、進行方向
が反転する。この軌道はエネルギー散逸がなければ閉じた軌道であり、馬の蹄に似ている
ことから『horseshoe 軌道』と呼ばれる。
166
図 A.2
Hill 球まわりの粒子の動き (Armitage , 2010)。
167
付録 B
潮汐半径・Roche 限界・Roche 密度
ここでは天体の運動を考える上で便利な物理量である、潮汐半径、Roche 限界半径、
Roche 密度について紹介する。
B.1 系の設定
質量 M∗ 、半径 R∗ の中心星の周りを、質量 Mp 、半径 r の惑星が軌道半径 a で公転し
ているとする。中心星は惑星に比べて非常に重く、M∗ Mp が成り立つとする。さら
に、簡単のために惑星の自転周期と公転周期は等しいとする。この時、惑星軌道の角速度
Ω = ΩK となる。
この時、惑星表面での潮汐力を考える。潮汐力とは中心星重力と遠心力の差である。惑
星表面において恒星直下点を点 A、その裏を点 B とする。点 A, B における潮汐力 Ft は、
Ft = Ω2 (a ± r) −
GM∗
(a ± r)2
≈ ±3Ω2 r
(B.1.1)
となる。ただし、複合の − は点 A を、+ は点 B をそれぞれ表す。点 A における潮汐力
は中心星方向であり、点 B における潮汐力は中心星反対方向であることから、潮汐力は惑
星を引き伸ばす力となる。
B.2 潮汐半径
惑星重力が潮汐力に打ち勝って、自己重力で束縛することが出来る最大の半径を『潮汐
半径』という。そのための条件は
GMp
3GM∗ r
> 3Ω2 r =
2
r
a3
168
(B.2.1)
であるので、変形すると
(
r < rt ≡
Mp
3M∗
)1/3
a
(B.2.2)
となる。ここで rt が潮汐半径である。潮汐半径はその表式から分かるように Hill 半径と
同じである。
B.3 Roche 限界
中心星からの潮汐力に打ち勝って惑星自身を自己重力で束縛し続けることができる限界
の軌道半径を『Roche 限界』と呼ぶ。満たすべき条件は中心星表面における (B.2.1) と同
様で、
GMp
3GM∗ r
>
2
R∗
R∗3
(B.3.1)
である。これを変形すると
(
)1/3
3ρ∗
a > aR ≡
R∗
ρp
(
)1/3
3ρ∗
≈ 1.44
R∗
ρp
(B.3.2)
となる。ここで、中心星と惑星が共に球型であると仮定し、それぞれの密度を ρ∗ 、ρp と
した。この時、aR を Roche 限界と呼ぶ。Roche 限界より内側の軌道半径では、中心星の
潮汐力のために惑星は形を保てず破壊されてしまうことがわかる。
また、惑星が非圧縮流体の場合の Roche 限界も近似的に求められており、
(
aR ≈ 2.456
3ρ∗
ρp
)1/3
R∗
(B.3.3)
となる。これは惑星が流体的であるなら、その流動性のため破壊されにくくなっているこ
とを示唆する。
B.4 Roche 密度
中心星質量を固定した時、惑星が自己重力で束縛できる最小の密度を『Roche 密度』と
言う。惑星が球である時、
Mp =
4 3
πr ρp
3
169
(B.4.1)
である。満たすべき条件は (B.2.1) と同様で、
GMp
3GM∗ r
2
>
3Ω
r
=
r2
a3
(B.4.2)
なので、変形すると
ρp > ρR ≡
9M∗
4πa3
(B.4.3)
となる。この時、ρR を Roche 密度と呼ぶ。ρp < ρR の時は惑星が自己重力で集まれず、
潮汐力によって破壊されてしまう。
中心星が太陽を考えた時の Roche 密度は
ρR ≈ 4.3 × 10−7
( a )−3
g cm−3
1 AU
となる。
170
(B.4.4)
付録 C
二体緩和
有限な粒子によって形成される重力多体系を考える。全体で見ると、時間と共に力学平
衡に漸近していく。しかし、構成粒子自体は粒子間の重力相互作用によって力学平衡から
のずれとしてランダム速度を持つ。中心星を回る回転系を考えると力学平衡はケプラー回
転であり、二体緩和とは粒子間重力によって生じるケプラー回転からのずれである。この
章では二体緩和について概観する。この節の内容は Spitzer (1987); Armitage (2010) と
牧野淳一郎氏の講義ノートを参考にする。
図 C.1 Appendix C で考える系。
171
C.1 二体緩和の表式
図のように質量 mf の粒子に対して、衝突パラメータ b、相対速度 σ で質量 mt で接近
し、散乱角 θ で散乱される時を考える。θ はケプラー問題の解析解より、
2b
(b/b0 )2 − 1
G(mt + mf )
b0 ≡
σ2
tan θ =
(C.1.1)
(C.1.2)
で与えられる。ここで、b0 は重力半径と呼び θ = 90◦ になる時の衝突パラメータである。
今回表す粒子の軌道は相対軌道であることに注意が必要であることを記述しておく。
この 2 体重力散乱の結果の相対速度の変化について調べる。初期の進行方向の速度変化
を ∆vk 、初期進行方向に垂直な速度変化を ∆v⊥ とする時、
mf
σ sin θ
mt + mf
b/b0
mf
= 2σ
mt + mf 1 + (b/b0 )2
mf
∆v⊥ =
σ(1 − cos θ)
mt + mf
mf
1
= 2σ
mt + mf 1 + (b/b0 )2
∆vk =
(C.1.3)
(C.1.4)
である。
単位時間当たり、衝突パラメータが b と b + db の間にある散乱の回数は 2πbnf σ db で
ある。単位時間当たりの速度変化を調べるために、b0 < b < bmax の範囲で平均した量を
取り扱う。
∫
h i≡
bmax
2πbnf σ db
(C.1.5)
b0
のように平均を定義する。ここで bmax は系のサイズであり、nf は粒子の数密度である。
ここで bmax → ∞ の時、計算が発散することに注意が必要である。これは、粒子は全て
の粒子と常に同時に重力相互作用をしていることが原因である。
172
ここで、それぞれの方向の速度とその分散の単位時間あたりの平均変化量は
(
)
m t nf Γ
h∆vk i = − 1 +
mf
σ2
nf Γ
h∆vk2 i =
σ ln Λ
h∆v⊥ i = 0
2nf Γ
2
h∆v⊥
i=
σ
(C.1.6)
(C.1.7)
(C.1.8)
(C.1.9)
(C.1.10)
である。ただし、
Γ ≡ 4πG2 m2f ln Λ
(C.1.11)
bmax
b0
(C.1.12)
Λ≡
と定義する。ln Λ は Coulomb 対数と呼ぶ。垂直方向の速度の平均は散乱がランダムであ
ることから 0 となる。また、leading 項以外は落としてあることに注意が必要である。
h∆vk i が負になっている。これは力学的摩擦の効果であり、粒子からの系へのエネル
ギーの受け渡しを表す。また、mt mf の時、h∆vk i ∝ mf nf に比例する。これは力学
的摩擦は粒子の質量密度に依存しており、バックグラウンド粒子の質量に依存しない。速
度変化分散の項は m2f nf に比例し、質量密度が同じでも粒子質量が大きいほうが変化は大
きくなる。
C.2 二体緩和時間
2
h∆v⊥
i が二体緩和の項を表す。このため、二体緩和によって初期速度の大きさだけ速
度変化を受ける時間スケールが計算でき、
trelax
σ2
σ3
≈
2 i = 8πG2 m2 n ln Λ
h∆v⊥
f f
(C.2.1)
となる。trelax を二体緩和時間と呼ぶ。
今、回転円盤を考えて粒子を円盤中のダストであると考える。
nf ≈
Σd Ω
2mf σ
(C.2.2)
と表せる。円盤中での二体緩和のことを粘性加熱と呼び、緩和時間を tvs で表すと、
tvs ≈
σ4
4πG2 mf Σd Ω ln Λ
173
(C.2.3)
となる。tvs ∝ σ 4 より、
he2 i1/2 , hi2 i1/2 ∝ t1/4
となる。つまり離心率と軌道傾斜角は二体緩和によって時間とともに増加する。
174
(C.2.4)
参考文献
Alexander, R. D., Clarke, C. J., & Pringle, J. E. 2006, MNRAS, 369, 216
Alexander, R. D., Clarke, C. J., & Pringle, J. E. 2006, MNRAS, 369, 229
Alexander, R. D., & Armitage, P. J. 2007, MNRAS, 375, 500
Andrews, S. M., & Williams, J. P. 2007, ApJ, 659, 705
Andrews, S. M., Wilner, D. J., Hughes, A. M., Qi, C., & Dullemond, C. P. 2009, ApJ,
700, 1502
Andrews, S. M., Wilner, D. J., Hughes, A. M., Qi, C., & Dullemond, C. P. 2010, ApJ,
723, 1241
Apai, D. ‘., & Lauretta, D. S. 2014, Protoplanetary Dust, by Dániel Apai , Dante
S. Lauretta, Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2014,
Armitage, P. J., & Valencia, D. 2010, Physics Today, 63, 63
Artymowicz, P. 1993, ApJ, 419, 155
Balbus, S. A., & Hawley, J. F. 1991, ApJ, 376, 214
Beckwith, S. V. W., & Sargent, A. I. 1991, ApJ, 381, 250
Brownlee, D., Tsou, P., Aléon, J., et al. 2006, Science, 314, 1711
Cameron, A. G. W. 1978, Moon and Planets, 18, 5
Casassus, S., van der Plas, G., M, S. P., et al. 2013, Nature, 493, 191
Chandrasekhar, S. 1961, International Series of Monographs on Physics, Oxford:
Clarendon, 1961,
Chiang, E. I., & Goldreich, P. 1997, ApJ, 490, 368
Clarke, C. J., Gendrin, A., & Sotomayor, M. 2001, MNRAS, 328, 485
Cowling, T. G. 1951, ApJ, 114, 272
Crida, A., Morbidelli, A., & Masset, F. 2006, Icarus, 181, 587
D’Angelo, G., Henning, T., & Kley, W. 2002, A&A, 385, 647
de Gregorio-Monsalvo, I., Ménard, F., Dent, W., et al. 2013, A&A, 557, AA133
Draine, B. T. 2006, ApJ, 636, 1114
175
Dubrulle, B., Morfill, G., & Sterzik, M. 1995, Icarus, 114, 237
Dullemond, C. P., & Dominik, C. 2004, Extrasolar Planets: Today and Tomorrow,
321, 361
Epstein 1924, Phys. Rev. 23, 710
Finkbeiner, D. P., Davis, M., & Schlegel, D. J. 1999, ApJ, 524, 867
Font, A. S., McCarthy, I. G., Johnstone, D., & Ballantyne, D. R. 2004, ApJ, 607, 890
Fromang, S., Terquem, C., & Balbus, S. A. 2002, MNRAS, 329, 18
Fromang, S., & Papaloizou, J. 2006, A&A, 452, 751
Fukagawa, M., Tsukagoshi, T., Momose, M., et al. 2013, PASJ, 65, L14
Furlan, E., Hartmann, L., Calvet, N., et al. 2006, ApJS, 165, 568
Garaud, P., & Lin, D. N. C. 2007, ApJ, 654, 606
Goldreich, P., & Tremaine, S. 1979, ApJ, 233, 857
Goldreich, P., & Tremaine, S. 1980, ApJ, 241, 425
Goldreich, P., & Ward, W. R. 1973, ApJ, 183, 1051
Goldsmith, P. F., Bergin, E. A., & Lis, D. C. 1997, ApJ, 491, 615
Gorti, U., Dullemond, C. P., & Hollenbach, D. 2009, ApJ, 705, 1237
Gras-Velázquez, À., & Ray, T. P. 2005, A&A, 443, 541
Hartmann, L. 1998, Accretion processes in star formation / Lee Hartmann. Cambridge, UK ; New York : Cambridge University Press, 1998. (Cambridge astrophysics series ; 32) ISBN 0521435072.,
Haisch, K. E., Jr., Lada, E. A., & Lada, C. J. 2001, ApJL, 553, L153
Hayashi, C. 1981, Progress of Theoretical Physics Supplement, 70, 35
Hayashi, C., Nakazawa, K., & Nakagawa, Y. 1985, Protostars and Planets II, 1100
Heinzeller, D., Nomura, H., Walsh, C., & Millar, T. J. 2011, ApJ, 731, 115
Hillenbrand, L. A., & Hartmann, L. W. 1998, ApJ, 492, 540
Hollenbach, D., Johnstone, D., Lizano, S., & Shu, F. 1994, ApJ, 428, 654
Hollenbach, D. J., Yorke, H. W., & Johnstone, D. 2000, Protostars and Planets IV,
401
Hori, Y., & Ikoma, M. 2010, ApJ, 714, 1343
Hughes, A. M., Wilner, D. J., Qi, C., & Hogerheijde, M. R. 2008, ApJ, 678, 1119
Ida, S., Kokubo, E., & Makino, J. 1993, MNRAS, 263, 875
Igea, J., & Glassgold, A. E. 1999, ApJ, 518, 848
Inutsuka, S.-i. 2012, Progress of Theoretical and Experimental Physics, 2012, 01A307
Ikoma, M., Nakazawa, K., & Emori, H. 2000, ApJ, 537, 1013
Johnstone, D., Hollenbach, D., & Bally, J. 1998, ApJ, 499, 758
176
José, J., Hernanz, M., Amari, S., Lodders, K., & Zinner, E. 2004, ApJ, 612, 414
Kataoka, A., Tanaka, H., Okuzumi, S., & Wada, K. 2013, A&A, 557, LL4
Kato, S., Fukue, J., & Mineshige, S. 2008, Black-Hole Accretion Disks — Towards a
New Paradigm —, 549 pages, including 12 Chapters, 9 Appendices, ISBN 978-487698-740-5, Kyoto University Press (Kyoto, Japan), 2008.,
Kenyon, S. J., & Hartmann, L. 1987, ApJ, 323, 714
Krolik, J. H., & Kallman, T. R. 1983, ApJ, 267, 610
Korycansky, D. G., & Pollack, J. B. 1993, Icarus, 102, 150
Lada, C. J., & Lada, E. A. 2003, ARA&A, 41, 57
Lagrange, A.-M., Beuzit, J.-L., Chauvin, G., & Mouillet, D. 2008, Proc. SPIE, 7015,
701503
Larson, R. B. 1969, MNRAS, 145, 271
Li, H., Finn, J. M., Lovelace, R. V. E., & Colgate, S. A. 2000, ApJ, 533, 1023
Liffman, K. 2003, PASA, 20, 337
Lin, D. N. C., & Papaloizou, J. 1979, MNRAS, 188, 191
Lissauer, J. J. 1993, ARA&A, 31, 129
Lovelace, R. V. E., Li, H., Colgate, S. A., & Nelson, A. F. 1999, ApJ, 513, 805
Lodders, K. 2003, Meteoritics and Planetary Science Supplement, 38, 5272
Lynden-Bell, D., & Pringle, J. E. 1974, MNRAS, 168, 603 1974, MNRAS,168, 603
Mathis, J. S., Rumpl, W., & Nordsieck, K. H. 1977, ApJ, 217, 425
Marois, C., Zuckerman, B., Konopacky, Q. M., Macintosh, B., & Barman, T. 2010,
Nature, 468, 1080
Y., Matsuda 2014, An Introduction to Meteorology: From Basic Theory to Meteorology of Planets, University of Tokyo Press
Meyer-Vernet, N., & Sicardy, B. 1987, Icarus, 69, 157
Miller, N., & Fortney, J. J. 2011, ApJL, 736, LL29
Mizuno, H. 1980, Progress of Theoretical Physics, 64, 544
Murray, C. D., & Dermott, S. F. 1999, Solar system dynamics by Murray, C. D., 1999,
Okuzumi, S., Tanaka, H., & Sakagami, M.-a. 2009, ApJ, 707, 1247
Ono, T., Nomura, H., & Takeuchi, T. 2014, ApJ, 787, 37
Owen, J. E., Ercolano, B., Clarke, C. J., & Alexander, R. D. 2010, MNRAS, 401,
1415
Owen, J. E., Ercolano, B., & Clarke, C. J. 2011, MNRAS, 412, 13
Owen, J. E., Clarke, C. J., & Ercolano, B. 2012, MNRAS, 422, 1880
Paardekooper, S.-J., Baruteau, C., & Kley, W. 2011, MNRAS, 410, 293
177
Pollack, J. B., McKay, C. P., & Christofferson, B. M. 1985, Icarus, 64, 471
Pollack, H. N. 1986, Earth and Planetary Science Letters, 80, 175
Quirrenbach, A. 2006, The Many Scales in the Universe: JENAM 2004 Astrophysics
Reviews, 235
Rasio, F. A., & Ford, E. B. 1996, Science, 274, 954
Richling, S., & Yorke, H. W. 2000, ApJ, 539, 258
Robberto, M., Beckwith, S. V. W., & Panagia, N. 2002, ApJ, 578, 897
Safronov, V. S. 1969, Evolution of the Protoplanetary Cloud and Formation of the
Earth and the Planets, English translation, NASA TT F-677 (1972).
Sano, T., Inutsuka, S.-i., Turner, N. J., & Stone, J. M. 2004, ApJ, 605, 321
Semenov, D., Henning, T., Helling, C., Ilgner, M., & Sedlmayr, E. 2003, A&A, 410,
611
Shakura, N. I., & Sunyaev, R. A. 1973, A&A, 24, 337
Shu, F. H. 1977, ApJ, 214, 488
Shu, F. H. 1992, The physics of astrophysics. Volume II: Gas dynamics., by Shu,
F. H.. University Science Books, Mill Valley, CA (USA), 1992, 493 p., ISBN 0935702-65-2, Price proud 36.95.,
Silverstone, M. D., Meyer, M. R., Mamajek, E. E., et al. 2006, ApJ, 639, 1138
Spitzer, L. 1987, Princeton, NJ, Princeton University Press, 1987, 191 p.,
Stevenson, D. J. 1982, Planet. Space Sci., 30, 755
Störzer, H., & Hollenbach, D. 1999, ApJ, 515, 669
Tanaka, H., Takeuchi, T., & Ward, W. R. 2002, ApJ, 565, 1257
T., Tamura 2011, Master Thesis
Thalmann, C., Carson, J., Janson, M., et al. 2009, ApJL, 707, L123
Turner, N. J., & Sano, T. 2008, ApJL, 679, L131
Wada, K., Tanaka, H., Suyama, T., Kimura, H., & Yamamoto, T. 2007, ApJ, 661,
320
Ward, W. R. 1986, Icarus, 67, 164
Ward, W. R. 1997, ApJL, 482, L211
Walsh, C., Nomura, H., Millar, T. J., & Aikawa, Y. 2012, ApJ, 747, 114
Walsh, C., Millar, T. J., & Nomura, H. 2013, ApJL, 766, LL23
Weidenschilling, S. J. 1977, MNRAS, 180, 57
Weinberger, A. J., Becklin, E. E., & Zuckerman, B. 2004, Bulletin of the American
Astronomical Society, 36, 1367
178
Weisberg, M. K., McCoy, T. J., & Krot, A. N. 2006, Meteorites and the Early Solar
System II, 19
Westphal, A. J., Fakra, S. C., Gainsforth, Z., et al. 2009, ApJ, 694, 18
Woods, D. T., Fisher, G. H., & Castor, J. I. 1996, Bulletin of the American Astronomical Society, 28, 940
Zolensky, M. E., Zega, T. J., Yano, H., et al. 2006, Science, 314, 1735
Zhu, Z., Hartmann, L., & Gammie, C. 2009, ApJ, 694, 1045
179

お 百 度 参 り の し お り

y z P Q

温度勾配下での、液晶、気液相転移、溶解の変分

正定値カーネルを用いた条件付き確率密度推定

第 10 回｢統計入門Ⅱ｣レポート課題 2 担当：原 先生(12

Web学習システムの使い方()

ピトー管

ガンマ関数とベータ関数(Gamma and Beta functions)

½, ..., n ½, ..., m - 東北大学経済学部・大学院経済学研究科・会計大学院

pdf file 170 K